III. Analys av rationella funktioner

En webbaserad analyskurs Grundbok

III. Analys av rationella funktioner

Anders K¨all´en MatematikCentrum LTH

anderskallen@gmail.com

Introduktion

Vi ska nu diskutera en st¨orre klass av funktioner ¨an polynomfunktionerna, n¨amligen de som ber¨aknas som kvoter av polynom. De kallas rationella funktioner och har allts˚a formen

f (x) g(x),

d¨ar f (x) och g(x) b˚ada ¨ar polyom, vilka vi normalt antar inte har n˚agot gemensamt nollst¨alle. I motsats till polynomfunktioner, som ¨ar definierade f¨or alla x, ¨ar rationella funktioner endast definierade i punkter d¨ar g(x)6= 0. Vi skriver dock inte ut detta villkor explicit n¨ar vi definierar rationella funktioner. Notera ocks˚a att en polynomfunktion ¨ar en rationell funktion. Om vi n¨amligen tar som g den funktion som identiskt ett ser vi ur definitionen att polynomfunktionen f ocks˚a ska r¨aknas till de rationella funktionerna.

N¨ar vi analyserar rationella funktioner g¨or vi i princip samma saker som vi g¨or f¨or po- lynomfunktioner, men det tillkommer ytterligare saker att diskutera, n¨amligen vad som h¨ander d˚a|x| ¨ar stor liksom vad som h¨ander d˚a vi n¨armar oss de punkter d¨ar n¨amnaren har ett nollst¨alle.

Derivatan av en kvot

Vi har definierat derivatan av en funktion f p˚a f¨oljande s¨att: funktionen ¨ar deriverbar i en punkt a om det f¨or x i n˚agon omgivning^[1] till a g˚ar att skriva

f (x)− f(a) = A(x)(x − a),

d¨ar A ¨ar en funktion som ¨ar kontinuerlig i punkten a. V¨ardet A(a) betecknade vi f⁰(a) och kallade derivatan av f i punkten a.

Exempel 1 Den rationella funktionen f (x) = _x¹ ¨ar deriverbar i alla punkter a 6= 0.

Vi har n¨amligen att

f (x)− f(a) = 1 x− 1

a =− 1

xa(x− a),

och funktionen A(x) = −_ax¹ ¨ar kontinuerlig i x = a. Dess v¨arde i punkten a ¨ar A(a) =−1/a², s˚a vi har att

(1

x)⁰(a) =− 1 a².

Detta exempel generaliseras till f¨oljande viktiga derivationsformel.

Sats 1

Om funktionen g ¨ar deriverbar i punkten a och g(a)6= 0, s˚a g¨aller att ¨aven funktionen 1/g ¨ar deriverbar i a och

(1

g)⁰(a) =−g⁰(a) g(a)².

Bevis. Om vi skriver f (x) = 1/g(x), s˚a g¨aller att f (x)− f(a) = 1

g(x)− 1

g(a) =−g(x)− g(a) g(x)g(a) .

Men vi kan skriva g(x) − g(a) = Ag(x)(x− a) d¨ar Ag(x) ¨ar kontinuerlig i x = a med v¨ardet Ag(a) = g⁰(a). Det f¨oljer att

f (x)− f(a) = − Ag(x)

g(x)g(a)(x− a).

J¨amf¨ort med definitionen av derivatan har vi allts˚a A(x) =−A^g(x)/g(x)g(a), vilket ¨ar en kontinuerlig funktion n¨ara a eftersom g(a) 6= 0. Dess v¨arde i a ¨ar A(a) = −A^g(a)/g(a)² =

−g⁰(a)/g(a)².^[2] D¨armed ¨ar satsen bevisad, eftersom f⁰(a) = A(a).  Med hj¨alp av produktformeln f¨or derivation f˚ar vi ur denna sats att

(f

g)⁰(a) = f⁰(a)g(a)− f(a)g⁰(a)

g(a)² .

Vi har n¨amligen enligt formeln f¨or derivation av en produkt^[3] att (f

g)⁰(a) = (f· 1

g)⁰(a) = f⁰(a) 1

g(a) + f (a)(1

g)⁰(a) = f⁰(a)g(a)− f(a)g⁰(a)

g(a)² .

Exempel 2 Vi ska derivera funktionen

f (x) = x²+ 1 x³− x + 2. Derivationsformeln ovan ger d˚a att

f⁰(x) = (x²+ 1)⁰(x³− x + 2) − (x²+ 1)(x³− x + 2)⁰ (x³− x + 2)²

= 2x(x³ − x + 2) − (x² + 1)(3x²− 1) (x³− x + 2)² = 2x⁴− 2x²+ 4x− 3x⁴− x²− 3x² + 1

(x³− x + 2)² = −x⁴− 4x²+ 4x− 1 (x³− x + 2)² .

Vertikala asymptoter

Vi ska nu unders¨oka en rationell funktion i n¨arheten av en punkt d¨ar dess n¨amnare ¨ar noll. Vi g¨or det i exempelform.

Exempel 3 Funktionen

f (x) = 1 x− a

¨ar definierad i alla punkter utom x = a. Om vi n¨armar oss a fr˚an h¨oger, vilket vi skriver x→ a⁺, s˚a g¨aller att x− a > 0 och blir mindre och mindre. Det betyder att 1/(x− a) blir st¨orre och st¨orre, utan att n˚a n˚agon ¨ovre gr¨ans. Vi skriver det som att

x→alim⁺ 1

x− a =∞.

Om vi ist¨allet n¨armar oss a fr˚an v¨anster, vilket vi skriver x → a⁻, s˚a g¨aller att 1/(x− a) blir stor negativ utan n˚agon nedre gr¨ans. Vi skriver det

x→alim⁻ 1

x− a =−∞.

y

a x

Vi s¨ager att den vertikala linjen x = a ¨ar en ver- tikal asymptot, och teckendiskussionen ovan talar om f¨or oss vad som h¨ander d˚a vi n¨armar oss den.

Om vi g˚ar fr˚an v¨anster till h¨oger genom a, hoppar grafen fr˚an −∞ till +∞.

Vidare ser vi att d˚a x → ∞ eller x → −∞, s˚a g¨aller att f (x)→ 0. Vi skriver det som

x→±∞lim 1

x− a = 0,

och linjen y = 0 kallas en horisontell asymptot till kurvan y = 1/(x− a).

Exempel 4 Betrakta nu ist¨allet funktionen

y

a x

f (x) = 1 (x− a)²,

som ocks˚a har en vertikal asymptot i x = a. Men f¨or den g¨aller att

x→alim⁺ 1

(x− a)² = lim

x→a⁻

1

(x− a)² =∞.

Aven nu ¨ar naturligtvis y = 0 en horisontell asymp-¨ tot b˚ade i plus och minus o¨andligheten.

Anm¨arkning Som kommentar kan vi bara notera hur den moderna definitionen av att limx→a⁺f (x) = +∞ ser ut. Den ¨ar att oavsett hur stort A vi tar, finns ett δ > 0 s˚a litet att n¨ar 0 < x− a < δ s˚a g¨aller att f (x) > A. P˚a motsvarande s¨att definieras n¨ar v¨anstergr¨ansv¨ardet g˚ar mot o¨andligheten. Det tv˚asidiga gr¨ansv¨ardet limx→af (x) = +∞ betyder att f(x) > A d˚a 0 <|x − a| < δ.

Vi tar sedan ett exempel med flera vertikala asymptoter.

Exempel 5 Betrakta den rationella funktionen f (x) = x³

x² − 1

som ¨ar definierad d˚a x 6= ±1. De tv˚a r¨ata linjerna x = −1 och x = 1 ¨ar d¨arf¨or vertikala asymptoter till funktionens graf. F¨or att se hur grafen ser ut n¨ara x = 1, faktoriserar vi n¨amnaren och ser att

f (x) = x³

(x− 1)(x + 1) ≈ 1 2(x− 1), s˚a vi har att

x→1lim⁺f (x) =∞, lim

x→1⁻f (x) =−∞.

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−2 −1 1 2

x

N¨ara x =−1 har vi p˚a liknande s¨att att f (x) = x³

(x− 1)(x + 1) ≈ 1 2(x + 1), n¨ar x ligger (v¨aldigt) n¨ara 1, s˚a vi har ocks˚a att

x→−1lim⁺f (x) =∞, lim

x→−1⁻f (x) =−∞.

Alternativt kan vi i det h¨ar fallet g¨ora en tec- kentabell d¨ar vi har tagit med b˚ade t¨aljarens och n¨amnarens alla nollst¨allen:

x : −1 0 1

f (x) : − † + 0 − † +

Ur denna tabell kan vi sedan utl¨asa vad som h¨ander d˚a vi n¨armar oss de punkter d¨ar f inte ¨ar defini- erad. Detta ¨ar bekv¨amt om det g˚ar, men kr¨aver

att vi kan hitta alla nollst¨allen till b˚ade t¨aljare och n¨amnare.

Vi ser allts˚a att nollst¨allena i n¨amnaren till en rationell funktion ger upphov till verti- kala asymptoter, och n¨ar vi ska f¨orst˚a grafen f¨or funktionen beh¨over vi studera vilken

o¨andlighet vi n¨armar oss n¨ar vi n¨armar oss asymptoten. Vi kan n¨arma oss denna fr˚an tv˚a h˚all, och det beh¨over inte vara samma o¨andlighet i de tv˚a fallen.

Om gr¨ ansv¨ arden i o¨ andligheten

Ofta beh¨over man f˚a en uppfattning om hur en funktion f (x) ser ut d˚a x antingen ¨ar v¨aldigt stor och positiv eller v¨aldigt stor och negativ. Man g¨or detta genom att unders¨oka gr¨ansv¨ardena

x→∞lim f (x) och lim

x→−∞f (x),

och mest intressant ¨ar dessa n¨ar de blir ¨andliga tal. F¨or polynom ¨ar dessa gr¨ansv¨arden alltid plus eller minus o¨andligheten, men f¨or en rationell funktion kan vi f˚a ett ¨andligt gr¨ansv¨arde. Detta intr¨affar n¨ar polynomen i t¨aljaren och n¨amnaren har samma grand- tal. N¨asta exempel illustrerar hur man mer formellt best¨ammer ett s˚adant gr¨ansv¨arde.

Exempel 6 F¨or att ber¨akna

x→∞lim

5x²+ 2x + 1 x² + 2x

b¨orjar man med att bryta ut den snabbast v¨axande termen^[4] ur b˚ade t¨aljare och n¨amnare:

5x²+ 2x + 1

x² + 2x = x²(5 + ²_x +_x¹2) x²(1 + _x²) . Sedan f¨orkortar vi bort x² och noterar att d˚a x→ ∞ g¨aller att

5 + 2 x+ 1

x² → 5, 1 + 2 x → 1, vilket betyder att

x→∞lim

5x²+ 2x + 1

x² + 2x = 5 + 0 + 0 1 + 0 = 5.

Inf¨orandet av nollorna i uttrycket ¨ar f¨or att f¨ortydliga vad som h¨ander med termerna 2/x, 1/x² respektive 2/x d˚a x→ ∞.

Det viktiga att komma ih˚ag h¨ar ¨ar att bryta ut den snabbast v¨axande termen och sedan f¨orst j¨amf¨ora dem i t¨aljare och n¨amnare (kanske g˚ar de inte att f¨orkorta). Den andra faktorn i b˚ade t¨aljare och n¨amnare ska ha ett gr¨ansv¨arde och hanteras enkelt med nollorna som ovan.

Vi kommer att kunna ber¨akna s˚adana gr¨ansv¨arden i n¨asta avsnitt.

Sneda asymptoter

I Exempel 5 unders¨okte vi aldrig vad som h¨ander d˚a x → ±∞. F¨or stora x har vi att x² − 1 ≈ x^2[5], s˚a kvoten x³/(x² − 1) blir ungef¨ar x och g˚ar d¨arf¨or mot o¨andligheten d˚a x→ ∞, och minus o¨andligheten d˚a x→ −∞.

Men inte bara det, avst˚andet mellan grafen till funktionen och den r¨ata linjen y = x blir mindre och mindre d˚a |x| → ∞. Tydligast ser vi detta om vi g¨or f¨oljande omskrivning:

x³

x²− 1 = x³− x + x

x²− 1 = x + 1 x²− 1. Vi ser d˚a att

f (x)− x → 0 d˚a |x| → ∞.

Vi s¨ager att linjen y = x ¨ar en sned asymptot till funktionens graf. I det h¨ar fallet g¨aller detta b˚ade i plus o¨andligheten och i minus o¨andligheten.

Allm¨ant s¨ager vi att linjen y = kx + m ¨ar en sned asymptot i o¨andligheten till grafen till funktionen f om

f (x)− (kx + m) → 0 d˚a x→ ∞.

Vi s¨ager att den ¨ar en sned asymptot i minus o¨andligheten om detta g¨aller d˚a x → −∞.

F¨or rationella funktioner kan man best¨amma sneda asymptoter genom polynomdivision som vi gjorde ovan. Man kan ocks˚a notera att f¨or en sned asymptot y = kx + m i o¨andligheten g¨aller att

x→∞lim f (x)

x = k, och n¨ar vi har best¨amt k f˚ar vi

m = lim

x→∞(f (x)− kx).

I v˚art exempel f˚ar vi

k = lim

x→∞

f (x)

x = lim

x→∞

x²

x²− 1 = lim

x→∞

1

1− _x¹² = 1 och sedan att

m = lim

x→∞(f (x)− x) = lim_x→∞x³− x(x²− 1)

x²− 1 = lim

x→∞

x

x²− 1 = lim

x→∞

1

x−_x¹ = 0.

Detta ger att asymptoten i o¨andligheten ¨ar y = x.

P˚a motsvarande s¨att best¨ams sneda asymptoter i minus o¨andligheten. Denna metod m˚aste ibland tas till n¨ar man analyserar icke-rationella funktioner, och ¨ar d¨arf¨or mer generell

¨an polynomdivision som fr¨amst fungerar f¨or rationella funktioner.

Anm¨arkning F¨or rationella funktioner g¨aller att de alltid m˚aste ha samma asymp- tot i de tv˚a o¨andligheterna. Detta d¨arf¨or att vi efter polynomdivision kan skriva en rationell funktion som

f (x) = kx + m + p(x) q(x)

d¨ar gradtalet p˚a polynomet p(x) ¨ar < gradtalet p˚a polynomet q(x). Det g¨aller emel- lertid inte f¨or funktioner som inte ¨ar rationella funktioner – s˚adana kan mycket v¨al ha olika asymptoter i de tv˚a o¨andligheterna. Ett exempel p˚a detta har vi h¨arn¨ast.

Exempel 7 Vi ska best¨amma de sneda asymptoterna till grafen till funktionen f (x) = x²− 2|x|

x− 1 .

Vi f˚ar d˚a analysera de tv˚a o¨andligheterna var f¨or sig. H¨ar igenom kan vi “l¨osa upp”

absolutbeloppet.

Om x > 0 har vi att

f (x) = x²− 2x

x− 1 = (x− 1)²− 1

x− 1 = (x− 1) − 1 x− 1,

och n¨ar x→ ∞ g¨aller att den andra termen g˚ar mot noll. Det betyder att skillnaden f (x)− (x − 1) → 0

d˚a x→ ∞, och allts˚a att y = x− 1 ¨ar en asymptot i o¨andligheten.

D˚a x < 0 har vi att

f (x) = x²+ 2x

x− 1 = x + 3 + 3 x− 1.

−6

−4

−2 2 4 6

−6 −4 −2 2 4 6

x

Detta kan ses genom t.ex. en vanlig poly- nomdivision^[6]. Vi kan ocks˚a anv¨anda den s¨akra metoden ovan:

k = lim

x→−∞

x²+ 2x x²− x = 1, m = lim

x→−∞(x²+ 2x

x− 1 − x) = lim_x→−∞ 3x x− 1 = 3.

Vilket vi ¨an g¨or f˚ar vi att kurvan har asymp- toten y = x + 3 i minus o¨andligheten.

Anm¨arkning I figuren i exemplet, och kommande exempel, ¨ar kurvan datorritad n¨ara asymptoten. Hur kurvan verkligen n¨armar sig asymptoten (underifr˚an, ¨overifr˚an, oscillerande kring den) kan vara sv˚art att avg¨ora, och det enda vi bryr oss om ¨ar att kurvan n¨armar sig asymptoten n¨ar x blir stor respektive liten.

Anm¨arkning Asymptoter ¨ar inte n˚agot som bara finns till grafer av funktioner, utan

¨aven en allm¨annare kurva kan ha en asymptot. T.ex. g¨aller att hyperbeln x²− y² = 1 har de tv˚a asymptoterna y =±x. En r¨at linje kallas en asymptot till en given kurva om det vinkelr¨ata avst˚andet fr˚an en punkt P p˚a kurvan till linjen g˚ar mot 0 d˚a

avst˚andet fr˚an P till origo g˚ar mot o¨andligheten.

Grafritning av rationella funktioner

Vi ska nu komplettera diskussionerna om asymptoter ovan med att lite mer fullst¨andigt skissera grafen f¨or funktionerna i exemplen ovan. Vi b¨orjar dock med ett annat exempel.

Exempel 8 Vi ska skissera grafen till funktionen f (x) = x²

1− x³.

i Exempel 5. N¨amnaren ¨ar noll endast d˚a x = 1, funktionen x³ ¨ar str¨angt v¨axande fr˚an−∞ till ∞, s˚a ekvationen x³ = 1 har precis en l¨osning. Vi ser ocks˚a att

x→1lim⁻ x²

1− x³ =∞, lim

x→1⁺

x²

1− x³ =−∞

Vidare ser vi att

|x|→∞lim x²

1− x³ = 0.

Vi har d¨arf¨or en horisontell asymptot y = 0 i b˚ade plus och minus o¨andligheten.

−6

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

x

Efter att gjort en skiss baserat p˚a den- na information vill vi nu identifiera even- tuella lokala extrempunkter. F¨or det ber¨aknar vi derivatan

f⁰(x) = 2x + x⁴ (1− x³)².

Denna ¨ar noll d˚a x = 0 eller x³+2 = 0, allts˚a d˚a x = −√³

2. Vi g¨or nu f¨oljande teckentabell

x : −√³

2 0 1

f⁰(x) : + 0 − 0 + † +

f (x) : % −¹₃2^2/3 & 0 % † % Vi ser att vi har ett lokalt maximum d˚a x =−√³

2 och ett lokalt minimum i x = 0.

Exempel 9 Vi ska nu skissera grafen till funktionen f (x) = x³

x²− 1.

Vi har redan noterat att de vertikala asymptoterna ¨ar x =±1 och att

x→−1lim⁻f (x) = lim

x→1⁻f (x) =−∞, lim

x→−1⁺f (x) = lim

x→1⁺f (x) =∞.

Vidare s˚ag vi att y = x ¨ar sned asymptot i b˚ade plus och minus o¨andligheten.

−6

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

x

Om vi fr˚an detta f¨ors¨oker visualisera grafen f¨or funktionen inser vi att vi m˚aste ha minst ett lokalt maximum och ett lokalt minimum. F¨or att veri- fiera detta, och se om det kan finnas fler, deriverar vi. Vi f˚ar d˚a derivatan

f⁰(x) = x⁴− 3x² (x²− 1)² = x²

(x²− 1)²(x−√

3)(x +√ 3).

Vi har allts˚a tre station¨ara punkter, i x = ±√

3 och x = 0. Om den senare vet vi redan att den ¨ar en terrasspunkt (varf¨or?^[7]). Vi g¨or nu f¨oljande tecken- tabell

x : −√

3 −1 0 1 √

3

f⁰(x) : + 0 − † − 0 − † − 0 +

f (x) : % & † & 0 & † & % Fr˚an detta kan vi nu skissera grafen ovan.

Exempel 10 Vi avslutar med att skissera grafen till f (x) = x² − 2|x|

x− 1

som vi diskuterade sneda asymptoter till i Exempel 7. Den har uppenbarligen en vertikal asymptot i x = 1 och n¨ara denna g¨aller att f (x) ≈ −1/(x − 1), vilket g¨or att

x→1lim⁻

x²− 2|x|

x− 1 =∞, lim

x→1⁺

x²− 2|x|

x− 1 =−∞.

Vidare har vi sett att den har asymptoten y = x− 1 i o¨andligheten och asymptoten y = x + 3 i minus o¨andligheten.

Det ˚aterst˚ar att identifiera eventuella lokala extrempunkter. F¨or detta beh¨over vi derivatan, och denna f˚ar olika uttryck p˚a de tv˚a sidorna om origo p.g.a. absolut- beloppet. Detta g¨or ocks˚a att funktionen inte ¨ar deriverbar i origo, vilket vi m˚aste

komma ih˚ag n¨ar vi g¨or teckentabellen nedan. Derivatan blir

f⁰(x) =











x²− 2x + 2

(x− 1)² = (x− 1)²+ 1

(x− 1)² , x > 0, x²− 2x − 2

(x− 1)² = (x− 1)²− 3

(x− 1)² , x < 0 .

Vi ser att d˚a x > 0 finns ingen station¨ar punkt, medan d˚a x < 0 har vi den station¨ara punkten x = 1−√

3.

N¨ar vi nu g¨or en teckentabell ska denna f¨orutom station¨ara punkter och vertikala asymptoter inneh˚alla de punkter d¨ar funktionen inte ¨ar deriverbar. Vi ser att vi har f¨oljande tabell:

x : 1−√

3 0 1

f⁰(x) : + 0 − † + † +

f (x) : % 4 − 2√

3 & 0 % † % Detta i sin tur ger oss f¨oljande figur:

−6

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

x

Vi kan notera att funktionen har nollst¨allen d˚a x =−2, 0, 2, vilket f¨orb¨attrar figuren.

Vi kan ocks˚a notera i detta exempel att det faktum att funktionen inte ¨ar deriverbar i x = 0 visar sig genom att grafen har en spets i den punkten.

Noteringar

1. En omgivning till a har formen|x − a| < δ f¨or n˚agot δ > 0.

2. Sj¨alva formeln h¨arleds enklare genom att vi deriverar relationen f (x)g(x) = 1. Vi f˚ar d˚a att f⁰(x)g(x) + f (x)g⁰(x) = 0, vilket ger att

f⁰(x) =−f(x)g⁰(x)/g(x) =−g⁰(x)/g(x)².

Men den r¨akningen ¨ar gjord under f¨oruts¨attning att vi verkligen kan derivera f , vilket m˚aste bevisas f¨orst!

3. Se kapitlet Analys av polynomfunktioner

4. Strikt set ¨ar den snabbast v¨axande termen i t¨aljaren 5x², men det viktiga ¨ar faktorn x² som framg˚ar av r¨akningarna.

5. Strikt sett: (x²− 1)/x²= 1− x⁻²≈ x d˚a x ¨ar stor.

6. Man kan ocks˚a anv¨anda sig av f¨oljande trick: Vi vill f˚a en faktor (x− 1) i t¨aljaren genom att l¨agga till och dra ifr˚an en konstant A till x²+ 2x s˚a att x²+ 2x + A f˚ar en faktor (x− 1).

Enligt faktorsatsen ska d˚a A v¨aljas s˚a att 1²+ 2 + A = 0, allts˚a A =−3.

7. Vi vet att f (x) v¨axlar tecken i origo, s˚a origo kan inte vara en lokal extrempunkt, och ¨ar d¨arf¨or en terrasspunkt.