vcot vtan  cnm   

1 av 6 

TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER I RÄTVINKLIGA TRIANGLAR

Exakta värden av trigonometriska funktioner för vinklarna 30^, 45^ och 60^ grader.

vinkelmått i grader 30^ 45^ 60^

vinkelmått i radianer

6



4



3

 v

sin

2 1

2

2 



 



 2 1

2 3

v cos

2 3

2 2

2 1

v tan

3

3 



 



 3

1 1 3

v

cot 3 1

3 3

Pytagoras sats:    m² n² c² 





 180 90

90    



v u v

u  

  c

m n

hypotenusa katet motstående

v 

sin  

c n n hypotenusa

katet närligande

v 

cos  

n m katet närligande

katet motstående

v 

tan  

m n katet motstående

katet närligande

v 

cot    

B

A

C

v c u

m

n

B

A

C

60

4 y

x

  Exempel 1.Härled följande formler:

2 45 2

sin ^  ,

2 45 2

cos ^  , tan45^ 1, 1cot45^  . Lösning.

Vi ska bestämma funktionernas värden med hjälp av en halvkvadrat ( se bilden).

Först beräknar vi kvadratens diagonal med hjälp av Pytagoras sats 2

2 ²

2

2 a a a

a

d     .

Enligt definitionen av trigonometriska funktioner gäller då:

2 2 2 1 2 45

sin    

a a d

 a

,

2 2 2 1 2 45

cos    

a a d

 a

, 1

45

tan  

a

 a

, och

1 45

cot  

a

 a

Exempel 2. Figuren visar en rätvinklig triangel. Bestäm x och y. Svara exakt.

Lösning.

3 2 2

4 3 60

sin 4 60

4 sin x   x  x

x _{ }

2 2 4 1 60

cos 4 60

4y cos _  y   _  y   y Svar: x2 3, 2y

45

45

3 av 6  B

A

C

30 3

y x

Exempel 3. Bestäm x och y i nedanstående figur. Svara exakt.

Lösning.

3 3 3 3 30

tan 3 30

3 tan x  x   x

x _{ }

3 2 3 2 3

2 3 3 30

cos 30 3

cos 3

30

3 cos   y  y  y   

y





Svar: x 3 y 2 3

Exempel 4. Bestäm Fa och Fb i nedanstående figur om F=40 kN. Svara exakt.

Lösning. Eftersom v= 30 har vi

2 20 40 1 30

sin

sin        

 v Fa F Fa Fa

F

Fa _

3 2 20

40 3 30

cos

cos        

 v Fb F Fb Fb

F

Fb _

B

A

C

60 x

10

    ÖVNINGAR

1. Beräkna exakt

a) sin30^ cos60^ tan45^ b) 2sin60^ 4cos45^ c) (2sin30^ 2cos60^ 3tan45^)³³ d) (sin45^ cos45^)⁴ e)

2

4 ) tan(401

1 



 

  

f)

2

4 ) tan(17 3)

sin(

2 



 



   

2. Bestäm x i nedanstående figur. Svara exakt.

a) b)

3. Ange x som en funktion av sidan s och vinkeln v.

a) b)

4. Bestäm komponenter Fx och Fy om F= 10 N. Svara exakt.

5 av 6 

60°

30°

Fx Fy

F

F1

F2

30

10m  

5. I nedanstående figur gäller F F₁ F₂



 . Bestäm komponenter F_x och F_y om F₁ = 3 N och F₂=2 N.

6. Hur stor är arean av nedanstående rektangel?

7. I nedanstående figur är u och v givna vinklar och AB= 4m.

a) Ange ett ekvationssystem ( 2 ekvationer) med obekanta x och y.

b) Bestäm x och y. (Utryck x och y som funktioner av u och v)

A ^4m B C

D

x

y

u v

Svar:

1. a) 2 b) 32 2 c) 1 d) 4

e) 4 f) 42 3

2. a)

3 3

10

x b) x4 2 3. a) xscotv b)

v x s

 sin

4. F_x 5 2 N F_y 5 2 N

5.

2 3 13

x 

F N 3

23 

y 

F N

6.

3 3

100

A m²

7. a) Ekvation 1: y xtanv Ekvation 2: y(x4)tanu Ekvationssystem:









u u

x y

v x y

tan 4 tan tan

b)

u v

x u

tan tan

tan 4

  ,

u v

v y u

tan tan

tan tan 4

 