Tentamen TEN2, (analysdelen) HF1903, Matematik1

Sida 1 av 9

Tentamen TEN2, (analysdelen) HF1903, Matematik1

Datum: 10 feb 2020 Skrivtid: 8:00-12:00

Examinator: Armin Halilovic 08 790 4810

Jourhavande lärare: Armin Halilovic 08 790 4810 För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .

Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.

Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.

• Skriv endast på en sida av papperet.

• Skriv namn och personnummer på varje blad.

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget

• Student får inte behålla tentamenslydelsen eller skriv- och kladdpapper som använts under tentamen.

=====================================

Uppgift 1. (2p)

Beräkna följande gränsvärden a) ⁴⁴_{44 10}¹⁴

3 7

2 lim5

x x

x x

x +

+

∞

→ b)

) 6 2 sin(

) 15 5 sin(

lim 3

3 −

− +

−

→ x

x x

x .

Uppgift 2. (2p) Beräkna följande integraler:

a)

∫ x

²

⋅ cos( 5 + 4 x

³

) dx

. (Tips: variabelbyte)

b)

∫ ^{x ⋅ ln( x ) dx}

(Tips: Partiell integration).

Uppgift 3. (3p)

Beräkna dubbelintegral x y dxdy

∫∫

D ^{2cos( ) ,}

då D definieras genom 0≤x≤2, 0≤ y≤π/2. .

Var god vänd.

Sida 2 av 9 Uppgift 4. (2p)

Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 2

0≤ x≤ ,

5 0 1

≤ +

≤ y x

roterar kring a) x-axeln, b ) y-axeln.

Uppgift 5. (4p)

a) Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning 2 för funktionen y =cos(x). b) Bestäm approximativt cos(0.3) och uppskatta felet.

Tips: Maclaurins formel är

. och 0 mellan ligger som är tal och

)!

1 (

) felet (

där

! ) 0 ... (

! 3

) 0 (

! 2

) 0 ) (

0 ( ) 0 ( ) (

) 1 1 (

) 3 (

2

x c

n x c R f

R n x

x f x f

x f f f

x f

n n

n n

+ +

= +

+ +

′′′ +

′′ +

′ + +

=

Uppgift 6. (3p) Bestäm alla stationära punkter till funktionen xy

y x y

x

f( , )=2+3 ²+ ³−3

och avgör deras karaktär (max, min, sadel).

Uppgift 7. (3p)

Beräkna volymen av den kropp K som definieras av y

x z z

y x

K={( , , ): 0≤ ≤ ² +3 , 1≤x≤2, 0≤ y≤1}.

( Notera att K består av de punkter i R³ som ligger mellan xy-planet och ytan z=x² +3y.)

Uppgift 8. (3p) Låt ( ) 3 3ln( ) 1 ln( ) f x x

x

= +

− .

a) Bestäm eventuella stationära punkter och deras karaktär.

b) Bestäm eventuella asymptoter till f(x). c) Rita funktionens graf.

Uppgift 9. (2p)

Ett område Ω definieras avy≥0, x≥0 , 0≤x² +y² ≤9 och y≥ (se figuren). x Beräkna områdets yttröghetsmoment kring y-axeln.

Lycka till.

Sida 3 av 9 FACIT

Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Beräkna följande gränsvärden

a) ⁴⁴_{44 10}¹⁴ 3 7

2 lim5

x x

x x

x +

+

∞

→ b)

) 6 2 sin(

) 15 5 sin(

lim 3

3 −

− +

−

→ x

x x

x .

Lösning: a) ⁴⁴_{44 10}^{14 30}

34

5 2

5 2 5

lim7 3 lim7 3 7

x x

x x x

x x

x

→∞ →∞

+ +

= =

+ +

b) Insättning av x = 3 ger 3 3 sin(5 3 15) 0

sin(2 3 6) 0

− + ⋅ − =

⋅ − L’Hospitals regel kan användas.

3 3

3 sin(5 15) 1 5cos(5 15) 6

lim lim 3

sin(2 6) 2cos(2 6) 2

x x

x x x

x x

→ →

− + − = + − = =

− −

Svar: a) 5

7 b) 3

Rättningsmall: a) och b) Rätt eller fel

Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Beräkna följande integraler:

a)

∫ x

²

⋅ cos( 5 + 4 x

³

) dx

. (Tips: variabelbyte) b)

∫ ^{x ⋅ ln( x ) dx}

(Tips: Partiell integration) Lösning:

a)

∫ 𝑥𝑥²cos(5 + 4𝑥𝑥³) 𝑑𝑑𝑥𝑥 Substitutionen � 𝑡𝑡 = 5 + 4𝑥𝑥³ 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 12𝑥𝑥²𝑑𝑑𝑥𝑥�

= �cos 𝑡𝑡 12 𝑑𝑑𝑡𝑡 =

sin 𝑡𝑡

12 + 𝐶𝐶 =

sin(5 + 4𝑥𝑥³)

12 + 𝐶𝐶

b)

∫ 𝑥𝑥 ln(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 (Partiell integration)

= 𝑥𝑥²

2 ln 𝑥𝑥 − � 𝑥𝑥²

2 1 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 =

𝑥𝑥²ln 𝑥𝑥 2 − �

𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 =

𝑥𝑥²ln 𝑥𝑥 2 −

𝑥𝑥² 4 + 𝐶𝐶 (=𝑥𝑥²(2 ln 𝑥𝑥 − 1)

4 + 𝐶𝐶)

Svar: a) ^{sin�5+4𝑥𝑥}₁₂ ^3�+ 𝐶𝐶 b) ^𝑥𝑥2₂^{ln 𝑥𝑥}−^𝑥𝑥₄²+ 𝐶𝐶

Rättningsmall: a) Korrekt en primitiv funktion 1p b) Korrekt en primitiv funktion 1p

Sida 4 av 9 Uppgift 3. (3p)

Beräkna dubbelintegral x y dxdy

∫∫

D ^{2cos( ) ,}

då D definieras genom 0≤x≤2, 0≤ y≤π/2.

Lösning:

∫∫

^{x y dxdy}=

D

)

2cos(

[ ] [ ]

3 8 0 3

1 )

sin(

) cos(

2 0 2 3

0 2 2

0 2 2

0

2 / 2 0

2 0

2 / 0

2  =



 



=

=

−

=

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫

^{dxπ x y dy x y π dx x dx x dx x}

Svar: 8/3

Rättningsmall: Korrekt till

∫

²

[ ]

0

2 / 2 sin(y)0 dx

x ^π ger 1p

2p för korrekt till

∫

²

0 2dx x . 3p om allt är korrekt.

Uppgift 4. (2p)

Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 2

0≤x≤ ,

5 0 1

≤ +

≤ y x

roterar kring a) x-axeln, b ) y-axeln

Lösning a) Rotation kring x – axeln. Skivmetoden ( ^{b 2}

a

V =

∫

πy dx) används:

2 2

2 2

2 2

0 0 0

1 ( 5) 5 7 2

5 5 7 5 35 35

b a

V y dx dx x dx

x x

π π π π π π

π π   π ⁻   − +

=

∫

=

∫

⋅ +  =

∫

⋅ + = − +  = − + = =

b) Rotation kring y – axeln. Skalmetoden ( ^b2

a

V =

∫

πxydx) används:

2 2

0 0

2 2 1 2

5 5

b a

V xydx x dx x dx

x x

π π π

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

+ +

∫ ∫ ∫

⁼

För att förenkla

5 x

x + kan vi använda polynom division :

/ ( 5) 1 ( 5)

5 x x

x

+ = +

−

, därmed

5 x

x + =1 ⁵ 5

− x + .

Sida 5 av 9 Vi kan också direkt förenkla uttrycket som nedan.

2 2

0 0

5 5 5

2 2 1

5 5

x dx dx

x x

π ^{+ −} π ^{ }

= ⋅

∫

+ ⋅ = ⋅

∫

 − + ⋅ =

2

2π x 5ln x 5 0 2 (2 5ln 2 5 (0 5ln 0 5 )) 2 (2 5ln 7 5ln 5)π π

= ⋅  − +  = ⋅ − + − − + = ⋅ − +

Svar: a) 2 35

π v.e. b) 2 (2 5ln 7 5ln 5)π⋅ − + v.e.

Rättningsmall: a) och b) Rätt eller fel

Uppgift 5. (4p)

a) Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning 2 för funktionen y =cos(x). b) Bestäm approximativt cos(0.3) och uppskatta felet.

Tips: Maclaurins formel är

. och 0 mellan ligger som är tal och

)!

1 (

) felet (

där

! ) 0 ... (

! 3

) 0 (

! 2

) 0 ) (

0 ( ) 0 ( ) (

) 1 1 (

) 3 (

2

x c

n x c R f

R n x

x f x f

x f f f

x f

n n

n n

+ +

= +

+ +

′′′ +

′′ +

′ + +

=

Lösning:

a) För f(x)=cos(x) har vi f′(x)=−sin(x), f ′′(x)=−cos(x) och f ′′′(x)=sin(x). Därmed f( =0) 1 , f′( =0) 0, f ′′ x( )=−1 och f ′′′(c)=sin(c).

Maclaurinpolynomet av ordning 2 får vi enligt ovanstående formel, 𝑀𝑀₂(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(0) + 𝑓𝑓^′(0)𝑥𝑥 +^{𝑓𝑓′′(0)𝑥𝑥}_2! ² = 1 + 0 +^{(−1)𝑥𝑥}₂ ² = 1 −^𝑥𝑥₂². b)

cos 0.3 ≈ 𝑀𝑀2(0.3) = 1 −0.3²

2 (= 1 − 0.045 = 0.955) Felet R uppskatta med

𝑅𝑅 = _(2+1)!^{sin 𝑐𝑐} 0.3³ där 0 < 𝑐𝑐 < 𝑥𝑥 (och därmed 0 ≤ 𝑐𝑐 ≤ 𝑥𝑥 ) Största möjliga värde på 𝑅𝑅 då 𝑐𝑐 = 𝑥𝑥 så

0 ≤ 𝑅𝑅 ≤sin 0.3 ∙ 0.3³

6 � 0 ≤ sin 𝑥𝑥 ≤ 𝑥𝑥 i 1: a kvadrantenmen |sin 𝑥𝑥| ≤ 1 OK i uppskattning�

0 ≤ 𝑅𝑅 ≤^{0.3∙ 0.3}₆ ³�=₂₀₀₀⁹ � eller 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤^0.3₆⁴�=₂₀₀₀₀²⁷ � . Alternativt 2: Vi kan uppskatta |𝑅𝑅|.

|𝑅𝑅| = �_(2+1)!^{sin 𝑐𝑐} 0.3³� ≤ �_(2+1)!^0.3 0.3³� = ₂₀₀₀₀²⁷ dvs |𝑅𝑅| ≤₂₀₀₀₀²⁷

Sida 6 av 9

Alternativt 3: (Vi använder enklare uppskattning |sin 𝑐𝑐| ≤ 1. )

|𝑅𝑅| = �_(2+1)!^{sin 𝑐𝑐} 0.3³� ≤ �_(2+1)!¹ 0.3³� =₂₀₀₀⁹ dvs |𝑅𝑅| ≤₂₀₀₀⁹ (enklare uppskattning men mindre precision )

Svar a) 1 −^𝑥𝑥₂² b) |𝑅𝑅| ≤₂₀₀₀₀²⁷ ( Alt: |𝑅𝑅| ≤₂₀₀₀⁹ ) Rättningsmall: a) Allt korrekt 2p. -1p för varje räknefel.

b) Korrekt till 𝑅𝑅 =^{sin 𝑐𝑐}_3! 0.3³ ger 1p. Allt korrekt 2p.

Uppgift 6.(3p) Bestäm alla stationära punkter till funktionen xy

y x y

x

f( , )=2+3 ²+ ³−3

och avgör deras karaktär (max, min, sadel).

Lösning:

y x

f_x′=6 −3 f_y′ =3y² −3x

För att bestämma eventuella stationära punkter löser vi systemet: f_x′=0, f_y′=0.





=

−

=

⇒ −





=

−

=

⇒ −





′=

=

′

) 2 ( 0

) 1 ( 0 2

0 3 3

0 3 6 0

0

2

2 y x ekv

ekv y

x x

y y x f

f

y

x

Från ekv 1 får vi y 2= x (*) som vi substituerar i ekv2 :

4 / 1 ,

0

0 ) 1 4 ( 0

4

2 1

2

=

=

⇒

=

−

⇒

=

−

x x

x x x

x

Från (*) y₁ =0, y₂ =1/2

Alltså har vi två stationära punkter: P1(0,0) och P2(1/4, 1/2) 6

′′ =

= f_xx

A , B= f_xy′′ =−3, C = f_yy′′ =6y Vi avgör punkternas karaktär med hjälp av följande tabell

Punkt A B C AC −B² typ f(x,y)

(0,0) 6 -3 0 -9 sadelpunkt (eftersom AC−B² <0) 2 (1/4, 1/2) 6 -3 3 9 minpunkt (eftersom AC−B² >0 och A>0 ) 31/16

Svar: Två stationära punkter (0,0) och (1/4,1/2).

Punkten (0,0) är en sadelpunkt.

Funktionen har minimum i punkten (1/4,1/2).

Sida 7 av 9

Rättningsmall: Korrekta stationära punkter =1p ( Alt. En korekt punkt och punktens typ =1p) +1p för varje korrekt typ.

3p om allt är korrekt.

Uppgift 7. (3p)

Beräkna volymen av den kropp K som definieras av y

x z z

y x

K={( , , ): 0≤ ≤ ² +3 , 1≤x≤2, 0≤ y≤1}.

( Notera att K består av de punkter i R³ som ligger mellan xy-planet och ytan z=x² +3y.) Lösning:

2 1 2 3

1 2 2

1

2 1

1 0 2 2

1 0

2

2 3 ) 3

2 ( 3 3 2

) 3

( 



 



 +

= +

 =



 



 +

= +

=

∫

^dx

∫

^{x y dy}

∫

^{x y y dx}

∫

^{x dx x x}

V

6 23 2 3 3 7 2 3 3 1 2 6 3

8 = + =



 +

−

 

 + Svar:

23 6

Rättningsmall: Korrekt till

∫

^2_^{ + }_^{ =}

1

1 0 2 2

3y2 dx y

x ger 1p

2p för korrekt till

2 1 3

2 3

3 



 



x + x _. 3p om allt är korrekt.

Uppgift 8. (3p) Låt ( ) 3 3ln( ) 1 ln( ) f x x

x

= +

− .

a) Bestäm eventuella stationära punkter och deras karaktär.

b) Bestäm eventuella asymptoter till f(x). c) Rita funktionens graf.

Lösning:

a) 𝑓𝑓^′(𝑥𝑥) =^{3�1𝑥𝑥}(1−ln 𝑥𝑥)−(1+ln 𝑥𝑥)⁻¹_𝑥𝑥�

(1−ln 𝑥𝑥)² =_{(1−ln 𝑥𝑥)}^{3�𝑥𝑥2�} ₂ ≠ 0 ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 så 𝑓𝑓(𝑥𝑥) saknar stationära punkter.

b) Bestäm eventuella asymptoter till f(x).

𝑥𝑥→∞lim�𝑓𝑓(𝑥𝑥)� = lim_{𝑥𝑥→∞}�3 + 3 ln 𝑥𝑥

1 − ln 𝑥𝑥 � = lim^{𝑥𝑥→∞}�

ln 𝑥𝑥 + 33 ln 𝑥𝑥 − 11

� =0 + 3 0 − 1 = −3 så 𝑦𝑦 = −3 är en horisontell asymptot.

Vertikala asymptoter söker vi i gränspunkter till definitionsintervall.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) ej def. då 1 − ln 𝑥𝑥 = 0 ⇒ ln 𝑥𝑥 = 1 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 så följande gränsvärden undersöks

𝑥𝑥→𝑒𝑒+lim �3(1 + ln 𝑥𝑥)

1 − ln 𝑥𝑥 � = −∞, _{𝑥𝑥→𝑒𝑒−}lim �3(1 + ln 𝑥𝑥) 1 − ln 𝑥𝑥 � = ∞ så 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 är en vertikal asymptot. ln 𝑥𝑥 kräver 𝑥𝑥 > 0 så undersök

𝑥𝑥→0+lim �3(1 + ln 𝑥𝑥)

1 − ln 𝑥𝑥 � = �typ

−∞

∞ så använder L^′Hopital� = lim_{𝑥𝑥→0+}� 3/𝑥𝑥

−1/𝑥𝑥� = −3

Sida 8 av 9 c) Funktionens graf.

Rättningsmall: a) Allt korrekt 1p. b) Allt korrekt 1p. c) Allt korrekt 1p.

Uppgift 9. (2p)

Ett område Ω definieras avy≥0, x≥0 , 0≤x² +y² ≤9 och y≥ (se figuren). x Beräkna områdets yttröghetsmoment kring y-axeln.

Lösning:

Vi använder polära koordinater: _x=_rcosθ , _y=_rsinθ , _dxdy=_r⋅_drdθ

Gränser i polära koordinater: 0 3

2

4 ≤θ ≤π och ≤r≤ π

Yttröghetsmoment med avseende på y-axeln

=

=

⋅

=

=

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

³

0 2 3

4 3 2

0 2 2 4

2dxdy d (rcos ) rdr cos d r dr

x I

D y

π

π π

π

θ θ θ

θ

(Vi använder formeln

2 ) 2 cos(

cos²θ =1⁺ θ .)

2 4 3

0 3 4

0 2 3

4

2 ) 2 sin(

2 1 4 2

) 2 cos(

1 ^π

π π

π

θ θ θ θ



 



 



 

 +

 ⋅



 



=

=

∫

+ ^d

∫

^{r dr r}

Sida 9 av 9



 



 + − +

=















 ⋅

+

⋅ − +

⋅

= )

2 1 (4 ) 2 0 8 ( ) 81 2

4) 2 sin(

(4 2 )

2) 2 sin(

(2 2 1 4

81 π π π

π π π

32 ) 2 ( 81 2 1 4 8

81 = −



 

 −

= π π

Svar c) 32

) 2 ( 81 −π

Rättningsmall: Korrekt till ⁼

∫ ∫

^{3 ⋅}

0 2 2 4

) cos

(r rdr

d

I_y θ θ

π

π

ger 1p

2p för korrekt till ²

4 3

0 4

2 ) 2 sin(

2 1 4

π π

θ θ _



 



 



 

 +

 ⋅



 



r _.

3p om allt är korrekt.