Diffusion in Thin Slits with Variable Aperture

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Diffusion in Thin Slits

with Variable Aperture

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HELEN WINBERG

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Master of Science Thesis in Chemical Engineering Stockholm, Sweden 2012

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Diffusion in Thin Slits with

Variable Aperture

by

Helen Winberg

Master Thesis CHE Report 2012:9 KTH Chemical Engineering and Technology

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5VBA%K& /V5V0& G51& 04518& 04/51& 04/05& 040006V& &&

& GG/& 045/1& 045V5& 04588G& &&

/6BA%K& 81V60& G51& 040VH& 0406E& 0401& 04000H1& &&

& GG/& 040GG& 040VE8& 040V5/& &&

8BW=+& GEEHH& G51& 04//1& 04/8H& 04/HGG& 040055/& &&

& GG/& 045V5& 045E/& 045VVG& &&

5/BW=+& E0E50& G51& 04H01& 04H05& 04H08G& 040058G& &&

& GG/& 04//& 04/0VG& 04/5H/G& &&

/0BW=+& 18660& G51& 04856& 0488/& 048H0G& 0400/0V& &&

& GG/& 04/66& 04H5& 04H08G& &&

H5BW=+& 50HE50& G51& 04G58& 04G8G& 04G/6G& 0400/G8& &&

& GG/& 04HE/& 048& 04H1V& &&

6B7'U& 556VE0& G51& 04G65& 04G6/& 04G65G& 0400/1H& &&

& GG/& 048/1& 048H8& 048H5& &&

51B7'U& 5H8VE0& G51& 04V5& 04V5& 04V5& 0400/6/& &&

& GG/& 048H/& 0488G6& 048H16G& &&

/GB7'U& 58EH00& G51& 04VGE& 04V8V& 04VG5G& 0400H5/& &&

& GG/& 048E6& 048E5& 048EG& &&

VB9%=& 5VV/E0& G51& 04V58& 04V88& 04V/6& 0400H05& &&

& GG/& 0488E6& 048V6& 048G18G& &&

5GB9%=& 51/0E0& G51& 04VH& 04VG& 04V8& 0400H0E& && && GG/& 048V08& 048E5& 048VGE& &&

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

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(65)

(66)

(67)

! WC! Pi! Z-,0-<!&'(4'-.!+(.&1,$24!3$551%$(2!+(*55$+$*2,!5('!+-'.$2$+!-+$3!

!function diffusionCoeffApproximation

% Approximation of the Diffusion Coefficient of Carminic Acid in Water

% Hayduk & Laudie Perry's handbook (1997) eq 2-159

% Carminic Acid Particle volume data from J. P. Rasimas and G. J. Blanchard (1995)

% Viscosity data from Coulson & Richardson's Vol 1, 4ed (1990)

clear all

clc

%Dye (1)=Carminic Acid, (2)=Uranine dye=1;

my=1.0299e-3; % Water Viscosity @292 K [Pa*s]

% Molar Volume [m^3/kmol]

if dye==1

molec=730*1e-30;% [?^3*10^30]=[m^3]

elseif dye ==2

molec=2;

else

disp('Dye Not Specified')

(68)

! Wl! Ui!! Z-,0-<!&'(4'-.!%$.10-,$24!3$551%$(2!$2!A!12$,!H$3*!2-''(H!5'-+,1'*! c'(4'-..*3!<=!J*0*2!e$2<*'4! ! ! function VarificationWithCN_old clc clear all close all

global halfAp Diff C0 QMx QMtime QMC tTot dx dz dt QM CN CNx CNtime

CNC L Diffq BC tTime xBC CBC timeBC l Dim2 LL apMed crackOn test crackAp Cave Ap ux

QM=0;CN=0;

% Comparing the Qeq-model with Crank-Nicolson % x-constant, z-varible aperture, y-no diffusion dz=0.00001; % 1 mm

dx=0.01; % 10 mm dt=3600; % 1 h

tTime=24*7*32; % Time

L=0.15/dx %0.125/dx % points

crackLength=L*dx; % length of crack LL=L;

crackOn=1;

% Constant inlet concentration C0=1; % 1 mol/m3)

Diff=5e-10; % m^2/s % Approx. Diffusion coefficient between De for carminic acid and uranine

Diffq=Diff*100^2*3600; % cm^2/h

% Compute crack

apMed=0.00004; % Medium aperture in crack [m]

% Constant aperture (Case 1) nonCrack

%If nonCrack used, use: crackAp=round(halfAp/dz)+2; %get2Dfract (Case 5) %crackOn=1; %crackAp=[2 6 3 5 4 6 2 2 2 5 4 4 6 5 4 6 2];

% Concave (Expansion Case2)

%crackAp=[5 5 5 5 5 9 9 9 9 9 9 5 5 5 5 5 5];

%crackAp=[10 10 10 10 10 40 10 10 10 10 40 10 10 10 10 10 40 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10];

%crackAp=[5 5 9 5 9 5 5];

% Convex (Contraction Case2)

%crackAp=[9 9 9 9 9 5 5 5 5 5 5 9 9 9 9 9 9]; % S-shaped (Case3) %crackAp=[9 9 9 9 5 5 5 5 9 9 9 9 5 5 5 5 5]; halfAp=crackAp*dz; x=(0:dx:(crackLength+dx)); stop=max(halfAp); size(x); size(halfAp);

%%%figure; plot(x,halfAp); grid on; axis([0 crackLength 1*dz stop]); xlabel('Crack Length [m]'); ylabel('Crack Aperture [m]')

(69)

! WB!

%nonCrack=round(theCrack)

% Choose BC-model: 1=Dirichlet:1D, 2=Neuman:1D BC=2; % Compute QeqModel QeqModelTest % Compute C-N model

% CNModel2D only awailible with Neuman CNModel2D % Analytical comparisons if BC==1 analyticalDirichletBC1D elseif BC==2 analyticalNeumanBC1D else

disp('No Analytical Method Choosen')

end tmed=tTime; %QM=0; %CN=0; ett=QMx(1:(end-1),2:end)'; tva=ux; tre=QMC(1:(end-1),2:end)';

% Plot Model and Analytical solutions %whos;

if QM==1

figure; plot(QMx(1,:)*dx,QMC(end,:))*dx; xlabel('Crack Length

[m]'); ylabel('Concentration [mol/dm^3]'); axis([0 crackLength 0

C0]);title('Q-equvivalent');

%figure; mesh(QMx',QMtime,QMC'); xlabel('x [m]'); ylabel('t [h]'); axis([0 15 0 tTot 0 C0]);

%figure; mesh(QMx(1:(end-1),2:end)',ux,QMC(1:(end-1),2:end)');

end

if CN==1

figure; plot(CNx(1,:)'*dx,CNC(:,end)); xlabel('x [m]'); ylabel('C

[mol/dm^3]'); axis([0 crackLength 0 C0]); hold on;title('CN');

%figure; mesh(CNx',CNtime,CNC); xlabel('x [m]'); ylabel('t [h]'); axis([1 LL 0 tTot 0 C0]);

figure; plot(CNx(1,:)'*dx,CNC(:,tmed),xBC(1,:)'*dx,CBC(:,tmed));

title('Comparison of CN with the Analytical Solution'); xlabel('x

[m]'); ylabel('C [mol/dm^3]'); axis([0 crackLength 0 C0]);

figure; plot(CNx(1,:)'*dx,Cave(:,end)); title('cave');

%figure; mesh(CNx',CNtime,test) end if QM==1 & CN==1 Cave(:,tmed); CNC(:,tmed); figure;

plot(QMx(1,:)*dx,QMC(tmed,:),'*',CNx(1,:)'*dx,CNC(:,tmed),'o',CNx(1,:

)'*dx,Cave(:,tmed),'x',xBC(1,:)'*dx,CBC(:,tmed),'-');

title('Case 5 After 32 Weeks'); xlabel('Crack Length [m]');

ylabel('Concentration [mol/dm^3]'); axis([0 crackLength 0 C0]);

end

%figure; plot(xBC(1,:)',CBC(:,end)); xlabel('x [m]'); ylabel('C [mol/dm^3]'); axis([0 15 0 C0]);

%figure; mesh(xBC',timeBC,CBC); xlabel('x [m]'); ylabel('t [h]'); axis([0 15 0 tTime 0 C0]);

(70)

! CM!

if Dim2 == true

zBC=xBC';

figure; mesh(xBC',timeBC,CBC); xlabel('x [m]'); ylabel('t [h]');

axis([0 crackLength 0 tTime 0 C0]);

end end

function crack

global apMed dx dz L halfAp crackAp

% Modelling a fictional crack (in experiment medium aperture:0.4mm and 0.8 set to maximum)

L

apMedHalf=apMed/2;

halfAp=random('Normal', apMedHalf, apMedHalf, 1, (L+2)) %

%halfAp=sqrt(halfAp.^2); for i=1:(L+2) if halfAp(i)>apMed halfAp(i)=apMed; elseif halfAp(i)<0 halfAp(i)=0; end end x=(0:dx:(0.15+dx)); crackAp=round(halfAp/dz)+2; crackAp(1)=crackAp(2); halfAp=crackAp*dz; stop=max(halfAp); size(x); size(halfAp);

figure; plot(x,halfAp); grid on; axis([0 0.15 1*dz stop]); xlabel('x

[m]'); ylabel('z [m]')

disp('Crack on')

%Crack Values halfAp; crackAp; end function get2Dfract

global dx dz L halfAp crackAp

if L~=25 disp('Requires L=25!') stop end %dx=0.001 %dz=0.00001 load fract125 size(rect125); % [126 126]

crack2D=rect125(:,75)'/(1e3*2); % Choose a middle row and convert to m

%crack2D(1)=crack2D(2);

%crack2D=[crack2D crack2D(end)];

%to use only every 5th: evFift=[]

for i=1:L

evFift=[evFift crack2D(i*5)]

(71)

! CA!

crack2D=evFift

crack2D=[crack2D(1) crack2D crack2D(end)] x=(0:dx:(0.125+dx)); crackAp=round(crack2D/dz);% crackAp(1)=crackAp(2); halfAp=crackAp*dz; stop=max(halfAp); size(x); size(halfAp);

figure; plot(x,halfAp); grid on; axis([0 0.125+dx 1*dz stop]);

xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]');

disp('Crack Imported')

end

function nonCrack

global halfAp secHalfAp apMed L

% crack with constant aperture for test of calc. avr. 0.4 cm halfAp=apMed/2*ones(1,L+2); % choose half aperture

secHalfAp=-halfAp; x=1:1:L+2;

%figure; plot(x,halfAp, x,secHalfAp); grid on

disp('nonCrack on')

end

function QeqModelTest

global halfAp Diff C0 QMx QMtime QMC tTot dx dt QM tTime L dz Ap BC

% the Qeq-Model from a 1D perspective (x) (C1=C=C2), only valid for dx=dt. dt=1day.

Ap=halfAp-dz; % Aperture [m]

% Start values

tTot=tTime; % one month in hours; time for run [pause] mt=tTot+1;

xTot=L; % [cm] mx=xTot+1;

C=zeros(mt,mx); % Concentration with change in time and distance to origin

C(:,1)=C0;

for t=2:tTot

for x=2:xTot+1 %tm1=1:tTot-1

%for x=2:xTot

%for t=2:tTot %tm1=1:tTot-1 %t=tm1+1;

tp1=t+1; xm1=x-1; xp1=x+1; if x<(xTot+1)

(72)

! CP! end end X=0:1:xTot; t=0:1:tTot; time=[]; x=[]; for i=0:tTot x=[x; X]; end for i=0:xTot time=[time; t]; end QMx=x; QMtime=time; QMC=C; QM=1; end function CNModel2D

global halfAp secHalfAp Diff C0 tTot dx dz dt CN CNx CNtime CNC L

tTime Dim2 crackOn rx rz row rowSq LD Up Down Left Right LU RU RD crackAp test Cave ux

% Start with model only valid for const. aperture(eg. nonCrack), also % starting with a cartesian grid, later try to develop with a regular grid

% Modell: Crank-Nicholson Model (Crank,J.: Mathematics of Diffusion) % Needs to be solved simultaniously for all z

% John Tannehill, et al. :2ed Computaional Fliud Mechanics and heat % Transfere page 137- section 4.2.9

(73)

! CU! j=i+1; C(:,j)=A\(B*C(:,i)+dDoom); end N=L-2; C; test=C(1:N,:); xTot=L-1; [p tTot]=size(C); X=1:1:xTot-1; t=0:1:tTot-1; time=[]; x=[]; ux=[]; for i=1:tTot x=[x; X];

ux=[ux;(crackAp-1)]; %limit for Cave

end for i=1:xTot-1 time=[time; t]; end % Sorting C to a 3D-Matrix x-t-z for i=1:(L-2) s=i*(L-2)-(L-3); e=i*(L-2); C3D(:,:,i)=C(s:e,:); %x-t-z if i==1 C3Dxt=C(s:e,:,1); end end

% calculate the average C at a position x at a time t [a b c]=size(C3D); Cave=zeros(a,b); for ii=1:(L-2) Cave=Cave+C3D(:,:,ii); end ux=ux(:,1:(L)); ux=ux(:,2:end-1)'; size(Cave); size(ux); Cave=Cave./ux; % Sorting dDoom dDoomSq=[]; for i=1:row n=i*row-(row-1); b=i*row; part=dDoom(n:b); dDoomSq=[dDoomSq part]; end nu=dDoomSq';

(74)

! CQ!

global l C0 tTime xBC CBC timeBC LL

l=LL+1; C1=C0; C2=C0; C=[]; xend=l; tend=tTime; X=1:xend; T=1:tend; for x=X for t=T C(x,t)=C1+(C2-C1)*x/l+2/pi*sUm(x,t,C1,C2); end end time=[]; x=[]; for i=1:tend x=[x;0 X]; end for i=1:(xend+1) time=[time; T]; end extraLine1=ones(1,tend)*C1; extraLine2=ones(1,tend)*C2; C=[extraLine1;C]; xBC=x; CBC=C; timeBC=time; end function analyticalNeumanBC1D

global l C0 tTime xBC CBC timeBC LL dx

(75)

! CL! summation=0; for n=1:1000 del=(C2*cos(n*pi)-C1)/n*sin(n*pi*x/l)*exp(-Diffq*n^2*pi^2*t/l^2); summation=summation+del; end end function A=Amodifications global rx rz L crackAp N=L-2;

gridSize=(N)^2; % size of grid for A and B % Reconstruct! for the new dimensions aA=-rz/2; bA=-rx/2; cA=(1+rx+rz); dA=bA; eA=aA;

% A: the triagonal matrix A=zeros(gridSize);

crackAp

for i=1:1:gridSize % construction of the matrices

mL=i-(L-2); % Reconstruct! for the new dimensions m1=i-1; p1=i+1; pL=i+(L-2); if i>(L-2) A(i,mL)=aA; end if i>1 A(i,m1)=bA; end A(i,i)=cA; if i<gridSize A(i,p1)=dA; end if i<gridSize-L+3 A(i,pL)=eA; end end % insert zeroes for j=1:(L-3) n=j*(L-2); m=n+1; A(n,m)=0; A(m,n)=0; end

% starting with walls, buffer interface not included, will be introduced % with vector d for i=1:(N-1) A(i,i)=(1+rx+rz/2); end A(N,N)=(1+rx/2+rz/2); for i=(N+N):N:(N^2-N) A(i,i)=(1+rx/2+rz); end A(N^2,N^2)=(1+rx/2+rz/2); for i=(N^2-N+1):(N^2-1) A(i,i)=(1+rx+rz/2); end

% Change in boundrary condition changed by variation in aperture in % simulated rock fracture

(76)

! CW! for j=crackAp(i+1):N line=(j-1)*N+i; % j-1 A((line-N),(line))=0; %C2 A((line-N),(line-N))=A((line-N),(line-N))-rz/2; if i~=N % i+1 A((line+1),(line))=0; %B1 A((line+1),(line+1))=A((line+1),(line+1))-rx/2; end if i~=1 % i-1 A((line-1),(line))=0; %B2 A((line-1),(line-1))=A((line-1),(line-1))-rx/2; end end end

% fixing the wall

for i=1:N for j=crackAp(i+1):N; line=(j-1)*N+i; A(line,:)=0; A(line,line)=1; end end end function B=Bmodifications global rx rz L crackAp N=L-2;

gridSize=(N)^2; % size of grid for A and B % Reconstruct! for the new dimensions aB=rz/2; bB=rx/2; cB=(1-rx-rz); dB=bB; eB=aB;

% A: the triagonal matrix B=zeros(gridSize);

for i=1:1:gridSize % construction of the matrices

(77)

! CC! n=j*(L-2); m=n+1; B(n,m)=0; B(m,n)=0; end

% starting with walls, buffer interface not included, will be introduced % with vector d for i=1:(N-1) B(i,i)=(1-rx-rz/2); end B(N,N)=(1-rx/2-rz/2); for i=(N+N):N:(N^2-N) B(i,i)=(1-rx/2-rz); end B(N^2,N^2)=(1-rx/2-rz/2); for i=(N^2-N+1):(N^2-1) B(i,i)=(1-rx-rz/2); end

% Change in boundrary condition changed by variation in aperture in % simulated rock fracture

for i=1:N for j=crackAp(i+1):N; line=(j-1)*N+i; % j-1 B((line-N),(line))=0; %C2 B((line-N),(line-N))=B((line-N),(line-N))+rz/2; if i~=N % i+1 B((line+1),(line))=0; %B1 B((line+1),(line+1))=B((line+1),(line+1))+rx/2; end if i~=1 % i-1 B((line-1),(line))=0; %B2 B((line-1),(line-1))=B((line-1),(line-1))+rx/2; end end end

% fixing the wall

for i=1:N for j=crackAp(i+1):N; line=(j-1)*N+i; B(line,:)=0; B(line,line)=1; end end end function all %clear all %clc %close all

% When used, put first in program and turn off tTime in: VarificationWithCN_old, and its clear functions

global tTime dx CNC Cave QMx QMC CNx xBC CBC

tTime=[2 4 8 16 32]*24*7; j=0;

(78)

! Cl! for tTime=tTime j=j+1; VarificationWithCN_old %1 Qx=[Qx; QMx(1,:)*dx]; %2 Qc=[Qc; QMC(end,:)]; %3 Cx=[Cx CNx(1,:)'*dx]; %4 Cc=[Cc CNC(:,end)]; %5 xB=[xB xBC(1,:)'*dx]; %5 cB=[cB CBC(:,end)]; end whos %figure; plot(Qx(1,:),Qc(1,:),'b*',Cx(:,1),Cc(:,1),'go',xB(:,1),cB(:,1),'c-'); title('Comparison of CN with the Analytical Solution'); xlabel('x [m]'); ylabel('C [mol/dm^3]'); axis([0 0.15 0 1]); hold on

%plot(Qx(2,:),Qc(2,:),'b*',Cx(:,2),Cc(:,2),'go',xB(:,2),cB(:,2),'c-'); hold on %plot(Qx(3,:),Qc(3,:),'b*',Cx(:,3),Cc(:,3),'go',xB(:,3),cB(:,3),'c-'); hold on %plot(Qx(4,:),Qc(4,:),'b*',Cx(:,4),Cc(:,4),'go',xB(:,4),cB(:,4),'c-'); hold on %plot(Qx(5,:),Qc(5,:),'b*',Cx(:,5),Cc(:,5),'go',xB(:,5),cB(:,5),'c-'); hold on

%title('1D-Diffusion After 2,4,8,16 and 32 Weeks')

% For only Analytical solution

figure; plot(xB(:,1),cB(:,1),'b-'); title('Comparison of CN with the

Analytical Solution'); xlabel('x [m]'); ylabel('C [mol/dm^3]');

axis([0 0.15 0 1]); hold on

plot(xB(:,2),cB(:,2),'b-');

plot(xB(:,3),cB(:,3),'b-');

plot(xB(:,4),cB(:,4),'b-');

plot(xB(:,5),cB(:,5),'b-');

(79)