Tentamen TEN2, (analysdelen) HF1903, Matematik1

Sida 1 av 6

Tentamen TEN2, (analysdelen) HF1903, Matematik1

Examinator: Armin Halilovic

Jourhavande lärare: Armin Halilovic Datum: 19 aug 2020

Ordinarie skrivtid: 8:00-12:00 (+ 15 min för uppladdning av lösningar) Extra skrivtid 8:00-14: 00 (+ 15 min för uppladdning av lösningar )

Endast de som är synliga i Zoom under hela tentamen har rätt att lämna in lösningar.

Använd papper och penna för att lösa dina uppgifter.

Tiden 8 -12:15 (extra tid(Funka) 8-14:15) använder du för att fotografera och ladda upp dina lösningar i

https://kth.instructure.com/courses/24189/assignments

i en av undermappar (ordinarie tid eller extra tid för funka studenter) : TEN2_HF1903_ordinarie_tid (stängs 12:15)

TEN2_HF1903_extra tid _FUNKA stängs( 14:15) Format: PDF, JPG, JPEG, HEIC eller PNG filer är OK,

men vi föredrar PDF-format och gärna alla uppgifter i EN pdf-fil.

Viktigt: Filernas namn ska innehålla ditt efternamn och namn, med andra ord använd EFTERNAMN_NAMN_sida1,2…… som namn på alla filer som du laddar upp.

Du behöver INTE komprimera filer. (Men, om du laddar upp en mapp då måste du komprimera mappen innan uppladdning.)

Om du är färdig tidigare, meddelar du genom chat i Zoom, till tentavakten, att du fotar dina lösningar.

Efter uppladdningen meddelar du (genom chat) till tentavakten att du lämnar Zoom-tenta.

Därefter får du inte komma tillbacka till Zoom-rummet och göra ändringar i dina lösningar.

---

För godkänt betyg krävs 10 poäng (totalt i båda delar) av max 24 poäng .

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad,

Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

Parametrarna p och q i nedanstående uppgifter är sista två siffror i ditt personnummer.

T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p= 4 och q=8.

Sida 2 av 6

---

Substituera först dina parametrar p,q i nedanstående uppgifter och därefter lös uppgifterna.

Uppgift 1. (2p)

Beräkna följande gränsvärden

a)

( )

3 4

0

sin ( 1) lim^x 2

x p x

x x

→

− +

+ b) ²

1

( 3) ( 3)

lim^x sin( 1)

p x p

x

→

+ − +

− .

Lösning: a) fall p=0

( ) ( )

( ) ( )

3 4 2 3

0 0

0 2 0

sin 0 1 cos 0

lim (typ L'H) lim (typ L'H)

2 0 6 4 0

sin 0 cos 1

lim (typ L'H) lim

12 12 0 12 24 12

x x

x x

x x x

x x x x

x x

x x x

→ →

→ →

− −

+ = +

= = =

+ +

Fall p=1,2,…9

( ) ( )

3 4 2 3

0 0

sin ( 1) 0 1 ( 1)cos ( 1)

lim (typ L'H) lim = (typ ) =

2 0 6 4 0

x x

x p x p p x p

x x x x

→ →

− + = − + + − − ∞

+ + +

b) ²

1 1

( 3) ( 3) 0 2( 3) )

lim (typ L'H)lim 2( 3)

sin( 1) 0 cos( 1)

x x

p x p p x p

x x

→ →

+ − + +

= = +

− −

Rättningsmall: Rätt eller fel

Uppgift 2. (2p)

Beräkna följande integraler:

a)

∫ (cos ) x

⋅ sin xdx

b)

∫ x ⋅ ln(2 x q dx + )

Lösning:

a)

∫ (cos ) x

⋅ sin xdx

4 4

4 cos

4 4

p p

p v x

v dv C C

p p

+ +

+ − −

− ⋅ = + = +

+ +

∫

b) Part integration

Sida 3 av 6

2

ln(2 ) 2 ,

2 2

u x q v x

u v x

x q

= + ′=

′ = =

+

2 2

ln(2 ) ln(2 )

2 2

x x

x x q dx x q dx

⋅ + = + − x q

∫ ∫

2 2

ln(2 ) ( )

2 2 4 4(2 )

x x q x q q dx

= + − − + x q

∫

2 2 2

ln(2 ) ln(2 )

2 4 4 8

x x q+ − x +qx−q x q+

Rättningsmall: Rätt eller fel

Uppgift 3. (3p) Beräkna volymen av kroppen som uppstår då området 0≤ ≤y (p+2)sin( )x ,

2 x

π ≤ ≤ π roterrar kring x-axeln

2 2 2

/2 /2 /2

2

2 2

1 cos(2 ) sin 2

(( 2)sin ) ( 2) ( 2)

2 2 4

( 2) [( 0) ( 0))

2 4

( 2) . . 4

x x x

Vx p x dx p dx p

p

p v e

π π π

π π π

π π π

π π

π π

−  

= + = + = +  − 

= + − − −

= +

∫ ∫

Rättningsmall: Korrekt till ²

/2

((p 2)sin )x dx

π π

π

∫

Korrekt till ²

/2

sin 2 ( 2)

2 4

x x

p ^π

π

π + ^ − ^ ger 2p Allt korrekt 3p

Uppgift 4. (2p)

Bestäm tangenten till kurvan

(12−p x) ²+(10 2 )− p y² =22 3− p i punkten A = (1,1).

Lösning:

Implicitderivering ger

2(12− p x) +2(10 2 )− p y y′⋅ =0 Härav, om p ≠5

(12 ) (12 ) ( i punkten är x=1 och y=1) (10 2 ) 10 2

p x p

y p y p

− − − −

′ = =

− −

Om p=5 saknas tangenten.

Sida 4 av 6 Tangentens ekvation: 1 ^{(12 )} ( 1)

10 2

y p x

p

− −

− = −

− , om p ≠5

Om p=5 saknas tangenten.

Rättningsmall: 1p för (12 ) 10 2 y p

p

− −

′ = − Allt korrekt =2p

Uppgift 5. (2p)

Bestäm eventuell stationära punkter och deras typ till funktionen

2 2

( , ) 3 (2 2) (6 6) 10

f x y = x − y − p+ x+ p+ y+

Svar: En stationär punkt S=(p+1,p+ som är en sadelpunkt 1) Rättningsmall: 1p för korrekt punkt + 1p för korrekt typ.

Uppgift 6. (3p) Låt f x( ) x² 2px p² 1 x p

+ + +

= + .

a) (2p) Bestäm eventuella stationära punkter och deras typ.

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter till f(x). Lösning:

2 2 2 1 1

( ) x px p

f x x p

x p x p

+ + +

= = + +

+ +

a) '( ) 1 1 ₂

( )

f x = − x p + Stationära punkter

1 1

x = − − , maxpunkt och p

2 1

x = − , minpunkt p

b) Från f x( ) x p 1

= + + x p

+ får vi direkt att y x p= + är en snes asymptot;

x= − är en vertikal (=lodrät) asymptot. p Rättningsmall:

a) 1p för korrekta punkter +1p för korrekta typer (1p om en punkt och punktens typ är korrekt)

b) båda korrekta asymptoter=1p

Uppgift 7. (3p) Bestäm volymen av kroppen som definieras av

2 2

4≤x +y ≤9, 0 z q p x≤ ≤ + + ²+y²

Lösning = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦_𝐷𝐷

Området D är en cirkelring som ligger mellan två cirklar vars radier är 2 och 3 (centrum är origo) .

Sida 5 av 6

2 3

Vi byter till polära koordinater 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟,

2 3

2 2 2

0 2

( ) ( )

D

V =

∫∫

∫ ∫

2 3 2 4

3

0 2

3 65

[( ) ] 2 [( ) ] 5( )

2

2 4 2

r r

d q p r r dr q p p q

π

q π π π

=

∫ ∫

Rättningsmall:

a) Korrekt till ^{2 3 2}

0 2

( )

d q p r rdr

π q + + =

∫ ∫

Korrekt till 2 [( ) ^{2 4}]³ 2 2 4 r r

π q p+ + =2p

Allt korrekt=3p

Uppgift 8. (2p)

Beräkna dubbelintegral sin

D

x y dxdy

∫∫

då D definieras genom 0≤ ≤x 1, 0

y π4

≤ ≤ . Lösning:

1 /4 1

0 0 0

1 0

sin sin [ cos ] / 4

0

2 2 1 1 2

(1 ) 1

2 2 2 2 4

D

x y dxdy dx x ydy x y dx

xdx

π π

= = − =

 

− = −  = −

 

∫∫ ∫ ∫ ∫

∫

Rättningsmall:

Korekt till ¹

0

[ cos ] / 4 x y π0 dx

∫

Uppgift 9. (5p)

Ett område Ω definieras i polära koordinater av

4 2

π _{≤ ≤ , 1}q π _{≤ ≤ + r p 2}

Sida 6 av 6 Beräkna koordinaterna för områdets tyngdpunkt.

Lösning:

Arean = (en åttonde del av ringen)= (( 2) 1 )^{2 2}

8 p

π _{+ − =}

[ ]

2 2

2 2

2

1 1

4 4

3 2 3

/2 /4

1

cos cos

2 ( 2) 1

sin (1 )

3 2 3

p p

D

p

x dxdy d r r dr d r dr

r p

π π

π π

π π

q q q q

q

+ +

+

= ⋅ =

  + −

= ⋅  = − ⋅

 

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

.

Därför 1 8 _{2 2} (1 2 () 2) 1³

( ) (( 2) 1 ) 2 3

c

D

x x dxdy p

Arean D π p

+ −

= = ⋅ − ⋅

+ −

∫∫

[ ]

2 2

2 2

2

1 1

4 4

3 2 3

/2 /4

1

sin sin

2 ( 2) 1

cos 3 2 3

p p

D

p

y dxdy d r r dr d r dr

r p

π π

π π

π π

q q q q

q

+ +

+

= ⋅ =

  + −

= − ⋅  = ⋅

 

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Därmed

3

2 2

1 8 2 ( 2) 1

( ) (( 2) 1 ) 2 3

c

D

y y dxdy p

Arean D π p

+ −

= = ⋅ ⋅

+ −

∫∫

Svar : Se ovan

Rättningsmall:

Korrekt arean =1p

Korrekt x-koordinat +2p (-1p för mindre räknefel) Korrekt y-koordinat +2p (-1p för mindre räknefel)