Kapitel 2
Valda uppgifter ur kapitel 2, Algebra och ekvationer.
2108. a) 7𝑦 − 3 + 2𝑦 = 7𝑦 − 3 − 2𝑦 = 5𝑦 − 3 b) 3𝑦 − −𝑦 + 8 = 3𝑦 + 𝑦 − 8 = 4𝑦 − 8 2116. a)
2𝑥 3𝑥 − 4 − 𝑥 − 5 ∙ 6𝑥 = 2𝑥 3𝑥 − 4 − 6𝑥 𝑥 − 5 = 6𝑥!− 8𝑥 − 6𝑥! + 30𝑥 =
= 22𝑥 b)
6𝑦 5𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 10𝑦 + 1 = 30𝑦𝑥 + 6𝑦!− 30𝑥𝑦 − 3𝑥 = 6𝑦!− 3𝑥 2207.
Alma = 𝑥 Bodil = 𝑥2 Rakel = 𝑥 +𝑥
2+ 100 = 1.5𝑥 + 100 2208. Man kan lätt inse att antalet kvadrater är 𝑛!+ 1.
2209. 4 𝑛 − 1 + 1, vingarna har längden 𝑛 − 1 och är 4 till antalet, och dessutom en kvadrat i mitten.
2210. Om man studerar vad summorna är blir man övertygad om att radens summa är dess nummer!.
a) 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 6! b) Rad nummer 100: 100! = 10! dvs en miljon c) 𝑛!
2311.
𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 𝑆 ⇒ 3𝑥 + 3 = 𝑆 ⇒ 𝑥 =𝑆 − 3 3 =𝑆
3− 1
2312. a) Figur 4 innehåller 7 ∙ 7 = 49 rutor. Av dessa är 7 + 7 − 1 = 13 blå. Detta leder till att 36 är vita.
b) Antalet rutor i figur n är 2𝑛 − 1 ! varav 2 2𝑛 − 1 − 1 = 4𝑛 − 3 är blå. Resten vita.
Antalet vita kan finnas som:
2𝑛 − 1 !− 4𝑛 + 3 = 4𝑛!− 4𝑛 + 1 − 4𝑛 + 3 = 4𝑛!− 8𝑛 + 4 = 4 𝑛 − 1 ! c) 57 blå betyder att diagonalerna i kvadraten är 29 + 28 dvs 2𝑛 − 1 = 29 ⇒ 𝑛 = 15
2414.
A B C D E
𝑡!
𝑡 = 𝑡 𝑡 + 𝑡 𝑡 =2𝑡
𝑡 = 2 2𝑡 − 𝑡 = 𝑡 𝑡!− 𝑡 =
= 𝑡 𝑡 − 1
𝑡 2+ 𝑡
2= 𝑡 A, C och E.
2415.
𝑎 + 𝑎 + 1 + 11
2 − 𝑎 =2𝑎 + 12
2 − 𝑎 = 𝑎 + 6 − 𝑎 = 6 VSV 2416.
𝑎 + 2𝑎 + 90 ∙ 2 − 180
6 =6𝑎 + 180 − 180
6 = 𝑎 VSV
2417. a)
𝑥 2𝑦 + 8𝑥 + 6 − 6𝑥 𝑦 + 4𝑥 + 1 = 2𝑥𝑦 + 8𝑥! + 6𝑥 − 6𝑥𝑦 − 24𝑥! − 6𝑥 =
= −4𝑥𝑦 − 16𝑥! = −4𝑥 𝑦 + 4𝑥 = −4 −3 2
3− 12 = −136 b)
𝑦 𝑦 − 𝑥 + 𝑥 𝑥 − 𝑦 − 𝑥! = 𝑦! − 𝑥𝑦 + 𝑥!− 𝑥𝑦 − 𝑥! = 𝑦!− 2𝑥𝑦 =4
9− 2 −3 2 3=
=4
9− 2 −3 2
3=4 + 36 9 = 40
9 c)
𝑥 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦 𝑦 𝑥 − 𝑦 + 𝑦! = 𝑥!
𝑥𝑦=𝑥 𝑦 = −3
23
= −9
2= −4.5 d)
1 + 𝑥 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦
7 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 + 𝑦! = 1 + 𝑥!
7 + 𝑥𝑦= 1 + −3 ! 7 − 32
3
=10 5 = 2
2510. En faktor i täljaren får förkortas mot samma faktor i nämnaren. a i det här fallet är inte en faktor i täljaren!
2511.
27 + 9𝑥 − 𝑥 3 + 𝑥
9 − 𝑥 = 9 3 + 𝑥 − 𝑥 3 + 𝑥
9 − 𝑥 = 9 − 𝑥 3 + 𝑥
9 − 𝑥 = 3 + 𝑥
Test 2
1.
53 ∙ 12 = 50 + 3 10 + 2 = 50 ∙ 10 + 50 ∙ 2 + 3 ∙ 10 + 3 ∙ 2 =
= 500 + 100 + 30 + 6 = 636 2. a)
16 − 2𝑥 + 8 − 7 − 9𝑥 = 16 − 2𝑥 − 8 − 7 + 9𝑥 = 1 + 7𝑥 b) 4 𝑥 + 2 − 3 𝑥 − 5 = 4𝑥 + 8 − 3𝑥 − 15 = 4𝑥 + 8 − 3𝑥 + 15 = 𝑥 + 23
3. a) Figur 1 har 4 pennor, figur 2 har 3 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 12 pennor, figur 3 har 4 ∙ 3 + 4 ∙ 3 = 24 pennor.
Figur 4 bör ha 5 ∙ 4 + 5 ∙ 4 = 40 pennor.
b) Figur 5 har 6 ∙ 5 + 6 ∙ 5 = 60 pennor.
c) Figur n har 2 ∙ 𝑛 + 1 𝑛 pennor.
4. a) 9𝑥 + 𝑥 + 6 ∙ 2 − 4 3 − 2𝑥 ∙ 20𝑥 = 9𝑥 + 2𝑥 + 12 − 80𝑥 3 − 2𝑥 =
= 11𝑥 + 12 − 240𝑥 + 160𝑥! = 160𝑥!− 229𝑥 + 12 b) 𝑥 𝑥 − 5 − 𝑥 1 − 4𝑥 = 𝑥!− 5𝑥 − 𝑥 + 4𝑥! = 5𝑥!− 6𝑥
c) 𝑥 2𝑥!− 3𝑥 + 2 − 3 𝑥!− 2𝑥!+ 3 = 2𝑥!− 3𝑥!+ 2𝑥 − 3𝑥!+ 6𝑥!− 9 =
= −𝑥!+ 3𝑥!+ 2𝑥 − 9 5. a) 3𝑥 − 15 = 3 𝑥 − 5
b) 24𝑎𝑏 − 8𝑎!𝑏 = 8𝑎𝑏 3 − 𝑎
c) 𝑎 𝑏 + 2 + 7 𝑏 + 2 = 𝑎 + 7 𝑏 + 2 d) 7!!− 7!! = 7!! 1 − 7!!
6. 48 − 3𝑥 = 𝑥 + 8 ⇒ 40 = 4𝑥 ⇒ 𝑥 = 10
7. −2𝑥
3 − 7 = 21 ⇒ −2𝑥
3 = 28 ⇒ −2𝑥 = 3 ∙ 28 ⇒ 𝑥 = −3 ∙ 14 = −42 8. 7 + 6 5 − 3𝑥 = −11 − 2𝑥 ⇒ 7 + 30 − 18𝑥 = −11 − 2𝑥 ⇒ 48 = 16𝑥 ⇒ 𝑥 = 3
9. 𝑥
3+𝑥
2= 30 ⇒2𝑥 6 +3𝑥
6 = 5𝑥
6 = 30 ⇒ 𝑥 = 36 10.
40 𝑥 =10
7 ⇒ 𝑥 40= 7
10⇒ 𝑥 = 40 ∙ 7
10= 28 11. a)
𝑃 = 𝑈 ∙ 𝐼 ⇒ 𝑈 =𝑃 𝐼 b)
𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑚 ⇒ 𝑘𝑥 = 𝑦 − 𝑚 ⇒ 𝑘 =𝑦 − 𝑚 𝑥 c)
𝐸 = 𝑚𝑣!
2 ⇒ 𝑚𝑣! = 2𝐸 ⇒ 𝑣! =2𝐸
𝑚 ⇒ 𝑣 = 2𝐸 𝑚 12. a)
𝑃 ∙ 𝑡 = 𝑐𝑚𝑇!− 𝑐𝑚𝑇! = 𝑐𝑚 𝑇!− 𝑇! ⇒ 𝑚 = 𝑃𝑡 𝑐 𝑇!− 𝑇! b)
6𝑎 = 25 − 𝑏𝑎 ⇒ 6𝑎 + 𝑏𝑎 = 𝑎 6 + 𝑏 = 25 ⇒ 𝑎 = 25 6 + 𝑎 13. 1 − 2𝑥 > 9 ⇒ −8 > 2𝑥 ⇒ −4 > 𝑥 ⟺ 𝑥 < −4
14. 2
3𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 =3
2= 1.5 15. Det syns ganska tydligt att 𝑎 = 6 ∙ 𝑏.
16. De vertikala linjerna i figuren kan adderas till totalt 4a. De horisontella linjerna till 2b.
Totalt: 4𝑎 + 2𝑏.
17. a) I storlek 3 är antalet kablar i varje rad 3, 4, 5, 4, 3. Detta ger 19 kablar. I storlek 4 borde raderna innehålla 4, 5, 6, 7, 6, 5, 4 kablar dvs totalt 37 st.
b) 3𝑛!− 3𝑛 + 1 = 𝑛 = 10 = 3 ∙ 10!− 3 ∙ 10 + 1 = 271 kablar.
18. a)
𝑦 = 0.4𝑥 − 24 ⇒ 𝑦 3 = 0.4 ∙ 3 − 24 = −22.8 °C b)
𝑦 𝑥 = 0.4𝑥 − 24 = 0 ⇒ 0.4𝑥 = 24 ⇒ 𝑥 = 24
0.4= 60 h c) Temperaturen är från början -24 °C och stiger linjärt med 0.4 °C varje timme.
d) Nej, temperaturen i frysen kommer aldrig att överstiga den omgivande temperaturen.
19. a) 𝑥! = 950 ⇒ 𝑥 = 950! ≈ 3.94
b) 3𝑥! = 192 ⇒ 𝑥! = 64 ⇒ 𝑥 = ±2 c)
3𝑥!!.!= 30 ⇒ 𝑥!!.! = 10 ⇒ 𝑥 = 1 10!.!!
≈ 0.59 d)
𝑥!
2 − 4 = 4 ⇒ 𝑥!
2 = 8 ⇒ 𝑥! = 16 ⇒ 𝑥 = ±2 20.
60 − 6𝑥! = 3𝑥! ⇔ 60 = 9𝑥! ⇔ 𝑥! =60
9 ⇒ 𝑥 ≈ 2. .58
21. 𝑀𝐹
7 − 6 = 𝑁, 𝑁 = 3 ⇒𝑀𝐹
7 − 6 = 3 ⇒𝑀𝐹
7 = 9 ⇒ 𝑀𝐹 = 63 år 22. Antag att det trycktes x program.
𝑥 − 100 ∙ 15 − 𝑥 ∙ 11 = −300 ⇒ 15𝑥 − 1500 − 11𝑥 = −300 ⇒
⇒ 4𝑥 = 1200 ⇒ 𝑥 = 300 program trycktes.
Blandade uppgifter i kapitel 2
1. a)
2 𝑥 + 4 + 5 3 − 𝑥 = 2𝑥 + 8 + 15 − 5𝑥 = 23 − 3𝑥 b)
6 2𝑥 + 5 − 3 4𝑥 − 10 = 12𝑥 + 30 − 12𝑥 + 30 = 60 2.
𝐹 = 1.8𝐶 + 32 a)
𝐹 = 1.8 ∙ 37 + 32 ≈ 99 °F b)
𝐹 = 1.8 ∙ 0 + 32 = 32 °F c)
𝐹 = 1.8𝐶 + 32 ⇒ 𝐶 =𝐹 − 32
1.8 ≈ 25 °C d)
𝐶 =𝐹 − 32
1.8 = 14 − 32
1.8 = −18
1.8= −10 °F 3.
𝑥 + 12 + 𝑥 + 12 + 𝑥 = 99 ⟹ 3𝑥 = 99 − 24 = 75 ⟹ 𝑥 = 25 cm
4. a)
𝑥
6− 2 = 0.5 ⟹𝑥
6= 2.5 ⟹ 𝑥 = 15
b) 2𝑥
3 + 7 = 1 ⟹2𝑥
3 = −6 ⟹ 2𝑥 = −18 ⟹ 𝑥 = −9 5. a)
3 1 − 𝑥 = 𝑥 + 2 ⟹ 3 − 3𝑥 = 𝑥 + 2 ⟹ 1 = 4𝑥 ⟹ 𝑥 =1
4= 0.25 b)
4 2𝑥 − 3 = 3𝑥 ⇔ 8𝑥 − 12 = 3𝑥 ⇒ 5𝑥 = 12 ⇒ 𝑥 =12
5 = 2.4 6. a) 16! = 4096 ⇒ RÄTT
b) 0.07 < 0.5 ⇒ FEL
c) 1 ∙ 1 + 2 = 1 ∙ 3 = 3 ⇒ RÄTT d) 0.81 = 0.9 ⇒ FEL
e) 4𝑎 + 2𝑐 = 2 2𝑎 + 𝑏 kan inte förenklas till 6ac⇒ RÄTT 7. a) 𝑡! = 128 ⇒ 𝑡 = 128!! = 128! = 2
b) 2𝑝! = 486 ⇒ 𝑝! = 243 ⇒ 𝑝 = 243!! = 243! = 3 8. a) 100𝑦! = 4 ⇒ 𝑦! =!""! ⇒ 𝑦 = ±!"! = ±0.2 b) 2𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑥 = 16 + 2𝑥 ⇔ 𝑥! = 16 ⇒ 𝑥 = ±4
9. a) 30 + 𝑦 < 5𝑦 + 10 ⇒ 20 < 4𝑦 ⇒ 5 < 𝑦 ⇔ 𝑦 > 5 b) 1 − 2𝑎 > 3 + 2𝑎 ⇒ −2 > 4𝑎 ⇒ −!!> 𝑎 ⇔ 𝑎 < −!! 10. a) 2𝑥 − 4𝑥! = 2𝑥 1 − 2𝑥
b) 3𝑥𝑦 − 12𝑥!𝑦 = 3𝑥𝑦 1 − 4𝑥 c) 5𝑎𝑏! − 15𝑎!𝑏 = 5𝑎𝑏 𝑏 − 3𝑎 11. a)
8𝑥 − 12𝑦 − 17 = 0 ⇒ 12𝑦 = 8𝑥 − 17 ⇒ 𝑦 =8𝑥 − 17 12 = 2
3𝑥 −17 b) 12
4𝑎𝑏
𝑦 = 2𝑦 ⇒ 4𝑎𝑏 = 2𝑦! ⇒ 𝑦 = ± 2𝑎𝑏 12. a) 60 + 4 = 64 = 8
b) 81 = 9
c) 3 − 2 = 1 = 1 d) 50 − 1 = 49 = 7 e) 5 + 4 = 9 = 3 f) 1 + 3 = 4 = 2
13. 𝑙 ∙ 5𝑙 = 405 ⇒ 𝑙 = 81 = 9 ⇒ 𝑂 = 12𝑙 = 108 cm 14. a) 0.1 + 7 = 7.1 < 10 OK
b) 3 ∙ 0.1 = 0.3 > 0.1 OK c) 5 − 0.1 = 4.9 > 0.5 NOT OK d) 20 ∙ 0.1 = 2 NOT OK
15. 𝐴 = 2𝐵
𝐶 = 𝐴 − 3 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 37
⇒ 𝐴 +𝐴
2+ 𝐴 − 3 = 37 ⇒ 5
2𝐴 = 40 ⇒ 𝐴 = 16 𝐶 = 13 𝐵 = 8
16. 𝑥 + 𝑦 = 70
𝑥 = 3𝑦 ⇒ 4𝑦 = 70 ⇒ 𝑦 = 17.5 𝑥 = 52.5
17. 2𝑥 − 3 𝑥 + 2 + 12 = 3 − 5 𝑥 + 1 ⇒ 2𝑥 − 3𝑥 − 6 + 12 = 3 − 5𝑥 − 5
−𝑥 + 6 = −5𝑥 − 2 ⇒ 4𝑥 = −8 ⇒ 𝑥 = −2 18. 2 3𝑥 + 5 − 3 4𝑥 + 6 = 34 ⇒ 6𝑥 + 10 − 12𝑥 − 18 = 34 ⇒
⇒ −6𝑥 = 42 ⇒ 𝑥 = −7 19. 𝐿 = 18 400 + 0.04𝑠
a) 𝐿 = 18 400 + 0.04 ∙ 80 000 = 18 400 + 3 200 = 21 600 kr b)
24 000 = 18 400 + 0.04𝑠 ⇒ 𝑠 = 24 000 − 18 400
0.04 = 140 000 kr c) Att Lotta får 4 % av värdet på det hon säljer.
20. a)
𝑥
2= 12 −𝑥
4⇒ 2𝑥 = 48 − 𝑥 ⇒ 3𝑥 = 48 ⇒ 𝑥 = 16 b)
10 = 2𝑥 ∙ 10!! ⇒ 2𝑥 = 10! ⇒ 𝑥 = 500 000 = 5 ∙ 10! 21. Ekvationens lösning är 𝑥 = 0, man får inte dela med 0!
22. 5.1 < 𝑦 < 5.2 ⇔ 5.10 < 𝑦 < 5.20 till exempel 𝑦 = 5.15 och 𝑦 = 5.16 23. a) 𝑥 𝑥 − 4 = 0, 0 och 4 är rötter.
b) 𝑥!+ 5 = 6𝑥, 1 och 5 är rötter.
24. 0.3
𝑥 − 0.5= 1 ⇔ 0.3 = 𝑥 − 0.5 ⇒ 𝑥 = 0.8 25.
Kort sida = 𝑥 + 2 − 4 = 𝑥 − 2 26. a)
3 𝑥= 𝑥
12⇔ 𝑥! = 36 ⇒ 𝑥 = ±6
b) 2𝑥
3 = 3
2𝑥⇔ 4𝑥! = 9 ⇒ 𝑥 = ±3
2= ±1.5
27. 𝑥 ∙ 5 + 10
5 − 𝑥 = 𝑥 + 2 − 𝑥 = 2 28. a)
Antal kopior 100 500
Kostnad hos Digitaltryckeriet 20 + 100 ∙ 0.24 = 44 20 + 500 ∙ 0.24 = 140 Kostnad hos Tryckservice AB 100 ∙ 0.36 = 36 500 ∙ 0.36 = 180 b) 20 + 𝑥 ∙ 0.24 = 320 ⇒ 𝑥 ∙ 0.24 = 320 − 20 = 300 ⇒ 𝑥 = 1250 st
c) 𝐾 𝑥 = 20 + 0.24𝑥 kr
d) 20 + 0.24𝑥 = 0.36𝑥 ⇒ 20 = 0.12𝑥 ⇒ 167 st 29.
a) 𝑡 𝑥 = 0.6𝑥 − 15 = −3 ⇒ 𝑡 = 20 h dvs kl 17: 00 b) Temperaturen stiger från -15 °C med 0.6 °C varje timme.
30.
4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟!
3 = 478 ⇒ 𝑟! = 3 ∙ 478
4𝜋 ⇒ 𝑟 ≈ 4.85 cm 31. 𝑎 ∙ 2𝑎 = 7938 ⇒ 𝑎! = 3969 ⇒ 𝑎 = 63 och 126
32.
𝐴 = 𝜋ℎ! 𝑅 + 2ℎ ⇒ 𝑅 + 2ℎ = 𝐴
𝜋ℎ! ⇒ 𝑅 = 𝐴
𝜋ℎ!− 2ℎ 33. a) 2.5 ∙ 3.2 ∙ 295 + 2 ∙ 2.5 + 3.2 ∙ 120 = 3728 kr
b) 𝐾 𝑙, 𝑏 = 𝑙 ∙ 𝑏 ∙ 295 + 2 𝑙 + 𝑏 ∙ 120 kr 34. a)
2𝑥 − 1 𝑥3 + 1
= 3
4⇔ 4 2𝑥 − 1 = 3 𝑥
3+ 1 ⇒ 8𝑥 − 4 = 𝑥 + 3 ⇒ 𝑥 = 1 b)
10!! = 10!∙ 10! = 10!!! ⇒ 3𝑥 = 5 + 𝑥 ⇒ 𝑥 =5
2= 2.5
35. 1
𝑥= 9
1 − 𝑥− 3.5 𝑥 =1
7 ⇒ 7 = 9 1 −1
7
− 3.5 = 63
7 − 1− 3.5 = 7 VSV
36. 𝑥 = 15 − 𝑦
𝑥 + 2𝑦 = 28 ⇒ 15 − 𝑦 + 2𝑦 = 28 ⇒ 𝑦 = 13 𝑥 = 2 37.
2 ∙ 𝑥 − 4 + 3𝑥 = 69.5 ⇒ 5𝑥 = 69.5 + 8 = 77.5 ⇒ 𝑥 = 15.50 kr/kg
38. Ekvationen är riktigt löst. Förenklingen är felaktig, man får inte plötsligt multiplicera hela uttrycket med 2 eller 3.
