L ¨ OSNINGSF ¨ ORSLAG till 22 aug 2011

MATEMATIK Chalmers tekniska h¨ogskola

L ¨ OSNINGSF ¨ ORSLAG till 22 aug 2011

TMV036/TMV035 Analys och linj¨ ar algebra K Kf Bt, del B

1. L˚ at A =



 



3 3 4 1 2 0 3 3 1 5 0 4 0 2 0 0



 



(a) Ber¨ akna det A (3p)

L¨ osning:

det A =    

3 3 4 1 2 0 3 3 1 5 0 4 0 2 0 0     = 2

  

3 4 1 2 3 3 1 0 4    = 2 (

 4 1 3 3

  + 4   3 4

2 3   )

= 2(9+4) = 26

Svar: det A = 26

(b) Antag att B ¨ ar en matris som ¨ ar radekvivalent med A.

Vad kan vi d˚ a s¨ aga om v¨ ardet p˚ a det B ? (2p)

Svar: V¨ ardet beror p˚ a vilka radoperationer som g¨ ors. Om man inte skalar om n˚ agon rad s˚ a kommer det B = ( −1)

ⁿ

det A d¨ ar n ¨ ar antalet radbyten som g¨ ors.

Om skalningar gjorts och dessa inte ¨ ar k¨ anda s˚ a kan vi bara med s¨ akerhet veta att det B ̸= 0.

2. Best¨ am alla l¨ osningar till ekvationssystemet

 



2x

1

+ 4x

2

+ x

4

= 3

x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

+ 2x

4

= 1

3x

₁

+ 6x

₂

+ 3x

₃

+ 3x

₄

= 4 (4p)

L¨ osning: Radelimination p˚ a systemets totalmatris ger;



 2 4 0 1 3 1 2 3 2 1 3 6 3 3 4



 =



 1 2 3 2 1

0 0 −6 −3 1 0 0 −6 −3 1



 =



 1 2 0

¹₂ ³₂

0 0 1

¹₂

−

¹₆

0 0 0 0 0





Ur den reducerade matrisen avl¨ aser vi att;

Svar: l¨ osningarna ges av

 

 

 



x

1

=

³₂

− 2s −

¹₂

t x

₂

= s

x

₃

= −

¹₆

−

¹₂

t x

4

= t

, s, t ∈ R

3. Ber¨ akna

∫

_∞

3

x − 2

x

³

− 4x dx (5p)

L¨ osning: ∫

_∞

3

x − 2 x

³

− 4x dx =

∫

_∞

3

x − 2

x(x

²

− 4) dx =

∫

_∞

3

1

x(x + 2) dx =

= 1 2

∫

_∞

3

( 1 x − 1

x + 2 )

dx = 1

2 [ln x − ln (x + 2)]

^∞₃

= 1 2

[ ln x

x + 2 ]

_∞

3

= − 1 2 ln 3

5 = 1 2 ln 5

3

Svar:

∫

_∞

3

x − 2

x

³

− 4x dx = 1 2 ln 5

3

4. L¨ os begynnelsev¨ ardesproblemet

{ √ x y

^′

− y

²

= 1

y(1) = 0 (5p)

L¨ osning: Differentialekvationen ¨ ar separabel ty;

√ x y

^′

− y

²

= 1 ⇔ dy

1 + y

²

= dx

√ x Integration av b˚ ada led ger att arctan y = 2 √

x + C. Bivillkoret y(1) = 0 ger sedan att C = −2, s˚a arctan y = 2 √

x − 2 ⇒ y = tan (2 √ x − 2) Svar: y = tan (2 √

x − 2)

Till uppgifterna 5–9 skall du l¨ amna in fullst¨ andiga l¨ osningar.

5. Ber¨ akna arean av det begr¨ ansade omr˚ ade i xy-planet som begr¨ ansas av

kurvorna y = e

^x

och y = e

^√x

(6p)

L¨ osning:

Arean =

∫

₁

0

(

e

^√x

− e

^x

) dx =

∫

₁

0

e

^√x

dx − [e

^x

]

¹₀

=

= 2

∫

₁

0

te

^t

dt − (e − 1) = 2 [ te

^t

]

1

0

− 2

∫

₁

0

e

^t

dt − e + 1 = 3 − e

Svar: Arean av omr˚ adet ¨ ar 3 − e (a.e.) 6. L¨ os begynnelsev¨ ardesproblemet

{ y

^′′

− 4y

^′

+ 13y = e

^2t

cos 3t

y(0) = 1, y

^′

(0) = 0 (6p)

L¨ osning: Karakteristiska ekvationen r

²

−4r+13 = 0 har r¨otterna r = 2±3i, s˚a ekvatio- nens homogenl¨ osningar har formen y

_h

= e

^2t

(A cos 3t + B sin 3t). Som partikul¨ arl¨ osning ans¨ atter vi y

p

= te

^2t

(C

1

cos 3t + C

2

sin 3t). D˚ a ¨ ar;

y

_p^′

= e

^2t

((C

1

(1 + 2t) + C

2

3t) cos 3t + (C

2

(1 + 2t) − C

1

3t) sin 3t) och

y

_p^′′

= e

^2t

((C

1

(4 − 5t) + C

2

(6 + 12t)) cos 3t + (C

2

(4 − 5t) − C

1

(6 + 12t)) sin 3t) Ins¨ attning i differentialekvationens v¨ ansterled ger;

y

^′′_p

− 4y

p^′

+ 13y

_p

= e

^2t

(6C

₂

cos 3t − 6C

1

sin 3t)

F¨ or att erh˚ alla differentialekvationens h¨ ogerled m˚ aste d¨ arf¨ or 6C

2

= 1 och −6C

1

= 0, vilket ger oss partikul¨ arl¨ osningen y

p

=

¹₆

te

^2t

sin 3t. Den allm¨ anna l¨ osningen till differen- tialekvationen f˚ ar vi genom att addera homogenl¨ osningarna till denna partikul¨ arl¨ osning;

y = e

^2t

(A cos 3t + B sin 3t) + 1

6 te

^2t

sin 3t

Bivillkoren y(0) = 1 och y

^′

(0) = 0 ger att A = 1 och 2A + 3B = 0, s˚ a B = −

²₃

. Svar: y = e

^2t

(cos 3t − 2

3 sin 3t) + 1

6 te

^2t

sin 3t

7. L˚ at e

1

, e

2

, e

3

(som vanligt) beteckna standardbasen i R

³

och l˚ at

v

1

=



 1 0 1



 , v

₂

=



 2 1 0



 , v

₃

=



 0

−1 2





L˚ at vidare A vara standardmatrisen f¨ or den linj¨ ara avbildning T fr˚ an R

³

till R

³

som avbildar v

₁

p˚ a e

₁

, v

₂

p˚ a e

₂

och v

₃

p˚ a e

₂

, dvs. T (v

1

) = e

1

, T (v

2

) = e

2

och T (v

3

) = e

2

.

(a) Visa att v

₁

, v

₂

, v

₃

bildar en bas f¨ or R

³

(3p)

(b) Best¨ am en bas f¨ or kolonnrummet Col A (2p)

(c) Best¨ am en bas f¨ or nollrummet N ul A (2p)

L¨ osning: P˚ ast˚ aendet i deluppgift (a) ¨ ar dessv¨ arre fel och d¨ armed finns inte heller tillr¨ acklig information f¨ or att svara p˚ a de ¨ ovriga deluppgifterna. Om man ¨ andrar lite i n˚ agon av vektorerna s˚ a att de blir linj¨ art oberoende (vilket egentligen var tanken) s˚ a blir hela uppgiften l¨ osbar och h¨ ogst relavant f¨ or kursen.

8. Antag att A och B ¨ ar kvadratiska matriser s˚ adana att AB ¨ ar inverterbar.

(a) Visa d˚ a att ¨ aven A och B ¨ ar inverterbara. (3p)

(b) Visa att (AB)

⁻¹

= B

⁻¹

A

⁻¹

(3p)

9. (a) Antag att f ¨ ar en kontinuerlig funktion p˚ a ett intervall I = [a, b].

Visa d˚ a att d dx

∫

_x

a

f (t) dt = f (x) , f¨ or alla x ∈ I. (4p)

(b) Ber¨ akna F

^′

(1) d˚ a F (x) = x

∫

₁

x

cos (πt

²

) dt (2p)

L¨ osning: F

^′

(x) =

∫

₁

x

cos (πt

²

) dt − x cos (πx

²

)

Svar: F

^′

(1) = 1