_jder de år läroboken Räknel
lärare vid Falu folkakolesemmarium, kommit att på många håll användas i landets folkskolor och seminarieskolor (övningsskolor), har vid olika tillfällen framhållits önskvärdheten av att till densamma komme att ut- arbetas en särskild handledning. De räknemetodiska anordningarna i denna äro j u i en del punkter andra än de, som av gammalt hört samman med räkneundervisning enligt det traditionella quatorspeeies- systemet, och skall undervisningen enligt nämnda lärobok komma fullt till sin Tätt, är det uppenbarligen nödvändigt, att läraren gjort sig väl förtrogen med grundtankarna i den metod, som där följes. — Då dess- utom vid olika seminarier framhållits, att det skulle vara värdefullt för undervisningen i räknemetodik, om man där kunde hänvisa eleverna till en kortfattad redogörelse för de nutida räknemetodislca problemen, har jag med detta lilla häfte velat närmare utreda de frågor, som man medelst nämnda nyelementära metod sökt ordna på ett för barnundervis- ningen enklare och naturligare sätt, än som mestadels varit fallit. Nämnda problem kunna givetvis lösas på flera sätt, och det är min förhoppning att framdeles bli i tillfälle att mera fullständigt redogöra för olika me- toder, som använts och användas i den grundläggande räluieundervisnin- gen. Det skulle dock vara mig en glädje, om vad som här upptagits som lösning av valda typproblem inom olika delar av räknekursen och som motivering för denna finge göra god tjänst som utgångspunkt för de diskussioner och studier i berörda frågor, som inom seminarier och annorstädes avse att skapa förtrogenhet med och leda fram till en barn- psykologiskt tillrättalagd räkneundervisning. Som värdefull litteratur i
sådant studiearbete må här i övrigt nämnas:
An jon-Kastman, Bidrag till pedagogik och metodik för folkskole- lärare, häfte V : Räknekonsten i folkskolan, 1874.
K. P. Nordlund, Lärogång i räkning, 1891, samt Metodiska an- visningar för lärarna i läran om bråk.
Harald Dahlgren, D i e Mathematik an den Volksschulen und Volks- schullehrerseminaren Schwcdens, 1911, se Berichte und Mitteil- ungen veranlasst durch die achwedische Abteilung der inter- nationalen mathematischen Unterrichtskommission.
Frits Wigforss, Den grundläggande matematikundervisningen, 1925.
Karl Nordlund m. fl., Arbetssättet i folkskolan, I I I : Räkning och geometri, 1926.
Det är mig ock kärt att här få framföra ett varmt tack till lärarna i matematik vid Falu folkskolesemiuarium for vad de alla under snart tilländagångna 25 år givit mig av stort medintresse och värdefull hjälp i utformningen och prövningen av den räknemetod, som i dessa grund- linjer tecknas.
I mars 1937. Garl Gustaf Hellsten 1.
8.
4.
5.
I i A K N E M E T O D I S K A G R U N D L I N J E R
FÖR RÄKNEUNDERVISNINGEN I F O L K S K O L A N
Ny elementär räknemetod i belysande exempel av
C a r l G u s t a f H k l l s t e n Rektor vid Falu folkskoleseminarium
S T O C K H O L M
S v e n s k a B o k f ö r l a g e t P. A. Norstedt & Söner
I N N E H Å L L S F Ö R T E C K N I N G .
S i d .
I n l . Målet för räk ne undervisningen . 3 1. Allinänpedagogiska grundtankar om åskådlighet 4
I I . Synpunkter i fråga om lärosattct.
1. Självverksamhet 5 2. Klassundervisning 5 3. Exemplens gruppering 6 4. Mekanisk räkning och formler 6
5. D e n språkliga behandlingen 7 I I I . Aktuella problem i fråga om lärogång och lärokurs.
A. Quatuorspeciessystemet i kritisk belysning. (Uttalanden av K u n g l . Läroverkskommittén 1887, K . P . N o r d l u n d , Bucht o. Svensk, C. G. Hellsten, Harald Dahlgren, F r i t s Wigforss.) 8 B. Huvudlinjer i ny elementär räknemelod ( D e fem enkla räkne-
sätten, bråkräkningen) 10 I V . Nyelementär räkuemetod i belysande exempel.
A. De fem enkla räknesätten (sammanläggning, fråndragning, gångertagning, innehållsberäkning och delberäkning) . . 13 B. Sammansatta räknesätt.
1. Allmänna synpunkter 26 2. M u l t i p l i k a t i o n och delberäkning med hela tal . . . 27
3. »Multiplikation och division med bråk» 29 4. Förhållandebegreppet och barns räknande . . . . 34
5. Behandlingen av reguladetriuppgifter 37 C. Räknesättens användning, inom speciella sakområden.
1 . Geometriska beräkningar 42 2. Procenträkning. (Affärsproblem, ränteproblem, sam-
mansatt ränta, amortering.) 45 3. Ekonomi i n o m hem, kommun och stat. Skatter . . 60
Några slutord. Olika metoders värdering 63
Kunsl. Bcklr. SlUm lf}/
376059
M å l e t f ö r r ä k i i e u i K l c r v i s i i i i i g e i i i f o l k s k o l a n .
E n l i g t n o r m a l p l a n e n a v år 1900 för u n d e r v i s n i n g e n i f o l k - och små- s k o l o r s k a l l u n d e r v i s n i n g e n i räkning i främsta r u m m e t åsyfta a t t »öfva barnens förmåga a t t b e h a n d l a p r a k t i s k a u p p g i f t e r , v i l k a s lösning krä- ver k l a r u p p f a t t n i n g o c h e f t e r t a n k e , o c h övningarna a t t b i b r i n g a d e m nödig räknefärdighet få i c k e n e d s j u n k a t i l l e t t b l o t t m e k a n i s k t syss- lande m e d uträkning a v vissa t a l efter g i f v e n r e g e l o c h uppställning».
R e d a n då b l e v sålunda m a r k e r a t , a t t m a n i c k e — såsom ofta v a r i t f a l l e t — s k u l l e sätta s o m mål a t t m e k a n i s k t inlära vissa räkneopera- t i o n e r , u t a n a t t h u v u d s y f t e t m e d a r b e t e t s k u l l e v a r a a t t lära b a r n e n d e t räknande, s o m b e h ö v s för lösning a v p r a k t i s k a u p p g i f t e r . Ä n n u t y d l i g a r e framhäves d e t t a i n u gällande u n d e r v i s n i n g s p l a n av år 1919, där målet anges på följande sätt: »Undervisningen har till uppgift att bibringa barnen en efter deras ålder och utveckling avpassad insikt och färdighet i räkning ined särskild hänsyn till vad som erfordras i det dag- liga livet.»
I d e n n a bestämmelse är också a t t u p p m ä r k s a m m a s o m e t t b e t y - d e l s e f u l l t p e d a g o g i s k t tillägg, a t t räkningen s k a l l ordnas efter barnens ålder och utveckling. D e t t r a d i t i o n e l l a räkncsystemet, sådant d e t t i l l - s k a p a t s för högre skolors m a t e m a t i k , får alltså ej u t a n v i d a r e g o d t a g a s . D å d e t t a i m y c k e t h a r algebraisk karaktär o c h m å n g a dess d e f i n i t i o n e r kräva s t o r förmåga a v a b s t r a k t i o n , måste i stället räkningen i f o l k - s k o l a n åtminstone d e l v i s läggas efter a n d r a l i n j e r , o m d e n a l l t i g e - n o m s k a l l k o m m a a t t m o t s v a r a hos b a r n u n d e r 14 år förefintliga f a t t - ningsgåvor o c h förutsättningar i övrigt.
Räkneundervisningen b ö r hela s k o l a n i g e n o m ordnas efter b a r n - p s y k o l o g i s k t r i k t i g a p r i n c i p e r .
I . N å g r a a l l m ä n p e d a g o g i s k a g r u n d t a n k a r i f r å g a o m å s k å d l i g h e t .
1. Enär föreställningarna b i l d a s g e n o m u p p f a t t n i n g m e d e l s t sinnena, bör u n d e r v i s n i n g e n gå från det konkreta till det abstrakta. M a n b ö r ej så p l a n t o r , u t a n plantfrön, d e t v i l l säga: s a n n i n g e n s k a l l i c k e meddelas färdig u t a n v ä x a f r a m bos lärjungen o c h d e t väsentligen g e n o m självständigt a r b e t e ( C o m m e n i u s ) .
2. V a d lära våra pedagoger barnen? O r d , o r d o c b åter o r d ; m a n u n - dervisar d e m i vetenskaper, a v v i l k a de t r o sig v e t a något, när de känna o r d e n . —- Man lär dem tecken, utan att ge dem föreställningar om det, som betecknas. (Rousseau).
3. U n d e r v i s n i n g e n s y t t e r s t a mål är d e t k l a r a b e g r e p p e t . Utgångs- punkten och grundvalen skall vara den tydliga sinnesåskådningen.
(Pestalozzi).
4. Utgångspunkten för a l l t s o m s k a l l ske är v e r k s a m h e t . M e d h a n d - l i n g b ö r a l l äkta u t v e c k l a n d e människofostran börja. D e n b ö r s p i r a i , v ä x a f r a m u r o c h g r u n d a s i g på handling. ( F r ö b e l ) . 5. Gå från d e t e n k l a t i l l d e t s a m m a n s a t t a , från d e t k o n k r e t a t i l l d e t
a b s t r a k t a , från det empiriska till det rationella. (Spencer).
V a d så på o l i k a sätt framhållits är g r u n d s a n n i n g a r , s o m m a n a l l t m e r b e a k t a t i n o m räkneundervisningen u n d e r de första skolåren. U p p e n - b a r l i g e n b ö r också u n d e r v i s n i n g e n i n o m f o l k s k o l a n s följande klasser läggas efter s a m m a p i n c i p e r . V i s s e r l i g e n h a b a r n e n där m e r a u t v e c k l a t förstånd o c h större m o g n a d , m e n de n y a räkneföreställningar, s o m b a r n e n där erhålla, b l i d e t o a k t a t m y c k e t o k l a r a , o m de i n t e g r u n d a s i åskådligt a r b e t e . L ä n g e h a r v i s s e r l i g e n p å m å n g a håll d e n u p p f a t t - n i n g e n g j o r t s i g gällande, a t t »egentlig åskådningsmateriel endast m e r a u n d a n t a g s v i s b ö r begagnas a n n a t än i småskolor», m e n i m o t s a t s här- t i l l m å därför betonas, a t t även i d e n e g e n t l i g a f o l k s k o l a n s klasser b e h ö v s d e t grundläggande åskådliggörande arbetsövningar o c h för där f ö r e k o m m a n d e räkneövningar särskilt avpassad räknemateriel.
H ä r m å o c k följande u t t a l a n d e b e a k t a s : »Det är n ö d v ä n d i g t a t t v i d a l l u n d e r v i s n i n g o c h i s y n n e r h e t v i d räkneundervisning se t i l l , a t t m a n ej l a b o r e r a r m e d t o m m a begrepp.» — »Åskådlighet i u n d e r - v i s n i n g e n är i c k e l i k t y d i g t m e d a t t en eller t v å eller k a n s k e t r e , f y r a gånger v i s a e n sak, u t a n åskådlighet innebär, a t t läraren t a r b a r -
— 4 —
ncns alla sinnen i anspråk, så a t t b a r n e n lära känna u n d e r v i s n i n g s - o b j e k t e t från så många s y n p u n k t e r som möjligt o c h så ofta, a t t b a r n e n v e r k l i g e n känna t i l l saken ifråga». ( T o r s t e n D a h l g r e n 1924.)1
I I . N å g r a s y n p u n k t e r i f r å g a o m l ä r o s ä t t e t .
V a d s o m är a t t b e a k t a för u n d e r v i s n i n g i allmänhet beträffande lärosättet, bör g i v e t v i s också i a k t t a g a s v i d u n d e r v i s n i n g e n i räkning.
I c k e m i n s t värdefullt är d e t sålunda, a t t b a r n e n vänjas v i d själv- verksamhet. D e t t a k a n i någon m å n — särskilt på e t t högre s t a d i u m
— ske därigenom, a t t de få hjälpa t i l l m e d a t t samla behövliga f a k t a för o l i k a u p p g i f t e r s lösning o c h a t t h i t t a på p r o b l e m och likaså g e n o m a t t de få k o m m a m e d förslag v i d u t r e d n i n g e n a v o l i k a räknesätt, m e n särskilt ger j u själva inlärandet a v o l i k a räkne förlopp tillfälle härtill. I berörda avseende förtjänar o c k följande goda a n v i s n i n g a t t b e a k t a s .2
»För a t t v i d räkneundervisningen k u n n a se f o r d r a n på förstånds- b i l d n i n g t i l l godo, måste läraren anse s o m s i n h u v u d u p p g i f t ej a t t v a r a d e n g i v a n d e , d e n m e d d e l a n d e , u t a n d e n ledande, s o m o r d n a r u p p g i f t e n , a n g i v e r utgångspunkterna och r i k t n i n g e n , för a t t sedan låta b a r n e n själva s l u t a sig t i l l följden, d r a g a s l u t l e d n i n g a r , fullända bevisen. V i d a r e h a r läraren a t t gå systema tiskt tillväga. — V a r t och e t t föregående är g r u n d e n för d e t efterföljande. F ö r s u m m a s d e n säkra grundläggningen, f a l l e r a l l t t i l l s a m m a n s i r u i n ; v a r j e l u c k a h a m n a r s i g
här såsom på i n t e t a n n a t område.»
H e l t n a t u r l i g t måste a r b e t e t härvidlag b l i m y c k e t o l i k a u n d e r o l i k a l e k t i o n e r , beroende på förefintligt e l e v m a t e r i a l , förhandenvarande skolförhållanden och lärarens i n d i v i d u e l l a läggning. Så k a n exempel- vis frågan o m klassundervisning eller i n d i v i d u e l l t l a g d u n d e r v i s n i n g lösas på m y c k e t o l i k a sätt. Mestadels h a r d e t ansetts v a r a fördelak- t i g a s t , a t t a l l a b a r n e n i klassen på e n gång a r b e t a i n o m s a m m a räkne- o m r å d e o c h alltså hålla på m e d s a m m a slags e x e m p e l i s i n räknelära.
I början a v l e k t i o n e n orienteras de då a l l a s a m t i d i g t i fråga o m d e t räknande, s o m l e k t i o n e n s k a l l o m f a t t a , v a n l i g e n i f o r m a v huvudräk- n i n g , u n d e r 15 å 20 m i n u t e r . Därefter få b a r n e n räkna själva. Hjälp lämnas härvid åt de b a r n , s o m b e h ö v a sådan, o c h de d u k t i g a r e b a r n e n
1 Se Om undervisning i räkning av Torsten Dahlgren.
8 So Anjou-Kastmau, Räknekonsten i folkskolan, 1874.
få a l l t e f t e r förefintliga förutsättningar o c h i n t r e s s e n v i d s i d a n a v de i räkneläran för a l l a b a r n e n lämpliga e x e m p l e n t a g a ihåll m e d e x t r a räkneuppgifter. — E m e l l e r t i d k a n m a n o c k u p p d e l a klassen i skilda räknegrupper och då i n d i v i d u a l i s e r a a r b e t e t p å dessa, så s o m j u a l l t i d måste ske m e d de o l i k a k l a s s a v d e l n i n g a r n a i B - s k o l o r . D e t k a n j u v a r a o v i s s t , v i l k e t arbetssätt s o m ger bäst r e s u l t a t . A t t d e t senare är för läraren m e r b e t u n g a n d e , l i g g e r i öppen dag. H a n måste j u då v a r a ledare a v flera o l i k a a r b e t e n p å en gång.
E f t e r s o m de s a k l i g a e x e m p l e n v a n l i g e n gälla f ö r e k o m m a n d e m å t t för längder, y t o r , r y m d e r , v i k t e r o c h t i d e r , är d e t n a t u r l i g t o c h a v värde, a t t dessa i s t o r utsträckning användas s o m åskådningsmedel.
E ö r a t t klarlägga s k i l d a talvärden o c h räkneoperationer sammanför m a n s a k l i g t närbesläktade räkneexempel, så a t t varje lektion k o m m e r a t t gälla ett bestämt sak- och sortområde. O m därvid dithörande måttstor- heter hållas tillgängliga, så a t t b a r n e n i dessa v i n n a e r f o r d e r l i g åskåd- ningshjälp, är d e t t a ägnat a t t ge k l a r h e t i räkningarnas innebörd o c h b i d r a g e r s a m t i d i g t t i l l förtrogenhet m e d m å t t e t i fråga. — Eörst då flera sort- o c h räkneområden så b l i v i t g r u n d l i g t b e h a n d l a d e , är t i d e n i n n e för l e k t i o n e r m e d s. k . b l a n d a d e u p p g i f t e r i n o m dessa. A t t må- n a d s v i s efter g e n o m g å n g e n a v v i s s t k u r s a v s n i t t a n o r d n a provräknin- gar är också t i l l s t o r t g a g n , b l a n d a n n a t därför a t t läraren d å b l i r i tillfälle a t t se, v a d s o m b r i s t e r i barnens räkneinsikter.
I fråga o m s. k . mekaniskt räknande k a n hänvisas t i l l följande u t - t a l a n d e .1
»Matematikundervisnings möjligheter a t t påverka elevernas t a n k e - och v i l j e l i v måste anses b e t y d a n d e . D å t a n k e n s s k o l n i n g är en h u v u d - u p p g i f t för u n d e r v i s n i n g e n i räkning, följer därur, a t t b e g r i p a n d e t av k u n s k a p s s t o f f e t e n e r g i s k t måste eftersträvas. Beträffande de v a n - l i g a räkneoperationernas utförande är a t t märka, a t t m e k a n i s k säker- h e t b ö r k o m m a s o m e t t r e s u l t a t a v en o f t a företagen u p p r e p n i n g a v den tankegång, s o m l i g g e r b a k o m t e k n i k e n . O m b a r n e n inlära t e k - n i k e n g e n o m a t t a n v ä n d a s i n t a n k e , b l i r a r b e t e t m e d b e g r i p a n d e t i n t r e s s a n t . — A t t a n v ä n d a formler o c h schemata för lösning a v v a n l i g a e n k l a u p p g i f t e r är således olämpligt. D e böra lösas ej g e n o m använd- n i n g a v en inlärd f o r m e l u t a n g e n o m a t t en tankegång övas.»
1 Sc Den grundläggande matematikundervisningen av Frits Wigforss, 1925.
— (5 —
bi
E t t v i k t i g t l e d i räkncundcrvisningen utgör också a r b e t e t m e d a t t vänja b a r n e n v i d riktiga och tydliga uttryckssätt. D e t k a n j u synas självklart, a t t så väl lärare s o m b a r n b ö r a v i d u t r e d n i n g e n a v o l i k a räkningar tala svenska o c h söka få språkligt goda, n a t u r l i g a u t t r y c k , och ä n d o c k återstår d e t i d e t s t y c k e t m y c k e t a t t göra. E r f a r e n h e t e n v i s a r , a t t a l l t f o r t f a r a n d e m y c k e n d i m m i g h e t i b a r n e n s räkneföre- ställningar u p p k o m m e r j u s t därför, a t t m a n i n t e håller sig t i l l m o - dersmålet u t a n använder e t t m e d l a t i n s k a t e r m e r b e m ä n g t o c h k o n s t - l a t språk.
D e t är o c k a t t tillråda, a t t b a r n e n v i d s. k . h u v u d r ä k n i n g — sär- s k i l t i de högre klasserna — tillhållas a t t för s a k l i g a u p p g i f t e r k o r t och t y d l i g t ange lösnings sättet (»teckningen» a v u p p g i f t e n ) o c h först därefter resultatet. F ö r a t t b a r n e n skola lära s i g g o d o r d n i n g o c h s l i p p a ifrån s. k . s l a r v f e l , böra de likaså vänjas v i d a t t för s a k l i g a e x e m p e l i sina räkneböcker överskådligt o c h r e d i g t ange såväl räkne- vägeri (»teckningen») s o m själva räkneoperationerna.
A t t låta b a r n e n — åtminstone i de högre klasserna — få använda facit, är så t i l l v i d a fördelaktigt, s o m b a r n e n därigenom vänjas v i d självkontroll. D e t t a underlättar också lärarens a r b e t e , m e n gör g i v e t - vis i c k e lärarens särskilda g r a n s k n i n g överflödig, u t a n d e t l i g g e r t v ä r t o m m i n s t l i k a s t o r v i k t uppå, a t t f e l a k t i g h e t e r i b a r n e n s räkneböcker b l i för v a r j e g å n g o r d e n t l i g t rättade, s o m a t t d e t t a sker m e d deras rättskrivningsprov.
I I I . A k t u e l l a p r o b l e m i f r å g a o m lärogång" o c h l ä r o k u r s .
Särskild u p p m ä r k s a m h e t förtjänar frågan o m v a d s o m f a k t i s k t bör inläras a v räknevägar o c h räknebeteckningar o c h h u r lärostoffet bör fördelas p å o l i k a klasser. S o m r e d a n framhållits, är d e t förr a l l - m ä n t a n v ä n d a räknesystemet m e d d e f y r a räknesätten o c h tillhörande l a t i n s k a t e r m e r , d e t s. k . quatuorspeciessyslemet, i c k e i s i n h e l h e t l ä m p - l i g t för u n d e r v i s n i n g e n i våra f o l k s k o l o r . Därför måste m a n n u m e r a t a g a u n d e r särskild o m p r ö v n i n g , i v i l k a d e l a r d e t t a s y s t e m b ö r förenklas och ersättas a v för b a r n lämpliga räkneanorclningar.
A. Quatuorspeciessystemet i k r i t i s k belysning.
U t t a l a n d e n i o l i k a räknemetodiska a r b e t e n .
1. U t d r a g u r »Granskning av läroböcker för folkskolan jämte grund- satser för deras uppställning», t r e d j e häftet, 1887, underdånigt u t l å t a n d e a v därtill u t s e d d kunglig kommitté.1
a. »Beträffande räknesätten i bråk är a t t märka, a t t själva räknesätten, lagarna för dom, reglerna icke böra b l i andra än för hela t a l och icke böra framställas med andra modifikationer än dem, som b::tingas deraf, a t t m a n måste röra sig med e t t annat slag av talsorter än förut.»
b. »I exemplet: O m 1 k g . kostar 7 k r . , h v a d kostar | kg.? sökes först priset för | k g . genom a t t taga i av 7 k r . , d . ä. | k r . , och sedan m u l t i - pliceras med 5.»
c. »Division i allmänna bråk har u t g j o r t en svår stötesten, och m a n har nöjt sig m e d den mekaniska minnesregeln a t t vända u p p och ned på divisorn och a t t sedan utföra en m u l t i p l i k a t i o n , v i l k e n operation för bar- nen måste framstå som e t t rent konstgrepp. E n l i g t ovan angivna lag (Se mom. a) b l i r t i l l och med denna sak y t t e r s t enkel. När fråga b l i r om innehåll, t. ex. H u r många gånger |- innehålles i 2|,. erhålles svaret lätt, om båda talen förvandlas t i l l niondelar, t y a t t -| innehålles i 2 9* 12 gånger, är l i k a enkelt som a t t två kronor innehållas i 24 kronor 12 gånger.» — »När fråga b l i r o m delning (delberäkning), delas uppgiften i tvenne, t . ex. V a d kostar 1 h l . , om 3 | h l . (1 4 5) kosta 75 kronor? Då fördelas 75 kronor u t på de 15 •fjerdedelarna genom delning med 15, och så erhållas 5 kronor såsom priset på k v a r fjerdedels hektoliter, och därefter sökes svaret genom m u l - t i p l i k a t i o n . 4 x 5 k r . anger priset på 1 hl.»
2. U t d r a g u r »Lärogång vid den grundläggande undervisningen i räk- ning» 1891 av K. P. Nordlund.
a. Quaiuorspoeiesläran är i den grundläggande undervisningen förkast- lig, t y barnen k u n n a icke f a t t a varken de latinska termernas n a m n eller de olika räknesättens innebörd. D e t är både oegentligt och opedagogiskt a t t lämpa räknetermerna efter läran o m de hela talen och a t t sedan helt enkelt överflytta dessa på räkningen med bråk. Så ha exempelvis u t t r y c k e n multi- plicera och dividera k o m m i t a t t föranleda stor oklarhet och begreppsförvir- r i n g . I detta räknesystems heltalslära betydde nämligen multiplicera mång- faldiga, men i dess bråklära stundom mångfaldiga, stundom dela och stund- om bäggedera på en gång. Likaså betydde d i v i d e r a i heltalsläran dela, men i bråkläran stundom dela, stundom mångfaldiga, stundom bäggedera i före-
1 Att vara ledamöter i denna kommitté hade av Kungl. Maj:t utsetts: Chr. L . Anjou, N. J . O. H . Lindström, Carl Kastman, J . M. Ambrosius, I . A . Lyttkeus, J. E . Johansson, K . 0. Sjölander och P. A . Gödcckc. Vad som återfinnes i nämnda utlå- tande av dessa pedagogikens främste målsmän den tiden har ej blivit mig känt förrän efter utarbetandet av detta häfte, och. har det därför ej varit möjligt att återge så mycket av dess innehåll som varit önskligt.
— 8 —
n i n g och stundom något annat, föx v i l k e t barnen ej fingo lära något n a m n alls. ( I sista fallet avses dividera i betydelsen av förhållandet mellan två storheter.)
b. »Det är e t t betydande pedagogiskt missgrepp, a t t decimalbråksräkning tages före räkningen i allmänna bråk. Decimalbråksräkningen måste bygga på ordentligt genomgången kurs i allmänna bråk, försåvitt den ej i m y c k e t b l o t t skall b l i en besvärlig l e k med siffror.»
3. U t d r a g u r »Anteckningar i Räknemetodik» 1894—1896 av G. W.
Bucht och P. A. Svensk.
«Här må påpekas några mycket vanliga formella oriktigheten:
a- »g- 99r 5 k r i st. f. -| av 5 kr.>>
b. ((Förväxling a v u t t r y c k v i d de olika slagen av divisionsuppgifter. E x . H u r många veckor utgöra 56 dagar? Här får m a n ej säga, a t t m a n skall dela 56 dagar i 7 delar, u t a n a t t m a n skall undersöka, hur många ggr 7 dagar innehållas i 56 dagar.»
4. U t d r a g u r en uppsats: »Ett bidrag till räknemetodiken i folkskolan», 1905 av C. G. Hellsten.1
a. «En saklig undervisning driver genast fram under täckmanteln divi- sion två helt skilda tankegestalter, a v v i l k a den ena mäter: H u r stor? och den andra räknar: H u r många? D e t är ingalunda förvånansvärt, a t t b a r n i regel ha rätt dimmiga begrepp o m divisions användning, om m a n ger a k t på den sammanblandning av h e l t skilda saker, som räknesättsprincipen i detta avseende föranleder. — O m räknesätten t i l l a n t a l och beskaffenhet få bestämmas av v a d problemen kräva för a t t kunna enkelt och forstånds- enligt lösas, erhållas alltså i n o m a r i t m e t i k e n 5 enkla räknesätt: samman- läggning, fråndragning, m u l t i p l i k a t i o n , delberäkning och innehållsberäkning.»
b. »Om m a n v i d innehållsdivision säger, a t t förhållandet mellan en mindre storhet och en större storhet är detsamma som den förstnämnda dividerad m e d den andra, ger m a n ingen förklaring alls, t y det är j u s t detta: V a d det v i l l säga a t t dividera en mindre storhet med en större l i k a d a n storhet, som skulle förklaras.
5. U t d r a g u r Internationella matematiska undervisningskommissionens berättelse 1910 av Harald Dahlgren.2
a. »Vad som beträffande bråkräkningen i metodiskt avseende erbjuder det största intresset, är den gamla stötestenen, som består i svårigheten eller omöjligheten a t t överföra de från heltalsräkningen medförda multi- plikations- och divisionsbegreppen på bråkräkning, nämligen i de f a l l , då m u l t i p l i k a t o r och divisor äro bråk.» — »De föreställningar, som barnet från början k n y t e r t i l l m u l t i p l i k a t i o n och division kunna icke bibehållas v i d m u l t i p l i k a t i o n och division med bråk. D e t måste j u använda m u l t i -
1 Se Manhem, Tidskrift för uppfostran och. undervisning, 1906.
2 Se Berichte und Mitteilungen veranlasst durch die schwedische AbteiJung der internationalen mathematischen Unterrichtskommission, år 1911.
f l — 3 7 6 0 5 9 .
— 9 —
plikationstecknet, ehuru det cgcutligen är fråga om en delning, och det måste använda delningstecknet, ehuru sakförhållandet anger, a t t det sökta värdet är större än det kända. Då barnet icke har möjlighet a t t sammanhålla de tecknade räkneoperationerna, så blir den oundgängliga följden förvirring och osäkerhet. Här står man uppenbarligen inför svårigheter av betänklig art, svårigheter, som nog icke kunna övervinnas u t a n en vittgående meto- disk omläggning av den elementära aritmetiken, v a r v i d vetenskapens t i l l minsta a n t a l reducerade räknesätt helt eller delvis måste lämnas åsido.»
b. »Erfarenheten har visat, a t t algebraiskt betraktelsesätt och t i d i g t an- vändande av ekvationer utgör en fara så t i l l v i d a , som det för barnen b o r t från en n a t u r l i g tankegång v i d lösningen av enkla praktiska räkneproblem.»
G. U t d r a g u r »Den grundläggande matematikundervisningen» 1925 av Frits Wigforss.
a. D e n viktigaste anmärkningen o m räknesättens innebörd hänför sig t i l l divisionen. M y c k e n oklarhet i räkneundcrvisningen uppkommer, o m ej de två väsentligt skilda tankegångar uppmärksammas, som ligga bakom detta räknesätt. Dessa tankegångar äro så olika, a t t barnen böra uppfatta dem som två skilda räknesätt med olika namn och beteckning och l i k a strängt hålla dem i sär som de andra räknesätten. I den grundläggande undervis- ningen skulle m a n alltså kunna sägas ha fem räknesätt i stället för de sedvan- liga fyra.
b. »Hur många barn kunna ej svara, a t t £ X § = eller a t t £ : | = utan a t t de ha reda på vad som menas med att multiplicera med -| eller a t t dividera med §. M e d e t t sådant undervisningssätt börjar m a n betänkligt närma sig den gräns, där räkningen från a t t vara ett betydelsefullt arbete övergår t i l l a t t bliva en meningslös lek med siffror.»
B . H u v u d l i n j e r i »nyelementär räknemetod».
För a t t få o v a n b e r ö r d a svårigheter undanröjda h a m å n g a m e r eller m i n d r e planmässigt genomförda försök g j o r t s , s o m s y f t a t t i l l a t t få efter b a r n s förutsättningar n a t u r l i g t avpassat lärostoff. I d e t följande s k a l l visas h u v u d d r a g e n i d e n räknemetod, s o m u n d e r åren 1915—1935 närmare u t f o r m a t s i a r b e t e t m e d b a r n e n v i d F a l u f o l k s k o l e s e m i n a - r i u m s övningsskola.
U t m ä r k a n d e för d e n s a m m a är följande.
1. E f t e r s o m räkningen i f o l k s k o l a n avser b a r n m e d o b e t y d l i g för- måga a v a b s t r a k t i o n , b y g g e r m a n i d e n n a alltjämt p å e n s k i l d a f a l l o c h enkla räknesammanhang, o c h först v i d m e r a m o g e n ålder göras b a r n e n efter h a n d förtrogna m e d q u a t u o r s p e c i e s s y s t e m e t s a l g e b r a i s k a räkne- sättsbegrepp. — Sålunda användes i c k e i n o m heltalsläran d e t a b s t r a k t a räknebegrepp, s o m l i g g e r t i l l g r u n d för dess divisionsräkning, u t a n i stället särlägges, v a d s o m i d e t t a k a l l a s d i v i s i o n , i t v å från v a r a n d r a
— 10 —
h e l t s k i l d a räknesätt, innehållsberäkning och delberäkning. B a r n e r hänvisas sålunda e n l i g t d e n n a m e t o d i c k e t i l l f y r a räknesätt (3 e n k k och e t t m e d d u b b e l b e t y d e l s e ) u t a n t i l l 5 enkla räknesätt som grund pelare i s i t t räknande, nämligen 1. Sammanläggning. 2. Fråndragning 3. Gångertagning ( m u l t i p l i k a t i o n ) . 4 . Innehållsberäkning o c h 5. Del beräkning.
2. B a r n e n få för varje räknebegrepp (räknesätt) lära sig ett för dettc karakteristiskt beteckningssätt. O m u p p g i f t e n är a t t bestämma, h m många gånger 42 1 innehåller 3 1, t e c k n a s u p p g i f t e n m e d s e d v a n l i g l d i v i s i o n s t e c k e n . 42 1 : 3 1 = 14 g g r , m e n o m u p p g i f t e n är a t t beräkns tredjedelen a v 42 1, tecknas d e n i n t e s o m i q u a t u o r s p e c i e s s y s t e m e t mec s a m m a t e c k e n (42 1 : 3 = 141), u t a n här användes t e c k n i n g e n ^ • 42 1 =
= 14 1, där p u n k t t e c k n e t läses mm. F ö r de f e m e n k l a räknesätter.
äro alltså räknetecknen följande:
För addition För subtrak- , För multiplika-1 För innehålls- Pion tion beräkning
För delberäk- ning + (plus) ; — (minus) | X (gånger) | : (innehåller) j • (av) Å a n d r a s i d a n u n d v i k e s a t t för e t t o c h s a m m a b e g r e p p h a olika t e c k e n . Gånger t e c k n a s sålunda i n t e i vissa klasser m e d k r y s s t e c k n e t
» x » o c h i a n d r a klasser m e d p u n k t t e c k n e t » • » , u t a n d e t t e c k n a s alltid med k r y s s t e c k n e t » x » .
3. I bråkräkningen få b a r n e n a n v ä n d a de fem räknesätt, de lärt känna i n o m heltalsläran, o c h i precis samma betydelse som där, och hela bråkräkningen inläres s o m u t v i d g a d heltalslära. H ä r förekommer sålunda i n t e någon »multiplikation m e d bråk», s o m ger e t t mindre värde, än d e t s o m m u l t i p l i c e r a s , o c h i c k e h e l l e r n å g o n »division m e d bråk», som ger e t t större värde, än d e t s o m d i v i d e r a s . A t t beräkna en del av en s t o r h e t k a l l a s a l l t i d delberäkning, o c h b l i r d e t fråga o m a t t beräkna flera delar a v en s t o r h e t , hänvisas t i l l de t v å e n k l a räknesätt, delberäk- n i n g o c h m u l t i p l i k a t i o n , s o m inlärts u n d e r räkningen m e d h e l a t a l (se sid. 3 1 ) . — M o t s v a r a n d e gäller o m quatuorspeciessysteinets delnings- d i v i s i o n m e d bråk (se s i d . 3 2 ) . — U p p g i f t e r s o m innebära a t t bestämma förhållandet m e l l a n e t t m i n d r e m å t t o c h e t t större m å t t lösas också m e d e l s t s e d v a n l i g t reguladetritänkande. (Se s i d . 3 5 ) . F ö r s t i klass 7 få b a r n e n lära sig a t t för o l i k a slags u p p g i f t e r i n o m de s k i l d a divisions- a r t e r n a använda gemensamma beteckningssätt. Sålunda v i d g a s då deras u p p f a t t n i n g a v b e g r e p p e t förhållande t i l l a t t gälla både innchållsbe- räkning och förhållanderäkning, o c h u p p g i f t e r s o m innebära s. k . »del-
— 11 —
n i n g s d i v i s i o n m e d bråk», få de där lära sig a t t lösa m e d e l s t direkt t e c k n i n g .
Då här berörda r ä k n e m e t o d k o m m i t a t t kallas »nyelementär metod», innebär d e t t a i c k e , a t t däri använda räknevägar och beteckningssätt förut v a r i t h e l t okända i n o m d e n pedagogiska världen o c h i n o m m a t e - m a t i k e n . Sedan långt t i l l b a k a i t i d e n h a r m a n j u i n o m våra f o l k s k o l o r försökt a t t göra räkningens o l i k a p a r t i e r b e g r i p l i g a för b a r n e n o c h i åtskilliga s t y c k e n är här u p p t a g e t , v a d s o m så tillförts a v m e t o d i s k t v ä r d e för u n d e r v i s n i n g e n där.1 D e t är närmast i m o t s a t s t i l l d e t räknande, s o m a v g a m m a l t ä g t r u m i våra s k o l o r o c h där m a n f o r t - f a r a n d e använder quatuorspeciessystemets a l g e b r a i s k t b e t o n a d e d e f i - n i t i o n e r a v räknesätten, s o m d e n n a m e t o d k a n sägas v a r a nyelementär, i d e t d e n n a grundar såväl heltals- som bråkräkningen få 5 olika räkne- sätt o c h därvid låter dessa räknesätt alltjämt vara definierade få det aritmetiskt enkla sätt, s o m för heltalsläkningen är d e t n a t u r l i g a s t e o c h för b a r n m e s t b e g r i p l i g a . Närmare g r a n s k n i n g ger o c k v i d h a n d e n , a t t här förordade räknevägar i s i n g r u n d t o n f u l l t stämma överens med de lösningssätt, s o m p r a k t i s k a l i v e t s m ä n o c h k v i n n o r m e d s i t t n a t u r l i g t s u n d a o c h s a k t r o g n a tänkande merendels betjäna sig a v . N ä m n d a m e t o d utgör sålunda e t t l e d i vår t i d s strävanden a t t göra a r b e t e t i våra f o l k s k o l o r k l a r t i n r i k t a t p å v a d s o m i dessa b ö r v a r a främsta u p p g i f t e n , nämligen att fostra för den verksamhet, som möter inom livets många olika näringsområden. I d e n n a m e t o d lämnas där- j ä m t e åsido konstmässiga o c h för p r a k t i s k räkning obehövliga räkne- p r o c e d u r c r o c h — b å d e i fråga o m lösningssätt o c h t e r m i n o l o g i — be- gränsas lärostoffet till vad lösningen av dagliga livets räkneuffgifter kräver. Städse hålles uppmärksamheten så i främsta r u m m e t i n r i k t a d p å v a d s o m är t i l l g a g n för h u v u d m a s s a n a v vårt f o l k .
1 J f r exempelvis: Anjou-Kastman, Räknekonsten i folkskolan. 1874.
— 12 —
I V . N y e l e m e n t ä r r ä k n e m e t o d i b e l y s a n d e e x e m p e l . De olika räknesättens åskådliggörande, tekniska utformning och
användning.
Beteckningssätt o c h de y t t r e a n o r d n i n g a r n a i räknandet k u n n a g i v e t v i s väljas p å m y c k e t o l i k a sätt. D e t är e m e l l e r t i d i c k e o v i k t i g t , a t t d e n yttre formen b l i r p r a k t i s k t lämplig o c h karakteristisk för saken ifråga. D e n b ö r v a r a sådan, a t t d e n för b a r n e n k l a r t o c h t y d l i g t m a r - k e r a r d e n räkneväg, de h a a t t följa. A r b e t e t underlättas d ä r v i d o c k s å i h ö g g r a d , o m d e t f i n n s g o d överensstämmelse m e l l a n d e t s k r i f t l i g a o c h d e t m u n t l i g a uttryckssättet.
V i d s i d a n a v d e t t r a d i t i o n e l l a räknesystemets l a t i n s k a t e r m i n o l o g i ha u n d e r årens l o p p i o l i k a s k o l o r o c h räkneböckcr k o m m i t a t t a n - v ä n d a s e n s t o r m ä n g d a v räknetecken o c h t e r m e r , o f t a u t a n b e s t ä m d åtskillnad o c h förefintligt b e h o v . I här berörda m e t o d h a r g j o r t s e t t försök a t t få o b e h ö v l i g a o c h onödiga termer utgallrade o c h a t t få e n k e l - h e t , fast o r d n i n g o c h e n h e t l i g h e t i n ä m n d a avseende. G i v e t v i s u t e - s l u t e r d e t i n t e , a t t a n d r a uttryckssätt k u n n a användas, u t a n a t t m e - t o d e n i s i n grundkaraktär d ä r a v ändras.
F ö r a t t s a m m a n h a n g e t m e l l a n räkneanordningarna hela s k o l a n i g e - n o m s k a l l överskådligt framträda, h a r i följande framställning a v m e r a speciella drag i berörda metod lärogången a n g i v i t s för e t t räknesätt i sänder m e d e l s t för o l i k a klasser v a l d a e x e m p e l .1
A . De fem enkla räknesätten i h e l a t a l och bråk.
1. Sammanläggning [ 1 5 öre + 12 öre = 27 öre] . 2. Fråndragning [ 1 5 öre — 12 öre = 3 ö r e ] . 3. Gångertagning [ 3 x 5 ö r e = 15 öre] . 4 . Innehållsberäkning [ 1 5 öre : 5 öre = 3 g g r ] . 5. Delberäkning • 15 öre = 5 ö r e ] .
. S i d . 14—15 . S i d . 14—15 . S i d . 16—17 . S i d . 18—19 . S i d . 2 0 — 2 1
1 Den som önskar mera fullständig bild av lärogången enligt denna metod hän- visas t i l l de anvisningar, som till ledning upptagits i Eäbnelära i tal och bild av C. G-. Hellsten m. fl. och t i l l förutnämnda uppsats Räknesättsprincipen i den grund- läggande matematikundervisningen i Arbetssättet i folkskolan, av K . Nordlund
m. fl.
— 13 —
S a m m a n l ä g g n i n g o c h f r å n d r a g n i n g . H e l a t a l (klass 1 — 4 ) .
1 . Erik hade 7 kulor o c h Anna o hålor. Tillsammans?
7 k . + 5 k . = 12 k .
oo ooooo+O oooo
7 knlor 5 kulor
(»7 k u l o r och 5 k u l o r är 12 kulor»)
I klass 3—6 läses »plus»
2. Måns hade 9 äpplen. Han gav Stina 5 äpplen. H. m. kvar?
4 äpplen
9 ä. — 4 ä. = 5 ä. I klass 3—6 läses »minus».
43 Öre — 27 öre Svar: 16 öre.
OGOGQ GGGG (9 äppl., »ta bort» 4 äppl., n .. , är 5 äppl. k v a r .
y äpplen 1
3. Kajsa hade 43 öre och köpte kakor för 27 öre. H. m. hade hon sedan kvar?
\2> öre V i d uträkningen läses:
| | — 27 » 7 öre »ifrån» 3 öre — Går inte.
16 öre ^ r •'a? växla 1 tioöring. D å b l i r det 3 tioören och 13 ettören.
7 öre ifrån 13 öre är 6 öre.
i 2 tioör. » 3 tioör. » 1 tioör.
Obs! Räkningen får t i l l en början gälla ettören och tioören {ej ental och t i o t a l ) . Obs! D e t är tidsödande, f u l t och onödigt a t t v i d växlingen skriva 10 ovan-
för första termens siffror. (Strecket över siffran k a n vara t i l l hjälp som en »etta» i vissa fall). V i k t i g t är a t t barnen m e d slantar få utföra några sådana fråndragningar m e d växling.
4. Anna köpte på ett ställe 5 l 6 dl bär o c h på ett annat ställe 3 l 8 dl bär. På bägge ställena tillsammans?
I dl 56 d l 4- 38 d l = ?
Svar: 9 l 4 dl.
5 6 (första termen) -|- 3 8 (andra » )
9 4 (summan)
V i d uträkningen läses:
6 d l 4- 8 d l är 14 d l 14 d l är = 1 1 4 d l
1 1 4- 5 1 är 6 1 6 1 + 3 1 » 9 1 Svar: 94 d l eller 9 1 4 d l . 5. Brita vävde på måndag 7 m 5 cm tyg och på tisdagen 2 dm 7 cm.
H. m. mer vävde hon på måndagen än på tisdagen?
75 c m — 27 c m = ? Svar: 4 d m 8 c m mer.
dm cm I 7 c m ifrån 5 c m — Går inte.
X 5 ' D å får j a g »ta a v närmaste sort».
— 2 7 ; D e t b l i r 15 c m .
7 c m ifrån 15 c m är 8 c m , o. s. v . 4 8
— 14
A d d i t i o n o e l i s u b t r a k t i o n . B r å k (klass 5 — 6 ) .
6. Elsa köpte 2% l mjölk och Karin 3^ l. Tillsammans?
2* 1 + 3 | 1 — 5 | 1 = 6 l.\ Obs! Räkningen får gälla hela l i t e r och »tredje- delsliter» (buteljer).
7. Anna köpte 2f§ hg ost o c h Brita 9 hg. Hur mycket köpte Anna mer än Brita?
a) Med allmänt bråk
2-4 W J L k a = I M W 9 . W = 1 5 Vff 10 o 10 ' O -"-10 o 10 -Li 0J i&-
Räkningen gäller hela k i l o och tiondels-kilo (hg).
b) Med decimalbråk.
%i k g
— 0,0 »
1,8 k i
Skrivsättet med allmänt bråk visar räkningens innebörd tydligast. Räkning med allmänna bråk bör därför helst tagas före räkning med decimalbråk.
8. Einar läste på en läxa 11 timme, på en annan 32 min. och på en tredje
| tim. På alla tillsammans?
§ t i m . 1 | t i m . + | | t i m .
= l i g t i m . + | § t i m . + il t i m .
= 2 tim. 47 min.
Liknämniggörandet får mera k o n k r e t innebörd och b l i r lättare a t t förstå, o m m a n fast- håller, a t t m i n u t e r är detsamma som sex- tiondelstimmar och a t t räkningen alltså gäl- ler hela t i m m a r och sextiondelstimmar (min.).
O65/ Förlängningen och liknämniggörandet framstår enklare och n a t u r - ligare, då varje bråk behandlas för sig. Gemensamt bråkstreck använ- des därför ej.
9. Axels bok vägde 2\ kg. Hur mycket vägde den mer än Birgers, om Birgers vägde 1 kg 1 hg 75 g?
a) ^ H - lASfe H = 2 S k g - l j t f f e k g = l j f o k g = 1 kg 75 g.
b)
I i I I 2 , U 0 k g
— 1 . 1 7 5 »
1 , 0 7 5 k g
Som i n l e d n i n g t i l l lösningen av sådana exempel övas lämpligen sorlförvandlingar i fråga o m v i k t e r , och här- v i d påvisas a t t ex. 2 , 3 4 5 k g = 2 k g 3 hg 4 t i o g r . 5 g.
Obs! För åskådliggörandet av sådana sortförvandlingar finns i »Hellstens räknemateriell» särskilt anord- n a t viktställ. ( H o s P . A . N o r s t e d t & Söner.)
— 15 —
Gång- e r t a g n i n g . H e l a t a l (klass 2—4.) 1. En kaka kostar 5 öre. Vad kosta 3 kakor?
© © © © © + © © © © © + © © © © ©
3 x 5 öre = 15 öre.
(Gångerfcal) (Produkt)
Obs! Som tecken för gånger användes det lutande 5 öre 5 öre 5 öre korstecknet » X » ock
icke punkttecknet.
(Detta är i enlighet med de beteckningar, som för matematiken utarbetats av »Com- mission électrotechni- que internationale»
och av K . Skolöver- styrelsen förordats för r i k e t s skolor.) Obs! Gångertagningen inläres som en »upprepad sammanläggning». M u l t i -
plikationstabellerna få växa fram ur additionsserier. På g r u n d av defi- n i t i o n e n av räknesättet måste t y d l i g e n gångertalel a l l t i d vara helt tal.
D e t skall j u ange antalet termer i den upprepade sammanläggningen.
2. En kaka kostade 3 öre. Vad kostade då 5 kakor?
© © © + © © © + © 0 © + © © © + © © © 3 öre 3 öre 3 öre 3 öre
5 x 3 öre — 15 öre.
Obs! Innebörden av denna t e c k n i n g är en helt annan än v a d teck- ningen i ex. 1 anger.
(Se figurerna.)
3. Vad skall man betala för 23 kartböcker, om varje kartbok kostar 1 kr 45 öre?
23 X 145 öre = 3 335 öre. J Uträkning:
Svar: 33 kr 35 öre.
1.
145 ( M u l t i p l i k a n d ) X 23 (Gångcrtal)
435 290
3335 (Produkt)
Erik köpte 145 skrivböcker. Han skulle få dem för 23 öre stycket.
Vad skulle han då betala?
145 x 23 öre = 3 335 öre.
Svar: 33 kr 35 öre.
Uträkningen göres med samma uppställ- n i n g som i ex. 3. D e t påpekas, a t t
145 X 23 är l i k a m y c k e t som 23 X 145.
Teckningen bör dock alltid göras enligt det sakliga sammanhanget.
— 16 —
G å n g e r t a g n i i i g ( M u l t i p l i k a t i o n ) . B r å k (klass 5—6).
5 . Hur mycket saft är det i 7 muggar, om det är | liter på varje flaska?
7 X | I - V 1 4f Obs! V i d klarläggandet a v lösningen fasthålles.
a t t sorten är »tredjedelsliter» (buteljer).
6. Hur mycket tyg behövs det till 9 klänningar, om det till varje klän- ning beräknas a) 2j\-t m? b ) 2,3 m?
a) 9 X 2 ^ m = 9 X | | m = 2 7°n 7 m = 20?f f m . I Sorten tankes vara tiondels- meter ( d m ) .
b) 9 X 2,3 m = ?
Svar: 20,7 m. U t - 2,3 räk- , X 9 ning 20,7
Obs! Först uträknas 9 X 23 = 207. Se- dan säges: »Det v a r i n t e 23 hela.
som skulle tagas 9 ggr, u t a n 23 tiondelar. Därför b l i r det 207 tion- delar eller 20,7.
Obs! M u l t i p l i k a t i o n m e d bråket tecknat som ällmänt bråk är lättare a t t förstå. Därför är det bäst a t t inlära detta, i n n a n man inlär m u l t i p l i - k a t i o n i decimalbråk.
Obs! Även i n o m bråkläran får m u l t i p l i k a t i o n ha betydelsen a v uppre- pad sammanläggning. Gångertalet måste alltså även här a l l t i d vara e t t helt t a l och produkten blir alllid större än mulliplikanden.
7. Erik skulle rensa 14 blomsterland. Hur lång tid behövdes därtill, om han arbetade 1^ timme på varje land?
D å »förkortningen av ut- trycket» inläres, löses upp- giften först u t a n förkort- 14 X 1 ^ t i m . = -H X j f t i m . =
= " 9 t i m . = 1 9 | t i m . = 19 tim. 50 min. n l nS - b 0
8. På £ minut gjorde ett hjul 24,5 varv. Hur mänga varv gjorde det då på 1 minut?
6 x 24,5 v a r v = 147 varv. Uträkning: 24,5 X 6 147,0
06s/ Uppgiften löses medelst m u l t i p l i k a t i o n och icke genom någon slags
»division med såsom skedde i räkning enligt quatuorspeciessyste- rnot, då m a n skrev: 24,5 v a r v : | = 24,5 x 6 = 147 varv.
f2—376059 — 17 —
I n i i e l i å l l s b e r ä k i i i i i g . H e l a t a l (klass 3 — 4 ) .
1. Hur många gånger han Erik plocka undan 3 kulor, om han har 15 kulor1?
3 kulor I Obs! M a n säger inte: »15 k u l o r
ooo ooo ooo ooo ööo
d i v i d e"
a\ ^ ]
m-
Tecknet »:» läses a l l t i d »inne- håller».
Obs.! Inledningsvis lösas så- 15 kulor : 3 kulor = 5 ggr. dana uppgifter med mpp-
repad f råndragning >.
(Läses: »15 k u l o r innehåller 3 kulor 5 ggr»).
2. Hur många 5-öres bullar får man för 35 öre?
Obs! Sådana lätta exempel få barnen lära sig a t t lösa redan i småskolan, men då rätt så länge utan teckning med något divisionstecken. D e pröva sig då fram t i l l resultatet m e d hjälp av multiplikationstabellen.
Obs! övergång t i l l svaret erhålles genom a t t låta barnen säga som så: »För varje gång j a g kan få u t 5 öre, får j a g en bulle. Alltså b l i r det här 7 bullar.
35 öre : 5 öre — 7 ggr.
Svar: 7 bullar.
3. Hur många dygn är 510 timmar?
510 t i m : 24 t i m . = ?
»Det stora »Det lilla måttet» måttet>
Svar: 21 dygn (6 t i m över).
Uträkning:
510 - 4 8
30
— 24 6
24 21
Läsning v i d uträkningen:
24 »går i» 5.1 2 ggr.
2 X 24 = 48.
24 »går i» 30 1 gång 1 X 24 = 24,
4- Axels skolväg är 1 km 750 m, Britas 250 m. Hur många gånger längre är Axels skolväg än Britas?
1 750 m : 250 m = 7 ggr. Svar: 7 ggr längre.
Innehållstalet |
Obs! Innehållsberäkningen måste ordentligt klarläggas, t y på den grundar sig bland annat a) Förvandling till högre sort (jfr ex. 3) och b) Be- räkningar av hur många gånger större en storhet är än en annan (jfr ex. 4).
— 18 —
Innehållsberakning (Division).
Bråk (klass 5—7).
5 . Hur många klänningar kan det bli av 23, S m tyg, om det till varje klänning behövs 14 dm?
23,8 m : 14 dm = 238 dm : 14 dm = 17 ggr. V i d innehållsberäkning måste , „ , . . båda måtten uttryckas i Svar: It klänningar. a„m M. „ „™#
B samma sort.
6. Hur många gånger kan man a) ur 14 l saft få 2 l saft? b) ur 14 but.
få 2 but. saft? c) ur é\ l få § l? d) ur 1,4 l få 2 dl?
a) 14 1:2 1 = 7 ggr. , c) *,T4 1 : § 1 = 14 tredjedelslit. : 2 tredjedels-
| lit. = 7 ggr.
b) 14 b u t : 2 but = 7 ggr. , d) 14 tiondelslit. : 2 tiondelslit. = 7 ggr.
Obs! Med sådaua exempel visas, att innehållstalel är oberoende av sortens beskaffenhet och storlek, om blott denna är densamma för båda måt- ten.
7. Hur många lådor socker med 2,5 kg i varje kan man få av 147,5 kg socker?
147,5 kg : 2,5 kg =
= 1475 h g : 25 hg =
= 59 ggr.
Svar: 59 lådor.
1475 I 25 I 25
225
— 225 59
För att få heltalsvärden förvandlas båda måtten till lägre sort (i detta fall till hektogram)
8. Hur många flaskor saft blir det av 8}2 l saft, om det går | l på varje flaska?
sl 1 : 1 1 = ¥ 1 : I 1 = V 1 : é 1 = 51 sjättedelslit. : 4 sjätte delslit.
- 12\ ggr.
Svar: \1\ flaskor.
9. Hur många muggar mjölk blir det av 7\ l mjölk, om varje mugg rym- mer 0,5 l?
7* 1:0,5 1 = 7,25 1:0,5 1 =
= 725 hundradelslit: 50 hundradelslit = 14,5 ggr Svar: 141 muggar.
725 I 50
225 200 250 250
— 19 —
D e l b e r ä k n i i i g . H e l a t a l (klass 3 — 4 ) .
1. En kaka delas lika mellan 3 pojkar. Hur stor del av kakan får var och en?
Obs! D e t t a är d e t allmänt an- Svar: a) ( M u n t l i g t ) >>En tredjedel
av kakan», b) (Skriftligt) £ kaka.
tagna uttrycks- och skriv- sättet. Så måste alla lära sig a t t säga och. skriva.
2. En kaka, som kostade 15 öre, delades lika mellan 3 pojkar. Hur mycket skiäle var och en betala?
| • 15 öre = 5 öre.
(Läses öre.)
-| av 15
Obs! D e t är här fråga o m samma slags delning som i ex. 1 . — Därför böra här uttryckssätt och skrivsätt vara desamma som där.
Obs! Teckningen | • 15 öre lästes förr (enligt quatuorspeciessystemets p r i n - ciper) » | gånger 15 öre. I p r a k t i s k a l i v e t h a r man emellertid f u n n i t detta uttryckssätt vara onaturligt, och numera har m a n ganska all- mänt både i folkskolor och realskolor övergått till läsningen »| av 15 öre». — M a n säger inte längre, a t t »1 k m är fa gånger 1 m i l , u t a n »1 k m är -fa av 1 mil», inte heller »att räntan är en procent ( j y0) gånger k a p i - talet» u t a n 1 % av kapitalet. D e t står i n t e i våra deklarationsblan- ketter, a t t v i där skola uppgiva fa gånger förmögenheten, u t a n fa av denna. I sådant räknande är det j u inte alls fråga om någon multi- plikation (upprepad sammanläggning), u t a n uppgiften är j u a t t be- stämma en del av storheten. Med här valda utgångspunkter bör då detta räknesätt inte heller kallas m u l t i p l i k a t i o n u t a n delberäkning.
Räknetecknet bör i n t e vara » X » u t a n e t t av-tecken. Som sådant an- vändes här a l l t i d punkttecknet »•».
3 . För 7 kg socker betaltes 4 kr 34 öre. Priset på 1 kg?
1-434 öre
»Det hela»
62 öre.
s Delen >
(Läses i av 434 öre.]
Uträkning i • 434 - 62
— 42 14 - 14
Läsning v i d uträkn.:
» i a v 43 är 6»
»i av 14 är 2»
- 20 —
I ) e l b é r ä k n i n g . B r å k (klass 5 — 7 ) .
4 . 171 1 mfäk slås Tå 4 ilskor, lika mycket på varje. Hur mycket mjöl blir det få varje flaska?
I . 1 7 | l = i . f l ^ f 1 = 4 | 1 . | Som sort tankes här »tredjedelsliter» (bu I tel] er).
Obs! I klass 5 böra alla hithörande exempel vara sådana, a t t delberäkningej k a n göras utan förändring a v nämnaren (sorten).
5 . 19,2 l mjölk slogos få 6 flaskor, lika mycket få varje. Hur mycke blev det få varje flaska?
1-19,2 1 = ? (Läses: i av 19,2 1).
Uträkning: i -19,2 = 3,2 j Läsning v i d uträkn.
— 18 12
— 12
-i a v 19 är 3
»Slut på de hela, decimalkomma.»
i av 12 är 2
6. Hur mycket är a) * a v }• kaka? b ) ^ av § kaka?
Obs! För dessa uppgifters lösning kräves en annan tankegång, än de s o n mött i heltalsräkningen. D e n är något för bråkräkningen säreget.
Egentligen innebär den e t t fortsatt klarläggande av bråkbegreppet.
Obs! Sådana uppgifter, där delberäkningen kräver förändring av nämnaren.
behandlas först i klass 6.
7. För att cykla 10 mil använde Olle 8h timmar. Hur lång tid behövde han för varje mil?
5
^5 • 8^ t i m . — fa' ^ t i m . = | t i m . = I Teckningen läses: »fa av 8J tim».
— 50 min Räknesättet är delberäkning ' | (icke m u l t i p l i k a t i o n ) .
Obs! V i d uträkningen k a n m a n visserligen i samband med omskrivning av u t t r y c k e t använda s. k . gemensamt bråkstreck. D e t t a är emellertid alldeles onödigt. Förkortningen k a n l i k a gärna göras med u t t r y c k e t så skrivet, som här i exemplet a n g i v i t s .
— 2 1 —
