Efternamn förnamn pnr programkod
Kontrollskrivning 3A till Diskret Matematik SF1610, för CINTE, vt2016
Inga hjälpmedel tillåtna.
Minst 8 poäng ger godkänt.
Godkänd KS nr n medför godkänd uppgift n vid tentor till (men inte med) nästa ordinarie tenta (högst ett år), n = 1, . . . , 5.
13–15 poäng ger ett ytterligare bonuspoäng till tentamen.
Uppgifterna 3)–5) kräver väl motiverade lösningar för full poäng.
Uppgifterna står inte säkert i svårighetsordning.
Spara alltid återlämnade skrivningar till slutet av kursen!
Skriv dina lösningar och svar på samma blad som uppgifterna; använd baksi- dan om det behövs.
1) (För varje delfråga ger rätt svar 12p, inget svar 0p, fel svar −12p.
Totalpoängen på uppgiften rundas av uppåt till närmaste icke–negativa hel- tal.)
Kryssa för om påståendena a)–f ) är sanna eller falska (eller avstå)!
sant falskt a) Varenda delgrupp H till en abelsk grupp (G, ◦) är också
abelsk.
X b) Den symmetriska gruppen Snhar en delgrupp av storlek
2 om n ≥ 2.
X
c) Gruppen (Z28, +) har en delgrupp av storlek 8. X
d) Permutationen (3 4 5) är udda. X
e) Varje grupp har en cyklisk delgrupp. X f ) Ordningen av ett element g i en grupp (G, ◦) delar alltid
gruppens storlek |G|.
X
poäng uppg.1
2a) (1p) Ange samtliga olika sidoklasser till delgruppen {0, 3, 6, 9} i gruppen (Z12, +).
(Det räcker att ange rätt svar.) Svar:
{0, 3, 6, 9}
{1, 4, 7, 10}
{2, 5, 8, 11}
b) (1p) Ange ett element i den symmetriska gruppen S5 som har ordning 6.
(Det räcker att ange rätt svar.) Svar:
(1 2)(3 4 5)
c) (1p) Ange grupptabellen för (Z5\ {0}, ·) (operationen multiplikation).
(Det räcker att ange rätt svar.) Svar:
· 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1
3) (3p) Bestäm samtliga delgrupper till gruppen (Z30, +).
OBS. Lösningen ska motiveras.
Lösning: Enligt Lagranges sats har varje delgrupp till Z30 en storlek som delar 30 (storleken av hela gruppen). Eftersom 30 = 2 · 3 · 5 så har varje delare formen 2a· 3b· 5cför några a, b, c ∈ {0, 1}, enligt aritmetikens fundamentalsats, och varje sådant tal är en delare. Alltså finns det 8 delare till 30, nämligen 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Dessa tal är alltså de enda möjliga storlekarna för del- grupper. I detta fall finns det också en delgrupp för varje av dessa:
Storlek Delgrupp 1: h0i = {0}
2: h15i = {0, 15}
3: h10i = {0, 10, 20}
5: h6i = {0, 6, 12, 18, 24}
6: h5i = {0, 5, 10, 15, 20, 25}
10: h3i = {0, 3, 6, 9, . . . , 27}
15: h2i = {0, 2, 4, 6, . . . , 28}
30: h1i = {0, 1, 2, 3, . . . , 29}
(Att dessa är de enda delgrupperna följer från att varje delgrupp till en cylisk grupp är cyklisk, tillsammans med att man tittar på ordningen av elementen.)
4) (3p) I S7, låt π = (1 2 3)(4 6)(5 7) och ψ = (3 4 5). Bestäm en permutation σ sådan att
π−1◦ σ ◦ π = ψ.
OBS. Lösningen ska motiveras.
Lösning: Vi multiplicerar båda sidorna av ekvationen till vänster med π och sedan till höger med π−1, för att få ekvationen
σ = π ◦ ψ ◦ π−1
= (1 2 3)(4 6)(5 7)(3 4 5)(1 3 2)(4 6)(5 7)
= (1 6 7)(2)(3)(4)(5).
Alternativ lösning: det följer från allmänt tänkande att π ◦ (3 4 5) ◦ π−1= (π(3) π(4) π(5)).
(Se vad som händer under permutationen med π(3), osv.) Svar: (1 6 7).
5) (3p) Bestäm storleken av den minsta delgruppen till (Z120, +) som innehål- ler elementen 6 och 10.
OBS. Lösningen ska motiveras.
Lösning: Låt H vara en delgrupp till Z120 som innehåller både 6 och 10.
Eftersom H är sluten under under addition och att ta inverser, så har vi att 6m + 10n (mod 120) också ligger i H för alla m, n ∈ Z. Specifikt lig- ger gcd(6, 10) = 2 i H eftersom man skriva gcd(6, 10) på denna form, t.ex.
2 = 2 · 6 + (−10). Därför måste gruppen h2i som generas av 2 ligga i H, d.v.s.
h2i ⊂ H.
Eftersom h2i är en delgrupp till Z120 som innehåller både 6 och 10, och varje annan sådan delgrupp måste innehålla h2i enligt ovan resonemang, så är detta den minsta sådana delgruppen. Den har storlek
Svar: |h2i| = 120/2 = 60.
