Sida 1 av 4 Matematiska Institutionen, KTH
Tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 12 aug 2020,
DEL_A
Examinator: Armin Halilovic, tel 08 790 4810 Jourhavande lärare
Klass CINTE (SV) : Armin Halilovic armin@kth.se, tel 08 790 4810 , Klass TCOMK (ENG) Ivan Martino, imartino@kth.se, tel 08 790 6643
DEL A (
Omfattar Del I och Del II
) Tid för A delen: 08.00–11. 00Därefter 20 min att ta bilder och ladda upp i canvas och 10 min rast.
( Del B 11:30 -13:30. Därefter 20 min att ladda upp lösningar i canvas ) Extra tid för del A 8:00-12:30
Därefter 20 min att ta bilder och ladda upp i canvas och 10 min rast.
( Del B 13:00 -16:00. Därefter 20 min att ladda upp lösningar i canvas )
Jourhavande lärare kommer att besöka Zoomrummet i början av varje del. Skriv i chatten om du har frågor.
Under skrivtiden är toalettbesök tillåtet. (Anmäl till tentavakten om du behöver gå på toa.) Som student ska du ha följande inställningar i ZOOM:
Stäng AV den virtuella bakgrunden Stäng AV mikrofonen
Sätt PÅ webbkameran
Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Totalsumma poäng vid denna tentamensskrivning (för alla delar) är 37p
OBS:: En komplett lösning med fullständiga motiveringar krävs för alla uppgifter.
Betygsgränser:
13 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 15 poäng totalt eller mer ger minst betyget E 18 poäng totalt eller mer ger minst betyget D 22 poäng totalt eller mer ger minst betyget C 27 poäng totalt eller mer ger minst betyget B 32 poäng totalt eller mer ger minst A
Sida 2 av 4 Under hela skrivningen ska du vara synlig i Zoom.
Du använder papper och penna för att lösa nedanstående uppgifter. Du skannar eller tar bilder av dina lösningar (PDF, JPG, JPEG, HEIC eller PNG filer). (Vi föredrar PDF-format och gärna en fil med alla uppgifter.) Dina filer laddar du upp på det här webbplatsen https://kth.instructure.com/courses/24026/assignments
Del_A_TEN_12_aug_2020_Swedish version
(eller Extra_Tid_FUNKA_Del_A_TEN_12_aug__2020 för de som har rätt för extra tid) Viktigt: Mappens namn ska innehålla ditt efternamn och namn, med andra ord använd EFTERNAMN_ NAMN som filernas namn.
---
Skriv namn och personnummer på varje blad. Deklarera på första sidan att du själv har gjort denna tentamen. Skriv på första inlämnade blad ” Jag själv har gjort denna tentamen” och signera.
Parametrarna p och q i nedanstående uppgifter är sista två siffror i ditt personnummer.
T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p= 4 och q=8.
---
DEL I
Var och en av nedanstående fem uppgifter svarar mot en kontrollskrivning. Godkänt resultat på kontrollskrivning nr i under vårterminen 2019 ger automatiskt full poäng på uppgift nr i.
Att lösa en uppgift som man på detta sätt redan har till godo ger inga extra poäng.
1. (3p) Bestäm samtliga heltalslösningar (x,y) till den diofantiska ekvationen
(p+2)x+(p+1)y= +2 3p p+ 2.
OBS. En komplett lösning med fullständiga motiveringar skall ges.
2. (3p) Låt D vara en mängd med (q+20) element och M en mängd med 25 element.
a) Bestäm antalet funktioner f: D →M , från definitionsmängden D till mängden M.
b) Bestäm antalet injektioner från definitionsmängden D till mängden M.
c) Bestäm antalet surjektioner från definitionsmängden D på mängden M.
Anmärkning:
Dina svar i uppgift 2. kan innehålla standardbeteckningar: n!, m n
och S(m,n).
3. (3p) Låt R=1+(p mod 2).
Låt π och σ vara följande permutationer av elementen i mängden {1, 2, 3, 4, 5, 6} (skrivna i cykelform):
π = (1 4)(3,6) , σ = (R 4 6).
Bestäm permutationen φ som uppfyller π−1φ σ π= −1. Ange permutationen φ på tvåradsform.
Sida 3 av 4
{Anmärkning om skrivsätt: I ovanstående permutationer, π och σ, har vi inte skrivit de element som avbildas på sig själv. T ex kunde vi skriva π = (1 4)(3,6)(2)(5). }
4. (3p) Låt L= (q mod 2).
En Boolesk funktion f (x,y,z) definieras med hjälp av följande tabell:
x y z f (x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 L
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 L
1 1 1 0
a) Skriv funktionen på disjunktiv normalform b) Skriv funktionen på konjunktiv normalform
5. (3p)
Den bipartita grafen G har två mängder X och Y av noder. Det finns inga kanter mellan noder i X och inga kanter mellan noder i Y . Varje nod i
mängden X har grad 7 och varje nod i mängden Y har graden 3. Det finns 6q +12 noder i X, (dvs |X| =6q+12). Bestäm antalet noder i Y.
OBS. Ditt svar skall motiveras.
DEL II 6. (4p)
a) Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att talet
(
2)
3 21
6 (2 2) 2 (4 ) ( 2)
n k
k p k n p n p n
=
+ + = + + + +
∑
för alla heltal n ≥1.
OBS. Du får 0 poäng om du inte använder induktionsbevis.
Sida 4 av 4 b) Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att
2
n> n
2+ − q 10
för alla heltal n ≥5.OBS. Du får 0 poäng om du inte använder induktionsbevis.
7. (4p)
a) Man ska dela (60+p) olika böcker till (q+3) barn så att varje barn för minst en bok. På hur många sätt kan man göra detta.
b) Låt K= 5+ (q mod 2). Hur många K-siffriga koder finns det som innehåller exakt (K–1) olika siffror (dvs en siffra förekommer exakt två gånger ). Notera att siffrorna är
0,1,2,3,4,5,6,7,8 och 9.
c) I en klass i Stockholm finns (100+p) studenter. Man ska dela klassen i tre grupper så att Grupp1 ska innehålla exakt (10+p ) studenter , Grupp2 exakt 30 studenter och Grupp3 exakt 60 studenter. På hur många sätt kan man göra detta.
d) I en skola med totalt 150 elever finns tre klasser:
Klass A med (80+q) elever, Klass B med (50–q) och Klass C med 20 elever.
På hur många sätt kan vi välja 30 elever så att
(15–q) tillhör klass A, (5+q) tillhör klass B och 10 tillhör klass C?
Dina svar i uppgift 7a,b,c,d . kan innehålla standardbeteckningar: n!, m n
och S(m,n).
8. (4p)
Lös ekvationen (11+ p x) =4 i Z43 .
OBS. En komplett lösning med fullständiga motiveringar skall ges.
