TATA79/TEN2 Omdugga 2, 2015-01-04 Inledande matematisk analys 1.

TATA79/TEN2 Omdugga 2, 2015-01-04 Inledande matematisk analys

1. Med hj¨ alp av en bild bevisa Pythagoras sats som g¨ aller f¨ or r¨ atvinkliga trianglar.

Solution: Betrakta en fyrkant med sidorna av l¨ angden a + b. Markera p˚ a topp sidan en punkt som har l¨ angden a fr˚ an v¨ ansterkanten. G¨ or det samma p˚ a de tre andra sidorna och rita den fyrkanten som har de fyra punkterna som h¨ ornpunkter. Se figur nedan.

Mittemellan de tv˚ a fyrkanterna finns fyra r¨ atvinkliga trianglar som alla har sidor av l¨ angderna a, b och c.

Vi kan r¨ akna ut arean av den st¨ ora fyrkanten p˚ a tv˚ a olika s¨ att. Det f¨ orsta ¨ ar med den vanlig formeln f¨ or arean av en fyrkant med sidorna av l¨ angden a+b. D˚ a

¨ ar arean (a + b) ² . Det andra s¨ attet ¨ ar att addera arean av den mindre fyrkanten c ² och arean av de fyra trianglarna ab/2. Det vill s¨ aga arean ¨ ar c ² + 4(ab/2).

Eftersom b˚ ada uttrycken f¨ or arean m˚ aste vara lika f˚ ar vi att a ² + 2ab + b ² = (a + b) ² = c ² + 4(ab/2) = c ² + 2ab.

Det medf¨ or att a ² + b ² = c ² . 2.

(a) Med hj¨ alp av en bild definiera trigonometriska funktioner cosinus och si- nus. Skissa graphen av cos : R → R.

(b) Med hj¨ alp av en bild bevisa att

sin(θ) ≤ θ f¨ or θ ∈ [0, π/2].

Solution:

(a) Titta:

1

(b) Titta:

I bilden l¨ angden sin θ ser ut kortare ¨ an l¨ angden θ. F¨ or ett b¨ attre bevis, anv¨ and area.

3.

(a) Definiera funktionen tangens. Gl¨ om inte att ge definitionsm¨ angden.

(b) Anv¨ and

cos(θ + ϕ) = cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ och sin(θ + ϕ) = sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ f¨ or att visa

tan(θ + θ) = tan θ + tan ϕ 1 − tan θ tan ϕ

f¨ or de flesta θ och ϕ. F¨ or vilka θ och ϕ ¨ ar likheten odefinierad?

2

Solution:

Alla fick full po¨ ang p˚ a uppgift 3 p˚ a grund av tryckfel i uppgiften.

(a) Vi definierar tan : D → R enligt tan θ = (cos θ)/(sin θ) d˚ a D = {θ | θ 6= π/2 + kπ f¨ or n˚ agot k ∈ Z}.

(b) Vi r¨ aknar ut

tan(θ + ϕ) = sin(θ + ϕ)

cos(θ + ϕ) = sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ

cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ = tan θ + tan ϕ 1 − tan θ tan ϕ om vi antar att varken θ, ϕ eller θ + ϕ ¨ ar lika med π/2 + kπ f¨ or n˚ agot k ∈ Z. Annars ¨ ar minst ett led odefinierat.

4.

(a) Definiera a ^x f¨ or a > 0 och x ∈ R.

(b) Anv¨ and r¨ aknareglar f¨ or den exponentialfunktionen f¨ or att visa a ^x+y = a ^x a ^y f¨ or a > 0 och x, y ∈ R.

Solution:

(a) a ^x := exp(x ln(a)) f¨ or a > 0 och x ∈ R.

(b) Vi r¨ aknar ut att

a ^x a ^y = exp(x ln(a)) exp(y ln(a)) =

↑

exp(x + y) = exp(x) exp(y)

exp(x ln(a)+y ln(a)) = exp((x+y) ln(a)) = a ^x+y .

5. Kom ih˚ ag att

exp _n (x) =

 0 om n ≤ |x|,

1 + _n ^x
n

om n > |x|.

(a) Definiera funktionen exp : R → (0, ∞).

(b) Visa att exp(x) ≥ 1 + x f¨ or alla x ∈ R.

Solution:

(a) Funktionen exp definieras enligt formeln exp(x) := sup _n∈N exp _n (x).

(b) Enligt Bernoullis olikhet har vi att

 1 + x

n

 ⁿ

≥ 1 + nx

n = 1 + x

f¨ or n > |x| och eftersom exp(x) ¨ ar en ¨ ovre begr¨ ansning av v¨ ansterledet ¨ ar exp(x) ≥ 1 + x.

3

6.

(a) Definiera funktionen ln : (0, ∞) → R.

(b) F¨ or vilka x ∈ R ¨ ar

ln  x ² + 2x − 3 x + 7



− ln (x + 3) (♦)

definierat? Skriva om (♦) s˚ a att det inh˚ aller h¨ ogst en logaritm. F¨ or vilka x ∈ R ¨ ar din omskrivning definierad?

Solution:

(a) Funktionen ln : (0, ∞) → R definieras som inversen till exponentialfunk- tionen.

(b) Uttrycket ln (x + 3) ¨ ar definierat f¨ or x > −3. Vi kan skriva om ln  x ² + 2x − 3

x + 7



= ln  (x − 1)(x + 3) x + 7



(1) och kvotet byter tecken (med en linj¨ ar faktor) d˚ a x = −7, −3 och 1. F¨ or st¨ ort x ¨ ar alla faktorerna positiva, d¨ arf¨ or ¨ ar

(x + 3)(x − 4)

x + 1 > 0 om x > 1 eller −7 < x < −3. (2) F¨ or att (♦) vara definierat kravs att villkoren i (1) och (2) ¨ ar uppfyllda.

D¨ arf¨ or ¨ ar (♦) definierat f¨ or x > 1.

Vi kan skriva om ln  x ² + 2x − 3

x + 7



−ln (x + 3) = ln  (x − 1)(x + 3) x + 7



−ln (x + 3) = ln  (x − 1) (x + 7)



och kvotet

(x − 1) (x + 7)

byter tecken d˚ a x = −7 och 1. D¨ arf¨ or ¨ ar kvotet positivt om x < −7 eller x > 1, och

ln  (x + 4) ² (x − 2) x + 7



¨ ar definierat f¨ or x < −7 och x > 1.

7.

(a) Definiera e ^iθ f¨ or θ ∈ R.

(b) Bevisa Eulers identitet:

e ^iπ + 1 = 0.

Solution:

(a) e ^iθ := cos θ + i sin θ f¨ or θ ∈ R.

(b) Eftersom cos π = −1 och sin π = 0 s˚ a ¨ ar

e ^iπ + 1 = cos π + i sin π + 1 = −1 + i0 + 1 = 0.

4