TATA79/TEN2 Dugga 2, 2016-12-12 Inledande matematisk analys 1.

TATA79/TEN2 Dugga 2, 2016-12-12 Inledande matematisk analys

1.

(a) Definiera med hj¨ alp av en bild funktionen sin : R → R.

(b) Bevisa att sin θ < θ f¨ or θ ∈ (0, π/2). Du f˚ ar anv¨ anda en bild som st¨ od f¨ or ditt bevis.

Solution:

(a) Nedan finns en bild av enhetscirklen med medelpunkt i origo. V¨ ardet sin θ definieras som b d¨ ar man g˚ ar moturs runt cirklen p˚ a ett avstand θ fr˚ an punkten (1, 0):

(b) Bilden nedan visa att trianglen ABC har str¨ angt mindre area ¨ an kilen ABC. Vi kan r¨ akna ut att trianglen har arean ¹ ₂ × 1 × sin θ och kilen har arean ¹ ₂ × θ. D¨ arf¨ or ¨ ar

sin θ 2 < θ

2 =⇒ sin θ < θ.

2.

Hitta alla x ∈ R som l¨ oser ekvationen 3 cos(x) + √

3 sin(x) = √ 3.

Solution:

Om vi j¨ amf¨ or v¨ ansterledet med

A sin(v + x) = A sin(v) cos(x) + A cos(v) sin(x) ser vi att det ¨ ar hj¨ alpsam att hitta A och v s˚ a att

A sin(v) = 3 och A cos(v) = √

3.

Om vi delar den f¨ orsta ekvation ovan med den andra f˚ ar vi att tan v = 3/ √

√ 3 =

3 s˚ a till exempel kan vi ta v = π/3. Sen beh¨ over vi att A ² = A ² sin ² v + A ² cos ² v = 3 ² + 3 = 12. Eftersom sin(π/3) och cos(π/3) ¨ ar positiva m˚ aste vi ta A = √

12 = 2 √

3. D¨ arf¨ or kan vi skriva om ekvation som 2 √

3 sin(π/3 + x) = 3 cos(x) + √

3 sin(x) = √

3 ⇐⇒ sin(π/3 + x) = 1 2 . D˚ a vet vi att antingen

π

3 + x = π

6 + 2kπ f¨ or k ∈ Z eller

π

3 + x = 5π

6 + 2kπ f¨ or k ∈ Z s˚ a alla m¨ ojliga l¨ osningar ¨ ar

x = − π

6 + 2kπ f¨ or k ∈ Z, och x = π

2 + 2kπ f¨ or k ∈ Z.

3.

(a) Kom ih˚ ag att exp(x) ≥ 1 + x f¨ or alla x ∈ R. Anv¨ and den tillsammans med andra r¨ aknareglar f¨ or att visa

exp(x) ≤ 1 1 − x f¨ or x < 1.

(b) Skissa grafen av exponentialfunktionen exp : R → (0, ∞).

Solution:

(a) Vi vet att exp(−x) ≥ 1 − x och exp(x) > 0 s˚ a exp(x) exp(−x) ≥ exp(x)(1 − x).

Men exp(x) exp(−x) = 1, s˚ a

(b) Graphen av exp:

4.

(a) L˚ at y vara en godtyckligt reellt tal. Visa att ekvationen y = e ^x − e ^−x

2

har en unik l¨ osning x ∈ R som ges av x = ln(y + p y ² + 1).

(b) Skissa grafen av funktion sinh : R → R som definieras som sinh(x) = e ^x − e ^−x

2 f¨ or alla x ∈ R.

Solution:

(a) Vi kan skriva om ekvationen som

0 = e ^x − 2y − e ^−x ⇐⇒ 0 = e ^2x − 2ye ^x − 1

⇐⇒ 0 = (e ^x − y) ² − y ² − 1

⇐⇒ y ² + 1 = (e ^x − y) ²

⇐⇒ y ± p

y ² + 1 = e ^x Men eftersom e ^x > 0 kan vi inte ha e ^x = y − p

y ² + 1 som ¨ ar negativt, s˚ a y = e ^x − e ^−x

2 ⇐⇒ e ^x = y + p

y ² + 1 ⇐⇒ x = ln(y + p y ² + 1).

(b) Graphen av sinh:

5.

(a) Definiera a ^x f¨ or a > 0 och x ∈ R.

(b) L˚ at b > 1. Visa att funktionen x 7→ b ^x ¨ ar bijektiv och ge en formel f¨ or den inversa funktionen.

Solution:

(a) a ^x := exp(x ln(a)) f¨ or a > 0 och x ∈ R.

(b) F¨ or givet y ∈ (0, ∞) vill vi vissa att det finns precis en l¨ osning x ∈ R till y = b ^x :

y = b ^x ⇐⇒ y = exp(x ln(b)) ⇐⇒ ln(y) = x ln(b) ⇐⇒

↑ ln(b) > 0

x = ln(y)

ln(b)

(Eftersom y = b ^x =⇒ x = ^ln(y) _ln(b) ¨ ar x 7→ b ^x injektiv och eftersom y =

b ^x ⇐= x = ^ln(y) _ln(b) ¨ ar x 7→ b ^x surjektiv, d¨ arf¨ or ¨ ar x 7→ b ^x bijektiv.) Formeln

f¨ or inversa funktionen ¨ ar d˚ a y 7→ ln(y)/ ln(b).

6.

(a) Hitta alla w ∈ C s˚ a att w ² = 3 + 4i.

(b) Hitta alla z ∈ C s˚ a att z ² + (2 + 2i)z − 3 − 2i = 0.

Solution:

(a) S¨ att w = u + iv f¨ or u, v ∈ R. D˚ a ¨ ar u ² − v ² + 2uvi = (u + iv) ² = 3 + 4i s˚ a

u ² − v ² = 3 och (1)

2uv = 4. (2)

Men eftersom |w| ² = |3 + 4i| ¨ ar u ² + v ² = p

3 ² + 4 ² = 5. (3)

Om vi adderar (1) och (3) f˚ ar vi att 2u ² = 8 och om vi subtraherar (1) fr˚ an (3) f˚ ar vi att 2v ² = 2. S˚ a

u = ±2 och v = ±1.

Ekvation (2) s¨ ager att u och v har samma tecken, s˚ a vi har bara tv˚ a m¨ oljigheter: u = 2 och v = 1, eller u = −2 och v = −1. D¨ arf¨ or ¨ ar l¨ osningar w = 2 + i och w = −2 − i.

(b) Vi kan skriva om z ² + (2 + 2i)z − 3 − 2i = 0 som (z + (1 + i)) ² = 3 + 4i s˚ a enligt f¨ orsta delen av uppgiften ¨ ar

z + (1 + i) = 2 + i eller z + (1 + i) = −2 − i.

D¨ arf¨ or alla l¨ osningar ¨ ar z = 1 och z = −3 − 2i.

7.

(a) Definiera e ^iθ f¨ or θ ∈ R.

(b) Bevisa Eulers identitet:

e ^iπ + 1 = 0.

Solution:

(a) e ^iθ := cos θ + i sin θ f¨ or θ ∈ R.

(b) Eftersom cos π = −1 och sin π = 0 s˚ a ¨ ar

e ^iπ + 1 = cos π + i sin π + 1 = −1 + i0 + 1 = 0.