Optionsprissättning och monotona förhållanden i Binomialmodellen

U.U.D.M. Project Report 2020:34

Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare: Erik Ekström

Examinator: Martin Herschend Juni 2020

Department of Mathematics

Optionsprissättning och monotona förhållanden i Binomialmodellen

Emma Edvardsson

Sammanfattning

Optionspriss¨ attning med hj¨ alp av Binomialmodellen kan g¨ oras p˚ a oli-

ka s¨ att. Med tv˚ a ekvationer och tre parametrar kommer det finnas en

grad av frihet, och det ¨ ar just denna grad av frihet som ska unders¨ okas

i detta arbete. Syftet ¨ ar att hitta en monoton relation mellan options-

priset och volatiliteten. S˚ a att det f¨ or varje volatilitet finns en unik mo-

dell f¨ or optionspriset. Det kommer att g¨ oras genom att testa olika mo-

deller och parametriseringar. Till exempel genom att g¨ ora volatiliteten

konstant eller parametrisera tv˚ a variabler till varandra. Innan detta kun-

de g¨ oras beh¨ ovde definitionen av volatiliteten f¨ orenklas d˚ a det annars inte

var m¨ ojligt att hitta en monoton l¨ osning. Det ledde till tv˚ a satser som kan

bevisas. Den f¨ orsta ¨ ar att parametrisera en variabel u som en konstant s˚ a

att relationen mellan u, volatiliteten och optionpriset blir monotont. Den

andra satsen hittas genom att parametrisera u · d = 1 och f˚ ar d¨ armed en

monoton relation mellan volatilteten och optionspriset.

Inneh˚ all

1 Introduktion 4

2 Bakgrund 4

2.1 Optioner . . . . 4

2.2 Volatilitet . . . . 6

2.3 Binomialmodellen . . . . 6

2.4 Optionspriss¨ attning . . . . 9

3 Unders¨ oka den fria parametern 11 3.1 Konstant volatilitet . . . . 12

3.2 Konstant u . . . . 13

3.3 u · d = 1 . . . . 15

1 Introduktion

Att priss¨ atta optioner kan g¨ oras med m˚ anga olika metoder och modeller. En modell som kan anv¨ andas ¨ ar binomialmodellen som enkelt s¨ att g˚ ar ut p˚ a att en options v¨ arde antingen kan g˚ a upp med en sannolikhet p eller g˚ a ner med en sannolikhet p˚ a 1-p. En viktig variabel i binomialmodellen ¨ ar volatiliteten, som inneb¨ ar i enkel mening hur mycket en finansiell tillg˚ ang avviker fr˚ an sitt medelv¨ arde.

Genom att anv¨ anda binomialmodellen som metod f¨ or att priss¨ atta en option kommer tv˚ a ekvationer att defineras men med tre parametrar vilket ger oss en grad av frihet. Det ¨ ar just denna grad av frihet som ska unders¨ okas f¨ or att se hur optionspriset f¨ or¨ andras med avseende p˚ a parametrarna. Detta kan g¨ oras antingen genom att s¨ atta en variabel till en konstant eller parametrisera tv˚ a variabler till varandra. Genom att unders¨ oka optionspriset ska monotona relationer f¨ ors¨ oka hittas f¨ or att visa att f¨ or en viss variabel finns det endast ett potentiellt optionspris. Inspiration f¨ or denna unders¨ okning har tagits ifr˚ an Philip Ernst artikel On the arbitrage price of European call options(2017).

Unders¨ okningen av denna parameter av frihet kommer resultera i tv˚ a satser som sedan bevisas. Den f¨ orsta satsen hittas genom att s¨ atta u som en konstant och d¨ armed kommer optionspriset som en funktion av volatiliteten vara mo- noton. Den andra satsen hittas genom att parametrisera u · d = 1 vilket leder till att optionspriset som en funktion av u ¨ ar monoton. Men d˚ a volatiliteten som funktion av u ocks˚ a ¨ ar monoton kommer ¨ aven monotonicitet r˚ ada mellan optionspriset och volatiliteten. En viktig del i b˚ ada dessa satser ¨ ar att kon- traktfunktionerna, som ¨ ar en del av definitionen av optionspriset, m˚ aste vara konvexa.

F¨ or att f˚ a en f¨ orst˚ aelse f¨ or hur optionspris¨ attning och binomialmodellen fun- gerar b¨ orjar vi med bakgrundfakta.

2 Bakgrund

2.1 Optioner

F¨ or att f¨ orst˚ a inneb¨ orden av en option, anv¨ ander vi Bj¨ orks metod fr˚ an boken Arbitrage Theory in Continiuous Time(2009) f¨ or att konkretisera ett exempel.

Ett svenskt f¨ oretag har idag vid tiden t=0 signerat ett kontrakt med ett ame-

rikanskt f¨ oretag. Kontraktet inneb¨ ar att det amerikanska f¨ oretaget ska leverera

1000 datorer till det svenska f¨ oretaget om 6 m˚ anader ( t=T ), och f¨ oretaget ska

vid leverans betala 1000 US dollar per dator. V¨ axelkursen mellan kronan och

dollarn ¨ ar 8 kronor/dollar. Ett problem med detta kontrakt ¨ ar den valutarisk

som finns. D˚ a det svenska f¨ oretaget ¨ ar ovetandes om den framtida v¨ axelkursen

vet de inte hur m˚ anga kronor per dator de kommer att beh¨ ova betala. Om

v¨ axelkursen ¨ ar densamma, det vill s¨ aga 8 kronor/dollar, m˚ aste f¨ oretaget betala

totalt 8 000 000 kronor, men om v¨ axelkursen ¨ okar till 8.50 kronor/dollar kom-

mer summan bli 8 500 000 kronor. Hur kan det svenska f¨ oretaget skydda sig

mot valutarisken?

• Alternativ 1: De kan k¨ opa 1 000 000 dollar idag f¨ or 8 000 000 kronor och spara dessa i 6 m˚ anader fram tills leveransen av datorer. F¨ ordelen med denna strategi ¨ ar att valutarisken f¨ orsvinner helt. Detta alternativ kr¨ aver dock att f¨ oretaget m˚ aste binda en stor summa pengar under en l˚ ang tid, samt att detta kontrakt kr¨ aver att f¨ oretaget har tillg˚ ang till 8 000 000 kronor i dagsl¨ aget.

• Alternativ 2: En annan strategi som inte kr¨ aver utbetalning idag ¨ ar att det svenska f¨ oretaget v¨ ander sig till en forward market och k¨ oper ett for- ward kontrakt f¨ or 1 000 000 dollar. Ett s˚ ant kontrakt f¨ orhandlas med till exempel en bank, d¨ ar kontraktet inneb¨ ar att banken kommer betala ut 1 000 000 dollar vid t=T och att f¨ oretaget betalar med v¨ axelkursen K kronor/dollar. V¨ axelkursen best¨ ams allts˚ a vid tiden t=0 och f¨ oretaget f¨ ors¨ akrar sig mot valutarisken. Om K idag best¨ ams till 8.10 kronor/dollar f¨ or leverans om 6 m˚ anader betyder det att f¨ oretaget d˚ a kommer k¨ opa 1 000 000 dollar f¨ or 8 100 000 kronor oavsett vad v¨ axelkursen ¨ ar vid t=T.

Nackdelen med detta alternativ ¨ ar att kontraktet ¨ ar bindande.

– Om v¨ axelkursen vid t=T ¨ ar 8.20 kronor/dollar s˚ a kommer de svenska f¨ oretaget att gynnas d˚ a de p˚ a grund av kontraktet kan k¨ opa dollar f¨ or 8.10 kronor/dollar. De har allts˚ a gjort en indirekt vinst p˚ a (8.20−

8.10) ∗ 1000000 = 100000 kronor.

– Om v¨ axelkursen vid t=T ist¨ allet ¨ ar 7.90 kronor/dollar kommer f¨ oretaget

¨ and˚ a beh¨ ova k¨ opa dollar med v¨ axelkursen 8.10kronor/dollar. Vilket ger en indirekt f¨ orlust med (8.10 − 7.90) ∗ 1000000 = 200000 kronor.

Det mest gynsamma f¨ or det svenska f¨ oretaget skulle vara ett kontrakt som skyddar mot en h¨ og v¨ axelkurs vid t=T samtidigt som den till˚ ater f¨ oretaget att ta f¨ ordel av en eventuell l˚ ag v¨ axelkurs. S˚ adana kontrakt finns och kallas f¨ or option

Definition 1. En k¨ opoption med summan av X US dollar med best¨ amd v¨ axelkurs K kronor/dollar och utgivningsdatum t = T ¨ ar ett kontrakt skrivet vid tidpunk- ten t = 0 och har f¨ oljande proportioner:

• Avtalshavaren har vid exakt tidpunkt t=T r¨ atten att k¨ opa X US dollar till priset av K kronor/dollar.

• Avtalshavaren av optionen har ingen skyldighet att k¨ opa dollarn.

Denna situation medf¨ or att det svenska f¨ oretaget kan f¨ ors¨ akra sig mot valu- tarisken genom att k¨ opa en option som ger dem 1 000 000 dollar om sex m˚ anader f¨ or priset, till exempel, 8.00 kronor/dollar. S¨ ag att v¨ axelkursen om sex m˚ anader

¨ ar 8.20. F¨ oretaget kan d˚ a v¨ alja att l¨ osa in optionen och k¨ opa dollar f¨ or 8.00

kronor/dollar ist¨ allet. Skulle v¨ axelkursen ist¨ allet bli l¨ agre ¨ an 8.00 kronor/dollar

kan f¨ oretaget v¨ alja att inte l¨ osa in optionen.

En k¨ opoption ger innehavaren r¨ atten att k¨ opa det underliggande objektet medan en s¨ aljoption ger innehavaren r¨ att att s¨ alja objektet. Det finns tv˚ a olika sorters optioner, Europeisk option och Amerikansk option. Skillnaden mellan dessa ¨ ar att en Europeisk option bara kan l¨ osas in det exakta datumet som st˚ ar i kontraktet medan en Amerikansk option ger innehavaren r¨ att att l¨ osa in kontraktet innan det datumet som ¨ ar satt. Optioner av m˚ anga variationer och med olika underliggande objekt byts p˚ a marknader v¨ arlden ¨ over. Det finns m˚ anga optioner f¨ or ett specifikt objekt men med olika datum och priser.

2.2 Volatilitet

Enligt Avanzas hemsida ¨ ar volatilitet ett begrepp som beskriver hur mycket en finansiell tillg˚ ang, till exemplet en aktie, varierar eller avviker fr˚ an medelv¨ ardet.

Detta ben¨ amns oftast i procent. Genom att granska en akties volatilitet f˚ ar man veta hur mycket sv¨ angningar aktien kommer ha i det korta perspektivet.

En h¨ og volatilitet betyder att kursen kommer att sv¨ anga mycket och att priset kommer r¨ ora p˚ a sig mycket, vilket kan vara b˚ ade en m¨ ojlighet och en risk. En l˚ ag volatilitet tyder p˚ a att den sv¨ anger lite och dess pris kommer ha mindre r¨ orelser.

En h¨ ogre os¨ akerhet f¨ or aktien betyder en h¨ ogre volatilitet, och en l˚ ag volatilitet betyder en mer s¨ aker och stabil kurs. Volatiliteten visar inte vilket h˚ all aktien

¨

ar p˚ a v¨ ag utan bara hur mycket den f¨ orv¨ antas avvika fr˚ an medelv¨ ardet.

Implicit volatilitet inneb¨ ar f¨ orv¨ antad framtida volatilitet och anv¨ ands f¨ or priss¨ attning av optioner, vilket vi kommer g˚ a in p˚ a i n¨ asta avsnitt.

Anton Gustafsson menar i sin artikel att om man r¨ aknar ut den historiska volatiliteten f¨ or en aktie anv¨ ander man standardavvikelse, men skillnaden f¨ or volatiliteten ¨ ar att man betraktar standardavvikelsen av de lognormaliserade procentuella f¨ or¨ andringarna i aktiekurserna, multiplicerat med kvadratroten ur tiden. Detta g¨ ors p˚ a grund utav Black och Sholes modell i vilken logaritmerna av de procentuella f¨ or¨ andringarna ¨ ar normalt f¨ ordelade. Den r¨ aknas oftast om till ˚ arsvolatilitet men baseras p˚ a en kortare period.

V olatilitet = stdav(ln( I t

I _t−1 ), . . . ) ∗ √ N d¨ ar I _t =Slutkurs dag t , och N= antal b¨ orsdagar p˚ a ett ˚ ar.

2.3 Binomialmodellen

Enligt Luenberger i sin bok Investment Science(1998) beh¨ over vi f¨ orst best¨ amma en basperiod T f¨ or att definiera binomialmodellen, till exempel 1 m˚ anad. Denna modell ¨ ar specificerad s˚ a att om priset S f¨ or en aktie ¨ ar best¨ amt i b¨ orjan av en period s˚ a kommer priset i b¨ orjan p˚ a n¨ asta period bara ha tv˚ a m¨ ojliga v¨ arden.

Priset kommer vara multipler av antingen u (om priset g˚ ar upp) eller d (om

priset g˚ ar ner). B˚ ade u och d ¨ ar positiva d¨ ar u > 1 och d < 1. I slutet av

perioden kommer allts˚ a priset vara antingen uS eller dS. Sannolikheten f¨ or att

priset g˚ ar upp eller ner best¨ ams av p,(0 < p < 1), om det nya priset blir uS

eller av 1-p om det nya priset ¨ ar dS. Modellen forts¨ atter i flera perioder d¨ ar

varje period slutar med tv˚ a m¨ ojliga v¨ arden och v¨ ardet i b¨ orjan p˚ a perioden multipliceras med antingen u eller d. Den generella modellen visas i figuren nedan. Modellen verkar enkel till en b¨ orjan eftersom det bara finns tv˚ a m¨ ojliga v¨ arden f¨ or en period, men med korta perioder kommer det finnas m˚ anga v¨ arden efter flera steg.

u ³ S

u ² S

uS u ² dS

S udS

dS ud ² S

d ² S

d ³ S p

(1 − p)

p

(1 − p)

p

(1 − p)

p

(p − 1)

p

(1 − p)

p

(1 − p)

F¨ or att kunna anv¨ anda modellen m˚ aste v¨ arden f¨ or u, d och p v¨ aljas. Dessa v¨ arden m˚ aste v¨ aljas s˚ a att resultatet hamnar s˚ a n¨ ara verkligheten som m¨ ojligt p˚ a ett stokastiskt s¨ att. Eftersom u > 0 och d > 0 kommer priset aldrig bli negativt, vilket g¨ or det m¨ ojligt att anv¨ anda logaritmer. Vi definierar en ny variabel v som v¨ antev¨ ardet av tillv¨ axten per ˚ ar.

v = E[ln( S ₁ S 0

)]

d¨ ar S 0 ¨ ar aktiepriset i b¨ orjan p˚ a ˚ aret och S 1 ¨ ar aktiepriset i slutet p˚ a ˚ aret.

Vi definierar ¨ aven σ som den ˚ arliga standardavvikelsen, σ ² = var[ln( S 1

S 0

)]

Om perioden ¨ ar ∆t s˚ a ¨ ar parametrarna i binomialmodellen:

p = 1 2 + 1

2 ( v σ )

√

∆t u = e ^σ

√

∆t

d = e ^−σ

√ ∆t

Med dessa kommer binomialmodellen matcha v¨ arden p˚ a v och σ, allts˚ a v¨ antev¨ ardet av ln(S) kommer vara n¨ ara v och variansen kommer d˚ a vara n¨ ara σ ² . Hur n¨ ara resultatet kommer bli beror p˚ a f¨ or hur sm˚ a ∆t, och kommer bli exakt n¨ ar ∆t g˚ ar mot 0. En m¨ ojlighet ¨ ar att l˚ ata u ∗ d = 1 vilket vi r¨ aknar med i exemplet nedan.

Exempel 1. Om vi har en aktie med parametrar v = 15% och σ = 30%, kan vi s¨ atta upp binomialmodellen med veckoperioder. Vi antar att priset fr˚ an b¨ orjan

¨ ar 100, det vill s¨ aga S 0 = 100. Vi f˚ ar d˚ a:

u = e

= 1.04248 d = 1

u = 0.95925 p = 1

2 (1 + 15 30

r 1

52 ) = 0.534669

Priset kommer d˚ a med sannolikheten 53% g˚ a upp till uS = 1.04248 ∗ 100 = 104.248 eller med sannolikheten 1−p = 100−53 = 47% g˚ a ner till dS = 0.95925∗

100 = 95.925. Forts¨ atter vi ber¨ akna fler perioder kommer vi f˚ a resultatet nedan.

113.29

108.67

104.25 104.25

100 100

95.93 95.93

92.02

88.27

F¨ or att hitta v¨ arden p˚ a u, d och p beh¨ over vi anv¨ anda oss av de tv˚ a ekvatio- ner som best˚ ar av v¨ antev¨ ardet och variansen f¨ or logaritmen av prisf¨ or¨ andringen.

F¨ or att g¨ ora detta m¨ ojligt ska vi anv¨ anda oss av att S 1 , priset efter det f¨ orsta steget, har de r¨ atta egenskaperna. Vi beh¨ over bara anv¨ anda oss av S 1 d˚ a pro- cessen efter ¨ ar identisk. Vi anv¨ ander S(0) = 1 och f˚ ar genom ber¨ akning:

E(ln S ₁ ) = p ln u + (1 − p) ln d

var(ln S ₁ ) = p(ln u) ² +(1−p)(ln d) ² −[p ln u + (1 − p) ln d] ² = p(1−p)(ln u − ln d) ² Genom f¨ orenkling med U = ln u och D = ln d f˚ ar vi ekvationerna:

pU + (1 − p)D = v∆t

p(1 − p)(U − D) ² = σ ² ∆t

Vi har nu tre parametrar men endast tv˚ a ekvationer, vilket medf¨ or att vi f˚ ar en grad av frihet och det ¨ ar just denna frihetsgrad vi ska r¨ akna p˚ a fram¨ over.

2.4 Optionspriss¨ attning

Vi definerar en portf¨ olj som en vektor h(x,y) d¨ ar x ¨ ar antal obligationer vi har i portf¨ oljen och y ¨ ar den andel av aktien vi ¨ ager. V¨ ardet av portf¨ oljen vid t = 0 ber¨ aknas genom V 0 = x+ys och v¨ ardet vid t = 1 ber¨ aknas genom V 1 = x+ysZ, d¨ ar Z ¨ ar sannolikheten u eller d.

Definition 2. Vi definerar en ny variabel X som den summa vi betalar till innehavaren av optionen vid tiden t = 1 och ges av kontrakt funktionerna:

X =

( Φ(u) = us − K, u Φ(d) = 0, d

s = S 0 och K = l¨ osenpriset d¨ ar sd < K < su. Om K > S 1 anv¨ ander vi optionen, betalar K dollar f¨ or att f˚ a aktien och s¨ aljer den sedan p˚ a marknaden f¨ or su dollar. Vi g¨ or d˚ a en vinst p˚ a su − K dollar. Om ist¨ allet K < S 1 ¨ ar optionen v¨ ardel¨ os och vi kommer inte kunna g¨ ora en vinst med denna.

V¨ ardet V ₁ kan nu ber¨ aknas genom att s¨ atta V ₁ = Φ(u), om Z = u, och V ₁ = Φ(d), om Z = d.

F¨ or att b¨ attre f¨ orst˚ a hur en option priss¨ atts med hj¨ alp av binomialmodellen

har ˚ aterigen Bj¨ ork ett bra exempel fr˚ an sin bok Arbitrage Theory in Continuous

Time(2009).

Exempel 2. Parametrarna s¨ atts till S 0 = 100, u = 1.2, d = 0.8, p = 0.6 och (p − 1) = 0.4. I detta exemplet anv¨ ander vi US dollar och genom dessa parametrar f˚ ar vi morgondagens pris till:

S 1 =

( uS 0 = 120, p = 0.6 dS ₀ = 80, (1 − p) = 0.4

Vi ¨ overv¨ ager att k¨ opa en europeisk option med l¨ osenpris K = 110, och summan vi betalar innehavaren av optionen vid tiden t=1 ges d˚ a av:

X =

( Φ(us) = 1.2 · 100 − 110 = 10, S 1 = 120 Φ(ds) = 0, S ₁ = 80

Vi kan nu anv¨ anda kontraktsfunktionerna ovan f¨ or att ber¨ akna portf¨ oljen h(x, y).

V ₁ = Φ(us) ⇒ 10 = x + 120y, Z = u V ₁ = Φ(ds) ⇒ 0 = x + 80y, Z = d

Genom ber¨ akning f˚ ar vi y = ¹ ₄ och x = −20. Detta betyder allts˚ a att portf¨ oljen ¨ ar formad s˚ a att vi ska l˚ ana 20 dollar fr˚ an banken och investera dessa i en fj¨ ardedels andel av aktien.

Nu n¨ ar vi vet x och y kan vi ber¨ akna v¨ ardet av portf¨ oljen vid tiden t = 0:

V 0 = x + ys = −20 + 1

4 100 = 5

V¨ ardet av portf¨ oljen ¨ ar 5 dollar vid t = 0 och n¨ ar tiden ¨ ar t = 1 ¨ ar v¨ ardet antingen 10 dollar eller 0 dollar. Om n˚ agon skulle vilja k¨ opa optionen f¨ or mer

¨ an 5 dollar, till exempel 6 dollar, s˚ a kan vi g¨ ora en riskfri vinst genom att s¨ alja optionen och f˚ a 6 dollar d¨ ar 5 dollar d˚ a kan investeras i portf¨ oljen och den sista dollarn in i banken. Om n˚ agon ist¨ allet skulle vilja s¨ alja optionen till oss f¨ or ett l¨ agre pris ¨ an 5 dollar s˚ a kan vi ocks˚ a g¨ ora en riskfri vinst genom att s¨ alja portf¨ oljen

F¨ or att ber¨ akna optionspriset kan vi ocks˚ a anv¨ anda oss av martingalm˚ attet och f¨ or att ber¨ akna denna beh¨ over vi anv¨ anda martingalsannolikheterna och dessa ges av:

( q u = ^(1+R)−d _u−d , q _d = ^u−(1+R) _u−d ,

d¨ ar R = r¨ anta. Genom att anv¨ anda martingalsannolikheterna och kontrakts- funktionerna ovan kan vi ber¨ akna det teoretiska optionspriset med formeln:

Π(0; X) = 1

1 + R (Φ(us) · q u + Φ(ds) · q d )

Eftersom Φ(d) = 0 s˚ a f˚ ar vi allts˚ a martingalm˚ attet till Π(0; X) = 1

1 + R (Φ(us) · q u ) = 1 1 + R

(us − K)(1 + R − d) u − d F¨ or mer detaljer kring martingalsannolikheterna, se Bj¨ ork.

3 Unders¨ oka den fria parametern

Hur beror optionspriset p˚ a u och d n¨ ar volatiliteten ¨ ar best¨ amd? Eller hur beror optionspriset p˚ a volatiliteten n¨ ar u och d ¨ ar best¨ amd? De givna ekvationerna som best˚ ar av volatiliteten och martingalm˚ attet ges av tre parametrar. Med tre parametrar och bara tv˚ a ekvationer ger det oss en grad av frihet. Vi anv¨ ander oss av u > 1 och 0 < d < 1 men ingen koppling finns mellan dem. Det vi nu ska unders¨ oka ¨ ar hur optionspriset beror p˚ a olika v¨ arden f¨ or u, d och volatiliteten.

De tv˚ a ekvationerna vi anv¨ ander ¨ ar:

1 = q · u + (1 − q) · d (1)

σ ² = q(ln u) ² + (1 − q)(ln d) ² − [q · ln u + (1 − q) · ln d] ² = q(1 − q)(ln u − ln d) ² (2)

Grafen ovan visar volatiliteten som en funktion av u n¨ ar d ¨ ar fixerat (ekvation tv˚ a). Vi ser att f¨ or en viss volatilitet finns det tv˚ a v¨ arden p˚ a u och dessutom att volatiliteten f˚ ar ett max v¨ arde. Detta g¨ or att f¨ or en volatilitet under maxv¨ ardet finns inget entydigt optionspris utan det finns tv˚ a modeller f¨ or samma volatilitet, det vill s¨ aga ingen monotonicitet r˚ ader mellan volatiliteten och u.

Vi kan f¨ orenkla modellen genom att parametrisera tv˚ a variabler och s¨ atta u · d = 1 och f˚ ar tv˚ a ekvationer med tv˚ a obekanta. Vi s¨ atter in d = _u ¹ i ekvation 2 och detta resulterar i nedst˚ aende graf:

Aven h¨ ¨ ar ser vi att f¨ or varje volatilitet finns det tv˚ a v¨ arden p˚ a u vilket resulterar i tv˚ a modeller. Vi kan d¨ arf¨ or inte s¨ atta en konstant volatilitet och f˚ a ut ett entydigt optionspris ¨ aven om vi parametriserar u och d. Vi kan inte kalibrera modellen p˚ a ett bra s¨ att n¨ ar vi anv¨ ander lognormliserade prisf¨ or¨ andringar i ekvationen.

Vi f¨ orenklar ist¨ allet modellen och anv¨ ander oss av:

1 = q · u + (1 − q) · d (3)

σ ² = qu ² + (1 − q)d ² − [q · u + (1 − q) · d] ² = q(1 − q)(u − d) ² (4) Genom att f¨ orenkla modellen p˚ a det h¨ ar s¨ attet definerar vi volatiliteten annorlunda. I v˚ arat fall definerar vi volatiliteten endast som standardavikel- sen av prisf¨ or¨ andringen ist¨ allet f¨ or standardavikelsen av de lognormaliserade prisf¨ or¨ andringarna. Genom denna f¨ or¨ andring kan vi l¨ attare kalibrera modellen och f¨ orhoppningsvis f˚ a ut ¨ onskat resultat.

3.1 Konstant volatilitet

Vi b¨ orjar med att unders¨ oka optionspriset som funktion av u n¨ ar volatiliteten

¨

ar satt som en konstant.

Vi l¨ oser ut q ur den f¨ orsta ekvationen och f˚ ar:

q = 1 − d

u − d (5)

(1 − q) = u − 1 u − d

Dessa ¨ ar martingalsannolikheterna. Genom att s¨ atta in q och (1-q) i ekvation (4) kan vi sedan l¨ osa ut d som en funktion av u och volatiliteten.

σ ² = 1 − d u − d · u − 1

u − d (u − d) ² = (1 − d)(u − 1) d = 1 − σ ²

u − 1

Notera att f¨ or stora σ och sm˚ a u blir d negativ. Det finns allts˚ a begr¨ ansningar p˚ a sigma och u.

Vi s¨ atter sedan in uttrycket f¨ or d i ekvation 5 f¨ or q.

q = 1 − (1 − _u−1 ^σ

)

u − (1 − _u−1 ^σ

) = σ ² (u − 1) ² + σ ²

Eftersom vi nu har q som en funktion av u ˚ aterst˚ ar det att hitta funktionen

f¨ or optionspriset vilket enligt ovan ges av:

Π(0; X) = 1

1 + R (Φ(us) · q + Φ(ds) · (1 − q))

I v˚ arat fall r¨ aknar vi med noll i r¨ anta (R=0), volatiliteten p˚ a 30% och ak- tiepriset just nu s¨ atter vi till S 0 = 1. Genom att s¨ atta l¨ osenpriset K = S 0 = 1 ger det oss K > ds och kontraktfunktionen φ(ds) = 0. Den slutgiltliga formeln f¨ or optionspriset som en funktion av u blir d¨ arf¨ or:

Π(0; X) = (us − K)( σ ²

(u − 1) ² + σ ² ) = (u − 1)σ ² (u − 1) ² + σ ²

Genom att s¨ atta in v¨ arden f¨ or volatiliteten i ekvationen ovan f˚ ar vi ut op- tionspriset som en funktion av u. Vi g¨ or detta f¨ or tre olika volatiliteter f¨ or att se samband.

1 2 3 4 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

u

Optionspriset

Volatilitet 20%

Volatilitet 30%

Volatilitet 60%

Av grafen ser vi att funktionen inte ¨ ar monoton utan f¨ or varje optionspris finns det tv˚ a olika v¨ arden p˚ a u. Vilket g¨ or att vi f˚ ar tv˚ a modeller av optionpri- set n¨ ar vi s¨ atter volatilteten till en konstant. Slutsatsen vi kan dra ¨ ar att det r¨ acker inte att bara best¨ amma v¨ ardet p˚ a volatiliteten f¨ or att f˚ a ut ett entydigt optionspris.

3.2 Konstant u

Ist¨ allet f¨ or att anv¨ anda oss av en konstant volatilitet testar vi nu att s¨ atta u som en konstant och r¨ aknar ut optionspriset som en funktion av volatiliteten.

Vi f˚ ar d˚ a funktionen:

Π(0; X) = (u − 1)σ ²

σ ² + (u − 1) ²

Vi begr¨ ansar volatiliteten till 100% och s¨ atter in optionspriset som en funk- tion av volatiliteten i en graf. Vi g¨ or detta f¨ or tre olika v¨ arden av u f¨ or att kunna j¨ amf¨ ora och se samband. Vi v¨ aljer u = 1.1, u = 1.2 och u = 1.3.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3

σ

Optionspriset

u=1.1 u=1.2 u=1.3

Vi ser av grafen att optionspriset som en funktion av volatiliteten ¨ ar monoton i intervallet d¨ ar 0 < σ < 100%. Vilket betyder att f¨ or varje volatiltet d¨ ar u ¨ ar konstant finns det bara ett optionspris. Vi vill nu visa att optionspriset som en funktion av volatiliteten ¨ ar en monoton funktion ¨ overallt d¨ ar σ > 0 och f¨ or alla v¨ arden p˚ a u > 1. Vi beh¨ over d¨ arf¨ or visa att derivatan av optionspriset ¨ ar positiv.

Π(0; X) ⁰ = 2σ(u − 1) ³ ((u − 1) ² + σ ² ) ² > 0

Vilket g¨ aller i hela intervallet d˚ a u > 1, och volatiliteten alltid ¨ ar positiv.

Detta vill vi ¨ aven kunna visa g¨ aller f¨ or andra kontraktfunktioner och inte bara den vi anv¨ ant oss utav.

Sats 1. F¨ or klassen av modeller med u som konstant ¨ ar optionspriset som en funktion av volatiliteten monoton, om kontraktfunktionerna ¨ ar konvexa.

Bevis

Vi har sedan tidigare att:

d = 1 − σ ² u − 1 Deriverar vi detta med avseende p˚ a sigma f˚ ar vi:

∂d

∂σ = −2σ u − 1 < 0 Vilket ger oss:

∂Π

∂σ ≥ 0 ⇐⇒ ∂Π

∂d ≤ 0

Vi kan allts˚ a visa att derivatan av optionspriset med avseende p˚ a volatili- teten ¨ ar st¨ orre ¨ an noll och d¨ armed monoton genom att visa att derivatan av optionspriset med avseende p˚ a d ¨ ar mindre ¨ an noll.

∂Π

∂d = u − 1

(u − d) ² (Φ(sd) − Φ(su)) + s u − 1

u − d Φ ⁰ (sd) ≤ u − 1

(u − d) ² (Φ(sd) − Φ(su)) + s u − 1 u − d

Φ(su) − Φ(sd) su − sd = u − 1

(u − d) ² (Φ(sd) − Φ(su)) + u − 1

(u − d) ² (Φ(su) − Φ(sd)) = 0 Vi anv¨ ander konvexiteten av kontraktfunktionerna och har d¨ arf¨ or:

Φ ⁰ (sd) ≤ Φ(su) − Φ(sd) su − sd

Derivatan av optionspriset med avseende p˚ a d ¨ ar allts˚ a negativ vilket g¨ or att derivatan av optionspriset med avseende p˚ a volatiliteten ¨ ar positiv och ¨ ar d¨ armed monoton.

3.3 u · d = 1

Ett tredje s¨ att att testa ¨ ar att parametisera d genom att s¨ atta u · d = 1 vilket ger oss d = _u ¹ . Vi vet sedan tidigare att sannolikheten q ber¨ aknas:

q = 1 − d u − d Genom att s¨ atta in d = ¹ _u i ekvationen f¨ or q f˚ ar vi:

q = 1 − _u ¹ u − _u ¹ = 1

u + 1 Vi har enligt tidigare ber¨ akning:

σ ² = (1 − d)(u − 1) och genom att s¨ atta in att d = _u ¹ f˚ ar vi:

σ ² = (1 − 1

u )(u − 1) = (u − 1) ²

u (6)

Notera att f (u) = ^(u−1) _u

stiger n¨ ar u > 1, d¨ arf¨ or f˚ ar vi att derivatan av f ¨ ar positiv f¨ or alla u > 1.

f ⁰ (u) = 2u(u − 1) − (u − 1) ²

u ² = (u − 1)(u + 1) u ² > 0

D¨ arf¨ or r˚ ader ekvivalens mellan monotonitet av volatiliteten och monotonitet

av u. Detta betyder att f¨ or varje u f˚ ar vi en volatilitet eller f¨ or varje volatilitet

f˚ ar vi ett v¨ arde p˚ a u.

Nu kan vi r¨ akna ut optionspriset som en funktion av u genom att s¨ atta in q ovan i funktionen f¨ or optionspriset. Vi r¨ aknar h¨ ar precis som ovan att r¨ antan

¨ ar noll och s¨ atter K = S 0 = 1, vilket ger oss Φ(ds) = 0 och Φ(su) = u − 1.

Π(0; X) = Φ(us) · q = (u − 1) 1 u + 1 Vi sammanst¨ aller detta i en graf.

2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8

u

Optionspriset

Vi ser h¨ ar att optionspriset som funktion av u n¨ ar u ¨ ar parametriserad ¨ ar en monoton graf. Vi vill precis som f¨ orut visa att detta g¨ aller f¨ or hela intervallet d¨ ar σ > 0. Detta g¨ or vi genom att derivera optionspriset och se att den ¨ ar positiv f¨ or hela intervallet.

Π(0; X) ⁰ = (u + 1) − (u − 1)

(u + 1) ² = 2

(u + 1) ² > 0

Optionspriset som funktion av u ¨ ar allts˚ a monoton i hela intervallet f¨ or σ, det betyder att det finns en modell och ett optionspris f¨ or varje volatilitet ef- tersom ekvivalens r˚ ader mellan volatiliteten och u. Detta har vi nu gjort f¨ or en sorts kontraktfunktion men vi vill visa att det g¨ aller f¨ or alla konvexa kontrakt- funktioner.

Sats 2. F¨ or klassen av modeller med u · d = 1 ¨ ar optionspriset som en funktion av u monoton, om kontraktfunktionerna ¨ ar konvexa.

Bevis

Π(0; X) = Φ(su) 1 − d

u − d + Φ(sd) u − 1

u − d = Φ(su) + uΦ(s ¹ _u )

1 + u = h(u)

Konvexitet av kontraktfunktionerna ger:

Φ ⁰ (s 1

u ) ≤ Φ(su) − Φ(s ¹ _u )

u − _u ¹ ≤ Φ ⁰ (su) D¨ arf¨ or f˚ ar vi:

(1 + u) ² h ⁰ (u) = (1 + u)(Φ ⁰ (su) + Φ(s 1 u ) − 1

u Φ ⁰ (s 1

u )) − Φ(su) − uΦ(s 1 u )

≥ u

u − 1 (Φ(su) − Φ(s 1

u )) + Φ(s 1

u ) − Φ(su) − 1

u − 1 (Φ(su) − Φ(s 1

u )) = 0

Referenser

[1] https://www.avanza.se/lar-dig-mer/avanza-akademin/aktier/vad-ar- volatilitet.html

[2] Bj¨ ork, Tomas. Arbitrage Theory in continuous time, (Oxford University Press, New York, 2009, third edition), s.1–25.

[3] Ernst, Philip. On the arbitrage price of European call options, (Department of Statistics, Rice University, Texas, 2017).

[4] Gustafsson, Anton. https://aktieskolan.se/volatilitet/, (2019).

[5] G Luenberger, David. Investment Science, (Oxford University Press, New

York, 1998), s.297–303 och s.313–315.