+v u v u c m n hypotenusa katet motstående v

Exakta värden av trigonometriska funktioner för vinklarna 30^°, 45^° och 60^° grader.

vinkelmått i grader 30^° 45^° 60^°

vinkelmått i radianer

6 π

4 π

3 π

v sin

2 1

2

2 



 



= 2 1

2 3

v cos

2 3

2 2

2 1 v

tan

3

3 

 



= 3

1 1 3

v

cot 3 1

3 3

Pytagoras sats: m² +n² =c²





 180 90

90 = ⇒ + =

+

+v u v

u c

m n

hypotenusa katet motstående

v= =

sin

c n n hypotenusa

katet närligande

v= =

cos

n m katet närligande

katet motstående

v= =

tan

m n katet motstående

katet närligande

v= =

cot

B

A

C

v c u

m n

1 av 6

B

A

C

60°

4 y

x

Exempel 1.Härled följande formler:

2 45 2

sin ^ = ,

2 45 2

cos ^ = , tan45^ =1, cot45^ =1. Lösning.

Vi ska bestämma funktionernas värden med hjälp av en halvkvadrat ( se bilden).

Först beräknar vi kvadratens diagonal med hjälp av Pytagoras sats 2

2 ²

2

2 a a a

a

d = + = = .

Enligt definitionen av trigonometriska funktioner gäller då:

2 2 2 1 2 45

sin = = = =

a a d

 a ,

2 2 2 1 2 45

cos = = = =

a a d

 a ,

1 45

tan = =

a

 a ,

och

1 45

cot = = a

 a

Exempel 2. Figuren visar en rätvinklig triangel. Bestäm x och y. Svara exakt.

Lösning.

3 2 2

4 3 60

sin 4 60

4 =sin ⇒ x= ⋅ ⇒ x= ⋅ ⇒ x=

x _{ }

2 2 4 1 60

cos 4 60

4y =cos _ ⇒ y = ⋅ _ ⇒ y= ⋅ ⇒ y= Svar: x=2 3, y=2

a

a d

45

45

2 av 6

B

A

C

30°

3

y x

30°

F

F^b

F^a

v

Lösning.

3 3 3 3 30

tan 3 30

3 =tan ⇒x= ⋅ ⇒x= ⋅ ⇒x=

x _{ }

3 2 3 2 3

2 3 3 30

cos 30 3

cos 3

30

3 =cos ⇒ = y⋅ ⇒ y= ⇒ y= = ⋅ =

y





Svar: x= 3 y=2 3

Exempel 4. Bestäm Fa och Fb i nedanstående figur om F=40 kN. Svara exakt.

Lösning. Eftersom v= 30° har vi

2 20 40 1 30

sin

sin ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

= v Fa F Fa Fa

F

Fa _

3 2 20

40 3 30

cos

cos ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

= v Fb F Fb Fb

F

Fb _

Svar: Fa=20 kN, Fb=20 3 kN

3 av 6

B

A

C

60°

x 10

45° x

8

v s

x s

x v

F

Fx

Fy

45°

ÖVNINGAR 1. Beräkna exakt

a) sin30^ +cos60^ +tan45^ b) 2sin60^ +4cos45^ c) (2sin30^ +2cos60^ −3tan45^)³³ d) (sin45^ +cos45^)⁴ e)

2

4 ) tan(401

1 



 

 + π

f)

2

4 ) tan(17 3)

sin(

2 



 



 π + π

2. Bestäm x i nedanstående figur. Svara exakt.

a) b)

3. Ange x som en funktion av sidan s och vinkeln v.

a) b)

4. Bestäm komponenter Fx och Fy om F= 10 N. Svara exakt.

4 av 6

60°

30°

Fx Fy

F F1

F2

30°

10m

5. I nedanstående figur gäller F F₁ F₂ +

= . Bestäm komponenter Fx och Fy

om F1 = 3 N och F2=2 N.

6. Hur stor är arean av nedanstående rektangel?

7. I nedanstående figur är u och v givna vinklar och AB= 4m.

a) Ange ett ekvationssystem ( 2 ekvationer) med obekanta x och y.

b) Bestäm x och y. (Utryck x och y som funktioner av u och v)

A ^4m B C

D

x

y

u v

5 av 6

Svar:

1. a) 2 b) 3+2 2 c) 1− d) 4

e) 4 f) 4+2 3

2. a)

3 3

=10

x b) x=4 2 3. a) x=s⋅cotv b)

v x s

= sin

4. F_x =5 2 N F_y =5 2 N

5.

2 3 1+3

x =

F N 3

23 +

y =

F N

6.

3 3

=100

A m²

7. a) Ekvation 1: y= xtanv Ekvation 2: y=(x+4)tanu Ekvationssystem:



+

=

=

u u

x y

v x y

tan 4 tan tan

b)

u v

x u

tan tan

tan 4

= − ,

u v

v y u

tan tan

tan tan 4

= −

6 av 6