NOLLRUMMET och BILDRUMMET till en linjäravbildning.
MATRISENS RANG.
DIMENSIONSSATSEN.
NOLLRUM (Kernel (=kärna) i kursboken)
Definition. Låt T vara en linjär avbildning från Rn till Rm . Mängden av alla vektorer x i Rn som avbildas på nollvektorn i Rm kallas avbildningens nollrum ( eller kärna) och betecknas med ker(T) eller Null(T) .
Symboliskt beskriver vi nollrummet på följande sätt
ker( T ) = { x ∈ R
n: T ( x ) = 0 }
Om T anges på matrisformen T(x =) Ax då är
ker( T ) = { x ∈ R
n: A x = 0 }
Med andra ord nollrummet är lösningsmängden till ekvationen
0 ) ( x =
T
.---
BILDRUM
(värderum, värdemängd)Definition. Låt T vara en linjär avbildning från Rn till Rm . Mängden av alla bilder ( alla funktionens värden) T(x) i Rm kallas avbildningens bildrum (synonymer: värderum, värdemängd) och betecknas med im(T) eller Ran(T) .
Symboliskt beskriver vi bildrummet på följande sätt
im ( T ) = { T ( x ) : x ∈ R
n}
. Ekvivalent definition:
} x
någon för
) ( :
{ )
( T y R
my T x R
nim = ∈ = ∈
Alltså kan im(T) definieras som mängden av alla y∈Rm
för vilka ekvationen T(x =) y , dvs Ax = y, har minst en lösning x∈Rn.
==========================================================
För en given matris A av typ m× kan vi genom n T(x =) Ax definiera T:Rn →Rm . Därför definierar vi bildrummet Im( A)och nollrummet Null(A) (i gamla tentamina använder vi även ker( A) som beteckning för nollrummet) för en matris enligt följande.
Definition. Nollrummet ker( A) till en matris A av typ m× definieras som mängden av n alla n- dimensionella vektorer x som satisfierar ekvationen
0 x =
A .
Definition. (Bildrummet till en matris) Låt A vara en matris av typen m×n . Bildrummet till A betecknas im( A)och definieras som
Im(A)={Ax, x∈Rn}. Eftersom
Sida 1 av 14
) , , ( span ...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22 12
1 21 11 2
1
2 22 12
2
1 21 11
1 2 1
2 1
2 22
21
1 12
11
=
+
+
=
=
mn n n
m m mn
n n
n
m m
n mn m
m
n n
a a a
a a a
a a a
a a a x a
a a x a a a x
x x x
a a
a
a a
a
a a
a x
A
ser vi att bildrummet i det här fallet spänns upp av matrisens kolonnvektorer,
) (T
im = span(
mn n n
m
m a
a a
a a a
a a a
2 1
2 22 12
1 21 11
,
, ).
En bas och dimensionen av kolonnrummet (= bildrummet) kan bestämmas med hjälp av de kolonner som svarar mot ledande ettor i matrisens trappform.
=================================================
Exempel 1.
a) Avgör om någon av vektorerna a =(0,−2,2) , b=(1,2,1)
eller c=(0,0,0)tillhör nollrummet ker( T).
b) Bestäm nollrummet till avbildningen T från R3 till R2 då
) 2 2
, (
) , ,
( x
1x
2x
3x
1x
2x
3x
1x
2x
3T = + + + +
c) Om alla vektorer i norrummet har sina startpunkter i origo då bildar alla ändpunkter en mängd i R3 . Tolka denna mängd geometriskt ( en punkt, en linje , ett plan eller hela R3 )
Lösning:
a) Vi beräknar T(a)=(0−2+2,0−4+4)=(0,0)=0 Eftersom T(a =) 0, tillhör vektorn a nollrummet ker( T).
Den andra vektorn, b=(1,2,1)
, tillhör INTE nollrummet ker( T) för () (4,7) 0
≠
= b T Vektorn, c =(0,0,0)
, tillhör nollrummet ker( T) för ( ) (0,0) 0
=
= c
T .
b) Vi bestämmer lösningsmängden till ekvationen T(x =) 0. Från
T ( x = ) 0
har vi) 0 , 0 ( ) 2 2
,
( x
1+ x
2+ x
3x
1+ x
2+ x
3=
som ger två skalära ekvationer:
= + +
= + +
0 2 2
0
3 2 1
3 2 1
x x x
x x
x ( vi använder Gausseliminationen)
Sida 2 av 14
⇒
= +
= + +
0 0
3 2
3 2 1
x x
x x x
Vi har två ledande variabler x1, x2 och en fri variabel x som vi betecknar med t. 3 Lösningen x3 =t, x2 =−t, och x1=0 skriver vi på vektorform
) 1 , 1 , 0 ( ) , , 0 ( ) , ,
(x1 x2 x3 = −t t =t −
Därmed är ker (T) = { t(0,−1,1) } där t varierar fritt.
c) Om startpunkter ligger i origo då bildar alla ändpunkter { t(0,−1,1) } en linje i R3 , (som går genom origo).
Svar: a) Se ovanstående lösning. b) ker (T) = { t(0,−1,1) } c) En linje i R3 , (som går genom origo).
Exempel 2. Vi betraktar en linjär avbildning T från R4 till R3 som definieras av
+ +
+
+ +
+
+ + +
=
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3
3 2
3 2
2 )
(
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x T
a) Bestäm avbildningens nollrum (kärna), ker(T) b) Bestäm en bas till nollrummet
c) Bestäm nollrummets dimension.
Lösning: Vi bestämmer lösningsmängden till ekvationen T(x =) 0. Från T(x =) 0 har vi
=
+ + +
+ + +
+ + +
0 0 0 4
3 3 2
3 2 2
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x x
x x x x
x x x x
, som vi skriver som 3 skalära ekvationer:
=
= + +
= + + +
⇔
= + +
= + +
= + + +
⇔
= + + +
= + + +
= + + +
0 0
0 2
0 0
2 0 2
0 0
4 3 3 2
0 3 2 2
0
4 3 2
4 3 2 1
4 3 2
4 3 2
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Systemet har två ledande variabler x1, x2 och två fria variabler x3 =s och x4 =t. Systemets lösning x1 =t , x2 =−s−2t, x3 =s, x4 =t.
För att få nollrummet skriver vi lösningar på vektorform ( och separerar s- och t-delen :
+ −
= −
+ −
= −
−
= −
1 0 2 1
0 1 1 0 0
2 0
0 2
4 3 2 1
t s
t t t
s s
t s
t s
t
x x x x
Sida 3 av 14
Avbildningens nollrum är ker(T)= ker(T)= {
+ −
−
1 0 2 1
0 1 1 0
t
s } .
Vi säger att nollrummet späns upp av två vektorer
−
0 1 1 0
,
−
1 0 2 1
och alternativt betecknar
ker(T)= span(
−
−
1 0 2 1 , 0 1 1 0
)
Vi ser att nollrummet är en mängd av alla linjära kombinationer som bildas med hjälp av två
( uppenbart) linjärt oberoende vektorer
−
0 1 1 0
och
−
1 0 2 1
som därför utgör en bas till
nollrummet.
Därmed är nollrummets dimension =antalet basvektorer (= antalet fria variabler) = 2
Svar: a) ker(T)= {
+ −
−
1 0 2 1
0 1 1 0
t
s } eller ( alternativt ) ker(T)= span(
−
−
1 0 2 1 , 0 1 1 0
)
b) En bas till nollrummet är
−
0 1 1 0
,
−
1 0 2 1
.
c) dim(ker(T))=2.
Exempel 3. Vi betraktar en linjär avbildning T från R2 till R3 som har matrisen
= 0 1
0 1
2 1
A ,
dvs T(x =) Ax
Sida 4 av 14
a) Bestäm avbildningens nollrum (kärna), ker(T) b) Bestäm en bas till nollrummet
c) Bestäm nollrummets dimension.
d) Vilken mängd bildar ändpunkter till nollrummets vektorer om startpunkter ligger i origo?.
Lösning: Vi löser ekvationen T(x =) 0 d v s Ax =0 eller
=
0 0 0 0
1 0 1
2 1
2 1
x x
Motsvarande ekvationssystem är
=
=
= +
0 0
0 2
1 1
2 1
x x
x x
som har lösning x1 =0 , x2 =0.
Systemet har två ledande variabler x1, x2, ingen fri variabel och endast den triviala lösningen x1 =0 , x2 =0 som vi skriver på vektorform:
=
0 0
2 1
x
x .
Svar: a) ker(T) = {
0 0 }
b) Nollrummet som består bara av en nollvektor har ingen bas.
(enligt definitionen består basen av oberoende vektorer och därmed kan inte innehålla 0 ) c) dim(ker(T))=0. d) En punkt (origo)
Exempel 4. Vi betraktar en linjär avbildning T från R3 till R3 som har matrisen
=
2 2 0 4 2
1 1 0 2
A 1 ,
dvs T(x =) Ax Bestäm
a) avbildningens nollrum (kärna), ker(T) b) en bas till nollrummet
c) nollrummets dimension.
d) matrisens rang.
Sida 5 av 14
e) om någon av vektorerna
−
−
=
1 0 0 1 1
x1
,
−
=
1 0 0 2 1
x2
tillhör nollrummet ker( T).
Lösning: Vi löser ekvationen Ax =0 eller
=
0 0 2
2 0 4 2
1 1 0 2 1
5 4 3 2 1
x x x x x
Motsvarande ekvationssystem är
=
= + + +
⇔ +
= + + + +
= + + + +
0 0
0 0
2 0
2 2 0 4 2
0 0
2 1 2 4 5
5 4 2
1
5 4 2
1 x x x x
x x x
x
x x x
x
Systemet har 1 ledande variabel x1 och 4 fria variabel.
Systemets lösning x1 = 2− u−s−t , x2 =u, x3 =v, x4 =s,x5 =t. För att få nollrummet skriver vi lösningar på vektorform
( och separerar u-, v-, s- och t-delen ) :
−
+
−
+
+
−
=
− − −
=
t t
s s
v u
u
t s v u
t s u
x x x x x
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 2 2
5 4 3 2 1
−
+
−
+
+
−
=
1 0 0 0 1
0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 2
t s
v u
Svar: a) ker(T) = span(
−
−
−
1 0 0 0 1 , 0 1 0 0 1 , 0 0 1 0 0 , 0 0 0 1 2
)
Sida 6 av 14
b) Vektorerna
−
−
−
1 0 0 0 1 , 0 1 0 0 1 , 0 0 1 0 0 , 0 0 0 1 2
är linjärt oberoende och spänner hela
nollrummet. Därför bildar vektorerna en bas till ker(T).
c) dim(ker(T)) = antalet basvektorer (= antalet fria variabler) = 4 .
d) Matrisens rang = med antalet matrisens oberoende rader= antalet oberoende kolonner = antalet ledande ettor i matrisens trappform= antalet ledande variabler i trappformen för motsvarande ekvationssystem = 1.
e) 0
0 0
1 0 0 1 1
2 2 0 4 2
1 1 0 2 1
1
=
=
−
−
= x A
Alltså x1tillhör ker(T) . {Vi kan skriva kortare x1∈ ker(T) }
För den andra vektorn gäller 0
8 4
1 0 0 2 1
2 2 0 4 2
1 1 0 2 1
2
≠
=
−
= x A
Därmed x2 tillhör inte ker(T) . { Vi kan skriva x2∉ ker(T)}.
BILDRUMMET
( Image i kursboken) som tillhör en linjäravbildning.Om T definieras med en matris A av typ m×n då består bildrummet av alla vektorer x
A x T( =)
) ,
, ( span ...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22 12
1 21 11 2
1
2 22 12
2
1 21 11
1 2 1
2 1
2 22
21
1 12
11
=
+
+
=
=
mn n n
m m
mn n n
n
m m
n mn m
m
n n
a a a
a a a
a a a
a a a x a
a a x a
a a x
x x x
a a
a
a a
a
a a
a
Alltså bildrummet ( som kallas även matrisens kolonnrum) i det här fallet spänns upp av matrisens kolonvektorerna,
Sida 7 av 14
) (T
im = span(
mn n n
m
m a
a a
a a a
a a a
2 1
2 22 12
1 21 11
,
, ).
En bas och dimensionen av bildrummet kan bestämmas med hjälp av de kolonner som svarar mot ledande ettor i matrisens trappform.
--- Exempel 5. Vi betraktar en linjär avbildning T med matrisen
A=
3 3 1
2 2 1
1 1 1
a) Bestäm avbildningens bildrum im(T) b) Bestäm en bas till bildrummet
c) Bestäm bildrummets dimension.
d) Bestäm matrisens rang.
e) Avgör om någon av vektorerna
= 4 3 2 y1 ,
−
= 1
2 1
y2 tillhör bildrummet im( T).
f) Bestäm alla vektorer x∈R3
sådana att T(x =) y1 , där
= 4 3 2 y1 .
Lösning:
a) Bildrum im(T) spänns up av matrisens kolonnvektorer och därför im(T)= span(
3 2 1 , 3 2 1 , 1 1 1
) .
Alternativ beteckning: im(T)= {
+
+
3 2 1 3
2 1 1
1 1
z y
x : x, z och y är skalärer som varierar fritt} .
b) För att välja en bas till span(
3 2 1 , 3 2 1 , 1 1 1
) väljer vi (största antalet) linjärt oberoende kolonnvektorer; de kolonner som svarar mot ledande ettor i matrisens trappform.
Sida 8 av 14
0 0 0
1 0
1 1
~ 2 2 0
1 1 0
1 1 1
~ 3 3 1
2 2 1
1 1 1
1 1
Ledande ettor finns i första och andra kolonner och därför väljer vi matrisens första och andra kolonn som bas till bildrummet (kolonnrummet).
den tredje kolonnvektor är beroende av de första två.
Svar b) En bas bildas av kolonnvektorerna
1 1 1
,
3 2 1
.
Anmärkning: Eftersom tredje kolonvektor är en linjärkombination av första två har vi
span(
3 2 1 , 3 2 1 , 1 1 1
)=span(
3 2 1 , 1 1 1
),
för varje linjär kombination som inkluderar tredje vektor kan utryckas med hjälp av de första två vektorerna. Vi förlorar ingen kombination om vi tar bort beroende vektorer bland de som spänner upp ett underrum.
Svar c) Bildrummets dimension är 2 (= antalet bildrummets basvektorer= antalet ledande ettor i matrisens trappform) .
d) Matrisens rang är 2 (= antalet oberoende kolonnvektorer= antalet oberoende radvektorer=
antalet = antalet ledande ettor i matrisens trappform ) . e) För att avgöra om
= 4 3 2 y1
tillhör im(T) undersöker vi om ekvationen
y1
x
A = är konsistent ( dvs om ekvationen har minst en lösning).
Från Ax = y har vi
⇔
=
4 3 2 3
3 1
2 2 1
1 1 1
3 2 1
x x x
=
= +
= + +
⇔
= + +
= + +
= + +
0 0
1 2 4
3 3
3 2 2
2
3 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
Systemet har oändligt många lösningar x1 =1, x2 = 1−t x3 =t. Vektorn
= 4 3 2
y1 tillhör bildrummet im(T) eftersom systemet Ax = y1är konsistent ( = lösbar), dvs det finnsx
så att Ax = y1 ( eller T(x =) y1) Den andra vektorn
−
= 1
2 1
y2 tillhör inte bildrummet im(T) eftersom ekvationen Ax = y2 saknar lösning ( kontrollera själv).
Alla lösningar till ekvationen T(x =) y1 dvs till ekvationen Ax = y1 , enligt e-delen, ges av Sida 9 av 14
1=1
x , x2 = 1−t x3 =t.
Vi kan skriva detta på vektorform
−
=
t t x
x x
1 1
3 2 1
, där t är ett godtyckligt reellt tal.
Svar:
a) Im(T) = span(
3 2 1 , 3 2 1 , 1 1 1
)=span(
3 2 1 , 1 1 1
),
b) En bas är (
3 2 1 , 1 1 1
) . c) dim(Im(T) =2
d) Rang(A) =2
e) y1 tillhör bildrummet im(T) . y2tillhör inte bildrummet im(T).
f)
− t
t 1
1
, där t är ett godtyckligt reellt tal.
Exempel 6. Vi betraktar en linjär avbildning T från R3 till R3 som har matrisen
=
4 2 4 2
2 1 2
A 1 ,
dvs T(x =) Ax Bestäm
a) avbildningens nollrum (kärna), ker(T) b) en bas till nollrummet
c) nollrummets dimension.
d) avbildningens bildrum im(T) e) en bas till bildrummet
f) bildrummets dimension.
g) matrisens rang.
Lösning:
a) Vi löser ekvationen Ax =0 eller
=
0 0 4
2 4 2
2 1 2 1
4 3 2 1
x x x x
Motsvarande ekvationssystem är
Sida 10 av 14
=
= + +
⇔ +
= + + +
= + + +
0 0
0 2 2
0 4 2 4 2
0 2
2 1 2 3 4
4 3 2 1
4 3 2
1 x x x x
x x x x
x x x
x
Systemet har 1 ledande variabel x1 och 3 fria variabel.
Systemets lösning x1 =−2v−s−2t , x2 =v, x3 =s, x4 =t. För att få nollrummet skriver vi lösningar på vektorform
( och separerar u-, v-, s- och t-delen ) :
=
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
− − −
=
− − −
=
1 0 0 2
0 1 0 1
0 0 1 2 0
0 2
0 0 0
0 2 2
2 2
2
4 3 2 1
t s
v t
t
s s v
v
t s v
t s v
t s v
t s v
x x x x
Svar: a) ker(T) = span(
−
−
−
1 0 0 2 , 0 1 0 1 , 0 0 1 2
)
b) Vektorerna
−
−
−
1 0 0 2 , 0 1 0 1 , 0 0 1 2
, är linjärt oberoende och spänner hela nollrummet.
Därför bildar vektorerna en bas till ker(T).
c) dim(ker(T)) = antalet basvektorer (= antalet fria variabler) = 3
d) avbildningens bildrum im(T) späns upp av kolonnvektorer där oberoende svarar mot ledande ettor.
Därför im(T) = span(
2 1 )
e) en bas till bildrummet är
2 1
f) bildrummets dimension dim(Im(T) = 1 ( = antalet ledande ettor i matrisens trappform) . g) matrisens rang =1 ( = antalet ledande ettor i matrisens trappform).
Exempel 7. Tentamen 20120109 Uppgift 6
Betrakta en linjär avbildning, T :R2 →R2, sådan att lösningsmängden till
= 2 ) 1 ( x T
Sida 11 av 14
ges av
−
= +
t t y x
3 1 , där t är en reell parameter.
a) Bestäm nollrummet Ker(T) b) Bestäm bildrummet Im(T) Lösning
Ett sätt att lösa uppgifter är att först bestämma avbildningens matris och därefter Ker(A) och Im(A).
Låt
= d c
b
A a vara den matris som hör till avbildningen T . Låt
= y x x .
Ekvationen
= 2 ) 1 ( x
T kan skrivas på formen
= 2 x 1
A eller
2 1
= +
= +
dy cx
by
ax (sys 1)
Vi ska först bestämma A med hjälp av given lösning:
Enligt antagandet, är
−
= +
t t y x
3
1 en lösning för varje t∈ . Vi kan därför välja några t-R värden, substituera i sys1 och bestämma a,b,coch d.
Om vi t ex väljer t= 0 får vi att
=
−
= +
3 1 0 3
1 0 y
x är en lösning till sys 1 och därför gäller ( substituera x=1 och y=3 i sys 1):
2 3
1 3
= +
= +
d c
b
a ( sys 2)
Om vi väljer t= 1 får vi att
=
−
= +
2 2 1 3
1 1 y
x är en lösning till sys 1 och därför( substituera x=2 och y=2 i sys 1):
2 2 2
1 2 2
= +
= +
d c
b
a ( sys 3)
Från sys 2 och sys 3 beräknar vi a,b,coch d.
Vi kan t ex gruppera de ekvationer som innehåller a och b : 1
3 = + b
a och 2a+ b2 =1
och bestämma a=1/4 och b=1/4.
På samma sätt, från c+ d3 =2 och 2c+ d2 =2 har vi c=1/2 och d =1/2.
Därmed blir
=
=
2 2
1 4 1 / 2 1 / 1 2 / 1
4 / 1 4 /
A 1 .
Härav har vi omedelbart att Im(A)=Span( ) 2 , 1 2
1
=Span(
2 1 ).
För att bestämma Ker(A) löser vi ekvationen 0
= x
A eller
=
=
⇔ +
= +
=
⇔ +
=
0 0
0 0
2 2
0 0
0 2
2 1 4 1 /
1 x y
y x
y x y
x
En fri variabel y = samt s x=−y =−s.
Sida 12 av 14
Därför
= −
=−
1 s 1 s
s y
x .
Alltså Ker(T)=Ker(A)= Span (
−
1
1 ) ( Anmärkning: Span (
−
1
1 )=Span (
− 1 1 )
Svar:
a) Ker(T)=Ker(A)= Span (
−
1
1 ), b) Im(T)= Im(A)=Span(
2 1 ).
Exempel 8. Tentamen 2014-20-maj Uppgift 7 (alternativ lösning)
Bestäm alla linjära avbildningar T:R3 →R3 som uppfyller följande två krav:
a) Vektorerna
− 0
1 1
och
1 1 0
utgör en bas för nollrummet för T.
b) Bildrummet för T är linjen med riktningsvektor
1 0 0
. Lösning:
Låt A vara tillhörande avbildningsmatris. Vi ska bestämma A med hjälp av givna två krav.
Bildrummet för T är lika im(A) =span(k1,k2,k3) där k1,k2 och k3är kolonner i A.
Enligt antagande är bildrummet im(A) =span(
1 0 0
). Därmed är varje kolonn i A en linjär
kombination av basvektorn
1 0 0
dvs har formen
⋅ 1 0 0
t för något t.
Låt
= a
k 0
0
1 ,
= b
k 0
0
2 och
= c
k 0
0
3 vara kolonnvektorer i A.
Då är
=
c b a
A 0 0 0
0 0 0
där minst en av a, b, c är skild från 0. ( Om alla a, b, c är 0 då är A en
nollmatris och im(A) ={0
} som inte stämmer med vår avtagande att im(A) =span(
1 0 0
.)
Sida 13 av 14
Vi bestämmer a,b och c med hjälp av första villkoret dvs vi använder vektorerna
−
= 0
1 1 v1
och
= 1 1 0 v2
som ligger i nollrummet:
Från Av =1 0 har vi
=
−
=
=
⇒
=
−
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 0
b a c
b a
dvs a= (ekv1) b
Från Av =2 0 har vi
= +
=
=
⇒
=
0 0 0
0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0
c b c
b a
dvs b=−c (ekv2) Vi kan välja c=s ( ett godtyckligt tal skilt från 0), då är a=−s och b=−s. Härav
−
−
=
=
s s s c
b a
A 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0
och
+
−
−
=
−
−
=
sz sy sx z
y x
s s s x
T 0
0 0
0 0
0 0 0 ) (
Vi kan skriva detta på även på följande form:
sz sy sx z
y x
T( , , )=(0,0,− − + )
Svar: T(x,y,z)=(0,0,−sx−sy+sz) (där s är ett godtyckligt tal skilt från 0) eller
+
−
−
=
sz sy sx z
y x
T 0
0 )
( , s≠0.
Sida 14 av 14
