Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 3
Linjärt, tidsinvariant system (LTI-system)
Faltning
– Formel och räkneteknik
Fourieranalys med Fouriertransformen
– Fourierserie => Fouriertransform
– Fouriertransformens tolkning, definition, och åskådliggörande
– Fouriertransformens egenskaper
Teori: Kompendiet 1.5, 1.3, 1.6
Maria Magnusson, Datorseende, Inst. för Systemteknik, Linköpings Universitet
Egenskaper hos ett linjärt, tidsinvariant system (LTI)
𝑥 𝑡 LTI-system 𝑦 𝑡
Linjäritet:
Antag att insignalerna x1(t) och x2(t) ger utsignalerna y1(t) och y2(t). Om då insignalen A x1(t) + B x2(t) ger utsignalen A y1(t) + B y2(t) är systemet linjärt.
Tidsinvarians:
Antag att insignalen x(t) ger utsignalen y(t).
Om då insignalen x(t+T) ger utsignalen y(t+T) är systemet tidsinvariant.
Ganska självklara krav, eller hur?
p. 2
Ett linjärt, tidsinvariant system gör faltning
𝑥 𝑡 ℎ 𝑡 𝑦 𝑡
𝑦 𝑡 𝑥 ∗ ℎ 𝑡 𝑥 𝜏 ⋅ ℎ 𝑡 𝜏 𝑑𝜏 1.39
𝑦 𝑡 ℎ ∗ 𝑥 𝑡 ℎ 𝜏 ⋅ 𝑥 𝑡 𝜏 𝑑𝜏 1.41 Lättare att förstå i Fourier (frekvens) domänen, där det motsvarar multiplikation, (se fö3 slutet, fö4).
Formellt bevis kommer att ges längre fram
.
p. 3
Fig. 1.11b
Kommutativ!
systemets im- pulssvar h(t), se nästa slide
Extra viktigt
!
Impulssvaret h(t)
𝛿 𝑡 ℎ 𝑡
𝛿 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 𝛿 𝜏 ⋅ ℎ 𝑡 𝜏 𝑑𝜏 ℎ 𝑡 1.40
h(t) är systemets svar på dirac-impulsen, alltså impulssvaret!
Faltning med dirac-funktionen påverkar inte h(t).
p. 4
Fig. 1.11a ℎ 𝑡
Faltning illustrerad
Fig. 1.12
𝑦 𝑡 ℎ 𝜏 ⋅ 𝑥 𝑡 𝜏 𝑑𝜏
Faltningsexempel)
Fortsättning på nästa sida…
p. 7
Fortsättning på nästa sida…
p. 8
Fortsättning på nästa sida…
Faltningsexempel forts.)
p. 9
Från Fö2: 3 alternativa skrivsätt av Fourierserien
𝜔 2𝜋/𝑇
1 𝑥 𝑡 𝐴 𝐴 cos 𝑛𝜔 𝑡 𝐵 sin 𝑛𝜔 𝑡
2 𝑥 𝑡 𝐴 𝐶 cos 𝑛𝜔 𝑡 𝜑
3 𝑥 𝑡 𝐷 𝑒
amplitud fas
𝐴 1
𝑇 𝑥 𝑡 𝑑𝑡
/
/
3.17 𝑥 𝑡 𝐴 𝐴 cos 𝑛𝜔 𝑡 𝐵 sin 𝑛𝜔 𝑡
𝐴 1
2 𝐴 𝑗𝐵 𝑒 𝐴 𝑗𝐵 𝑒
Sätt 𝐴 𝐴 , 𝐵 𝐵
𝐴 1
2 𝐴 𝑗𝐵 𝑒 𝐴 𝑗𝐵 𝑒
𝐷 𝑒 där 𝐷 1
2 𝐴 𝑗𝐵 , 𝑛 0 𝐷 𝐴
Summa av positiva och negativa frekvenser
Härledning av nummer 3)
1
3
p. 11
Vad menas med en negativ vinkelfrekvens -ω 0 i
exponenten exp(-jnω 0 t)??
Härledningen på förra sidan ger också:
𝐴 cos 𝑛𝜔 𝑡 𝐵 sin 𝑛𝜔 𝑡
fö2: ,
𝐷 𝑒 𝐷 𝑒
p. 12
2 exponential-funktioner med vinkelfrekvenserna nω0och -nω0motsvarar
alltså en cosinus med vinkelfrekvensen nω0och fasen -n.
Koefficient Bn:
En signal och dess fourierserie 1
Koefficient An:
1
𝑡 𝑇
2 𝜋⁄
delton nr 4
1 2
3
6 5
𝜋 Ökande frekvens
𝑥 𝑡 1, 𝑇
4 𝑡 𝑛𝑇 𝑇
0, för övrigt 4
𝑥 𝑡 2
𝜋 𝜋
4 cos 𝜔 𝑡 1
3cos 3 𝜔 𝑡 1
5cos 5 𝜔 𝑡 . . .
4
1 2 3 5 6
delton nr
En signal och dess fourierserie 2
Amplitud Cn:
Fas n:
1
𝑡 𝑥 𝑡 1, 𝑇 𝑇
4 𝑡 𝑛𝑇 𝑇
0, för övrigt 4
𝑥 𝑡 2
𝜋 𝜋
4 cos 𝜔 𝑡 1
3cos 3 𝜔 𝑡 1
5cos 5 𝜔 𝑡 . . .
2 𝜋⁄
delton nr 4
1 2 3 5 6
𝜋 Ökande frekvens
4
1 2 3 5 6
delton nr
Imaginärdel Dn:
En signal och dess fourierserie 3
Realdel Dn:
p. 15
1
𝑡 𝑥 𝑡 1, 𝑇 𝑇
4 𝑡 𝑛𝑇 𝑇
0, för övrigt 4
𝑥 𝑡 2
𝜋 𝜋
4 cos 𝜔 𝑡 1
3cos 3 𝜔 𝑡 1
5cos 5 𝜔 𝑡 . . .
2 𝜋⁄
delton nr 4
1 2
3
6 5
Ökande frekvens 4
1 2 3 5 6
delton nr
Fourierserie => Fouriertransform då periodtiden
𝑥 𝑡 𝐷 𝑒
𝐷 1
𝑇 𝑥 𝑡
/
/
𝑒 𝑑𝑡
𝑇 → ∞
𝑥 𝑡 1
𝑇𝜔 𝑥 𝑡
/
/
𝑒 𝑑𝑡 𝑒 𝜔
Sätt in den undre ekvationen i den övre:
Vi börjar med Fourierserien på komplex form:
p. 16
Fourierserie => Fouriertransform
𝑥 𝑡 1
𝑇𝜔 𝑥 𝑡
/
/
𝑒 𝑑𝑡 𝑒 𝜔
Fourier- koefficient!
𝑥 𝑡 1
2𝜋 𝑥 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 𝑒 𝑑𝜔
Fourier- transform!
𝑇 2𝜋
𝜔 → ∞ ⇒
𝜔 → 𝑑𝜔 𝑛𝜔 → 𝜔
𝑇𝜔 2𝜋
→
Summan övergår i en integral!
Fouriertransform, definition
Fouriertransform
ℑ 𝑥 𝑡 𝑋 𝜔 𝑥 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 1.15
ℑ 𝑋 𝜔 𝑥 𝑡 1
2𝜋 𝑋 𝜔 𝑒 𝑑𝜔 1.16
Inverse Fouriertransform
Imaginärdel X(ω):
En signal och dess fouriertransform
Realdel X(ω):
1
𝑇 𝑡
𝑇 2⁄
4𝜋 𝜔 𝑇
𝜔
𝑥 𝑡 1, 𝑇
4 𝑡 𝑇
0, för övrigt 4
𝑋 𝜔 𝑇
2sinc 𝜔𝑇/4𝜋
p. 19
Fouriertransform, tolkning
Fouriertransformen kan beskriva
frekvensinnehållet i en icke-periodisk signal.
Kom ihåg: 2 exponential-funktioner med vinkel- frekvenserna ω
0och -ω
0motsvarar en cosinus med vinkelfrekvensen ω
0och fasen
n.
Lite slarvigt uttryckt kan fouriertransformen nästan ses som ett basbyte.
Längre fram (på fö 5) ska vi tala om den diskreta fouriertransformen. Där är det helt korrekt att tala om ett basbyte.
p. 20
Fouriertransform, alternativ definition
Fouriertransform
ℑ 𝑥 𝑡 𝑋 𝑓 𝑥 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 1.17
ℑ 𝑋 𝑓 𝑥 𝑡 𝑋 𝑓 𝑒 𝑑𝑓 1.18
Invers Fouriertransform
Sätt: 𝜔 2𝜋𝑓
Fouriertransformen kan
beräknas på två sätt...
Genom att evaluera integralen (se Ex 1, p.23)
Genom att använda tabellerade funktioner och teorem
(se Ex 2, p.33)
Extra viktigt!
Ex1)
p. 23
Att åskådliggöra fouriertransformen
Amplitud- och fasspektrum
𝑋 𝑓 Re 𝑋 𝑓 𝑗 Im 𝑋 𝑓 𝐴 𝑓 𝑒 1.22
𝐴 𝑓 𝑋 𝑓 , Φ 𝑓 arg 𝑋 𝑓 1.23 1.24
Energispektrum
𝑋 𝑓p. 24
Att åskådliggöra fouriertransformen
Fig. 1.5 Extra viktigt!
En reell signal x(t) har en hermi- tisk fouriertransform:
Jämn funktion
Udda funktion
Im 𝑋 𝜔 Im 𝑋 𝜔
Re 𝑋 𝜔 Re 𝑋 𝜔
𝑋 𝜔 𝑋
∗𝜔
Egenskaper för en reell signals Fouriertransform
En reell signal har en fouriertransform med jämn realdel och udda imaginärdel (hermitisk).
En jämn, reell signal har en jämn, reell fouriertransform.
En udda, reell signal har en udda, imaginär fouriertransform.
Jämför med den tidigare slide: ”Att åskådliggöra fouriertransformen” och fig. 1.6. i kompendiet, nästa slide.
En reell signal har ett jämnt amplitudspektrum och ett udda fasspektrum.
Jämför med den tidigare ”slide”: ”Att åskådliggöra fouriertransformen”.
p. 27
Egenskaper för en reell signals Fouriertransform
Fig. 1.6 𝑓
𝑓
𝑓 𝑡
𝑡
𝑡
𝐺 𝑓 𝐺 𝑓 ∗
𝑔 𝑡
p. 28
Fouriertransformens egenskaper
Linjäritet
Skiftteoremet, tid (translationsteoremet)
Skiftteoremet, frekvens
Skalningsteoremet
Faltningsteoremet
Multiplikationsteoremet
Derivatateoremet
Parsevals teorem
Extra viktigt!
Linjäritet
𝑥 𝑡 ⇔ 𝑋 𝜔
𝐶 𝑥 𝑡 𝐶 𝑥 𝑡 . . . ⇔ 𝐶 𝑋 𝜔 𝐶 𝑋 𝜔 . . . Om 𝑥 𝑡 och 𝑋 𝜔 är fourierpar kan vi skriva
Det gäller
där 𝐶 , 𝐶 , ... är konstanter.
1.44
Skiftteoremet, tid
(translationsteoremet)
Om 𝑥 𝑡 ⇔ 𝑋 𝜔 så gäller 𝑥 𝑡 𝑇 ⇔ 𝑒 𝑋 𝜔
Om 𝑥 𝑡 ⇔ 𝑋 𝜔 så gäller 𝑒 𝑥 𝑡 ⇔ 𝑋 𝜔 Ω
Skiftteoremet, frekvens
p. 31
1.45
Skalningsteoremet
Om 𝑥 𝑡 ⇔ 𝑋 𝜔 så gäller 𝑥 𝑎𝑡 ⇔ 1
𝑎 𝑋 𝜔 𝑎
Faltningsteoremet
Om 𝑥 𝑡 ⇔ 𝑋 𝜔 och 𝑦 𝑡 ⇔ 𝑌 𝜔
så gäller 𝑥 𝑡 ∗ 𝑦 𝑡 ⇔ 𝑋 𝜔 ⋅ 𝑌 𝜔
p. 32
1.43
1.46
