Tvådimensionella figurer i digitala läromedel
En innehållsanalys av digitala läromedel i grundskolans årskurs 1–3 med fokus på tvådimensionella figurer
A content analysis of digital textbooks in compulsory school years 1-3 with focus on two-dimensional objects
Emma Larsson och Lena Hansemark
Fakulteten för hälsa, natur- och teknikvetenskap
Grundlärarprogrammet: Förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3 Avancerad nivå 30 hp
Handledare: David Taub Examinator: Yvonne Liljekvist 06-2021
Abstract
This study concerns the subject of mathematics with focus on geometry. The aim of this study has been to analyze different digital textbooks suited for compulsory school years 1-3 to visualize how the content can be understood based on different learning theories. This study is based on the Variation Theory and the van Hiele Model of Geometric Thinking. In this analysis, geometry assignments regarding two-dimensional figures have been analyzed based on patterns of variation and critical aspects of the Variation Theory. The same assignments were also analyzed based on van Hiele’s theory of levels and phases of geometric thinking. A content analysis gave us the opportunity to examine both how frequently a certain aspect of the various theories occurred but also how the assignments could be understood according to the two
theories. The results of this study showed that content variation in
assignments can contribute to an understanding of two-dimensional figures and their properties. The results also showed that there were opportunities for progression of knowledge about two-dimensional figures and their properties, this through assignments with varying degrees of difficulty that advanced within and between grades.
Keywords: geometry, mathematics, digital textbooks, student learning
Sammanfattning
Detta arbete berör ämnesområdet matematik med inriktning geometri. Syftet med detta arbete har varit att analysera olika digitala läromedel för
grundskolans årskurs 1–3 för att synliggöra hur innehållet kan förstås utifrån olika lärteorier. De vetenskapliga lärteorierna som ligger till grund för detta arbete är Variationsteorin och van Hieles teori för geometriskt tänkande. I analysen har geometriuppgifter gällande tvådimensionella figurer analyserats utifrån variationsteorin, kring variationsmönster och kritiska aspekter. Samma uppgifter analyserades även utifrån van Hieles teori kring nivåer och faser för det geometriska tänkandet. En innehållsanalys gav oss möjlighet att undersöka både hur frekvent en viss aspekt av de olika teorierna förekom men även hur uppgifter i de valda digitala läromedlen kunde förstås enligt de två teorierna.
Resultatet av denna innehållsanalys visade att innehållsmässig variation i uppgifter kan bidra till förståelse för tvådimensionella figurer och dess
egenskaper. Resultatet visade även att det fanns möjlighet till progression av kunskaper om tvådimensionella figurer och dess egenskaper, detta genom uppgifter med varierande svårighetsgrader som avancerade inom och mellan årskurserna.
Nyckelord: geometri, matematik, digitala läromedel, elevers lärande
Innehållsförteckning
1. INLEDNING ... 1
1.1 Syfte ... 3
1.2 Frågeställningar ... 3
1.3 Centrala begrepp... 3
1.4 Forskningsbakgrund ... 4
1.4.1 Lärresurser i skolan... 4
1.4.2 Digitala lärresurser och geometriundervisning ... 5
2. TEORI ... 8
2.1 Variationsteorin ... 8
2.1.1 Kontrast ... 9
2.1.2 Separation ... 10
2.1.3 Generalisering ... 10
2.1.4 Fusion ... 10
2.2 van Hieles teori ... 11
3. METOD ... 15
3.1 Val av metod ... 15
3.2 Urval ... 15
3.2.1 Favorit Matematik ... 16
3.2.2 Prima Matematik ... 17
3.2.3 Läromedelsförkortningar ... 18
3.3 Reliabilitet, validitet och generaliserbarhet ... 18
3.4 Forskningsetiska aspekter ... 19
3.5 Genomförande ... 21
3.5.1 Analys med utgångspunkt i variationsteorin ... 21
3.5.1.1 Variationsmönster i relation till tvådimensionella figurer ... 22
3.5.1.2 Kritiska aspekter hos tvådimensionella figurer ... 23
3.5.2 Analys med utgångspunkt i van Hieles teori ... 24
3.5.2.1 van Hieles nivåer för geometriskt tänkande ... 25
3.6 Bearbetning av data ... 28
3.6.1 Enskilda analyser utifrån båda teorierna ... 28
3.6.2 Gemensamma analyser utifrån båda teorierna ... 28
4. RESULTAT ... 30
4.1 Analysfrågor i relation till resultat utifrån variationsteorin ... 30
4.1.1 Kan variationsmönster urskiljas, och i sådana fall vilka? ... 30
4.1.2.Kan kritiska aspekter urskiljas, och i sådana fall vilka? ... 33
4.1.3 Kan mönster urskiljas gällande variationsmönster i läromedlen för respektive årskurs? ... 37
4.1.4 Kan mönster urskiljas gällande kritiska aspekter i läromedlen för respektive årskurs? ... 38
4.2 Analysfrågor i relation till resultat utifrån van Hieles teori ... 39
4.2.1 På vilken/vilka av van Hieles nivåer krävs det att eleven befinner sig på för att lösa uppgiften?... 39
4.2.2 På vilket sätt kan progression i det geometriska tänkandet urskiljas i läromedlen för de olika årskurserna? ... 43
4.2.3. Finns det uppgifter i läromedlen som bidrar till övergång mellan nivåer?... 45
5. DISKUSSION ... 48
5.1 Metoddiskussion ... 48
5.2 Resultatdiskussion ... 49
5.2.1 Variationsteorin ... 49
5.2.1.1 Kan variationsmönster urskiljas, och i sådana fall vilka? ... 49
5.2.1.2. Kan kritiska aspekter urskiljas, och i sådana fall vilka? ... 50
5.2.1.3 Kan mönster urskiljas gällande variationsmönster i läromedlen för respektive årskurs? ... 51
5.2.1.4 Kan mönster urskiljas gällande kritiska aspekter i läromedlen för respektive årskurs? ... 53
5.2.2 van Hieles teori ... 54
5.2.2.1. På vilken/vilka av van Hieles nivåer och faser av geometriskt tänkande krävs det att eleven befinner sig på för att lösa uppgiften? ... 54
5.2.2.2 På vilket sätt kan progression i det geometriska tänkandet urskiljas i läromedlen för de olika årskurserna? ... 56
5.2.2.3 Finns det uppgifter i läromedlen som bidrar till övergång mellan nivåer?... 57
5.2.3 Jämförelse mellan teorierna ... 58
5.3 Slutsats... 60
5.4 Vad vi kunde gjort annorlunda ... 60
5.5 Fortsatt forskning ... 62
REFERENSLISTA ... 63
BILAGA 1 ... 69
BILAGA 2 ... 71
1
1. INLEDNING
Matematikens värld är ett mångfasetterat universum fullt av olika sorters möjligheter och utmaningar. I läroplanen för grundskolan gällande
undervisning i ämnet matematik beskrivs hur elever ska lära sig allt från algebra till geometri. I geometriundervisningen ska eleverna ges
förutsättningar att lära sig grundläggande geometriska figurer samt geometriska egenskaper hos dessa figurer (Skolverket, 2019).
Samtidigt står det också skrivet i läroplanen för grundskolan (Skolverket, 2019) att elever skall få tillgång till att utveckla sin förmåga att använda digital teknik och på så sätt ge elever förutsättningar att utveckla en digital
kompetens. Att lärare använder sig av digitala lärresurser, vilket innefattar både användandet av dator eller surfplatta men - även digitala spel och
läromedel, i olika grad är något vi sett med egna ögon på flertalet skolor under våra verksamhetsförlagda utbildningar. Enligt Clark-Wilson m.fl., (2020) är digitala lärresurser, en integrerad del i matematikundervisningen och lärare använder det främst till att stärka elevers lärande i matematik. Men det finns en del faktorer som spelar in gällande hur och om lärare använder sig av den digitala teknik som finns att tillgå på skolan och det beskriver Clark-Wilson m.fl. (2020) främst beror på den enskilde lärarens kunskaper om teknik samt lärares attityd om hur matematiska kunskaper lärs ut.
Då tillgången till digitala läromedel ökat de senaste åren understryker Skolverket (2016) vikten i att lärare gör didaktiskt medvetna val kring vilka läromedel denne väljer att använda sig av i sin undervisning. Skolverket (2019) skriver även om att elever ska ges möjlighet att utveckla sin digitala
kompetens. I kombination med ovanstående och det faktum att många läromedelsförlag erbjuder digitala läromedel som ett komplement till de analoga läroböckerna vore det av intresse att undersöka om dessa digitala läromedel kan vara ett alternativ att använda i undervisningen för att stärka elevers kunskaper i matematik. I detta arbete har vi valt att fokusera på digitala läromedel i matematikgrenen geometri.
2 Gällande undervisning i ämnet geometri förklarar Swoboda och Vighi (2016) att geometri introduceras tidigt i skolan eftersom det överensstämmer med barns naturliga uppfattning om omvärlden och utvecklar elevernas
rumsuppfattning och förmåga att resonera. Även Abidin m.fl. (2018) menar att geometri är det ämne som utvecklar elevernas rumsuppfattning och förmåga att se samband mellan tvådimensionella figurers former. Vidare beskriver Löwing (2011) geometriskt tänkande som en viktig egenskap som eleverna behöver utveckla för att inte fastna i förutbestämda uppfattningar. Eleverna behöver tränas i att våga utforska och tänka i nya dimensioner när de ska lösa geometriska problem (Löwing, 2011). Özçakır m.fl. (2019) påtalar vikten av att ta tillvara på elevernas förkunskaper om geometri genom att applicera dem i den fortsatta undervisningen och vidareutveckla förståelsen med stöd av
digitala lärresurser. Det är viktigt att lärare har kunskap om hur barn lär sig för att kunna optimera sin undervisning. Detta understryker Alex och Mammen (2018) som beskriver att desto mer en lärare vet om hur elever lär sig desto mer effektivt kommer eleverna utveckla en matematisk förståelse.
Att elever lär med hjälp av olika uttryckssätt och att variation i undervisningen är viktigt för förståelsen är något som ofta tillämpas i undervisningen av
tvådimensionella figurer (Lelinge & Svensson, 2020). Detta menar även Prytz (2007) som pekar på att läroböckerna i geometriundervisning redan i de gamla läroverken bestod av aktiviteter där eleverna introducerades för geometrins begrepp och figurer genom experiment och observationer av dess egenskaper.
Detta eftersom man ansåg att det bidrog till ett utvecklat logiskt tänkande och ett kritiskt förhållningssätt.
Med ovanstående sagt kan det tyckas vara intressant för lärare att fundera över hur inlärning av geometrin och dess olika delar egentligen kan förstås utifrån olika perspektiv på lärande samt hur olika digitala läromedel menade att lära ut matematik till lågstadieelever egentligen tillgodoser eleverna med
geometrikunskaper. Detta är något vi lärarstudenter som skrivit detta arbete själva intresserar oss för i våra blivande roller som lärare och har därför också valt att detta skall utgöra grunden för vårt arbete. Forskning har visat att
3 skillnader i lärande kan finnas mellan analoga och digitala läromedel samt att digitala läromedel kan ha möjlighet att presentera det matematiska innehållet på andra sätt än det som tidigare gjorts i analoga läroböcker (O’Halloran m.fl., 2018). Genom att undersöka innehållet i digitala läromedel, med fokus på lärande och variation, med hjälp av olika lärandeteorier anser vi att vårt arbete kan komplettera tidigare forskning som gjorts. På så sätt kan vi genom vår forskning bidra till en ökad kunskapsbild över hur geometri i digitala läromedel kan förstås utifrån olika lärteorier.
1.1 Syfte
Syftet med detta arbete är att synliggöra hur uppgifter gällande tvådimensionella figurer presenteras och varieras i digitala
matematikläromedel för årskurs 1–3. Arbetet syftar även till att skapa kunskap kring vilka möjligheter som ges för utvecklandet av kunskaper om
tvådimensionella figurer och dess egenskaper.
1.2 Frågeställningar
• På vilket sätt bidrar de digitala läromedlen till förståelse för tvådimensionella figurer och dess egenskaper?
• Hur möjliggör uppgifterna progression av kunskaper?
1.3 Centrala begrepp
Vad som menas med digitala läromedel och lärresurser kan se olika ut beroende på vem som definierat dessa begrepp därför har vi valt att i detta arbete använda oss av nedanstående centrala begrepp och dess följande definitioner hämtade från Skolverket (u.å.).
• Digitala lärresurser, syftar till allt digitalt material som används i
undervisningssyfte, exempel appar, spel, digitala textböcker och datorer.
4
• Digitala läromedel, syftar till de digitala lärresurser som är anpassade för undervisning med koppling till läro-, kurs- och ämnesplaner, exempel digital matematikbok.
1.4 Forskningsbakgrund 1.4.1 Lärresurser i skolan
Att använda sig av matematikböcker i undervisningen har inte alltid varit självklart. Innan Sverige fick ett enat skolsystem fanns skillnader vid de olika läroverken gällande om läroböcker i matematik överhuvudtaget användes i undervisningen menar Prytz (2017). Prytz (2017) beskriver att när läroböcker i matematik användes kunde innehållet variera stort - men i takt med att det svenska skolsystemet förändrades, skolan blev obligatorisk och läroplaner infördes utvecklades även läroböckerna i matematik till att bli mer omfattande och tillgängliga för alla. Många av dagens matematikböcker förekommer i både en analog och digital form. Detta menar O’Halloran m.fl. (2018) kan
komplettera undervisningen eftersom den digitala versionen kan erbjuda interaktiva moment som skapar tillfällen till flexibilitet och individualiserad undervisning.
När den första digitala tekniken i form av datorer dök upp i skolorna menar Clark-Wilson m.fl. (2020) att dess främsta användningsområde var för att utveckla och stärka elevers lärande. På senare år har det skett en förskjutning av synen på hur man kan förbättra inlärningen med hjälp av digitala
lärresurser. Vidare beskrivs att fokus flyttats från hur tekniken kan hjälpa och stärka lärandet till hur lärare kan använda den för att förse eleverna med olika typer av lärtillfällen (Clark-Wilson m.fl., 2020).
Enligt Gällhagen och Wahlström (2012) har den tekniska utvecklingen gått betydligt snabbare än den didaktiska och pedagogiska kunskapen om, och kompetensen i hur lärares undervisning och elevernas lärande ska stödjas och förändras i digitala skolmiljöer. Detta understryker även Håkansson Lindqvist
5 (2015) som menar att digitaliseringen i samhället gått fort och att skolorna inte riktigt hängt med i denna utveckling. De digitala läromedlen finns, men hur de ska användas i klassrummen är inte självklart. Även Moltudal m.fl. (2019) talar om att läraren måste inneha en digital kompetens för att kunna
kontextualisera digitala läromedel i klassrummet. De talar även om vikten av en digital kompetens hos lärare i den målorienterade undervisningen och i dess aktiviteter för att kunna välja ut väl anpassade digitala läromedel att använda sig av i undervisningen (Moltudal m.fl., 2019).
Fleischer och Kvarnsell (2017) talar om att det vid arbete med digitala lärresurser, som exempelvis spel, i skolundervisningen är viktigt att undervisningen är fast förankrad i sina mål. Vidare understryker även författarna vikten i att läraren är medveten om vad som står skrivet i
läroplanen, vilka förmågor eleven ska ges förutsättningar att utveckla samt vilka kunskapskrav eleven kommer bedömas mot för att kunna bedriva en målorienterad undervisning med hjälp av digitala lärresurser (Fleischer &
Kvarnsell, 2017).
1.4.2 Digitala lärresurser och geometriundervisning
Ämnet matematik syftar till att ge elever förutsättningar att utveckla sina förmågor till att använda sig av matematiken i sin vardag och att det genom undervisningen även ska ges möjligheter att utveckla kunskaper i användandet av digital teknik. När det gäller geometriska figurer ska eleverna ges möjlighet att arbeta med deras inbördes relationer och egenskaper, konstruktion och användandet av lägesord för att kunna beskriva föremål och geometriska figurers läge i rummet (Skolverket, 2019).
För att utveckla elevernas spatiala förmåga och skapa förståelse för
tvådimensionella figurer och dess egenskaper menar Lelinge och Svensson, (2020) att lärare måste arbeta med olika representationsformer. Detta för att eleverna behöver få konstruera och jämföra olika figurers egenskaper och hitta samband mellan dem för att utveckla en djupare förståelse (Lelinge &
6 Svensson, 2020). Även Bennet (2015) menar att geometri många gånger är ett praktiskt ämne där eleverna i de lägre årskurserna behöver få konkreta
vardagsexempel för att få förståelse för tvådimensionella figurer, dess
egenskaper och likheter. Med tiden ska elevernas kunskapsutveckling gå mot ett mer abstrakt tänkande. Undervisningens fokus ska gå från att fokusera på geometrin i vår omvärld till geometri som en matematisk teori (Bennet, 2015).
Ett sätt att hjälpa eleverna att utveckla ett abstrakt tänkande är enligt Milovanovic m.fl., (2013) att använda sig av digitala läromedel för att
visualisera geometrins figurer och dess egenskaper. Abidin m.fl. (2018) anser att digitala läromedel utvecklar elevernas matematiska kompetens men att lärare dock behöver ha i åtanke att olika läromedel stödjer elevernas
kunskapsutveckling inom olika områden i matematiken. Det har dock påvisats att användandet av digitala läromedel i geometri har hjälpt elever utveckla ett geometriskt tänkande. Abidin m.fl. (2018) menar även att geometri som ämne är viktigt eftersom det stärker och utvecklar elevernas sinne för geometriskt tänkande om form och rumsuppfattning.
Enligt Zaranis (2012) har teknikutvecklingen medfört nya möjligheter vid undervisning i geometri och användandet har visat sig ge en positiv
kunskapsutveckling hos elever. Även Lingefjärd och Holmquist (2005) pekar på styrkan som finns i att använda digitala resurser vid konstruktion av tvådimensionella figurer då det kan ta tid och vara svårt att konstruera
komplicerade objekt med papper och penna. Istället för att lägga tid på själva konstruktionen kan elever då koncentrera sig på figurens egenskaper
(Lingefjärd & Holmquist, 2005).
Özçakır m.fl. (2019) visar på styrkan i användandet av digitala läromedel i matematikundervisningen i de lägre årskurserna. De digitala aktiviteterna väcker elevernas nyfikenhet och främjar utforskandet av olika
representationsformer. Özçakır m.fl. (2019) menar på att eleverna kombinerar sina tidigare kunskaper om tvådimensionella figurer i sin omgivning och
7 applicerar den kunskapen i de digitala programmen som används för att
vidareutveckla förståelsen för figurerna.
8
2. TEORI
2.1 Variationsteorin
I inledningen beskrivs att det enligt forskning har visat att digitala läromedel kan ha möjlighet att presentera det matematiska innehållet på andra sätt än det som tidigare gjorts i analoga läroböcker (O’Halloran m.fl., 2018). Samtidigt förklarar Marton (2015) att nyckeln till lärande enligt variationsteorin, är dess mönster av variation och invarians i användandet av exempel. Eftersom vi intresserar oss för huruvida de olika digitala läromedlen egentligen tillgodoser eleverna geometrikunskaper utifrån olika perspektiv på lärande anser vi
variationsteorin vara högst relevant för vårt arbete.
Variationsteorin har sitt ursprung i den fenomenografiska
forskningstraditionen (Lo, 2012). Kihlström, (2007) beskriver att
fenomenografins huvudsyfte är hur människor uppfattar olika aspekter av sin omvärld och att syftet med att använda sig av fenomenografin i studier är att finna variation inom människors olika erfarenheter för att systematisera dem.
Marton (2015) förklarar att ett lärtillfälle kan skapas genom att läraren tar avstamp i ett lärandeobjekt för att sedan undersöka de kritiska aspekter som verkar vara det som ger eleven det effektivaste verktyget för att skapa
förståelse för lärandeobjektet i stort.
Lärandeobjektet, menar Lo (2014), är det inlärningsobjekt som skall läras och att inlärningsobjektet hänvisar till vad eleverna behöver lära sig för att uppnå de önskade inlärningsmålen. På detta sätt pekar lärandeobjektet på
startpunkten för inlärningsresan snarare än till slutet av inlärningsprocessen.
Vidare beskrivs lärandeobjektet som dynamiskt och att det kommer att
förändras under undervisnings- och inlärningsprocessen. Ett objekts betydelse kommer från det sammanhang det befinner sig i och har därför olika
betydelser i olika sammanhang (Lo, 2014).
Lo (2014) beskriver att ett lärandeobjekt har många särdrag och beroende på hur man tittar på objektet kan man urskilja dem på olika sätt. Då lärare ska planera sin undervisning kring ett lärandeobjekt behöver de kritiska
9 aspekterna först urskiljas vilket är de svårigheter eleverna kan tänkas stöta på i inlärningen av ett visst lärandeobjekt. Inom undervisningen av
tvådimensionella figurer kan detta vara figurers namn, olika begrepp eller att kunna föreställa sig figurer ur olika perspektiv (Löwing, 2011). Lo (2014) förklarar detta som att om eleverna inte förstår begreppet hörn kan de inte resonera om hur många hörn en figur har. När de väl kan urskilja begreppet hörn öppnas en dimension av variation som är olika månghörningar där eleven kan förstå att det är antalet hörn som bestämmer vilken månghörning det är.
Lo (2014) förtydligar att det inom variationsteorin inte är fokus på variation av undervisningsstrategier utan det som åsyftas är variationen av de kritiska aspekterna hos lärandeobjektet. Vidare beskriver Lo (2012) att det inom
variationsteorin är elevernas erfarenheter av och förståelse för lärandeobjektet som är i fokus. Att lärande i sig är att utveckla sin kompetens och sina
förmågor genom att lära sig att se på lärandeobjekt på ett visst sätt.
För att elever ska kunna urskilja kritiska aspekter i nya eller bekanta
lärandeobjekt beskriver Lo (2014) att eleven själv behöver erfara mönster av variation eller invarians i objektets särdrag för att kunna lära. Kullberg m.fl.
(2016) förklarar att eleverna behöver få erfara både likheter och olikheter gällande det lärandeobjekt som behandlas. Utan att ha upplevt skillnader kan eleverna inte se likheter. Vidare beskriver Lo (2014) hur de olika
variationsmönstren, kontrast, separation, generalisering och fusion kan skapa olika sorters medvetenhet hos eleverna.
2.1.1 Kontrast
Den medvetenhet som skapas genom exempel på skillnader mellan olika värden benämns som kontrast. Genom att ställa olika värden mot varandra kan eleven urskilja likheter och olikheter. Det kan vara enkelt att särskilja objekt om de kan jämföras mot varandra men kontrastering sker även när eleven upplever variation mellan tidigare kunskaper och när nya sätt att se på lärandeobjektet presenteras (Lo, 2014). En kontrastering, förklarar Fred och
10 Stjernlöf (2014), innebär att skapa kontraster - det vill säga motexempel. Ett objekts egenskaper kan på så vis urskiljas om det jämförs med ett annat objekt.
2.1.2 Separation
Lo (2014) förklarar att när eleven blir medveten om ett objekts värde genom kontrastering öppnas en dimension av variation som möjliggör för eleven att separera dessa från varandra - detta benämns som separation. Fred och Stjernlöf (2014), förklarar att det innefattar att skapa någon form av kontrast mellan egenskaper. För att få kunskap om en viss egenskap måste denna separeras från andra egenskaper. Det objekt som tidigare sågs som en odelad enhet kan nu särskiljas utifrån sina egenskaper, vilka får en egen benämning och eleven kan avgöra ifall exempelvis lärandeobjektet är en triangel eller inte (Lo, 2014).
2.1.3 Generalisering
Ett annat variationsmönster är enligt Lo (2014) generalisering, där läraren behåller objektets värde i fokus medan eleverna får uppleva variation i de aspekter som läraren inte introducerat än. Exempelvis vid inlärning av en triangel - fokus ligger fortfarande på triangelns form som behålls oförändrad men eleverna får erfara en variation i storlek och färg på triangeln. Vidare förklaras, av Fred och Stjernlöf (2014), att en generalisering innebär varierande företeelser av samma lärandeobjekt.
2.1.4 Fusion
Den sista typen av variationsmönster skriver Lo (2014) är fusion där eleven skapar förståelse för hur ett lärandeobjekt kan bero på flera olika kritiska aspekter och hur dess dimension av variation förhåller sig till varandra. Detta skapas genom att förtydliga delar av lärandeobjektet och dess förhållanden för att sedan sammanfoga dem till en helhet (Lo, 2014). En fusion, förklarar Fred och Stjernlöf (2014), innebär på så vis att om elever arbetar mer flertalet kritiska aspekter samtidigt måste dessa aspekter i fråga variera samtidigt i relation till varandra.
11 Nyckeln till lärande enligt variationsteorin, likt tidigare nämnt, menar Marton (2015) är dess mönster av variation och invarians i användandet av exempel.
Det är lärandeobjektet som är utgångspunkten och för att lära sig måste eleven först kunna skilja ut objektet ur sin kontext och för att kunna urskilja ett objekt behöver eleven ha upplevt en variation av objektet i fråga för att lyckas. Vidare förklarar Kullberg m.fl. (2017) att då eleverna inte lär sig det som var tänkt att de skulle lära sig har de inte upptäckt och urskilt dessa nödvändiga kritiska aspekter enligt variationsteorin. Själva grundidén med variationsteorin är att urskiljning är ett nödvändigt villkor för inlärning. På så sätt förklaras vilka aspekter eleverna uppmärksammar och urskiljer vara av avgörande betydelse för hur eleverna ska komma att förstå eller uppleva detta objekt för inlärning.
Urskiljning kan dock inte ske utan att eleven har upplevt variation. För att kunna urskilja och fokusera på aspekter (eller dimensioner av variation) måste eleven ha upplevt variation i dessa aspekter (Kullberg m.fl., 2017).
2.2 van Hieles teori
Likt tidigare nämnt så har forskning visat att skillnader i lärande kan finnas mellan analoga och digitala läromedel (O’Halloran m.fl., 2018). Genom att undersöka det matematiska innehållet gällande geometri i digitala läromedel, med fokus på lärande, ansåg vi att van Hieles teori för geometriskt tänkande skulle utgöra en bra grund för vår analys. Då van Hieles teori förklarar hur lärande sker i olika nivåer och faser vid inlärning av geometri ansåg vi det passande att använda oss av denna teori i vårt arbete där tvådimensionella figurer är en central del.
Mason (2009) förklarar att van Hieles teori utformades av två nederländska lärare, Pierre van Hiele och Dina van Hiele, som observerade svårigheter deras elever hade vid inlärning av geometri. De utgick ifrån observationer av sina elever och började utveckla och lägga grunden till det som idag kallas van Hieles teori om geometriskt tänkande. Vidare förklarar Fuys m.fl. (1998) att van Hieles teori består av fem olika nivåer där varje nivå är utformad för att
12 förklara ett geometriskt tänkande hos eleven. Mason (1998) talar om att van Hieles nivåer inte alltid numreras på samma sätt. Här förklaras att amerikaner började använda sig av numreringen 1 till 5 i stället för van Hieles ursprungliga numrering med 0 till 4. Ett argument till att numrera nivåerna från 0 till 4 är att nivå 0 ses som en slags förstadium till igenkännande av geometri (Mason, 1998). I detta arbete kommer vi använda numreringen av nivåerna från 0 till 4.
Alex och Mammen (2018) beskriver de olika nivåerna vara hierarkiska och att varje nivå är karaktäriserad av dess egna språk och vokabulär.
van Hiele (2004) beskriver att det geometriska tänkandet utvecklas för varje nivå och beror främst på undervisningen som ges och inte på ålder hos eleverna. van Hiele (2004) förklarar även att nivåernas inbördes relationer bygger på varandra och att eleven behöver uppleva och förstå en nivås fem faser innan de introduceras för nästa nivå.
Dessa fem nivåer av geometriskt tänkande förklaras av Christiansen (2007) likt följande:
0. Igenkänning - Vid en anblick av tvådimensionella figurer så ses figurerna som en helhet utan att eleven tänker över vad figuren är sammansatt av. Eleven känner igen, namnger, jämför och kan använda figurer i förhållande till deras utseende.
1. Analys - Vid denna nivå börjar eleven fokusera mer på figurens egenskaper. Eleven förstår relevanta egenskaper och skiljer dessa från irrelevanta egenskaper. Figurerna börjar klassificeras, men ännu finns inte vetskapen om att en figur kan tillhöra mer än en klass. Eleven analyserar figurer i förhållande till termer från figurens komponenter. Eleven gör också empiriska upptäckter av egenskaper och regler.
2. Ordning - Vid denna nivå drar eleven slutsatser baserade på iakttagelser som gjordes vid nivå 1. Eleven förstår abstrakta förhållanden mellan figurer. Eleven uppfattar teorem som
grundade på intuition och på så sätt anser bevis för teoremen inte
13 behövs. Här följer eleven informellt tidigare egenskaper och regler som lärts in vid tidigare nivåer.
I vår analys har vi valt att utesluta nivå 3 och nivå 4 eftersom det inte är troligt att elever ges möjlighet att utveckla dessa nivåer av geometriskt tänkande på lågstadiet. Mason (2009) förklarar att varje nivå i van Hieles modell för geometriskt tänkande består av fem olika faser. När eleven nått slutet på fas fem har en ny nivå av geometriskt tänkande utvecklats och eleven är då redo att gå vidare och upprepa inlärningsfaserna på nästa nivå (Crowley, 1987).
Dessa faser beskrivs av Mason (2009) likt följande:
Information: Genom diskussion identifierar läraren vad elever redan vet om ett ämne och elever blir orienterade i ett nytt ämne.
Ledd orientering: Elever undersöker objekten som anvisats i noga strukturerade uppgifter. Dessa uppgifter kan bestå av att vika ihop, mäta eller konstruera. Läraren försäkrar sig om att eleverna utforskar specifika begrepp.
Tolkning: Elever förklarar med egna ord vad de har lärt sig om ämnet. Läraren presenterar här specifika relevanta matematiska termer för eleverna.
Egen orientering: Elever börjar applicera de samband de lär sig för att lösa problem och undersöka andra mer öppna uppgifter.
Integration: Elever sammanfattar och integrerar vad de har lärt sig.
På så sätt bildas och utvecklas nya nätverk av objekt och relationer mellan dessa.
Studenter kan befinna sig på flera nivåer samtidigt, och är på så sätt inte bunden till att endast befinna sig på en nivå i taget (Sharma, 2019). Holmberg (2011) menar att det visat sig att elever inte måste gå igenom dessa nivåer i tur och ordning utan att det faktiskt visat sig att elever kan befinna sig på olika nivåer samtidigt, eller till och med alternera mellan nivåer under en och
14 samma lektion. Detta menar Holmberg (2011) är beroende på vilket
geometriskt moment som behandlats.
van Hiele (2004) pekar på problem som kan uppstå främst då lärare och elever inte kommunicerar på samma nivå av geometriskt tänkande. Även om läraren förenklar avancerat material kan inte eleverna uppnå den förståelse som krävs för att komma vidare till nästa nivå utan att ha genomgått nivåns fem faser.
Vidare förklaras att det är möjligt att tänka och resonera på flera nivåer när man undervisar elever men att man då får anpassa språket eftersom de olika nivåerna använder sig av symboler och uttryck på olika sätt (van Hiele, 2004).
15
3. METOD
3.1 Val av metod
Med tanke på frågeställningarna som vi valt att undersöka i detta arbete har vi valt att utgå ifrån metoden innehållsanalys.
Denscombe (2012) skriver att innehållsanalys som metod kan tillämpas på både skrift, ljud och bild. Denna metod möjliggör en kvantifiering av innehållet och därför lämpar sig att använda för att mäta innehåll och förekomst. Vidare beskriver Denscombe (2012) hur en innehållsanalys kan belysa dolda aspekter i ett material som författaren kanske inte hade för avsikt att förmedla. Då det är innehållet i uppgifter och förekomst av olika fenomen vi undersökte passade innehållsanalys oss som verktyg. Det gav oss möjligheten att undersöka både hur frekvent en viss aspekt förekom och uppgifterna i de utvalda digitala läromedlen kunde förstås utifrån de två teorierna.
3.2 Urval
Urvalet av läromedel inför denna innehållsanalys har grundats i vilka
läromedel vi har haft möjlighet att få full tillgång till. Vi kom även överens om att utföra denna analys med så låg ekonomisk insats som möjligt. Av
bekvämlighet har vi därför valt de digitala läromedel som funnits tillgängliga genom arbetsplats. I detta arbete har vi valt att begränsa oss till de läromedel som är anpassade för årskurs 1–3 i de båda läromedelsserierna och kapitlen som handlar om geometri.
Då denna studie syftar till att undersöka uppgiftsinnehållet kring
tvådimensionella figurer har vi lagt fokus på de uppgifter som behandlar tvådimensionella figurer. Vi har valt att utesluta uppgifter som behandlar tredimensionella figurer och mönster.
De exempeluppgifter som presenteras i form av bildexempel i denna analys kommer alla från Prima Matematik-serien eftersom Gleerups är det enda tillfrågade förlag som gett tillåtelse till detta.
16 3.2.1 Favorit Matematik
Favorit Matematik är en läromedelsserie som finns tillgänglig som både tryckt och digitalt läromedel. Ursprungligen var detta ett finskt läromedel som
översatts och anpassats utefter den svenska läroplanen. Favorit Matematik är ett läromedel från förlaget Studentlitteratur och innefattar läromedel för hela grundskolan.
Vi har likt tidigare nämnt valt att begränsa oss till årskurs 1–3. Vi har valt bort att granska Favorit Matematik 1A, 2A och 3A samt Mera Favorit Matematik 1A, 2A och 3A eftersom dessa läromedel saknar avsnitt om geometri i sitt innehåll.
I detta arbete har vi valt att begränsa oss till nedanstående digitala läromedel i läromedelsserien Favorit Matematik:
► Favorit Matematik 1B
Författare: Kerttu Ristola, Tiina Tapaninaho och Lea Tirronen.
Utgivningsår: 2012 (rev. 2018).
► Mera Favorit Matematik 1B
Författare: Sirpa Haapaniemi, Sirpa Mörsky, Arto Tikkanen, Päivi Vehmas och Juha Voima.
Utgivningsår: 2013 (rev. 2018).
► Favorit Matematik 2B
Författare: Kerttu Ristola, Tiina Tapaninaho och Leena Vaaraniemi.
Utgivningsår: 2012 (rev. 2018).
► Mera Favorit Matematik 2B
Författare: Katariina Asikainen, Sirpa Haapaniemi, Sirpa Mörsky, Arto Tikkanen och Juha Voima.
Utgivningsår: 2013 (rev. 2018).
17
► Favorit Matematik 3B
Författare: Jaana Karppinen, Päivi Kiviluoma och Timo Urpiola.
Utgivningsår: 2013 (rev. 2018).
► Mera Favorit Matematik 3B
Författare: Päivi Vehmas, Katariina Asikainen, Rokka Pekka och Kimmo Nyrhinen.
Utgivningsår: 2014 (rev. 2018).
Utöver ordinarie uppgifter fanns även begreppsordlistor, filmer och berättelser kopplat till kapitlen. I kapitlen fanns rutor med repetitionsuppgifter. Den digitala versionen hade även länkar i rutorna där användaren fått tillgång till fler repetitionsuppgifter liknande de som finns i boken. I uppgifter med
diagram fanns länk som skickade användaren till en digital version av samma uppgift där användaren kunde fylla i tabellen och diagrammet skapades automatiskt.
3.2.2 Prima Matematik
Prima Matematik är en läromedelsserie från förlaget Gleerups och innefattar flertalet läromedel i både analog och digital form. Dessa läromedel är
anpassade för alla årskurser i grundskolan och har utformats efter den svenska läroplanen.
Prima Matematik har ett innehåll som täcker hela kursplanen för matematik i de olika årskurserna. På så sätt saknas uppdelning av innehållet likt
ovanstående läromedel. Därför finns endast ett digitalt läromedel att kunna granska för varje årskurs. Under 2019 reviderades den tryckta Prima
Matematik - som förlaget nu kallar för den nya Prima Matematik. Därför stämmer inte den digitala versionen av Prima matematik överens med den analoga eftersom den digitala ej reviderats. Vi kommer granska följande digitala läromedel:
18
► Prima Matematik 1, 2 och 3 Författare: Åsa Brorsson
Utgivningsår: 2016.
Den digitala Prima Matematik-serien innehåller även, utöver ordinarie uppgifter i läromedlen, tillhörande aktivitetsbank och problembank som vi valde att analysera eftersom det är ett medföljande tillägg till det digitala
läromedlet. Aktivitetsbanken innehöll olika aktiviteter som läraren själv kunde välja att arbeta med tillsammans med sina elever. Dessa aktiviteter var
kopplade till de olika målen som fanns för varje kapitel. Även problembanken innehöll uppgifter där läraren själv kunde välja ut uppgifter att arbeta med tillsammans med sina elever. Problembanken bestod av olika
problemlösningsuppgifter som även dessa var kopplade till de olika målen för varje kapitel.
3.2.3 Läromedelsförkortningar
Hädanefter kommer de analyserade läromedlen att benämnas med följande förkortningar:
• Favorit Matematik-serien kommer benämnas FM.
• Mera Favorit Matematik-serien kommer benämnas MFM.
• Prima Matematik-serien kommer benämnas PM.
3.3 Reliabilitet, validitet och generaliserbarhet
För att få kvalitet i en studie krävs validitet och reliabilitet (Patel & Davidson, 2003). Validitet mäter en studies trovärdighet och det gäller att
analysverktyget är utformat så det mäter rätt data för att ge svar på
forskningsfrågorna. Detta skriver Patel och Davidson (2003) kan stärkas av att en vetenskapligt skolad person i förväg har granskat materialet. I vårt fall har analysverktyget granskats och godkänts av vår handledare. I detta arbete har vi även valt att analysera uppgifterna i läromedlen tillsammans. Innan påbörjad
19 analys har vi valt att enskilt granska de fem första uppgifterna som handlat om tvådimensionella figurer i kapitlen gällande geometri från de läromedel som gäller årskurs 1 och 3 i FM, MFM samt PM. Sedan har vi jämfört våra analyser och diskuterat eventuella skillnader för att öka validiteten i vår bedömning.
Denscombe (2012) beskriver hur man kan säkerställa validiteten hos den källa som ska granskas vilket i vårt fall blir de digitala läromedlen FM och MFM utgivna av Studentlitteratur samt PM utgiven av Gleerups. Detta görs genom att använda den senaste upplagan av läromedel från två etablerade förlag.
Reliabilitet mäter en studies tillförlitlighet - huruvida studiens resultat är tillförlitliga. Detta skriver Patel och Davidson (2003) kan stärkas genom att använda ett noga konstruerat analysverktyg som vid upprepade analyser mäter samma variabler. Även vid användandet av en tydlig analystabell och tydliga analysfrågor finns en möjlighet att det insamlade materialet kan tolkas olika vilket är en av innehållsanalysens svaga sidor som kan resultera i en bristande reliabilitet. Vi valde att utföra analysen tillsammans så vi kunde diskutera de tveksamheter som uppstod direkt och fylla i analystabellerna gemensamt. Vi har även noggrant redogjort för vårt val av metod, urval och genomförande vilket stärker studiens reliabilitet.
Generaliserbarhet handlar om ifall studiens resultat kan generaliseras till att gälla andra läromedel i matematik (Patel & Davidson, 2003). Även om de läromedel vi analyserat är representativa har studien inte innefattat tillräckligt många digitala läromedel. Utöver detta är urvalet dessutom begränsat till årskurs 1, 2 och 3. Detta medför att studiens resultat inte går att generalisera till alla digitala läromedel i matematik utan gäller endast de läromedel vi undersökt.
3.4 Forskningsetiska aspekter
Det finns ett antal aspekter forskare bör ta hänsyn till i sin forskning skriver Vetenskapsrådet (2017). De olika förutsättningar och utgångspunkter som råder för forskningen måste tydliggöras och motiveras. Forskningsprojektet
20 bör också ha ett tydligt syfte att besvara eller belysa intressanta frågor som ska vara tydligt formulerade. De metoder som väljs att använda i arbetet ska kunna förklaras samt att det ska vara tydligt att dessa metoder kommer kunna
besvara frågeställningen (Vetenskapsrådet, 2017). Vetenskapsrådet (2017) förklarar även att allt det empiriska material som samlas in i samband med undersökningar bör präglas av en systematisk och kritisk analys. Detta har vi gjort i denna undersökning genom att använda oss av analysfrågor och
analystabeller för att tydligt och lättöverskådligt kunna se över det insamlade materialet. Vetenskapsrådet (2017) förklarar också att möjliga felkällor ska identifieras och diskuteras samt att arbetets argument bör vara tydligt formulerade samt vara relevanta för arbetets önskade slutsats.
Forskningsetik, beskriver Vetenskapsrådet (2017) innefattar bland annat
frågor om hur personer medverkande i forskning får behandlas. I denna studie har vi genomfört en innehållsanalys av digitala läromedel och har på så sätt inte samlat in eller arbetat med personuppgifter i någon form.
Vetenskapsrådet (2017) skriver om olika uppförandekrav som ställs på forskare i dagens samhälle. Forskare ska:
1) Tala sanning om sin forskning.
2) Medvetet granska och redovisa utgångspunkterna för sina studier.
3) Öppet redovisa metoder och resultat.
4) Öppet redovisa kommersiella intressen och andra bindningar.
5) Inte stjäla forskningsresultat från andra.
6) Hålla god ordning i sin forskning, bl.a. genom dokumentation och arkivering.
7) Sträva efter att bedriva sin forskning utan att skada människor, djur eller miljö.
8) Vara rättvis i sin bedömning av andras forskning.
I detta arbete har vi beaktat alla dessa uppförandekrav i möjligaste mån. Detta har gjorts genom att det exempelvis, med krav nr. 3 i åtanke, tydligt redovisat resultat från studien och vilka metoder som använts för att komma fram till
21 dessa. Studien har även publicerats i Digitala Vetenskapliga Arkivet (DiVA) där studien och dess resultat är tillgängliga för allmänheten. Denna studie har inte, med fokus på krav nr. 4, finansierats av utomstående utan denna studie är ett examensarbete och har på så sätt gjorts i anslutning till vår gemensamma utbildning. Vi som skriver detta arbete har inte heller någon koppling till dessa förlag vars läromedel har undersökts förutom att det är dessa läromedel som används på våra arbetsplatser där vi fått tillgång till dessa. Även med krav nr. 5 i åtanke har vi tydligt hänvisat och refererat till den forskning vi hämtat
material från.
3.5 Genomförande
För att undersöka våra olika forskningsfrågor har vi valt att använda oss av två olika analysprotokoll vid genomförande av innehållsanalys av de valda digitala läromedlen. För att utforma dessa analysprotokoll har vi läst igenom flertalet olika vetenskapliga artiklar och tidigare examensarbeten som behandlar och undersöker liknande områden för inspiration.
3.5.1 Analys med utgångspunkt i variationsteorin
För att få svar på den forskningsfråga som har utgångspunkt i variationsteorin har vi undersökt de digitala läromedlen genom att analysera hur användandet av variationsmönster ser ut i uppgifterna samt vilka kritiska aspekter (vilka kommer beskrivas under 3.5.1.2), eleverna stöter på i uppgifterna om
tvådimensionella figurer.
För att sammanställa data har vi använt oss av en tabell (bilaga 1).
De analysfrågor vi använt oss av i undersökningens är:
• Kan variationsmönster urskiljas, och i sådana fall vilka?
• Kan kritiska aspekter urskiljas, och i sådana fall vilka?
• Kan mönster urskiljas gällande variationsmönster i läromedlen för respektive årskurs?
22
• Kan mönster urskiljas gällande kritiska aspekter i läromedlen för respektive årskurs?
3.5.1.1 Variationsmönster i relation till tvådimensionella figurer Variationsmönster menar Lo (2014) är de olika sätt man kan behandla ett lärandeobjekt och dess kritiska aspekter på.
Kontrast
När två eller flera olika lärandeobjekt kontrasteras mot varandra kan eleven urskilja dess olikheter och skilja dem från varandra (Lo, 2014). När ett
lärandeobjekt med ett specifikt värde presenteras för eleven samtidigt som ett objekt som saknar det värdet, då upplevs kontrast och eleven kan skilja
objekten från varandra (Marton & Pang, 2006). Exempelvis att en elev jämför en triangel med en rektangel och kan avgöra att de inte har lika många hörn - och på så sätt drar slutsatsen att det är två olika figurer.
Separation
Eleven kan separera olika värden från ett lärandeobjekt och på så vis urskilja olika kritiska aspekter (Lo, 2014). Dimensionen av variation hos
lärandeobjektet kan ha olika värden vilket eleven endast kan urskilja ifall dimensionen av variation behålls oförändrad medan olika exempel av värden presenteras för eleven (Marton & Pang, 2006). Exempelvis att hos en grön triangel kan eleven separera färgen grön och triangel och på så vis bli medveten om den dimension av variation (färger) som finns hos lärandeobjektet (triangel).
Generalisering
Generalisering innebär att genom att behålla ett värde hos lärandeobjektet konstant medan de andra varieras kan eleven erfara en variation hos
lärandeobjektet i sig (Lo, 2014). Genom att behålla ett av värdena i dimensionen av variation konstant och presentera en variation av andra värden för eleven kan det ursprungliga värdet urskiljas (Marton & Pang,
23 2006). Exempel begreppet triangel behålls konstant men en variation av olika trianglar (olika långa sidor eller olika vinklar på trianglarna, liksidiga och rätvinkliga trianglar, trianglar i olika storlekar) presenteras för eleven.
Fusion
Vid fusion behöver eleven ha utvecklat en förmåga att särskilja flera kritiska aspekter och dess förhållande till varandra på samma gång hos ett och samma lärandeobjekt. En förståelse för hur olika delar blir en helhet och hur en helhet består av olika delar (Lo, 2014). Det är genom upplevelsen att flera
dimensioner av variation varierar samtidigt som eleven kan uppleva fusion (Marton & Pang, 2006). Exempelvis, en kvadrat är en typ av rektangel, de är båda fyrhörningar, de består båda av fyra räta vinklar och fyra sidor. Det som skiljer dessa tvådimensionella figurer åt är att alla kvadratens sidor behöver vara lika långa medan rektangelns alla sidor kan vara lika långa men behöver inte vara det, bara de motstående sidorna är lika långa.
3.5.1.2 Kritiska aspekter hos tvådimensionella figurer
I en lärandesituation behöver lärandeobjektets kritiska aspekter urskiljas och med hjälp av variationsmönster presenteras för eleverna (Kullberg m.fl., 2016).
Enligt Lo (2014) finns det olika metoder för att ta reda på vilka kritiska aspekter som kan finnas hos olika lärandeobjekt. I detta arbete har vi valt att göra en litteratursökning i den litteratur och de forskningstexter som används tidigare i arbetet och kommit fram till följande kritiska aspekter vid inlärning av tvådimensionella figurer.
Grundläggande begrepp
Begreppen sida, hörn och vinkel behöver eleven ha förståelse för eftersom de behövs för att kunna synliggöra likheter och skillnader hos tvådimensionella figurer skriver Löwing (2011). Löwing och Kilborn (2010) beskriver att ämnet geometri kan ses som en konstruktion av enkla begrepp som elever kan
laborera med för ökad förståelse. Vidare beskrivs att det är med hjälp av dessa begrepp som eleven lär sig relationen mellan delar och helhet och på så vis kan
24 urskilja de olika tvådimensionella figurerna (Löwing, 2011). Elever som inte behärskar grundläggande geometriska begrepp kan inte heller analysera och jämföra tvådimensionella figurers egenskaper (Löwing & Kilborn, 2010).
Korrekt terminologi
Utan ett korrekt språk kan eleverna inte föra resonemang om tvådimensionella figurer och dess egenskaper (Löwing & Kilborn, 2010). Löwing (2011) förklarar att det är viktigt att benämna tvådimensionella figurer med rätt term eftersom det annars kan skapa förvirring hos eleverna. Som exempel nämns att det är olämpligt att använda fyrkant och trekant som benämning då begreppet kant inte används i samband med tvådimensionella figurer.
Rumsuppfattning
Eleverna behöver kunna se tvådimensionella figurer ur olika perspektiv.
Oavsett åt vilket håll en geometrisk figur presenteras behöver eleven kunna se att det fortfarande är samma figur - en rektangel är fortfarande en rektangel oavsett om den visas liggande, stående eller på snedden (Löwing, 2011).
Kurtulus och Yolcu (2013) beskriver att det är elevernas spatiala förmåga som är avgörande när de ska konstruera tvådimensionella figurer och lära sig relationer mellan de olika figurerna. Kan inte eleven visualisera en figur blir det svårigheter att känna igen den om den framställs på ett annat sätt eller i ett annat sammanhang.
3.5.2 Analys med utgångspunkt i van Hieles teori
För att få svar på den forskningsfråga som har sin utgångspunkt i van Hieles teori har vi i de undersökta digitala läromedlen kategoriserat och klassificerat de uppgifter som behandlar tvådimensionella figurer.
För att sammanställa data har vi använt oss av en tabell (bilaga 2).
De analysfrågor vi använt oss av i undersökningen är:
• På vilken/vilka av van Hieles nivåer och faser av geometriskt
tänkande krävs det att eleven befinner sig på för att lösa uppgiften?
25
• På vilket sätt kan progression i det geometriska tänkandet urskiljas i läromedlen för de olika årskurserna?
• Finns det uppgifter i läromedlen som bidrar till övergång mellan nivåer?
3.5.2.1 van Hieles nivåer för geometriskt tänkande
I vår analys har vi, likt tidigare nämnt, valt att utesluta nivå 3 och nivå 4
eftersom det inte är troligt att elever ges möjlighet att utveckla dessa nivåer av geometriskt tänkande på lågstadiet.
De olika nivåerna i relation till tvådimensionella figurer som vi har valt att utgå ifrån i vår analys är följande:
Nivå 0 - Igenkänning:
Md. Yunus m.fl. (2019) förklarar att på denna nivå så resonerar elever experimentellt. Ersoy (2019) beskriver att det på denna nivå handlar om att känna igen de tvådimensionella figurernas former och vad de ser ut som.
Sharma (2019) förklarar att på nivå 0 kan eleven identifiera namn, jämföra samt arbeta med tvådimensionella figurer enligt deras utseenden. Eleverna kan särskilja tvådimensionella figurer som presenteras för dem från varandra utifrån utseende, men inte urskilja de specifika egenskaper som utgör figuren som till exempel antal hörn, räta vinklar och parallella sidor (Crowley, 1987).
Nivå 1 - Analys:
På denna nivå, beskriver Md. Yunus m.fl. (2019) att elever kan identifiera egenskaper hos tvådimensionella figurer, som hörn, sida och vinkel. Eleverna kan känna igen samt namnge egenskaper men de förstår ännu inte samband mellan dessa egenskaper och/eller mellan olika figurer. Ersoy (2019) förklarar att elever börjar förstå att flertalet generaliseringar kan hittas mellan olika figurer. Dock definierar eleverna varje figur separat och kan inte se de
gemensamma aspekterna hos två olika figurer. I och med detta kan eleverna inte heller resonera om figurers egenskaper.
26 Nivå 2 - Ordning:
Md. Yunus m.fl. (2019) beskriver denna nivå som en nivå där eleverna kan resonera logiskt. De kan forma abstrakta definitioner och förstå logiska
argument. Elever på denna nivå kan klassificera figurer hierarkiskt genom att analysera deras egenskaper och även ge informella argument för att rättfärdiga deras klassificeringar. Ersoy (2019) förklarar att på denna nivå kan elever känna igen relationer mellan, samt klassificera figurer. Som exempel att kunna känna igen en kvadrat som en rektangel på grund av dess fyra räta vinklar.
I denna analys kommer även de olika faserna för geometriskt tänkande att inkluderas. Dessa faser förklaras likt följande:
Fas 1 - Information:
Denna fas är början på undervisningen av ett ämne. Här frågas eleverna om eventuella förkunskaper inom ämnet för att bidra till ett intresseväckande för det som ska läras. Detta kan ske genom frågeställningar som, vad en kvadrat eller rektangel är och vilka likheter som finns mellan dessa figurer. Detta görs för att hjälpa eleverna att känna till samt identifiera helheten hos
tvådimensionella figurer (Al-ebous,2016). I denna fas introduceras även den nivå specifika terminologin för eleven, exempel elever som befinner sig på van Hieles nivå 1-Analys får lära sig begrepp som rät vinkel och parallella sidor när det gäller rektanglar men de förstår fortfarande inte relationer mellan olika figurer, som vinklarna hos en rektangel och en kvadrat (Crowley, 1987).
Fas 2 - Ledd orientering:
I denna fas presenteras strukturerade aktiviteter för att hjälpa eleverna att lära sig känna igen, samt uttrycka sin förståelse för nya geometriska koncept som introducerats under informationsfasen (Al-ebous, 2016). Ett utforskande arbetssätt där eleven ges möjlighet att laborera med och konstruera olika figurer i varierande storlekar eller utförande. Exempel att eleven ombeds rita två likadana rätvinkliga trianglar i olika storlekar eller två rektanglar där den första har fyra räta vinklar och två sidor som är lika långa, samt att den andra ska ha fyra räta vinklar och fyra lika långa sidor (Crowley, 1987).
27 Fas 3 - Tolkning:
I denna fas är eleverna engagerade i att kunna uttrycka sin förståelse för geometriska begrepp som de i tidigare faser observerat, samt att de deltar i diskussioner om dessa (Al-ebous, 2016). Eleven ska här bli medveten om figurernas specifika egenskaper som de arbetat med i tidigare faser, detta genom att resonera sig fram. I denna fas blir eleven medveten om de inbördes relationer som existerar i den nivå av geometriskt tänkande som eleven
befinner sig på (Crowley, 1987).
Fas 4 - Egen orientering:
I denna fas är eleverna mer självgående och kan lösa uppgifter gällande
tidigare nämnda tvådimensionella figurer och begrepp (Al-ebous,2016). Eleven löser komplexa uppgifter och uppgifter i flera steg, även öppna utsagor och uppgifter utan en given lösning. Genom att prova sig fram på egen hand
uppmärksammas eleven om egenskaper och samband hos de tvådimensionella figurerna (Crowley, 1987).
Fas 5 - Integration:
I denna fas kan eleverna sammanfatta och dra kopplingar mellan vad de har lärt sig och kan på så sätt dra nya slutsatser (Al-ebous, 2016). Eleven ges möjlighet till att utvärdera sina kunskaper om tvådimensionella figurer och dess egenskaper som de har med sig från tidigare faser. I denna fas får ingen ny kunskap presenteras utan fokus ligger i att sammanställa den kunskap eleven samlat på sig i tidigare faser för att slutligen nå en ny nivå av geometriskt tänkande (Crowley, 1987).
Efter fas 5 har eleven uppnått en ny nivå av geometriskt tänkande och är redo att upprepa inlärningsfaserna på nästa nivå.
28 3.6 Bearbetning av data
3.6.1 Enskilda analyser utifrån båda teorierna
Vi började med att göra varsin enskild analys av de fem första uppgifterna i FM 1B och 3B samt MFM 1B och 3B. När vi jämförde våra resultat kunde vi se att vi bedömt de flesta uppgifterna lika. Där skillnader i analysen uppstått
diskuterades dessa och ett gemensamt beslut togs om var den aktuella uppgiften skulle placeras in i analystabellen.
Det vi kom fram till i den enskilda analysen med variationsteorin var att då uppgifter bedömts olika hade vi tolkat uppgiften på olika sätt. Till exempel kunde en uppgift innehållande deluppgifter (a, b, c…) tolkas olika beroende på om man såg den som en uppgift eller som flera enskilda när det gällde vilket variationsmönster som kunnat urskiljas. Även uppgifter där vi inte kunnat urskilja en tydlig kritisk aspekt eller ett tydligt variationsmönster diskuterades - till exempel en uppgift som passar in i fler än en kritisk aspekt eller där fler än ett variationsmönster framträder. Vi valde då att noga analysera uppgiftens frågeställning för att lista ut vilken kritisk aspekt som passade bäst, samt vilket syfte uppgiften kan tänkas ha för att se vilket variationsmönster som använts.
De olikheter vi upptäckte gällande den enskilda analysen av van Hieles nivåer var att vi tolkat nivå 0 och nivå 1 lite annorlunda gällande uppgifter där
tvådimensionella figurer skulle namnges eller där figurens egenskaper skulle pekas ut. Vi diskuterade då igenom hur vi resonerat och läste på extra om de olika nivåerna och faserna och enades om ett gemensamt beslut om huruvida vi skulle bedöma sådana typer av uppgifter.
3.6.2 Gemensamma analyser utifrån båda teorierna
Vi genomförde en gemensam analys av de uppgifter som behandlar inlärning av tvådimensionella figurer i läromedlen FM 1B, 2B och 3B samt MFM 1B, 2B och 3B. Även PM 1, 2 och 3 analyserades.
29 Vi skrev ned sidnummer och uppgiftsnummer på varje uppgift för att vi skulle ha möjlighet att kunna gå tillbaka till varje uppgift om behov till detta uppstod.
Vid problematiska uppgifter där vi hade problem att kategorisera uppgifterna kopierade vi dessa och la in i vårt analysdokument. Genom att kopiera dessa uppgifter i vårt dokument fick vi möjlighet att återvända till dessa uppgifter vid senare tillfälle för att kunna diskutera dessa ytterligare då vi kommit längre i vår analys.
PM 1, 2 och 3 analyserades på samma sätt som FM genom att varje uppgift skrevs ned och fördes in i en egen tabell. I PM finns även en problembank och en aktivitetsbank. Uppgifterna i dessa valde vi att färgkoda innan de fördes in i tabellen så vi lättare skulle kunna skilja dem åt när vi sen ska analysera
resultatet.
30
4. RESULTAT
4.1 Analysfrågor i relation till resultat utifrån variationsteorin 4.1.1 Kan variationsmönster urskiljas, och i sådana fall vilka?
Analysen visade att fyra variationsmönster fanns representerade men att det fanns en stor variation i användandet av dem (se bilaga 1).
Kontrast förekom 228 gånger vilket visar att det är det variationsmönster som var mest förekommande och uppgifterna består av att urskilja
tvådimensionella figurer eller egenskaper som sida, hörn och vinkel hos de olika figurerna, oftast från en mängd andra figurer. En typisk uppgift där kontrast förekom var när eleven skulle skilja ut en figur eller en egenskap likt i exemplet nedan (figur 1) där fyrhörningar ska urskiljas. Vi bedömde denna uppgift innefatta variationsmönstret kontrast (i kombination med den kritiska aspekten korrekt terminologi) då fyrhörningarna ska urskiljas från andra månghörningar.
Figur 1. Prima Matematik 3. Brorsson, 2016. Publicerad med tillstånd från upphovsrättshavaren.
Generalisering förekom i 106 uppgifter. I dessa uppgifter behålls ett värde konstant medan ett annat värde varierar. Som i exemplet nedan (figur 2) där begreppet parallella sidor är i fokus och är det värde som är konstant. Värdet som varieras är olika tvådimensionella figurer men alla har parallella sidor
31 som ska urskiljas. Denna uppgift har vi bedömt innefatta variationsmönstret generalisering (i kombination med den kritiska aspekten grundläggande begrepp) då värdet parallella sidor framställs på olika sätt i figurerna.
Figur 2. Prima Matematik 3. Brorsson, 2016. Publicerad med tillstånd från upphovsrättshavaren.
Uppgifter med variationsmönstret separation förekom 65 gånger. I den typen av uppgift ska ett värde hos ett lärandeobjekt urskiljas och separeras likt i exemplet nedan (figur 3) där sida och hörn av flera figurer ska räknas.
Begreppen sida och hörn är konstanta medan olika värden (antal, vinkel och längd) varieras genom att presentera figurer med olika många och långa sidor och hörn. Denna uppgift bedömde vi som separation (i kombination med den kritiska aspekten grundläggande begrepp) då värdena hörn och sida ska separeras från figurerna.
Figur 3. Prima Matematik 3. Brorsson, 2016. Publicerad med tillstånd från upphovsrättshavaren.
32 Fusion förekom 38 gånger. I dessa uppgifter behöver eleven förståelse för figurers egenskaper och hur ett lärandeobjekts olika värden kan förhålla sig till varandra. Figurer klassificeras efter egenskaper för att urskilja samband
mellan olika figurer. Likt i exemplet nedan (figur 4) där sambandet mellan två olika värden (omkrets och diameter) hos en cirkel ska undersökas. Detta är en uppgift vi bedömde att variationsmönstret fusion kunde urskiljas ur (i
kombination med den kritiska aspekten grundläggande begrepp) då
sambandet mellan egenskaperna omkrets och diameter undersöks hos cirklar i olika storlekar.
Figur 4. Prima Matematik 3. Brorsson, 2016. Publicerad med tillstånd från upphovsrättshavaren.
Det vanligaste variationsmönstret i årskurs 1 var kontrast vilket gällde alla tre läromedel. Vilket variationsmönster som var näst vanligast förekommande skiljde sig åt mellan läromedlen. Det variationsmönster som var näst vanligast förekommande i PM var separation medan det i FM och MFM var
generalisering. Separation var det variationsmönster som var minst
förekommande i FM och MFM medan generalisering och fusion var minst förekommande i PM.
33 Även i årskurs 2 var kontrast det dominerande variationsmönstret i alla tre läromedel. Näst kom generalisering följt av fusion. Separation förekom inte i något utav läromedlen.
Även i årskurs 3 var kontrast det vanligast förekommande, men vilket variationsmönster som var näst mest förekommande varierade mellan
läromedlen. I PM kom generalisering följt av fusion och sist separation. I FM och MFM var separation näst vanligast följt av generalisering och minst
förekommande var fusion.
4.1.2.Kan kritiska aspekter urskiljas, och i sådana fall vilka?
De tre kritiska aspekterna förekom i alla tre årskurser men inte i alla läromedel (se bilaga 1).
Av totalt 437 uppgifter fördelat på tre olika läromedel i tre olika årskurser var den kritiska aspekten grundläggande begrepp vanligast och förekom i 204 uppgifter. Typiskt för uppgifter som vi kategoriserat till denna kritiska aspekt var de uppgifter där begrepp ska urskiljas eller namnges, likt uppgiften nedan (figur 5) där begreppet sida är i fokus. Sidorna ska både räknas och markeras ut på tre olika tvådimensionella figurer. Denna uppgift har vi bedömt
behandlar den kritiska aspekten grundläggande begrepp (i kombination med variationsmönstret kontrast) då begreppet sida ska markeras ut och räknas.
34
Figur 5. Prima Matematik 2. Brorsson, 2016. Publicerad med tillstånd från upphovsrättshavaren.
Den kritiska aspekten korrekt terminologi förekom i 168 uppgifter. Uppgifter som bedömts behandla korrekt terminologi handlade om att träna ett korrekt språk. Olika varianter förekommer men de utgick från att koppla rätt namn till rätt figur, likt i exemplet på uppgift nedan (figur 6). Eleven ska då namnge de olika tvådimensionella figurerna. Detta är en uppgift vi bedömt behandla korrekt terminologi (i kombination med variationsmönstret kontrast) då eleven behöver kunna namnge de olika tvådimensionella figurerna.
35
Figur 6. Prima Matematik 1. Brorsson, 2016. Publicerad med tillstånd från upphovsrättshavaren.
Den kritiska aspekten rumsuppfattning förekom i 65 uppgifter. Detta var uppgifter där eleven behöver visualisera och känna igen tvådimensionella figurer ur olika perspektiv likt i exemplet nedan (figur 7). Figurerna framställs på olika sätt, både liggande och stående, men de varierar även storleksmässigt och färgmässigt. Denna uppgift har vi bedömt som rumsuppfattning (i
kombination med variationsmönstret kontrast) då eleven behöver känna igen figurerna ur olika perspektiv.
36
Figur 7. Prima Matematik 1. Brorsson, 2016. Publicerad med tillstånd från upphovsrättshavaren.
I läromedlen för årskurs 1 var korrekt terminologi vanligast förekommande och grundläggande begrepp den kritiska aspekt som var minst förekommande i alla läromedlen.
I läromedlen för årskurs 2 var korrekt terminologi den mest förekommande i FM och MFM. I FM var grundläggande begrepp och rumsuppfattning lika vanligt medan det i MFM var vanligare med rumsuppfattning än
grundläggande begrepp. I PM var grundläggande begrepp vanligast följt av korrekt terminologi och minst förekommande var rumsuppfattning.
I läromedlen för årskurs 3 var grundläggande begrepp vanligast i alla läromedlen. Sen följde korrekt terminologi i både FM och MFM och rumsuppfattning förekom minst. I PM 3 saknades de kritiska aspekterna korrekt terminologi och rumsuppfattning helt.
37 4.1.3 Kan mönster urskiljas gällande variationsmönster i läromedlen för respektive årskurs?
I läromedlen menade för årskurs 1 var det vanligast förekommande
variationsmönstret kontrast. I de olika läromedlen för denna årskurs fokuseras innehållet på att eleverna ska få lära sig olika tvådimensionella figurer och deras namn. Detta görs dels genom kontrastering genom att låta eleverna skilja olika tvådimensionella figurer från varandra, exempelvis genom att urskilja trianglar genom färgläggning bland andra tvådimensionella figurer.
Näst efter kontrast var generalisering det variationsmönster som förekom mest. Eleverna får generalisera genom uppgifter som behåller ett värde konstant (exempelvis den tvådimensionella figuren triangel) samtidigt som andra värden varieras (här triangelns vinklar och/ eller längd på sidor). Det vi kunde se var att uppgifter med variationsmönstret kontrast ofta efterföljdes av uppgifter med variationsmönstret generalisering. Resterande
variationsmönster som urskildes förekom endast i ett fåtal uppgifter.
I årskurs 2 förblev kontrast det vanligast förekommande variationsmönstret med liknande uppgifter som presenterades i ovanstående stycke gällande årskurs 1. Dock har uppgifterna utvecklats till att inkludera allt fler
tvådimensionella figurer som exempelvis stråle och öppen polygon samt att figurers egenskaper får alltmer utrymme, som hörn, sida och vinkel. Fler uppgifter med generalisering som variationsmönster i denna årskurs och även här likt i årskurs 1 följde de ofta en föregående uppgift där vi kunde urskilja variationsmönstret kontrast. Fusion som variationsmönster förekom ett fåtal gånger i uppgifter som handlade om att koppla flertalet kritiska aspekter till ett och samma lärandeobjekt, exempelvis att koppla rätt figur till dess rätta term och begrepp (sida, hörn, vinkel etc.). I denna årskurs kunde inte separation som variationsmönster urskiljas.
Även i årskurs 3 förblev kontrast det vanligast förekommande
variationsmönstret. Uppgifterna fortsatte att utvecklas och inkluderade nu även exempelvis att eleverna skall markera de sidor som är parallella i en figur.
Generalisering förblev det näst vanligast förekommande variationsmönstret.
