YTINTEGRALER ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌
Definition. Vi betraktar en funktion (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) som är definierad på ytan Y. Vi delar ytan i ej- överlappande delar Si , väljer en punkt Ti i varje Si och beräknar summan
∑𝑛𝑛𝑖𝑖=0𝑓𝑓(𝑇𝑇𝑖𝑖) ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑑𝑑𝑖𝑖) .
Om gränsvärdet lim𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑆𝑆𝑖𝑖)→0 ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=0𝑓𝑓(𝑇𝑇𝑖𝑖) ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑑𝑑𝑖𝑖)
existerar (oberoende av hur indelningen och punkterna Ti väljs) betecknas det med ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌 och kallas ytintegral.
Alltså
∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌 ≝ lim𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑆𝑆𝑖𝑖)→0 ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=0𝑓𝑓(𝑇𝑇𝑖𝑖) ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑑𝑑𝑖𝑖)
Alternativ definition med ε och δ.
Vi säger att ytintegraler ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌 existerar och har värdet A om det till varje givet tal ε >0 finns ett tal δ > 0 sådant att
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑(𝑑𝑑𝑖𝑖) < δ ⇒ | ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=0𝑓𝑓(𝑇𝑇𝑖𝑖) ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑑𝑑𝑖𝑖) − 𝐴𝐴| < ε.
--- AREAN AV EN BUKTIG YTA
Om 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 1 på ytan S då har vi
� 1𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑌𝑌
= lim𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑆𝑆𝑖𝑖)→0 � 1 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑑𝑑𝑖𝑖)
𝑛𝑛 𝑖𝑖=0
= 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑑𝑑) D v s
𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 (𝐘𝐘) = � 1𝑑𝑑𝑑𝑑
--- 𝑌𝑌
YTANS MASSA
Om 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) är ytans massbeläggning per areaenhet ( t ex i kg / m2 )
då är ytans massa M= lim𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑆𝑆𝑖𝑖)→0 ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=0𝑓𝑓(𝑇𝑇𝑖𝑖) ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑑𝑑𝑖𝑖) = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌 Därmed
𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝒎𝒎𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝑴𝑴 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑌𝑌
--- BERÄKNING AV YTINTEGRALER
A) För en yta given på explicitform ( funktionsyta)
𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) där (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷
beräknas ytintegralen ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌 som följande dubbelintegral över D, (D är ytans projektion på xy planet )
D Y
x
y O
∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌 = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)) |𝑵𝑵|𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷
= ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)) �1 + (𝑧𝑧𝐷𝐷 𝑥𝑥′)2+ (𝑧𝑧𝑦𝑦′)2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
där 𝑵𝑵 = (−𝑧𝑧𝑥𝑥′, −𝑧𝑧𝑦𝑦′, 1 ) ( en viktig normalvektor till ytan i punkten(x,y) ) Uttrycket |𝑵𝑵|𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = �1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′)2+ (𝑧𝑧𝑦𝑦′)2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 kallas areaelement och betecknas med dS.
Alltså för ytan 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) gäller
𝑑𝑑𝑑𝑑 = |𝑵𝑵|𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = �1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′)2+ (𝑧𝑧𝑦𝑦′)2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
Anmärkning: Om t ex y är en funktion av x och z, dvs om 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑧𝑧) då använder vi symmetriska formler för N och 𝑑𝑑𝑑𝑑 :
𝑵𝑵 = (−𝑦𝑦𝑥𝑥′ , 1, −𝑦𝑦𝑧𝑧′ ) , 𝑑𝑑𝑑𝑑 = |𝑵𝑵|𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑧𝑧 = �1 + (𝑦𝑦𝑥𝑥′)2+ (𝑦𝑦𝑧𝑧′)2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑧𝑧
B) För ytor givna på parameterform
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) , 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) , 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) , där (𝑠𝑠, 𝑡𝑡) ∈ 𝐷𝐷(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) ( eller kortare 𝒓𝒓 = 𝒓𝒓(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) , (𝑠𝑠, 𝑡𝑡) ∈ 𝐷𝐷(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) )
beräknas ytintegralen ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌 som följande dubbelintegral
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑌𝑌
= � 𝑓𝑓(𝑥𝑥(𝑠𝑠, 𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑠𝑠, 𝑡𝑡), 𝑧𝑧(𝑠𝑠, 𝑡𝑡)) |𝑵𝑵|𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑡𝑡
𝐷𝐷(𝑠𝑠,𝑡𝑡)
= � 𝑓𝑓(𝑥𝑥(𝑠𝑠, 𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑠𝑠, 𝑡𝑡), 𝑧𝑧(𝑠𝑠, 𝑡𝑡)) |𝒓𝒓𝑠𝑠′ × 𝒓𝒓𝑡𝑡′|𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑡𝑡
𝐷𝐷(𝑠𝑠,𝑡𝑡)
där 𝑵𝑵 = 𝒓𝒓𝑠𝑠′ × 𝒓𝒓𝑡𝑡′
Areaelement för ytan 𝒓𝒓 = 𝒓𝒓(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) definieras som 𝑑𝑑𝑑𝑑 = |𝑵𝑵|𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑡𝑡 = |𝒓𝒓𝑠𝑠′ × 𝒓𝒓𝑡𝑡′|𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑡𝑡
============================================
Uppgift 1.
Beräkna ytintegralen ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌 då
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑦𝑦2+ 𝑧𝑧 och ytan definieras av 𝑧𝑧 = 2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 , 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 1.
Lösning: 𝑵𝑵 = (−𝑧𝑧𝑥𝑥′, −𝑧𝑧𝑦𝑦′, 1 ) = (−2, −2, 1), |𝑵𝑵| = 3
∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌 = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)) |𝑵𝑵|𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 = ∬ ( 𝑦𝑦𝐷𝐷 2+ 𝑧𝑧) ∙ 3 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
vi måste byta z i integranden mot z-värdet på ytan, med andra ord, substituerar vi 𝑧𝑧 = 2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦
och får :
� ( 𝑦𝑦2+ 𝑧𝑧) ∙ 3 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
𝐷𝐷
= � ( 𝑦𝑦2+ 2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦) ∙ 3 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
𝐷𝐷
= � 𝑑𝑑𝑥𝑥
1 0
�( 3𝑦𝑦2+ 6𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦
1 0
= 7
Svar : 7
Uppgift 2.
Beräkna ytintegralen ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌 då f (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 5 + 𝑧𝑧
och ytan Y är den del av planet z = 5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 som ligger inuti cylindern 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ≤ 4.
Lösning:
Ytans projektion på xy planet (definitionsområde) är cirkeln 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2 ≤ 4.
Ytans normalvektor är 𝑵𝑵 = (−𝑧𝑧𝑥𝑥′, −𝑧𝑧𝑦𝑦′, 1 ) = (−5, −2, 1), och |𝑵𝑵| = √30.
Vi substituerar = |𝑵𝑵|𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 i ytintegralen och får
∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌 = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)) |𝑵𝑵|𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 = ∬ (5 + 𝑧𝑧) ∙ √30 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 [eftersom på ytan gäller 𝑧𝑧 = 5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 ]
= ∬ (5 + 5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 ) ∙ √30 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷
i) ∬ 5𝑥𝑥√30 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 =0 eftersom 5𝑥𝑥√30 är en udda funktion och området D: 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2 ≤ 4 är symmetrisk i x=0
dessutom
ii) ∬ 2𝑦𝑦√30 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 =0 eftersom 2𝑦𝑦√30 är en udda funktion och området D: 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2 ≤ 4 är symmetrisk i y=0
Därför
∬ (5 + 5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 ) ∙ √30 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 = ∬ 5 √30 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 = 5 √30 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝐷𝐷) = 20𝜋𝜋√30 Svar : 20𝜋𝜋√30
Uppgift 3.
Beräkna arean av den del av ytan 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥22+𝑦𝑦22 som ligger inuti cylindern 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2 = 1.
Lösning:
𝑧𝑧𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥, 𝑧𝑧𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦
𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 (𝐘𝐘) = ∬ 1𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌 = ∬ |𝑵𝑵|𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 = ∬ �1 + (𝑧𝑧𝐷𝐷 𝑥𝑥′)2+ (𝑧𝑧𝑦𝑦′)2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
= ∬ �1 + 𝑥𝑥𝐷𝐷 2+ 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 [polära koordinater]
= ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 02𝜋𝜋 ∫ √1 + 𝑎𝑎01 2 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 2𝜋𝜋 ∫ √1 + 𝑎𝑎01 2 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎
= 2𝜋𝜋 ��1+𝑟𝑟32�3/2�
0 1
= 2𝜋𝜋
3 [ 23/2 − 1 ]
Svar : 𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 (𝐒𝐒) = 2𝜋𝜋3 [ 23/2 − 1 ]
Uppgift 4.
Beräkna arean av ytan 𝒓𝒓(𝑠𝑠, 𝑡𝑡) = [2𝑠𝑠, 3𝑡𝑡, 5 + 3𝑠𝑠 + 𝑡𝑡] , 𝑠𝑠2+ 𝑡𝑡2 ≤ 4 Lösning:
𝒓𝒓𝒀𝒀′ = [2, 0, 3], 𝒓𝒓𝒀𝒀′ = [0, 3, 1],
𝑵𝑵 = 𝒓𝒓𝑠𝑠′ × 𝒓𝒓𝑡𝑡′ = �𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌 2 0 3
0 3 1� = −9𝒊𝒊 − 2𝒋𝒋 + 6𝒌𝒌 = [−9, −2, 6]
Därför |𝑵𝑵| = 11
𝑑𝑑𝑑𝑑 = |𝑵𝑵|𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑡𝑡 = 11𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑡𝑡 och
𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 (𝐘𝐘) = � |𝑵𝑵|𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑌𝑌
= � 11 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑌𝑌
= � 𝑑𝑑𝑑𝑑2𝜋𝜋
0 � 11𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎2
0 = 44𝜋𝜋 [ vi har använt polära koordinater s = 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑑𝑑, 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 ] Svar: 44𝜋𝜋
Uppgift 5.
Ytan z = �4 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ≤ 4 har en icke-konstant massbeläggning ( massan per area)
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2)2∙ 𝑧𝑧 Beräkna ytans massa.
(1 + 𝑎𝑎2)3/2 3
∫ √1 + 𝑎𝑎2 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 = [subs: 1 + 𝑎𝑎2 = 𝑡𝑡 ⇒ 2𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑡𝑡 ⇒ 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 =𝑑𝑑𝑡𝑡2 ]
= ∫ 𝑡𝑡1/2 𝑑𝑑𝑡𝑡2 = 12𝑡𝑡3/23/2= 𝑡𝑡3/23
Ytans massa 𝐌𝐌 = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑌𝑌 = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)) �1 + (𝑧𝑧𝐷𝐷 𝑥𝑥′)2+ (𝑧𝑧𝑦𝑦′)2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 och föränklar integralen:
𝑴𝑴 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)) �1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′)2+ (𝑧𝑧𝑦𝑦′)2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
𝐷𝐷
= �(𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2)2∙ 𝑧𝑧 ∙ �1 + � −2𝑥𝑥 2�4 − 𝑥𝑥2− 𝑦𝑦2�
2
+ � −2𝑦𝑦
2�4 − 𝑥𝑥2− 𝑦𝑦2�
2
𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
𝐷𝐷
= �(𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2)2∙ �4 − 𝑥𝑥2− 𝑦𝑦2 ∙ �1 + 𝑥𝑥2
4 − 𝑥𝑥2− 𝑦𝑦2+ 𝑦𝑦2
4 − 𝑥𝑥2− 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
𝐷𝐷
= �(𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2)2∙ �4 − 𝑥𝑥2− 𝑦𝑦2 ∙ � 4
4 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
𝐷𝐷
= �(𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2)2∙ 2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
𝐷𝐷
Vi använder polära koordinater 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑑𝑑, 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 och får
� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜋𝜋/2
0 � 𝑎𝑎2 4 ∙ 2 ∙ 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎
0 = 2 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜋𝜋/2
0 � 𝑎𝑎2 5𝑑𝑑𝑎𝑎
0 = 2 ∙𝜋𝜋
2 ∙ � 𝑎𝑎6
6 �0
2
= 32 𝜋𝜋 3 Svar: Ytans massa =32 𝜋𝜋3
