TMA970 Inledande matematisk analys F/TM, ht 2020
Föreläsning 6: Funktioner (forts.)
Elementära funktioner, lista. Polynom.
Lite mer om induktion, en olikhet
Bernoullis olikhet (forts.)
Bernoullis olikhet (forts.)
Funktioner (forts.)
𝑓𝑓: 𝑋𝑋 → 𝑌𝑌
𝐷𝐷𝑓𝑓 = 𝑋𝑋 funktionens definitionsmängd
𝑉𝑉𝑓𝑓 ⊂ 𝑌𝑌, 𝑉𝑉𝑓𝑓 = 𝑓𝑓:s värdemängd; 𝑌𝑌 målmängd 𝑉𝑉𝑓𝑓 = {𝑦𝑦 ∊ 𝑌𝑌 ∶ ∃ 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦}
• Injektiva, surjektiva (𝑌𝑌 = 𝑉𝑉𝑓𝑓), bijektiva
• Begränsade/obegränsade
• Monotona, strängt monotona
• Jämna/udda, periodiska; grafernas symmetrier
Begränsade/obegränsade funktioner
𝑓𝑓: 𝑋𝑋 → 𝑌𝑌
def Funktionen 𝑓𝑓 kallas uppåt begränsad i X om det finns ett tal M sådant att 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑀𝑀,
för alla 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋
Begränsade/obegränsade funktioner (forts.)
𝑓𝑓: 𝑋𝑋 → 𝑌𝑌
def Funktionen 𝑓𝑓 kallas nedåt begränsad i X om det finns ett tal m sådant att 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 𝑚𝑚,
för alla 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋
Begränsade/obegränsade funktioner (forts.)
def Funktionen 𝑓𝑓 kallas begränsad i X om den är uppåt och nedåt begränsad i X, d.v.s.
om det finns tal m, M sådana att 𝑚𝑚 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑀𝑀, för alla 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋
def (ekvivalent) Funktionen 𝑓𝑓 kallas begränsad i X om det finns ett tal C sådant att
|𝑓𝑓 𝑥𝑥 | ≤ 𝐶𝐶, för alla 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋
Begränsade/obegränsade funktioner (forts.)
Begränsad:
Exempel:
sin 𝑥𝑥; cos(𝑥𝑥2); 𝑒𝑒sin 𝑥𝑥 i hela ℝ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = sgn 𝑥𝑥 = � 1, 𝑥𝑥 > 0
−1, 𝑥𝑥 < 0
Begränsade/obegränsade funktioner (forts.)
def Funktionen 𝑓𝑓 kallas obegränsad i X om den inte är begränsad i X
Exempel:
tan 𝑥𝑥 i intervallet (− 𝜋𝜋2 , 𝜋𝜋2) 𝑥𝑥2; 𝑒𝑒𝑥𝑥; |𝑥𝑥| i ℝ
Monotona och strängt monotona funktioner
Monotona: växande/avtagande när 𝑥𝑥 växer def 𝑓𝑓: 𝐼𝐼 → ℝ, I intervall
𝑓𝑓 kallas växande (avtagande) i I, om 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ≤ (≥)𝑓𝑓(𝑥𝑥2).
def 𝑓𝑓: 𝐼𝐼 → ℝ, I intervall
𝑓𝑓 kallas strängt växande (strängt avtagande) i I, om 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) < (>)𝑓𝑓(𝑥𝑥2).
Monotonicitet (forts.)
• Växande
• Avtagande
• Konstanta funktioner är såväl växande som avtagande, dock ej strängt
Jämna/udda funktioner
𝑓𝑓: 𝐷𝐷𝑓𝑓 → ℝ, där 𝐷𝐷𝑓𝑓 är symmetrisk m.a.p. 0, typiskt (−𝑎𝑎, 𝑎𝑎) eller [−𝑎𝑎, 𝑎𝑎].
def 𝑓𝑓 kallas jämn om 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) def 𝑓𝑓 kallas udda om 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 = −𝑓𝑓(𝑥𝑥) De jämna/udda potenserna har stått modell.
OBS! Symmetrivillkoret för 𝐷𝐷𝑓𝑓 är nödvändigt för att ens ställa frågan.
Jämna/udda funktioner (forts.)
Exempel:
1. Jämna/udda potenser
2. cos jämn; sin, tan, cot, sgn udda … 3. … men sin(𝑥𝑥2) jämn
4. ’’jämn’’ ·’’jämn’’ ger ’’jämn’’
5. ’’jämn’’ · ’’udda’’ ger ’’udda’’
6. ln |𝑥𝑥| jämn …
7. … men för ln 𝑥𝑥 kan frågan ej ställas
Jämna/udda funktioner (forts.)
Grafer:
• Jämn funktion: symmetri m.a.p. y-axeln
• Udda funktion: symmetri m.a.p. 0
Periodiska funktioner
Upprepar sina värden med jämna mellanrum
def En funktion kallas periodisk om det finns ett positivt tal T sådant att 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑇𝑇 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), för
alla 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑓𝑓. Det minsta positiva talet med den egenskapen kallas funktionens period.
Exempel: sin; cos; tan; cot; 𝑓𝑓(sin 𝑥𝑥)
Grafen: Biten över en period translateras.
Elementära funktioner
En lista man har kommit överens om
• Potenser
• Exponentialfunktioner
• Trigonometriska funktioner
• Ovanståendes inverser
• Ändliga summor, produkter, kvoter och sammansättningar av alla ovanstående
Positiva heltalspotenser och polynom
def 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 · 𝑥𝑥 · 𝑥𝑥 · ⋯ · 𝑥𝑥, n gånger def Polynom: funktion av typen
𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0, n heltal ≥ 0; koefficienterna tal (ℤ, ℝ, ℂ)
def Polynomet ovan är av grad högst n.
Om 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≠ 0, så är P av grad n, deg 𝑃𝑃 = 𝑛𝑛, kallas P:s gradtal.
Nollställen till polynom
def 𝑥𝑥0 kallas nollställe till funktionen 𝑓𝑓 om 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 = 0.
Ett polynom med reella koefficienter behöver inte ha reella nollställen.
ℂ: på önskelistan stod att 𝑥𝑥2 + 1 = 0 ska ha en lösning.
Behöver vi utvidga vidare?
Algebrans fundamentalsats¨(formulering)
Algebrans fundamentalsats. Låt 𝑃𝑃(𝑥𝑥) vara ett polynom med komplexa koefficienter av grad minst 1. Då har ekvationen 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 0 minst en lösning i ℂ.
Reella tal är också komplexa, det betyder att
även ett polynom med reella koefficienter måste ha minst ett komplext nollställe.
Faktorsatsen för polynom
𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0 ⇔ 𝑎𝑎 = 0 eller 𝑎𝑎 = 0 Faktorsatsen för polynom. Låt 𝑃𝑃(𝑥𝑥), deg 𝑃𝑃 = 𝑛𝑛 ≥ 1. Då gäller
𝑃𝑃 𝑥𝑥1 = 0 ⇔ 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 𝑄𝑄(𝑥𝑥), där 𝑄𝑄 är ett polynom av grad 𝑛𝑛 − 1.
Bevis. En ekvivalenssats, man har egentligen två påståenden att bevisa.
Faktorsatsen för polynom (forts.)
Bevis (forts.)
Låt 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 𝑄𝑄(𝑥𝑥),
⇐
där 𝑄𝑄 är ett polynom av grad 𝑛𝑛 − 1.
Vi sätter in 𝑥𝑥1
𝑃𝑃 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥1 𝑄𝑄(𝑥𝑥1)=0, alltså är 𝑥𝑥1 ett nollställe till 𝑃𝑃.
Faktorsatsen för polynom (forts.)
Bevis (forts.)
Låt 𝑥𝑥1 vara ett nollställe till 𝑃𝑃.
⇒
Polynomdivision ger
𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 𝑄𝑄 𝑥𝑥 + 𝑟𝑟(𝑥𝑥), där deg 𝑟𝑟 < 1.
Det betyder att 𝑟𝑟 är konstant. Sätt in 𝑥𝑥1
𝑃𝑃(𝑥𝑥1) = 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥1 𝑄𝑄(𝑥𝑥1) + 𝑟𝑟 = 0 + 𝑟𝑟 = 0.
Det följer att 𝑟𝑟 = 0, och vi är klara.
Komplex faktorisering av polynom
Om 𝑄𝑄 är av grad minst 1 kommer även 𝑄𝑄 att ha minst ett nollställe, så att även 𝑄𝑄 kan faktoriseras
𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 𝑄𝑄2 𝑥𝑥 , deg 𝑄𝑄2 = 𝑛𝑛 − 2, och 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 𝑄𝑄2 𝑥𝑥 .
… Processen kan fortsätta till dess att vi får en konstant 𝐴𝐴 och slutligen
𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 … 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑛𝑛 .
