Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 F¨orel¨asning 11: Konfidensintervall

Repetition Konfidensintervall I F¨ordelningar Konfidensintervall II

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16

F¨orel¨asning 11: Konfidensintervall

Anna Lindgren

7+8 november 2016

Stickprov & Skattning

Ettstickprov,x₁,x₂, . . . ,xn, ¨arobservationerav s.v.X₁, . . . ,Xnfr˚an n˚agon f¨ordelningX_i ∈ F(θ)d¨arθ¨ar en ok¨andparameter.

Enskattningavθ,θ^∗(x₁, . . . ,xn)¨ar en observation av den s.v.

θ^∗(X1, . . . ,Xn). B˚ada betecknas oftast bara medθ^∗.

Tal

S.V.

Xi∈ F(θ)

θ^∗

θ^∗

X2 θ^∗(X)

X1

x1 x2 θ^∗(x1, . . . ,xn)

Repetition Konfidensintervall I F¨ordelningar Konfidensintervall II

Minsta kvadrat-metoden, MK

OmE(X_i) = μi(θ)s˚a f˚asMK-skattningenavθgenom att minimera f¨orlustfunktionen

Q(θ) =

n

X

i=1



xi− μi(θ)

2

m.a.p.θ.

Maximum likelihood-metoden, ML

ML-skattningenavθf˚as genom att maximera likelihood-funktionen L(θ; x₁, . . . ,xn)m.a.p.θ.

L(θ) = pX₁(x₁) · . . . ·pXn(xn) (diskr.) L(θ) = fX₁(x1) · . . . ·fXn(xn) (kont.)

Konfidensintervall

Ettkonfidensintervallf¨or parameternθt¨acker det sanna v¨ardet p˚aθ med sannolikheten1 − α.

1 − αkallaskonfidensgrad. Vanliga v¨arden ¨ar0.95,0.99och0.999.

Etttv˚asidigtkonfidensintervall ¨ar allts˚atv˚askattningara^∗₁,a^∗₂s˚a att P

a^∗₁(X₁, . . . ,Xn) < θ < a^∗₂(X₁, . . . ,Xn)

=1 − α

Ettensidigtkonfidensintervall ¨arenskattninga^∗₁ellera^∗₂s˚a att P

a^∗₁(X₁, . . . ,Xn) < θ < ∞



=1 − α eller

P

−∞ < θ < a^∗₂(X1, . . . ,Xn)

=1 − α

Repetition Konfidensintervall I F¨ordelningar Konfidensintervall II Repetition N(μ, σ)

Andelen 1 − α av intervallen t¨acker r¨att v¨arde i l˚anga loppet

0 0.5 1 1.5 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Intervall nr

100 st 95% konfidensint. för µ i N(µ,2)

0 0.5 1 1.5 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Intervall nr

100 st 95% konfidensint. för µ i N(µ,σ)

α-kvantil, xα

Enkvantil,xα, till en s.v.X ¨ar den gr¨ans som ¨overskrids med slhα. Den f˚as som l¨osning till n˚agon av f¨oljande ekvationer.

FX(x_α) =1 − α ⇐⇒

Z xα

−∞

fX(x) dx = 1 − α ⇐⇒

Z ∞ xα

fX(x) dx = α

Sats 6.1 — Standardiserad normalf¨ordelning OmX ∈ N(μ, σ), E(X) = μ, V(X) = σ²s˚a ¨ar

X − μ

σ ∈ N(0, 1) med kvantiler λα

Repetition Konfidensintervall I F¨ordelningar Konfidensintervall II Repetition N(μ, σ)

Konfidensintervall f¨or μ d˚a X

∈ N (μ, σ), σ k¨and

1. En skattning avμ¨ar:

μ^∗ = 1 n

n

X

i=1

Xi

2. MedE(μ^∗) = μochD(μ^∗) = σ

√n. 3. Enligt Sats 6.1 ¨ar

μ^∗− μ

D(μ^∗) ∈N (0, 1) . 4. Vi s¨oker nu tal s˚a att:

P



? < μ^∗− μ D(μ^∗) < ?



=1 − α 5. Konfidensintervallet f¨orμ¨ar:Iμ= μ^∗± λα/2·D(μ^∗).

Konfidensintervall f¨or μ d˚a X

∈ N (μ, σ), σ ok¨and

Omσ¨ar ok¨and ers¨attsD(μ^∗)med medelfelet:

d(μ^∗) = s

√n s =

v u u t

1 n − 1

n

X

i=1

(xi− ¯x)²

Men, nu ¨ar μ^∗− μ

d(μ^∗) inte N(0, 1).

Repetition Konfidensintervall I F¨ordelningar Konfidensintervall II χ² t

χ

-f¨ordelning (chi-tv˚a)

I Y ∈ χ²(f ).f kallas antal frihetsgrader.

I α-kvantil:χ²_α(f ). Tabell 4.

Om X₁, . . . ,Xn ∈ N(μ, σ) och oberoende s˚a g¨aller

1 σ²

n

X

i=1

(Xi− μ)²∈ χ²(n) 1

σ²

n

X

i=1

(X_i− ¯X)²∈ χ²(n − 1) ^{00 2 4 6 8 10 12}

0.2 0.4 0.6

← f = 1

← f = 3

χ² − fördelning med f = 1, 3, 5, 15

Student’s t-f¨ordelning

I X ∈ t(f ).f kallas antal frihetsgrader.

I α-kvantil:tα(f ). Tabell 3.

OmX ∈ N(0, 1)ochY ∈ χ²(f )¨ar oberoende g¨aller

X

pY/f ∈ t(f) och speciellt f¨orXi ∈ N(μ, σ)

X − μ¯ S/√

n ∈ t(n − 1)

−40 −2 0 2 4

0.2 0.4

f = 1 →

← f = ∞ t − fördelning med f = 1, 2, 4, 8, ∞

d¨ar

X =¯ 1 n

n

XXi och S²= 1 n − 1

n

X(Xi− ¯X)²

Repetition Konfidensintervall I F¨ordelningar Konfidensintervall II χ² t

Student — William Sealy Gosset

Konfidensintervall f¨or μ i N(μ, σ) x1, . . . ,xnobservationer avXi ∈ N(μ, σ) σ k¨and:

Iμ= μ^∗± λα/2· D(μ^∗) = ¯x ± λ_α/2· σ

√n

σ ok¨and:

Iμ= μ^∗± t_α/2(f ) · d(μ^∗) = ¯x ± t_α/2(n − 1) · s

√n

Kvantilerna ges av:

I λ_α/2¨arN(0, 1)-f¨ordelningensα/2-kvantil (Tabell 2)

I t_α/2(n − 1)¨art(n − 1)-f¨ordelningensα/2-kvantil (Tabell 3)

Repetition Konfidensintervall I F¨ordelningar Konfidensintervall II N(μ, σ) Ex 1 Sammanfattning Ex 2 Specialfall

Exempel: Sockerinneh˚all i betor

Sockerbetor har i regel ett sockerinneh˚all p˚a16 − 18 %(enligt Dansukkers hemsida). Anta att sockerinneh˚allet i en godtyckligt vald beta beskrivas avXi ∈N (μ, σ)medσok¨and. I ett visst betlass unders¨okte man sockerhalten hos25slumpm¨assigt utvalda betor.

1 25

25

X

i=1

x_i =16.8

25

X

i=1

(x_i− ¯x)²=4.8

G¨or ett95 %-konfidensintervall f¨or den f¨orv¨antade sockerhalten i betlasset.

Konfidensintervall baserade p˚a normal(approximation)

Omθ^∗∈ N(θ, D(θ^∗))ellerθ^∗∈

∼N(θ, D(θ^∗)):

D(θ^∗)k¨and

Iθ= θ^∗± λα/2·D(θ^∗)

D(θ^∗)ok¨and, skattas med d(θ^∗)

Iθ= θ^∗± t_α/2(f ) · d(θ^∗) om d(θ^∗)inneh˚aller σ^∗ =s = rQ

f Iθ= θ^∗± λ_α/2· d(θ^∗) annars

Repetition Konfidensintervall I F¨ordelningar Konfidensintervall II N(μ, σ) Ex 1 Sammanfattning Ex 2 Specialfall

Ex: Konfidensintervall f¨or p d˚a X ∈ Bin(n, p)

Vi vill uppskatta hur vanligt det ¨ar att det sn¨oar i april i M˚alilla och konstaterar att under de300aprildagarna under perioden1988–1997 s˚a sn¨oade det under71dagar. Antag att olika dagar ¨ar oberoende av varandra.

Ber¨akna ett approximativt95 %konfidensintervall f¨or sannolikheten att det sn¨oar en slumpm¨assigt vald aprildag i M˚alilla.

Sammanv¨agd variansskattning

Om vi har

x₁, . . . ,xnx obs. avXi ∈N (μx, σ) y₁, . . . ,yny obs. avYi ∈N μy, σ
kan den gemensamma variansenσ²skattas med

s²_p= (nx−1)s²_x+ (ny−1)s²_y nx−1 + n_y−1 = Q

f , (Q

σ² ∈ χ²(f )) Ett konfidensintervall f¨orμx− μy blir t.ex.

Iμ_x−μ_y = ¯x − ¯y ± t_α/2(f ) · sp

s 1 nx

+ 1 ny

eftersom ^∗− μ^∗ = ¯X − ¯Y ∈ N(μ − μ , σq

1 + ¹)

Repetition Konfidensintervall I F¨ordelningar Konfidensintervall II N(μ, σ) Ex 1 Sammanfattning Ex 2 Specialfall

Stickprov i par

Vid m˚anga m¨atsituationer ¨ar det vanligt att man m¨ater f¨ore och efter en behandling p˚aninb¨ordes olika f¨orem˚al.

Modell (observera att paretX_iochY_i inte¨ar oberoende!) F¨ore: x₁, . . . ,xn obs. avXi ∈ N(μi, σx) Efter: y1, . . . ,yn obs. avYi ∈ N(μi+ Δ, σy)

Diff: z1, . . . ,zn obs. avZi =Yi− X_i ∈ N(Δ, σ) Vi vill nu skatta effekten av behandlingen (Δ). SkattaΔmed¯zoch g¨or konfidensintervall som vanligt f¨or ett stickprov, dvs

IΔ= ¯z ± t_α/2(n − 1) · s

√n, d¨ar

s²= 1 n − 1

n

X

i=1

(z_i− ¯z)².

Stickprov i par?

I Blodtrycket hos ett antal patienter m¨ats f¨orre och efter behandling med blodtryckss¨ankande medicin; konfidensintervall f¨or

s¨ankningen?

I Luftkvaliteten m¨ats l¨angs Hornsgatan i Stockholm vintern2009 (dubbd¨ack fortfarande till˚atna) och2010(efter dubbd¨acksf¨orbud);

konfidensintervall f¨or skillnaden i luftkvalitet?

I pH-v¨ardet m¨ots varje dag i H¨oje˚a f¨orre och efter Lunds reningsverk; konfidensintervall f¨or skillnaden?

Repetition Konfidensintervall I F¨ordelningar Konfidensintervall II N(μ, σ) Ex 1 Sammanfattning Ex 2 Specialfall

Ensidiga konfidensintervall

Konfidensintervall kan ¨aven vara upp˚at eller ned˚at begr¨ansade. De konstrueras allm¨ant genom att

1. Ta ena gr¨ansen i ett tv˚asidigt konfidensintervall 2. Byt utα/2 −→ αf¨or att f˚a r¨att konfidensgrad 3. L˚at den andra gr¨ansen bli s˚a stor/liten som m¨ojligt Ex.Om det tv˚asidiga intervallet ges av¯x ± λα/2· σ

√n f˚as f¨oljande ensidiga konfidensintervall

I Ned˚at begr¨ansat intervall: (¯x − λα· σ

√n, ∞)

I Upp˚at begr¨ansat intervall: (−∞, ¯x + λα· σ

√n)

Ensidiga konfidensintervall ¨ar framf¨orallt anv¨andbara vid ensidiga hypotestest.