Efternamn förnamn pnr programkod
Kontrollskrivning 3A till Diskret Matematik SF1610, för CINTE, vt2017
Inga hjälpmedel tillåtna.
Minst 8 poäng ger godkänt.
Godkänd KS nr n medför godkänd uppgift n vid tentor till (men inte med) nästa ordinarie tenta (högst ett år), n = 1, . . . , 5.
13–15 poäng ger ett ytterligare bonuspoäng till tentamen.
Uppgifterna 3)–5) kräver väl motiverade lösningar för full poäng.
Uppgifterna står inte säkert i svårighetsordning.
Spara alltid återlämnade skrivningar till slutet av kursen!
Skriv dina lösningar och svar på samma blad som uppgifterna; använd baksi- dan om det behövs.
1) (För varje delfråga ger rätt svar 12p, inget svar 0p, fel svar −12p.
Totalpoängen på uppgiften rundas av uppåt till närmaste icke–negativa hel- tal.)
Kryssa för om påståendena a)–f ) är sanna eller falska (eller avstå)!
sant falskt a) För alla grupper (G, ◦) gäller det att om a ◦ b = c ◦ a för
några element a, b, c ∈ G, då är b = c.
X
b) Permutationen (1 4 3)(5 6) är udda. X
c) Varje grupp har en delgrupp av storlek 2. X
d) Produkten av två jämna permutationer är alltid en jämn permutation.
X
e) Den symmetriska gruppen Sn är cyklisk om n ≥ 3. X
f ) Om (G, ◦) är en ändlig grupp och g ∈ G, då finns det ett heltal k ≥ 1 sådant att gk= g−1.
X
poäng uppg.1
2a) (1p) Skriv ned två icke-kommuterande element i den symmetriska gruppen S4, dvs element σ, τ ∈ S4 sådana att σ ◦ τ 6= τ ◦ σ.
(Det räcker att ange rätt svar.)
Svar: Till exempel σ = (1 2), τ = (2 3).
b) (1p) Skriv ned alla generatorer för den cykliska gruppen (Z8, +).
(Det räcker att ange rätt svar.)
Svar: Varje av 1, 3, 5 och 7 är en generator för Z8.
c) (1p) Fyll i följande tabell så att det blir grupptabellen för en grupp G = {e, a, b, c} med identitetselement e.
e a b c e
a e
b e
c (Det räcker att ange rätt svar.) Svar:
e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
3) (3p) Bestäm fyra olika delgrupper till gruppen (Z15, +). Finns det fem oli- ka?
OBS. Fullständig motivering skall ges.
Lösning: Vi har de två triviala delgrupperna H1 = Z15 och H2 = {0}. Vidare så genererar varje element i Z15 en delgrupp, men flera av dessa är lika; t.ex.
är h2i = Z15. För att få olika delgrupper kan vi t.ex. ta H3 = h3i = {0, 3, 6, 9, 12}, H4 = h5i = {0, 5, 10}.
Tillsammans ger dessa oss fyra olika delgrupper.
Det finns inga andra delgrupper:
Om en delgrupp H innehåller ett nollskilt element a ∈ Z15 då måste H också innehålla talen ma mod 15 för alla m ∈ Z, och därför ma + 15n mod 15 for alla m, n ∈ Z. Eftersom vi kan skriva
gcd(a, 15) = ma + 15n för några heltal m, n ∈ Z,
så ligger även gcd(a, 15) ∈ H. De enda möjliga gcd:erna här är 1, 3 och 5, så varje delgrupp som innehåller ett nollskilt element innehåller åtminstone ett av elementen 1, 3, 5. Om det innehåller fler än ett av dessa ser en lätt att delgruppen är Z15, och annars är delgruppen ett av de listade ovan.
Svar: H1, H2, H3, H4 som ovan. Det finns inga andra.
4) (3p) Delmängden G = {1, 2, 4, 5, 7, 8} till Z9 utgör en grupp med operatio- nen multiplikation modulo 9. Finn en delgrupp H till denna grupp som har storlek 3 och skriv ned alla (vänstra) sidoklasser till H med avseende på ele- menten i G.
OBS. Fullständig motivering skall ges.
Lösning: Genom att pröva sig fram hittar vi delgruppen H = {1, 4, 7}
av storlek 3 till G (under multiplikation modulo 9); detta är faktiskt den enda sådana delgruppen. Den har sidoklasserna
1 · H = H
2 · H = {2 · 1, 2 · 4, 2 · 7} = {2, 5, 8}
4 · H = H 5 · H = {2, 5, 8}
7 · H = H 8 · H = {2, 5, 8}.
(Att det finns precis 2 olika sidoklasser följer direkt från Lagranges sats.) Svar: H = {1, 4, 7}, med sidoklasser H och 2 · H = {2, 5, 8}.
5) (3p) Låt H vara den minsta delgruppen till den symmetriska gruppen (S5, ◦) som innehåller båda permutationerna
σ = (1 3 4) och π = (2 5).
Denna delgrupp är cyklisk. Finn en generator för denna delgrupp och bestäm storleken |H|.
(Kom ihåg att S5består av alla permutationer av elementen i mängden {1, 2, 3, 4, 5}.) OBS. Fullständig motivering skall ges.
Lösning: Alla delgrupper som innehåller σ och π måste innehålla σπ enligt slutenhetsegenskapen i definitionen av en grupp, och måste därför innehålla (σπ)2, (σπ)3 etc, och därför ha
hσπi = {(σπ)n : n ∈ Z}
som en delgrupp. Eftersom σ och π kommuterar, dvs σπ = πσ, så ser vi att (σπ)4 = σ4π4 = σ
och
(σπ)3 = σ3π3 = π;
alltså innehåller delgruppen hσπi även σ och π. Eftersom alla delgrupper som innehåller σ och π även innehåller hσπi enligt ovan så är hσπi den minsta sådana delgruppen, dvs
H = hσπi.
Eftersom σπ har ordning lcm(3, 2) = 6 så har denna delgrupp storlek 6.
Svar: generator σπ, och |H| = 6.
