SOUBOR ŘEŠENÝCH ÚLOH

(1)

SOUBOR

ŘEŠENÝCH ÚLOH

Aktivizující činnosti pro rozvoj

kombinatorického myšlení žáků 1.

stupně ZŠ

Lucie Vilimovská

Liberec 2012

(2)

SOUBOR ŘEŠENÝCH ÚLOH

Aktivizující činnosti pro rozvoj kombinatorického myšlení žáků 1. stupně

vydáno jako volná příloha DP autor: Lucie Vilimovská ilustrace: Martin Janda Liberec, 2012

(3)

(4)

Obsah

1. DÁREK M + T ... 6

2. ZVÍŘECÍ DELEGACE ... 9

3. POHLEDY ... 14

4. CHLAPCI V KUPÉ ... 16

5. PŘÍPITEK ... 19

6. PIZZA ... 21

7. NÁSTROJE ... 23

8. MYŠ A SÝR ... 25

9. PETR NA KOLE ... 27

10. ČLOVĚČE, NEZLOB SE ... 30

11. ČTVERCOVÁ SÍŤ ... 31

12. BLUDIŠTĚ ... 33

13. FLORBALOVÝ TURNAJ ... 34

14. MARUŠKA PLATÍ ... 38

15. ROZVRH HODIN ... 41

16. PONOŽKY ... 42

17. MOTÝLÍ KŘÍDLA... 43

18. CO NA SEBE? ... 44

19. PIŠKVORKY ... 47

20. KULIČKA V BLUDIŠTI ... 49

(5)

5

ÚVOD

Brožura, kterou právě držíte v ruce, vznikla jako příloha k diplomové práci Aktivizující činnosti pro rozvoj kombinatorického myšlení žáků 1. stupně ZŠ.

Snažila jsem se vytvořit soubor úloh, který by nabízel různé formy zapojení kombinatoriky do výuky již na prvním stupni. Vzhledem ke schopnostem a dovednostem žáků mladšího školního věku můžeme kombinatorické myšlení rozvíjet takovými činnostmi, kdy žáci nepotřebují znát žádné vzorečky, pojmy či pravidla. Řešení úloh pomocí kombinatorických pravidel a vzorců je zde jistou nadstavbou. Jde zejména o to, abychom u žáků vyvolali zájem o dané téma.

Matematika je pro žáky „schovaná“ za hravými a zábavnými metodami a za motivy z běžného života. Pomocí nich podporujeme osvojování rozmanitých řešitelských strategií a rozvoj kombinatorického myšlení žáků.

Věřím, že Vám některé nápady přijdou vhod a že se žáci v hodinách matematiky nebudou nad kombinatorickými problémy nudit.

Lucie Vilimovská

(6)

6

1. DÁREK M + T

Na Vánoce zůstal pod stromečkem ve čtyřčlenné rodině Novotných dárek s nápisem M+T.

A) Pro koho dárek mohl být? Zkus vymyslet různé možnosti.

B) Komu by mohl dárek patřit, pokud by jej našla pod stromečkem tato pětičlenná rodina: táta Karel, máma Věra, syn Marek, dcera Tereza, dcera Adéla?

C) Pojmenuj členy jiné pětičlenné rodiny tak, aby bylo možností co nejvíce.

D) Pro koho by mohl být dárek ve vaší třídě?

CÍL: hledání různých dvojic jmen v závislosti na počátečním písmenu konkrétního jména, rozvoj tvořivosti, třídění informací, rozvoj logického myšlení;

MOTIVACE: s sebou skutečný dárek s nápisem M + T;

METODY:

brainstorming: bod A, vypsat nápady žáků na tabuli (sledujeme tvořivost žáků, někoho napadne možná jen možnost MÁMA + TÁTA, jiní již budou vymýšlet jména)

skupinová práce: ve dvojicích řešení bodu B; ve skupinkách řešení b. C;

společné řešení b. D.

prezentace skupin, nalezení největšího počtu možností.

POMŮCKY: dárek, pracovní list se zadáním úlohy a obrázkem dárku;

ŘEŠENÍ:

bod A: Pro koho dárek mohl být? Zkus vymyslet různé možnosti.

Víme pouze to, že jde o čtyřčlennou rodinu (záměrně neuvádíme žádná jména, necháme zcela na fantazii dětí, jak členy rodiny pojmenují a zda budou v rodině dvě dcery, dva synové, či syn a dcera).

M + T může být: máma + táta

různé dvojice dívčích i chlapeckých jmen začínajících na M a T (s komentářem o jakého člena rodiny se jedná (např. syn Michal + syn Tomáš; dcera Marika + syn Tadeáš, apod.)

(7)

7

bod B: Komu by mohl dárek patřit, pokud by jej našla pod stromečkem tato pětičlenná rodina: táta Karel, máma Věra, syn Marek, dcera Tereza, dcera Adéla?

M + T odpovídá: máma + táta, Marek + Tereza, máma + Tereza, Marek + táta Odpověď: V této rodině existují 4 možnosti, pro koho by mohl být dárek s popiskem M+T.

bod C: Pojmenuj členy jiné pětičlenné rodiny tak, aby bylo možností co nejvíce.

Žáci mají za úkol pojmenovat pět členů rodiny tak, aby vzniklo co nejvíce možností odpovídajících zkratce M + T.

Např.: máma Tereza, táta Milan, syn Michal, syn Tadeáš, dcera Marta (řešení se bude odvíjet od pojmenování členů rodiny)

Na co si v tomto bodě dáváme pozor?

 zda žáci pojmenují i rodiče, tím nám vzniknou další možnosti (ovšem pokud by byla máma Marie a táta Tomáš, pak považujeme dvojice Marie + Tomáš a máma + táta za jednu a tutéž možnost).

 zda se pod označením M + T neskrývá jeden člověk (v tomto případě máma + Tereza či Milan + táta), tato možnost není přípustná, chceme obdarovat dvě různé osoby.

Řešení výčtem možností (tabulkou):

M T

1. máma

Milan

táta Tereza

2. máma Tadeáš

3. Michal táta

4. Marta táta

5. Milan (táta) Tadeáš 6. Michal Tereza (máma) 7. Marta Tereza (máma)

8. Michal Tadeáš

9. Marta Tadeáš

(8)

8

Řešení pomocí kombinatorického součinu:

Musíme si uvědomit, kolik máme možností začínajících na písmena M a T:

M: máma, Milan, Michal, Marta → 4 možnosti T: táta, Tereza, Tadeáš → 3 možnosti

Chceme-li získat kombinace M + T, vynásobíme počet možností v obou skupinách:

4 ∙ 3 = 12

Musíme však vyřadit tyto 2 možnosti: máma + Tereza, Milan + táta (jde o stejnou osobu).

Dále máme na paměti, že možnosti máma + táta a Milan + Tereza považujeme za tutéž, ubude nám tedy další možnost.

Konečný výsledek je 12 – 3 = 9 možností.

Odp.: V rodině, kde pojmenujeme členy máma Tereza, táta Milan, syn Michal, syn Tadeáš, dcera Marta je 9 možností obdarování dárkem s popiskem M + T.

Vlastní poznámky:

(9)

9

2. ZVÍŘECÍ DELEGACE

Jednou se zvířata v džungli rozhodla, že vyšlou delegaci ke králi zvířat, aby zjistila, co je nového. Chtěla jich vyrazit spousta: 4 pštrosi, 2 tygři, 2 pavouci, 3 berušky, 2 žirafy a slon. Zvědavá opice potřebovala zjistit, kdo všechno se delegace zúčastní, proto se schovala ve křoví a sledovala, kdo kolem ní projde. Viděla však jenom nohy.

A) Kolik by opice viděla projít nohou, pokud by za lvem vyrazila úplně všechna zvířata?

B) Kdo se mohl účastnit delegace, pokud opice viděla 12 nohou? Najdi co nejvíce možností.

C) Kdo se mohl účastnit delegace, pokud by opice viděla projít nohy v tomto pořadí:

6 nohou stejného druhu, 4 nohy stejného druhu, 8 nohou stejného druhu?

D) Mohla by se spolu ve skutečnosti sejít všechna tato zvířata?

CÍL: uvědomění si pořadí u uspořádání, nácvik systematičnosti, tvoření různých skupin zvířat s ohledem na počet nohou (A, B, C) a s ohledem na pořadí (C); rozvoj tvořivosti, mezipředmětové vztahy (propojení matematiky s přírodovědou), rozvoj kritického myšlení (bod D);

MOTIVACE: zvířecí tematika, masky, tvorba zvířecích příkladů;

(10)

10

METODY:

zdramatizovaná delegace s využitím zvířecích masek; nesmíme zapomenout:

některým zvířatům nutno „přidat“ končetiny (pavouk, beruška), vyrobíme je předem z punčocháčů nebo pruhů látky a přehodíme žákům přes záda).

Obr.: zobáky – pštrosi Obr.: čelenky – tygři

skupinová práce (body B, C): využijeme nastříhané nakopírované obrázky zvířat, žáci pomocí nich sestavují (popř. lepí) zvířecí příklady (např. 2 pštrosi + pavouk = 12 nohou)

řízená diskuse (bod D) – využití učebnice (popř. encyklopedie, mapy, či internetu) s informacemi o jednotlivých zvířatech, žáci mají odpovědět na otázku, zda se mohou zmiňovaná zvířata skutečně sejít.

Musí tedy zvážit, zda žijí ve stejném prostředí a zda nějaké ze zvířat není potravou pro ostatní.

Obr.: čelenky - berušky Obr.: čelenky - žirafy

Obr.: maska slona

(11)

11

POMŮCKY: masky jednotlivých zvířat (čelenky, šátky/kusy látek, masky, zobáky, končetiny z punčocháčů či látky), kopie s obrázky zvířat pro každou skupinku, nůžky, lepidlo, volné papíry pro lepení příkladů, učebnice (encyklopedie, internet, mapa) s informacemi o jednotlivých zvířatech (místo výskytu a potrava!);

ŘEŠENÍ:

bod A: Kolik by opice viděla projít nohou, pokud by za lvem vyrazila úplně všechna zvířata?

V tomto případě sečteme všechny jejich nohy:

4 pštrosi, 2 tygři, 2 pavouci, 3 berušky, 2 žirafy a slon 4 ∙ 2 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 8 + 3 ∙ 6 + 2 ∙ 4 + 4 = 62 nohou

Odp.: Pokud by šla za lvem všechna zvířata, viděla by opice projít 62 nohou.

Obr.: Ukázka realizace

bod B: Kdo se mohl účastnit delegace, pokud opice viděla 12 nohou? Najdi co nejvíce možností.

Při řešení nám mohou pomoci obrázky jednotlivých zvířat (jedna z metod).

I bez obrázků však můžeme tvořit příklady, jejichž výsledek je 12.

(12)

12

Odp.: Pokud opice viděla 12 zvířecích nohou, pak je 22 možností uspořádání delegace.

bod C: Kdo se mohl účastnit delegace, pokud by opice viděla projít nohy v tomto pořadí: 6 nohou stejného druhu, 4 nohy stejného druhu, 8 nohou stejného druhu?

Stejně jako v předchozím bodě hledáme možnosti uspořádání zvířecích nohou. Nyní je dáno uspořádání: 6 + 4 + 8 = 18, přičemž nohy každého sčítance se liší od nohou dalších dvou sčítanců, avšak sčítance mohou být utvořeny součtem více zvířat stejného druhu (např. u sčítance 8 může jít o 4 pštrosy, o pavouka, o 2 tygry, apod.

 Lze sestavit tyto možnosti příkladu 6 + 4 + 8:

1. beruška, tygr, pavouk 11. beruška, slon, 2 tygři 2. beruška, žirafa, pavouk 12. beruška, slon, 2 žirafy 3. beruška, slon, pavouk 13. beruška, žirafa, 2 tygři 4. beruška, 2 pštrosi, pavouk 14. beruška, tygr, 2 žirafy 5. 3 pštrosi, tygr, pavouk 15. 3 pštrosi, slon, 2 tygři 6. 3 pštrosi, žirafa, pavouk 16. 3 pštrosi, slon, 2 žirafy 7. 3 pštrosi, slon, pavouk 17. 3 pštrosi, žirafa, 2 tygři 8. beruška, tygr, 4 pštrosi 18. 3 pštrosi, tygr, 2 žirafy 9. beruška, žirafa, 4 pštrosi

10. beruška, slon, 4 pštrosi

(13)

13

Odp.: Pokud viděla opice projít nohy v pořadí 6, 4, 8, pak existuje 18 možných uspořádání.

bod D: Mohla by se spolu ve skutečnosti sejít všechna tato zvířata?

Musíme si uvědomit, kde jednotlivá zvířata žijí a čím se živí:

PŠTROS: Afrika; všežravec (rostliny, hmyz, malí savci, plazi) TYGR: Asie; masožravec

PAVOUK: téměř všude, kromě zamrzlých oblastí; hmyzožravec BERUŠKA (Slunéčko sedmitečné): Evropa; hmyzožravec (mšice) ŽIRAFA: Afrika; býložravec

SLON: Afrika, Asie (Indie); býložravec

Odp.: Ve skutečnosti by se spolu všechna tato zvířata nemohla ve volné přírodě nikdy setkat.

(14)

14

3. POHLEDY

Kamarádky z páté třídy se dohodly, že si o prázdninách všechny navzájem pošlou pohledy. Odeslaných pohledů bylo celkem 20.

A) Kolik bylo kamarádek?

B) Kolik pohledů dostala každá z dívek?

C) Kolik pohledů by si navzájem poslalo 10 kamarádek?

CÍL: uvědomění si, že pohled posílám ostatním, tedy sebe nezapočítávám; nová metoda řešení: seznámení s uzlovým grafem;

MOTIVACE: inscenační metoda, skutečné pohledy;

METODY:

dramatizace situace: vybraná děvčata si předají skutečné pohledy (vedeme žáky k postupnému řešení) – kolik pohledů si poslaly 2 (3, 4) kamarádky? 2 dívky si předají 2 pohledy, 3 dívky si předají 6 pohledů, 4 dívky si předají 12 pohledů.

Jednotlivé situace ilustrujeme na tabuli s využitím uzlového grafu (seznámíme žáky s orientovaným grafem, upozorníme na význam a funkci šipek na krajích spojnic)

samostatné řešení žáků

POMŮCKY: skutečné pohledy (20), pracovní list se zadáním úlohy pro všechny žáky;

ŘEŠENÍ: početně / úvahou bod A: Kolik bylo kamarádek?

Víme, že bylo celkem odesláno 20 pohledů.

Vedeme žáky k systematickému hledání odpovědi:

2 kamarádky si pošlou 2 pohledy

(každá jeden pohled, tedy 2 ∙ 1 = 2) 3 kamarádky si pošlou 6 pohledů

(každá pošle dva pohledy ostatním dívkám, tedy 3 ∙ 2 = 6)

(15)

15

4 kamarádky si pošlou 12 pohledů

(každá pošle 3 pohledy ostatním dívkám, tedy 4 ∙ 3 = 12) 5 kamarádek si pošle 20 pohledů

(každá pošle 4 pohledy ostatním dívkám, tedy 5 ∙ 4 = 20) Odp.: 20 pohledů si navzájem poslalo 5 kamarádek.

bod B: Kolik pohledů dostala každá z dívek?

Víme, že pohledy si posílalo 5 děvčat, každá poslala pohled všem ostatním, tedy 4. Jestliže nikdo na nikoho nezapomněl, pak každá dívka dostala také 4 pohledy, od všech ostatních dívek (např. dívka A dostane pohled od dívek B, C, D, E; dívka B dostane pohled od dívek A, C, D, E, atd.).

Odp.: Každá dívka dostala 4 pohledy.

bod C: Kolik pohledů by si navzájem poslalo 10 kamarádek?

Z bodu A je patrné, že každá dívka vždy pošle pohled všem ostatním dívkám kromě sebe (neboli pošle o jeden pohled méně, než je celkový počet dívek).

Pak tedy dívka A pošle 9 pohledů (dívkám B, C, D, E, F, G, H, I, J). Stejně pak dívka B pošle 9 pohledů zbývajícím dívkám (A, C, D, E, F, G, H, I, J). Takto můžeme pokračovat až k dívce J, která pošle opět 9 pohledů (dívkám A, B, C, D, E, F, G, H, I). Odtud vidíme, že každá z deseti dívek poslala devět pohledů.

Lze tedy jednoduše napsat, že všechny dívky pošlou:

10 ∙ 9 = 90 pohledů.

Odp.: Deset kamarádek by si navzájem poslalo 90 pohledů.

(16)

16

4. CHLAPCI V KUPÉ

Čtyři kamarádi, Adam, Bolek, Cyril a David se vydali na výlet. Jeli vlakem z Liberce do Českého ráje. Ve vlaku si našli volné kupé, kde bylo 6 míst, ale 2 místa byla již obsazená (obrázek).

A) Kolika možnými způsoby si chlapci mohli sednout?

B) Kolika způsoby by si chlapci mohli sednout, pokud by Bolek požadoval jedině místo u okna?

CÍL: propedeutika pojmu permutace; různé uspořádání prvků, permutace s danou podmínkou (jak to ovlivní počet

možností?), rozvoj systematičnosti při řešení úloh;

MOTIVACE: dramatizace situace, využití magnetické tabule a magnetek;

METODY:

Ze židliček vytvoříme kupé (nejlépe před tabulí, aby ho

ostatní žáci viděli ze stejného pohledu), obsadíme dvě místa a pak budeme usazovat 4 kamarády, na krk jim dáme cedulku se jmény Adam, Bolek, Cyril, David.

Zápis všech možností do plánku (současně při výměnách chlapců na židličkách v kupé). Využijeme zkratky jmen A, B, C, D. Každý bude mít k dispozici kopii s obrázky kupé. Dbáme na systematičnost řešení – vedeme žáky k tomu, aby si vždy rozmysleli, kam si může konkrétní chlapec sednout a zda je to ovlivněno tím, kolikátý přijde do kupé. Např. usadíme jednoho a pak obměňujeme zbylé chlapce. Potom teprve přesadíme prvního na jiné místo a znovu obměňujeme…)

Samostatné řešení bodu B – zakreslování do plánku (s případnou pomocí) Pro řešení úlohy lze využít magnetickou tabuli a magnetky – žáci hledají možnosti pomocí experimentování

POMŮCKY: kopie s plánky kupé, 6 židliček, 4 cedulky se jmény (Adam, Bolek, Cyril, David), magnetická tabule, magnetky;

(17)

17

Ukázka realizace - karty se jmény

ŘEŠENÍ:

bod A: Kolika možnými způsoby si chlapci mohli sednout?

Využijeme obrázek kupé pro lepší představu:

Políčka si označíme čísly: 1, 2, 3, 4

Pomocí tabulky provedeme výčet možností rozsazení chlapců.

Postupně na první místo usadíme jednoho chlapce a obměňujeme ostatní:

Tabulkou:

Početně: Jde o permutaci čtyř prvků, tedy: P(4) = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 možností.

Odp.: V kupé si chlapci mohou sednout 24 způsoby.

(18)

18

bod B: Kolika způsoby by si chlapci mohli sednout, pokud by Bolek požadoval jedině místo u okna?

 Zaměříme se na II. tabulku, zde jsou všechny možnosti, kdy Bolek sedí u okna.

 Lze také využít logický strom možností:

Odtud je zřejmé, že je šest možností, jak rozsadit chlapce (Bolek je vždy na místě č. 1, tedy u okna).

 Početně:

Pokud sedí Bolek u okna, pak můžeme měnit zbylé tři chlapce na třech místech, jde o permutaci tří prvků: P(3) = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6

možností

Poznámka: využití pravidla kombinatorického součinu;

Odp.: Pokud chce Bolek sedět jedině u okna, pak je 6 způsobů, jak rozsadit ostatní chlapce.

(19)

19

5. PŘÍPITEK

Na oslavě narozenin si spolu připilo 6 přátel.

A) Kolik zaznělo cinknutí?

B) Uměl/a bys vypočítat, kolik by zaznělo cinknutí, pokud by si připili pouze 4 přátelé?

CÍL: propedeutika pojmu kombinace – uvědomění si, že dva lidé si spolu cinknou jen jednou; rozvoj systematického řešení úloh, využití uzlového grafu

MOTIVACE: ověření výsledku pomocí skutečného přípitku skleničkami METODY:

Metoda pokus – omyl: necháme žáky samostatně řešit bod A. Poté je vyzveme, aby se pochlubili svými výsledky.

Zapíšeme na tabuli jednotlivé výsledky žáků.

Znázorníme na tabuli zadání úlohy s otázkou A pomocí uzlového grafu.

Vybereme 6 žáků, kteří si postupně připijí (počítáme cinknutí). Počet cinknutí srovnáme s prvními výsledky žáků.

Početní řešení bodu B. Kontrola s využitím uzlového grafu.

POMŮCKY: 6 skleniček, pracovní list se zadáním úlohy

ŘEŠENÍ:

bod A: Kolik zaznělo cinknutí?

Víme, že si připilo 6 žáků, lze to zobrazit uzlovým grafem:

Pokud spočítáme spojnice mezi všemi šesti body, získáme celkový počet cinknutí (tedy 15).

Protože není příliš snadné vyznat se ve spojnicích, zobrazíme si dvojice, které si připily:

(20)

20

Pro kontrolu spočítáme, zda se nám všechny prvky objevují pětkrát (každý si připije s ostatními – tedy s pěti lidmi). Dvojic je patnáct.

Početně: každý ze šesti členů si připije s ostatními (s pěti), ale všichni navzájem pouze jednou (první s druhým je totéž jako druhý s prvním):

Jde o kombinace bez opakování:

Odp.: Při přípitku šesti přátel zaznělo 15 cinknutí.

bod B: Uměl/a bys vypočítat, kolik by zaznělo cinknutí, pokud by si připili pouze 4 přátelé?

 První si připije se druhý, třetím a čtvrtým (3 krát); druhý si připije s třetím a čtvrtým (2 krát); třetí si připije se čtvrtým (jednou). Odtud 3 + 2 + 1 = 6 cinknutí

 Každý ze 4 přátel si připije se třemi ostatními, odtud: 4 ∙ 3 = 12 Musíme ale pamatovat na to, že si vzájemně připijí jen jednou,

výsledek je nutno vydělit dvěma. Pak tedy (4 ∙ 3) : 2 = 6 cinknutí Odp.: Při přípitku 4 přátel zaznělo 6 cinknutí.

(21)

21

6. PIZZA

Základní nabídkou Pizzerie Bambino je pizza s rajčaty a sýrem. Pokud má host zájem, může si přiobjednat další suroviny: šunka, žampiony, olivy, ananas. Každou ze surovin si lze přiobjednat pouze jednou. Každá pizza se vyrábí buď velká, nebo malá.

A) Kolik různých typů pizzy si může zákazník objednat?

B) Jaký druh pizzy by sis vybral ty?

(inspirováno úlohou 19, Matematický klokan 2010, kat. Benjamín, dostupné z http://matematickyklokan.net/Sborniky/sbornik_klokan_2010.pdf

CÍL: propedeutika pojmu kombinace; vytváření různých kombinací z nabízených surovin, systematická práce s informacemi, rozvoj řešení s využitím tabulky;

MOTIVACE: tematika, otázka B, experimentování s obrázky;

METODY:

každý žák řekne, jakou pizzu by si vybral on sám; volby žáků (a tedy různé možnosti) můžeme zapisovat na tabuli – např. pomocí zkratek Š (šunka), Ž (žampiony), O (olivy), A (ananas), popř. lze využít obrázků těchto surovin lze využít kopii pizzy a obrázky jednotlivých surovin – nechat žáky

experimentovat

řešení ve dvojicích s využitím tabulky, vedeme k systematičnosti (nejprve jedna surovina, pak možné dvojkombinace, trojkombinace, všechny suroviny). Nesmíme zapomenout, že všechny druhy pizzy jsou nabízeny ve dvou velikostech → počet možností krát 2!

kontrola možností na tabuli (tabulka)

(22)

22

POMŮCKY: pracovní list s tabulkou, obrázky surovin;

ŘEŠENÍ: tabulkou

V tabulce je znázorněno 16 možností přiobjednání surovin na pizzu. Víme, že restaurace nabízí 2 velikosti pizz, celkových možností je tedy: 16 ∙ 2 = 32 Odp.: Zákazník si může vybrat z 32 různých typů pizzy.

(23)

23

7. NÁSTROJE

V hodině Hudební výchovy rozdala paní učitelka pěti žákům různé nástroje. Mají doprovodit písničku tak, aby se střídali, ale aby vždy hráli najednou pouze tři z nich.

Kolik najdeš takových trojic?

(záměrně v zadání neuvádím konkrétní nástroje – doplnit dle toho, co máme ve škole k dispozici)

CÍL: propedeutika pojmu kombinace; kombinujeme různé trojice nástrojů z pěti nabízených, řešení s využitím experimentu, rozvoj systematického řešení;

MOTIVACE: hra na skutečné nástroje; zpěv písně METODY:

experimentální činnost: vybraní žáci hrají na nástroje, zbytek třídy jim radí, kdo má právě hrát, poté lze zazpívat píseň s doprovodem nástrojů

žáci samostatně řeší úlohu (nástroje necháme položené na viditelném místě), sledujeme využité řešitelské strategie žáků (vypisování trojic, tabulka, kreslení nástrojů,…)

POMŮCKY: pět různých nástrojů (dle možností), vhodné např. Orffovy rytmické nástroje (triangl, tamburína, rolničky, dřívka, bubínek…);

ŘEŠENÍ:

výčtem možností:

Pokud by byly k dispozici nástroje: housle, piano, flétna, triangl, bubínek, pak existují tyto možnosti:

housle, piano, flétna housle, triangl, bubínek housle, piano, triangl piano, flétna, triangl housle, piano, bubínek piano, flétna, bubínek housle, flétna, triangl piano, triangl, bubínek housle, flétna, bubínek flétna, triangl, bubínek Výčtem různých trojic jsme objevili 10 možností.

(24)

24

tabulkou:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

housle X X X X X X

piano X X X X X X

flétna X X X X X X

triangl X X X X X X

bubínek X X X X X X

početně:

Hledám trojice z pěti prvků, na pořadí nezáleží, jde tedy o kombinace:

Odp.: Existuje deset různých trojic nástrojů z pěti nabízených.

(25)

25

8. MYŠ A SÝR

Kolika způsoby se může dostat myška (z bodu A) chodbičkami ke kusu sýru (do b. B) A) pokud může běžet jen dolů nebo doprava?

B) pokud může běžet jakkoli, ale nesmí proběhnout dvakrát stejnou uličku?

CÍL: rozvoj řešitelských strategií (hledání různých cest z bodu A do bodu B), rozvoj orientace ve čtvercové síti, seznámení s jednoduchým bludištěm; propedeutika kombinatorického pravidla součtu, permutace s opakováním; rozvoj

systematičnosti;

MOTIVACE: bludiště, tematika;

METODY:

samostatné hledání různých možností, k dispozici kopie s obrázkem bludiště lze využít prostěradlo s nakresleným bludištěm, rozložit ho na zem a nechat žáky hledat cesty osobně

POMŮCKY: kopie s obrázkem bludiště, prostěradlo ŘEŠENÍ:

bod A: Kolika způsoby se může dostat myška (z bodu A) chodbičkami ke kusu sýru (do bodu B) pokud může běžet jen dolů nebo doprava?

A

B

(26)

26

graficky:

Odp.: Existuje 6 různých způsobů, kudy může myška k sýru, pokud běží pouze dolů nebo doprava.

bod B: Kolika způsoby se může dostat myška (z bodu A) chodbičkami ke kusu sýru (do bodu B) pokud může běžet jakkoli, ale nesmí proběhnout dvakrát stejnou uličku?

 k předešlým šesti cestám přidáme dalších deset (zde může běžet doleva i nahoru):

Odp.: Pokud může myška k sýru běžet jakkoli, aniž by běžela dvakrát stejnou uličkou, pak existuje 16 různých způsobů.

(27)

27

9. PETR NA KOLE

Petr jede na kole na koupaliště.

A) Zkus najít co nejvíce možností, kudy může Petr jet (na žádné místo se nevrací podruhé).

B) Spočítej, která z možných cest je nejkratší a která nejdelší.

CÍL: orientace v plánku, rozvoj řešitelských strategií;

nalezení nejdelší a nejkratší cesty (součet desetinných čísel);

MOTIVACE: situace z reálného života, počítání s pomocí obrázku;

METODY:

seznámení žáků s plánkem; záchytné body: dům (tady Petr bydlí), kostel, jabloň, škola, les, koupaliště

skupinová práce: hledání a zaznamenávání různých cest, počítání délky cest společná kontrola (s využitím tabule)

(28)

28

dům

kostel

koupaliště jabloň

koupaliště

škola les koupaliště

jabloň

koupaliště

kostel koupaliště

škola les koupaliště

škola

jabloň

koupaliště

kostel koupaliště les koupaliště

POMŮCKY: plánek pro každého žáka, barevné pastelky (fixy), barevné křídy (v případě kontroly z tabule)

ŘEŠENÍ:

bod A: Zkus najít co nejvíce možností, kudy může Petr jet.

 provedeme výčet všech cest a využijeme záchytných bodů:

1. dům – kostel – koupaliště

2. dům – kostel – jabloň – koupaliště

3. dům – kostel – jabloň – škola – les – koupaliště 4. dům – jabloň – kostel – koupaliště

5. dům – jabloň – koupaliště

6. dům – jabloň – škola – les – koupaliště 7. dům – škola – jabloň – kostel – koupaliště 8. dům – škola – jabloň – koupaliště

9. dům – škola – les – koupaliště

 můžeme také využít logický strom možností:

Odp.: Petr může jet na koupaliště devíti různými způsoby.

bod B: Spočítej, která z cest je nejkratší a která nejdelší.

(29)

29

 K předchozím cestám přidáme kilometry a vytvoříme příklady:

1. dům – kostel – koupaliště 0,6 + 0,7 = 1,3 km

2. dům – kostel – jabloň – koupaliště 0,6 + 0,5 + 0,9 = 2 km

3. dům – kostel – jabloň – škola – les – koupaliště 0,6 + 0,5 + 0,3 + 0,5 + 0,7 = 2,6 km 4. dům – jabloň – kostel – koupaliště

0,5 + 0,5 + 0,7 = 1,7 km 5. dům – jabloň – koupaliště

0,5 + 0,9 = 1,4 km

6. dům – jabloň – škola – les – koupaliště 0,5 + 0,3 + 0,5 + 0,7 = 2 km

7. dům – škola – jabloň – kostel – koupaliště 0,8 + 0,3 + 0,5 + 0,7 = 2,3 km 8. dům – škola – jabloň – koupaliště 0,8 + 0,3 + 0,9 = 2 km 9. dům – škola – les – koupaliště 0,8 + 0,5 + 0,7 = 2 km

Odp.: Ze součtů je patrné, že nejkratší je cesta: dům – kostel – koupaliště (1,3 km). Naopak nejdelší možnou cestou je varianta: dům – kostel – jabloň – škola – les – koupaliště (2,6 km).

(30)

30

10. ČLOVĚČE, NEZLOB SE

Klárka s Vojtou hrají hru Člověče, nezlob se. Vojtovi se moc nedaří, ale Klárčina poslední figurka je už jen 5 políček od domečku. Hodila tedy poprvé (to se ještě do domečku nedostala), pak hrál Vojta. Posledním hodem Klárka zvítězila – její figurka se dostala do domečku. Co padlo Klárce na kostkách během těchto dvou hodů? Zkus najít všechny možnosti.

CÍL: propedeutika pojmu kombinace (různé kombinace dvou hodů, které vedou k posunutí o pět políček);

MOTIVACE: tematika (oblíbená hra);

METODY:

práce ve dvojicích: experimentování s kostkami, hledání kombinací dvou hodů vedoucích k posunutí o pět políček, zaznamenání možností

společná kontrola (zeptáme se všech na počet možností, poté je vypíšeme a porovnáme)

POMŮCKY: kostka pro každou dvojici, nákres situace pro každou dvojici;

ŘEŠENÍ:

 Klárka je pět políček před „domečkem“.

Po dvou hodech zvítězí. Co může být na kostce při těchto dvou hodech?

1 + 4 4 + 1 2 + 3 3 + 2

6 + 5 (poprvé „přehodila“ počet polí, takže zůstala na místě, druhým hodem se dostala rovnou do „domečku“)

Odp.: Klárce mohlo na kostkách padnout pět různých kombinací.

(31)

31

11. ČTVERCOVÁ SÍŤ

Kolika způsoby můžeme umístit barevné čtyřúhelníky do čtvercové sítě?

CÍL: propedeutika pojmu permutace (přeskupování útvarů ve čtvercové síti), kombinatorické pravidlo součinu, rozvoj systematičnosti

MOTIVACE: matematika „bez čísel“, hra s tvary a barvami;

METODY:

experimentální činnost skupin (k dispozici čtvercová síť, barevné čtyřúhelníky, kopie pro zaznamenávání možností), sledujeme žáky (zejména systematičnost) kontrola s využitím powerpointové prezentace či tabule (naznačíme systematiku řešení – umístění zeleného obdélníku, nemusíme znázorňovat všechny možnosti)

POMŮCKY: čtvercová síť, barevné čtyřúhelníky (z barevného papíru), kopie pro zaznamenávání možností, pastelky (fixy) – vše pro každou skupinu!

ŘEŠENÍ:

 graficky: pomůže nám systematický postup, kdy umístíme zelený obdélník a poté přeskupujeme tři čtverečky:

(32)

32

 početně:

po umístění zeleného obdélníku nám zbývá umístit 3 různé čtverečky do 3 políček, jde tedy o permutaci:

P(3) = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 možností

zelený obdélník lze umístit čtyřmi různými způsoby, pro každý nám vznikne nové uspořádání zbylých čtverečků, proto: P(3) ∙ 4 = 24 možností

Odp.: Barevné čtyřúhelníky lze do čtvercové sítě rozmístit 24 způsoby.

(33)

33

12. BLUDIŠTĚ

Kolika způsoby je možné projít toto bludiště?

Zkuste navrhnout vlastní jednoduché bludiště!

CÍL: rozvoj kombinatorického myšlení (orientace v jednoduchém bludišti, hledání možných cest), kombinatorické pravidlo součtu;

MOTIVACE: bludiště – matematika „bez čísel“;

METODY:

samostatná činnost žáků: experimentální hledání možných cest, kontrola na tabuli

skupinová práce – návrh vlastního bludiště, prezentace skupin, kontrola (využití tabule)

POMŮCKY: kopie s bludištěm (několikrát) ŘEŠENÍ: graficky

Odp.: Bludiště lze projít šesti způsoby.

(34)

34

13. FLORBALOVÝ TURNAJ

Ve škole se koná florbalový turnaj. Přihlásilo se do něj pět družstev: TUČŇÁCI, MISTŘI, PARTIČKA, SPRÁVNÁ PĚTKA a NEBOJSOVÉ. V turnaji si zahrají všechny týmy navzájem (každý s každým jednou). Kolik bude celkem zápasů?

CÍL: propedeutika pojmu kombinace – uvědomění si, že dva týmy spolu hrají jen jednou; rozvoj systematického řešení úloh, využití uzlového grafu a tabulkového zápisu utkání

MOTIVACE: sportovní tematika METODY:

samostatné řešení žáků ve dvojicích/trojicích

společná kontrola, vysvětlení, seznámení s různými řeš. strategiemi možnost uspořádat florbalový miniturnaj v rámci hodiny TV a nechat žáky zaznamenávat výsledky do tabulky

POMŮCKY: papír/sešit, psací potřeby, popř. pravítko pro narýsování tabulky, míč (TV) ŘEŠENÍ: užitím uzlového grafu

Turnaje se účastní 5 týmů, proto bude v grafu 5 uzlů.

Spojnice mezi grafy představují odehrané zápasy.

Víme, že „každý s každým“ hraje pouze jednou.

Nejprve si ukažme, které zápasy bude hrát jeden z týmů, např. TUČŇÁCI:

Z obrázku je zřejmé, že Tučňáci odehráli 4 zápasy.

Nyní doplníme ostatní odehrané zápasy (spojnice mezi týmy):

(35)

35

Když spočítáme spojnice mezi všemi týmy, zjistíme celkový počet odehraných zápasů. Spojnic je 10. Celkem bylo odehráno 10 zápasů.

tabulkou:

Musíme si uvědomit, že v tabulce jsou zápasy, které nemohly být nikdy odehrány. Jde o takové, kdy by měl hrát jeden tým sám se sebou. Tato okénka proškrtáme.

Nyní nám v tabulce zbývá 20 volných okének. Je toto správný počet odehraných zápasů? Zkusme to ověřit. Vezměme si například vzájemný zápas týmů Mistři a Nebojsové. Předpokládejme, že Nebojsové zvítězili nad Mistry 5 : 3. Jak se tato informace objeví v tabulce? Znázorníme:

(36)

36

V tabulce vidíme, že jeden odehraný zápas se do tabulky píše dvakrát, a to z pohledu obou týmů. Pokud je tedy 20 volných okének, kolik bude

odehraných zápasů?

20 : 2 = 10 Celkem bylo odehráno 10 zápasů.

výpis všech možností

Odehrané zápasy si můžeme také jednoduše vypsat. Abychom se v zápise dobře orientovali, vybereme vždy jeden tým a vypíšeme všechny zápasy, které odehrál. U dalších týmů již vzájemný souboj s předešlými týmy neuvádíme:

TUČŇÁCI: Tučňáci : Mistři Tučňáci : Partička Tučňáci : Správná pětka Tučňáci : Nebojsové MISTŘI: Mistři : Partička

Mistři : Správná pětka Mistři : Nebojsové PARTIČKA: Partička : Správná pětka

Partička : Nebojsové

(37)

37

SPRÁVNÁ PĚTKA: Správná pětka : Nebojsové NEBOJSOVÉ: Již hráli se všemi týmy!

Celkem bylo odehráno 10 zápasů.

početně – užitím kombinatorických vztahů

Jde o kombinace dvou týmů z pěti (bez opakování). Pro výpočet využijeme kombinačních čísel:

(38)

38

14. MARUŠKA PLATÍ

Maruška má zaplatit 11 Kč. Jak může složit přesnou částku, když má v kapse PĚTIKORUNY, DVOUKORUNY a KORUNY? NAJDI VŠECHNY ZPŮSOBY! Může použít všechny druhy mincí, nebo jen některé.

CÍL: uvědomění si využití matematiky v běžném životě, rozvoj kombinatorického myšlení hledáním vhodných kombinací mincí, rozvoj řešitelských strategií

MOTIVACE: tematika, hra „na obchod“

METODY:

využití papírových mincí (možné si je vyrobit v rámci VV, či nakopírovat) učitel představuje prodavače a obchází jednotlivé žáky, kteří si mají připravit 11 Kč k zaplacení, poté některé vyzve, aby ostatním sdělili, jak složili danou částku – lze zapsat několik příkladů na tabuli… Vidíme, že existuje více možností, jak zaplatit 11 Kč

poté zkusí žáci z papírových mincí skládat samostatně 11 Kč jinými způsoby (popř. je i zaznamenávají)

kontrola na tabuli, nalezení počtu všech možností

POMŮCKY: papírové mince (nakopírované, vytvořené žáky) – možná příprava v rámci VV

ŘEŠENÍ: tabulkou Možnost, jak

složit částku 11 Kč Pětikoruny dvoukoruny koruny

1. 2 0 1

2. 1 3 0

3. 1 2 2

4. 1 1 4

5. 1 0 6

6. 0 5 1

7. 0 4 3

8. 0 3 5

9. 0 2 7

10. 0 1 9

11. 0 0 11

Maruška může složit částku 11 Kč jedenácti způsoby.

(39)

39

početně:

barevně si označíme cifry vyjadřující pětikoruny, dvoukoruny a koruny:

5 . 2 + 2 . 0 + 1 . 1 = 11 5 . 1 + 2 . 3 + 1 . 0 = 11 5 . 1 + 2 . 2 + 1 . 2 = 11 5 . 1 + 2 . 1 + 1 . 4 = 11 5 . 1 + 2 . 0 + 1 . 6 = 11 5 . 0 + 2 . 5 + 1 . 1 = 11 5 . 0 + 2 . 4 + 1 . 3 = 11 5 . 0 + 2 . 3 + 1 . 5 = 11 5 . 0 + 2 . 2 + 1 . 7 = 11 5 . 0 + 2 . 1 + 1 . 9 = 11 5 . 0 + 2 . 0 + 1 . 11 = 11

pozn.: Úloha rozvíjí řešitelské strategie (různé metody řešení; úlohu můžeme řešit různými způsoby, ale ne každý je vždy výhodný; rozvíjení systematičnosti v řešení)

graficky:

Jaké typy mincí má Maruška k dispozici?

Znázorníme všechny možností složení částky 11 Kč:

Nejprve použijeme nejvyšší možné mince. Jednu z pětikorun nahradíme nejvyššími možnými mincemi. Všechny koruny nahradíme dvoukorunami, atd. Můžeme využít i řešení logickým stromem možností (viz další strana).

1 2 5

(40)

40 logický strom možností

11 Kč

zaznamenání všech možností

(41)

41

15. ROZVRH HODIN

Paní učitelka připravuje rozvrh na pondělí. Žáci budou mít tyto předměty: ČESKÝ JAZYK, MATEMATIKU, TĚLESNOU VÝCHOVU, ANGLICKÝ JAZYK a HUDEBNÍ VÝCHOVU. Pan ředitel rozhodl, že ANGLICKÝ JAZYK musí být druhou hodinu a TĚLESNÁ VÝCHOVA pátou hodinu. KOLIK RŮZNÝCH ROZVRHŮ na pondělí může paní učitelka sestavit?

CÍL: propedeutika permutací, rozvoj práce s informacemi

MOTIVACE: propojení úlohy se známým prostředím, problematika tvorby rozvrhu METODY: samostatné řešení úlohy – hledání a zaznamenávání různých možností

uspořádání předmětů (lze využít kartičky), kontrola ve skupině, společné shrnutí výsledků

POMŮCKY: lze využít pět kartiček se zkratkami předmětů – experimentální hledání možností

ŘEŠENÍ: tabulkou:

využijeme zkratky předmětů, pevně dané předměty označíme barevně:

1. 2. 3. 4. 5.

ČJ

AJ

M HV

TV

ČJ HV M

HV ČJ M

HV M ČJ

M ČJ HV

M HV ČJ

Z tabulky je zřejmé, že existuje 6 možností sestavení rozvrhu na pondělí.

početně – užitím kombinatorických vztahů:

Dva předměty jsou pevně dané, zbývá nám do rozvrhu umístit 3. Vybíráme tedy 3 předměty do tří volných okének. Jde o permutaci!

P(3) = 3! = 3 2 1 = 6

(42)

42

16. PONOŽKY

Šimon má v šuplíku MODRÉ a ČERVENÉ ponožky. NÁHODNĚ ze šuplíku vytáhl TŘI ponožky. Má Šimon jistotu, že drží v ruce PÁR STEJNÝCH PONOŽEK?

Pozn.: inspirováno učebnicí Prodos, 2. díl Modré řady, str. 18, cv. 2.

CÍL: rozšiřování žákovského povědomí o úlohách s pravděpodobnostním charakterem, rozvoj logického myšlení

MOTIVACE: experiment se skutečnými ponožkami METODY:

společné řešení problému (v kruhu na koberci apod.), zeptáme se nejprve žáků, zda má Šimon jistotu vytaženého páru. Poté žáci náhodně (zavřené oči) vytahují z tašky či košíku tři ponožky – připravíme dle možností (lze změnit barvy – např. bílé a černé ponožky). Společně sledujeme, jaké ponožky byly vytaženy. Pak lze všechny čtyři možnosti vytažených ponožek vyrovnat na koberec (viz grafické řešení). Tím dospějeme k závěru, že Šimon si mohl být jistý.

POMŮCKY: taška/košík, alespoň dva páry ponožek od každé barvy (tj. 4 modré a 4 červené)

ŘEŠENÍ: experimentem (popř. graficky)

šuplík je plný modrých a červených ponožek, Šimon náhodně vybere 3 ponožky, jaké jsou varianty?

U vytahování ponožek nezáleží na pořadí!

Má Šimon jistotu, že drží v ruce pár stejných ponožek?

ANO, Šimon si může být zcela jistý, že drží v ruce pár stejných ponožek.

úvahou

Když má Šimon v šuplíku modré a červené ponožky a vytáhne náhodně tři z nich, pak má v ruce zcela jistě dvě stejné ponožky.

(43)

43

17. MOTÝLÍ KŘÍDLA

Kolika způsoby lze vybarvit motýla na obrázku, pokud můžeš použít jen červenou a žlutou barvu? Barvy mohou být uspořádány jakkoliv.

CÍL: propedeutika pojmu variace, rozvoj orientace v rovině (pravé – levé, horní – dolní křídlo)

MOTIVACE: matematika bez čísel – hra s barvami METODY:

samostatné vybarvování – porovnání ve skupince, společné shrnutí lze využít barevné papíry, vystříhat si čtyři červená a čtyři žlutá křídla a skládat možné variace, poté nám křídla mohou posloužit k výzdobě třídy (motýlci na oknech)

POMŮCKY: pastelky, popř. barevné papíry, nůžky, lze vytvořit pracovní list s natištěným motýlem

ŘEŠENÍ: graficky

(44)

44

Pozn.: Zadáním je myšleno, že křídla budou jednobarevná, některý z žáků by ale mohl začít vybarvovat křídla různými vzory (pruhovaně, puntíky, apod.). Takovýchto možností využití dvou barev by bylo nespočetně mnoho. Oceníme žákovu tvořivost a můžeme vyzvat ostatní žáky, aby hledali další možnosti a vzory. Poté si je společně prohlédneme.

početně (kombinatorické pravidlo součinu):

Motýl má čtyři křídla, každé křídlo lze vybarvit dvěma barvami, tedy:

2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16

početně (užitím kombinatorických vztahů):

tvoříme čtveřice ze dvou prvků (barev), které se mohou opakovat, jde o variace s opakováním:

V´(k,n) = n^k V´(4,2) = 2⁴ = 16

Odp.: Motýla lze vybarvit šestnácti způsoby.

(45)

45

18. CO NA SEBE?

Sára se rozhoduje, co si vezme na sebe. Vyndala ze skříně čtyři trička, dvě sukně a jedny kalhoty. Jak se může Sára obléknout? Vezme si buď jen kalhoty, nebo jen sukni, ne obojí!

Pozn.: inspirováno učebnicí Prodos, 2. díl Modré řady, str. 18, cv. 1 CÍL: vytváříme povědomí o kombinatorickém pravidle součinu MOTIVACE: tematika, neobvyklé pomůcky - oblečení

METODY:

doneseme do školy opravdové kusy oblečení (vyprané!), žáci ve

skupinkách tvoří možné „modely“, mohou je doopravdy skládat, oblékat či zaznamenávat graficky – rozvíjíme různé způsoby grafického záznamu (viz řešení)

lze využít dámské časopisy, vystříhat obrázky oblečení a nechat žáky opět experimentovat (ve dvojicích až čtveřicích) a zaznamenávat kombinace další možností je využití panenek a oblečků, pokud máme nějaké k dispozici (či vyzvat dívky, aby přinesly z domu)

poté rozvíjíme i početní zápis všech kombinací oblečení – lze společně, tabule

POMŮCKY: dle zvolené metody – opravdové kusy oblečení, dámské/módní časopisy, kde lze nalézt obrázky oblečení, panenka a oblečky, ke

grafickému záznamu pastelky ŘEŠENÍ: graficky

Máme k dispozici: 4 trička, 2 sukně, 1 kalhoty

Jaké kombinace můžeme z těchto kusů oblečení vytvořit?

(46)

46

pomocí uzlového grafu

každému kusu oblečení přidělíme značku:

trička:

sukně:

kalhoty:

Spojnice mezi značkami představují různé kombinace oblečení.

početně

Počet modelů tričko + sukně lze vyjádřit příkladem: 4 ∙ 2 = 8 Počet modelů tričko + kalhoty lze vyjádřit takto: 4 ∙ 1 = 4

Celkem je tedy: 8 + 4 = 12 možností početně (kombinatorické pravidlo součinu)

Pro každou kombinaci oblečení volím 1 tričko ze 4 možných a jednu sukni (či kalhoty) ze tří možností, tedy:

4 ∙ 3 = 12

Odp.: Sára se může obléknout dvanácti způsoby.

(47)

47

19. PIŠKVORKY

V turnaji piškvorek se proti sobě utkaly dva trojčlenné týmy. Každý člen z jednoho týmu si zahrál se všemi členy druhého týmu. Kolik bylo celkem odehraných zápasů?

Pozn.: inspirováno učebnicí Prodos, 3. díl Modré řady, str. 3, cv. 2

CÍL: rozvoj povědomí o kombinatorickém pravidle součinu, rozvoj řešitelských strategií

MOTIVACE: tematika, hra piškvorek (třídní turnaj) METODY:

necháme žáky řešit samostatně a sledujeme zvolené řešitelské strategie, společně je pak zaznamenáme na tabuli, žáci vysvětlují ostatním, jak řešili úlohu

uspořádáme piškvorkový turnaj, zaznamenáváme výsledky do tabulky počítáme úlohu při různém počtu hráčů v týmech, sledujeme, jak se to projeví na počtu odehraných zápasů – společná diskuse, zaznamenání na tabuli.

POMŮCKY: čtverečkové papíry pro hru piškvorek ŘEŠENÍ: tabulkou

Členy prvního týmu si označíme A, B, C, členy druhého týmu 1, 2, 3.

výčtem možností

Pokud si pojmenujeme hráče prvního týmu A, B, C a hráče druhého týmu 1, 2, 3, pak lze odehrané zápasy zapsat následovně:

A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3

1 2 3

A ● ● ●

B ● ● ●

C ● ● ●

(48)

48

užitím uzlového grafu

Hráčům přiřadíme značky:

hráči 1. týmu hráči 2. týmu

Spojnice mezi hráči představují odehrané zápasy.

početně (kombinatorické pravidlo součinu)

V každém týmu jsou tři hráči, každý hráč prvního týmu si zahraje se všemi hráči ze druhého týmu, tedy: 3 ∙ 3 = 9

Odp.: Celkem bylo odehráno 9 zápasů.

(49)

49

20. KULIČKA V BLUDIŠTI

Kolika způsoby se dostane červená kulička ven z bludiště? Nikdy neprojde dvakrát stejnou cestou.

CÍL: rozvoj orientace v rovině, rozvoj řešitelských strategií MOTIVACE: bludiště

METODY: samostatné hledání různých řešení, společná kontrola, diskuse o použitých metodách řešení (kdo si překreslil bludiště?, kdo využíval barvy? kdo si to jen představoval v duchu a počítal cesty? apod.)

POMŮCKY: kopie bludiště pro každého žáka ŘEŠENÍ: graficky

(50)

50