UPPSALA UNIVERSITET N˚AGRA UPPGIFTER
MATEMATISKA INSTITUTIONEN om differentialekvationer
Pepe Winkler
N˚agra uppgifter
1. Man vet att s¨onderfallshastigheten f¨or ett radioaktivt ¨amne ¨ar proportionell mot den totala m¨angden av kvarvarande radioaktiva ¨amnet. Proportionallitetskonstanten ¨ar specifikt f¨or varje
¨amne.
Antag att vi vet att halveringstiden f¨or ¨amnet ¨ar 10 ˚ar. Efter hur l˚ang tid 100 g av ¨amnet reduceras till 10 g?
2. En infektionssjukdom antas sprida sig i en population med en hastighet som ¨ar proportionell mot s˚avel antalet infekterade som antalet oinfekterade individer. N¨ar man uppt¨ackte smittan var en tredje del av populationen redan smittad. Spridningshastigheten var d˚a s˚a stor att om den f¨orblev konstant, skulle hela populationen vara smittad efter 60 dagar. Hur stor del av befolkningen var faktiskt smittad efter 60 dagar?
3. B¨asta drickstemperaturen f¨or konjak ¨ar 29◦C (d˚a den som bekant smakar b¨ast). Konjaken serveras i rumstemperatur (21◦C). Hur l¨ange skall man h˚alla konjakskupan i h¨anderna (kropps- temperaturen ¨ar som bekant 37◦C) innan konjaken ¨ar som b¨ast om efter 2 minuter konjak- stemperaturen har stigit till 25◦C och man vet att konjakens temperaturh¨ojning per tidsenhet
¨ar proportionell mot temperaturskillnaden mellan kroppstemperatur och konjakstemperatur ? 4. En tank inneh˚aller 1000 l saltl¨osning som inneh˚aller 50 kg salt. Man fyller 10 l/min av l¨osningen som inneh˚aller 10 g/l salt. Samtidigt tappar man av 10 l/min av fullst¨andigt blandat l¨osningen.
Hur mycket salt finns i tanken efter 40 minuter?
5. En sj¨o med volymen 6 km3 inneh˚aller 1% f¨ororeningar som h¨arstammar fr˚an orenat utsl¨app fr˚an en fabrik. Volymen utsl¨app ¨ar 0.03 km3 per dag. Genom rening kan man f˚a ned f¨ororen- ingsgraden i utsl¨appet till 0.5 %. Antag att allt sj¨ovatten har samma f¨ororeningsgrad, samt att avrinningen fr˚an sj¨on har samma volym som utsl¨appet, som ¨ar sj¨ons enda tillfl¨ode.
Best¨am en ekvation som beskriver denna situation.
6. Kommunicerade k¨arl. Tv˚a v¨atskebeh˚allare med samma volym, 1 liter, ¨ar f¨orbundna med varandra via tv˚a kanaler, genom den ena rinner 1 liter v¨atska per timme i ena riktningen, och genom den andra rinner lika mycket i andra riktningen. Fr˚an b¨orjan inneh˚aller beh˚allarna 10%
respektive 50% av ett visst ¨amne.
Best¨am ekvationer som beskriver koncentrationen i vardera beh˚allaren som en funktion av tiden.
Overs¨attningen till ”matematiska”¨
1. L˚at y(t) beteckna m¨angden av det radioaktiva ¨amnet vid tiden t (r¨aknat i ˚ar). L˚at vidare −k vara den specifika konstanten f¨or ¨amnet. Vi vill best¨ama t s˚a att y(t) = 10 d˚a vi vet att:
y0(t) = −k · y(t) y(0) = 100 y(10) = 50 .
2. L˚at y(t) vara andelen av populationen som ¨ar smittad efter tiden t dygn, r¨aknad fr˚an uppt¨ack- ten. Vi vill best¨ama y(60) d˚a vi vet att:
y0(t) = k · y(t) · (1 − y(t))
y(0) = 1
3 60 · y0(0) = 2 3, d¨ar k ¨ar proportionallitetskonstant.
3. L˚at T (t) vara konjakens temperatur efter t minuter. Vi vill best¨ama t s˚a att T (t) = 29 d˚a vi vet att:
dT
dt = k(37 − T (t)) T(0) = 21
T(2) = 25 , d¨ar k ¨ar en konstant
4. L˚at x(t) vara m¨angden av salt (i kg) vid tiden t (i minuter). x(0) = 50 . In f˚ar vi 10 · 10 g/min= 10 · 10
1000 = 1
10 kg/min.
Vi tappar 10 l/min av fullst¨andigt omr¨ort l¨osning, dvs 10·x(t)
1000 kg /min salt. Vi f˚ar f¨or¨andring per minut (hastighet) dx
dt = 1 10 − x
100 = 10 − x 100 . i vill l¨osa begynnelseproblemet:
dx
dt = 10 − x 100 x(0) = 50 .
L¨osning:
Ekvationen ¨ar separabel
Z dx
10 − x = 1 100
Z
dt⇒ − ln |10−x| = 1
100t+C ⇔ 10−x = De−100t . x(0) = 50 ⇒ D = −40 och x(t) = 10 + 40e−100t .
F¨or t = 40 f˚ar vi x(40) = 1 + +40e−25 ≈ 36.8, kg.
Notera att efter l˚ang tid saltm¨angden n¨armar sig 10 kg.
5. L˚at M (t) vara m¨angden av f¨ororeningar och K(t) vara koncentrationen. K(t) = M(t) 6 . F¨or¨andringshastigheten ¨ar d˚a dM
dt = dMin
dt −dMut
dt = dKin
dt −dKut
dt
0.03 =
0.005 −M 6
0.03 , allts˚a M
dt + 0.005M = 0.00015 , med begynnelsevillkoret M (0) = 0.06 .
6. Observera att ¨amnets koncentration ¨ar samma som m¨angden av ¨amne (m¨att i liter). M¨angden av ¨amne betecknar vi med u(t) resp. v(t) . Givna begynnelsevillkor ¨ar u(0) = 0.1 och v(0) = 0.5 . F¨or¨andringen per timme dvs. f¨orendringshastigheten ¨ar u(t)
dt = v(t) − u(t) resp.
v(t)
dt = u(t) − v(t) .
Vi f˚ar d˚a system av differentialekvationer:
u0 = −u + v v0 = u − v .
