Olika metoder f¨or att utf¨ora hypotestest

(1)

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 F¨orel¨asning 13: Mer om hypotestest

Anna Lindgren

16+17 november, 2016

(2)

Repetition Metodval Exempel Konfidensintervall Metoder

Olika metoder f¨or att utf¨ora hypotestest

1. Direktmetoden eller P-v¨arde

I Antag attH0¨ar sann

I Räkna utP-värdet p = P(F˚a det vi f˚att eller värre)

I Omp < αf¨orkastasH0

2. Konfidensmetoden. G¨or ett konfidensintervall med

konfidensgraden 1 − α och f¨orkasta H

₀

p˚a niv˚an α om intervallet ej t¨acker θ

₀

. Intervallen skall, beroende p˚a H

1

, vara

Test H

₁

: θ < θ

0

H

₁

: θ 6= θ

0

H

₁

: θ > θ

0

Intervall: upp˚at begr tv˚asidigt ned˚at begr 3. Testkvantitet T(X) och kritiskt omr˚ade C F¨orkasta H

₀

om

testskvantiteten hamnar i det kritiska omr˚adet.

C och T skall v¨aljas s˚a att

α = P(T (X) ∈ C) = P(”F¨ orkasta H

₀

om H

₀

¨ar sann”)

(3)

Hypotestest – Vilken metod?

I

(Approx.) Normalf¨ordelad skattning d¨ar D(θ

^∗

) inneh˚aller σ:

σ k¨ and: Vilken som helst.

σ ok¨ and: Direktmetoden kräver t-fördelningens fördelningsfunktion.

I

Bin, Po, . . . d¨ar D(θ

^∗

) inneh˚aller θ.

Direktmetoden G˚ar alltid att anv¨anda, ibland med normalapproximation.

Testkvantitet Kr¨aver normalt normalapproximation.

Kritiskt omr˚adet Kan beh¨ova normalapproximation.

Konfidensmetoden Fungerar inte.

Vid styrkefunktion ¨ar det naturligt att utg˚a fr˚an testkvantitet eller

kritiskt omr˚ade.

(4)

Repetition Metodval Exempel Konfidensintervall Allm¨ant Teststorhet

Testkvantiteter

Antag att vi vill testa H

0

: θ = θ

0

.

Model Skattning T(X) D(θ^∗)/d(θ^∗) kvantil X_i∈N (μ, σ) σk¨and μ^∗= ¯X ^μ_D(μ^∗^−μ∗)⁰

√σ

n λ

σok¨and ^μ_d(μ^∗^−μ∗)⁰

√s

n t(f )

X ∈ Bin(n, p) p^∗=^X_n ^p_D^∗^−p⁰

0(p^∗)

qp0(1−p0)

n λ

Xi∈Po(μ) μ^∗= ¯X ^μ_D^∗^−μ⁰

0(μ^∗)

pμ0

n λ

Notera:

1. Skattningarnas standardavvikelse/medelfel r¨aknas under H

₀

. 2. Bin och Po fallet kr¨aver normalapproximation.

3. α-kvantil om ensidigt, α/2-kvantil om tv˚asidigt.

(5)

Exempel 1: Sm¨altpunkt

Stickprov av mycket rent järn berett med tv˚a olika metoder A och B hade följande smältpunkter:

A (^◦C)1493 1519 1518 1517 1512 1514 1489 1508 1494 B (^◦C)1509 1494 1512 1483 1507 1491

Formulera en statistisk modell baserad p˚a normalf¨ordelning och lika varians.

a) Konstruera ett konfidensintervall f¨or skillnaden mellan de tv˚a medelsm¨altpunkterna. Konfidensgrad: 95%.

b) Testa hypotesen att de olika metoderna ger samma

medelsm¨altpunkter.

(6)

Repetition Metodval Exempel Konfidensintervall Sm¨altpunkt V˚ag Jordb¨avningar

Exempel 1

0 2 4 6 8 10

1480 1490 1500 1510 1520

Mätning nr

Temperatur [°C]

Smältpunkt. A: x,− B: o,− −

(7)

Ex.: 1. Modell och problemformulering

Tv˚a oberoende stickprov!

Vi har n

x

= 9 observationer fr˚an

X

i

= ”sm¨altpunkt vid metod A” ∈ N (μ

x

, σ) och n

y

= 6 observationer fr˚an

Y

i

= ”sm¨altpunkt med metod B” ∈ N μ

y

, σ .

Vi vill g¨ora ett 95 % konfidensintervall f¨or μ

x

− μ

y

och testa

H

₀

: μ

x

= μ

y

mot H

i

: μ

x

6= μ

y

p˚a signifikansniv˚an α = 5 %.

(8)

2. Skattning

Vi skattar

μ

^∗_x

= ¯ x = 1507.1, μ

^∗_y

= ¯ y = 1499.3,

(μ

x

− μ

y

)

^∗

= μ

^∗x

− μ

^∗y

= ¯ x − ¯ y = 1507.1 − 1499.3 = 7.8.

Vi har ocks˚a σ

^∗

= s

x

= 11.9 och σ

^∗

= s

y

= 11.6 s˚a att den sammanv¨agda σ-skattningen blir

σ

^∗

= s

p

=

s (n

x

− 1)s

²_x

+ (n

y

− 1)s

²_y

n

x

− 1 + n

y

− 1

= s

(9 − 1) · 11.9

²

+ (6 − 1) · 11.6

²

9 − 1 + 6 − 1 = 11.8

som har f = n

x

− 1 + n

y

− 1 = 13 frihetsgrader.

(9)

3. Egenskaper

Eftersom alla X

i

och Y

i

¨ar oberoende av varandra har vi att

μ

^∗_x

= ¯ X ∈ N

μ

x

, σ

√ n

x

, μ

^∗_y

= ¯ Y ∈ N

μ

y

, σ

√ n

y

,

μ

^∗_x

− μ

^∗y

∈ N μ

x

− μ

y

, σ s 1

n

x

+ 1 n

y

!

= N μ

x

− μ

y

, σ r 1 9 + 1

6 ! . Om H

₀

: μ

x

= μ

y

¨ar sann s˚a g¨aller att

μ

^∗_x

− μ

^∗y

∈ N 0, σ r 1 9 + 1

6 ! .

Eftersom σ ¨ar ok¨ant och skattas med s

p

= 11.8 blir medelfelet d(μ

^∗_x

− μ

^∗_y

) = s

p

s 1 n

x

+ 1 n

y

= 11.8 r 1 9 + 1

6 = 6.2

(10)

4. L¨osning och 5. Slutsats

4(a) Konfidensintervall

Eftersom s

p

har f = 13 frihetsgrader ges ett tv˚asidigt 95 % konfidensintervall f¨or μ

x

− μ

y

av

I

μ_x−μ_y

= μ

^∗x

− μ

^∗y

± t

_α/2

(f ) · d(μ

^∗_x

− μ

^∗y

)

= 7.8 ± t

_0.025

(13)

| {z }

2.16

·11.8 r 1 9 + 1

6 = (−5.6, 21.2).

4(b) Hypotestest

Eftersom H

₀

: μ

x

− μ

y

= 0 ligger i intervallet kan H

₀

inte f¨orkastas.

5. Slutsats

Vi kan inte p˚ast˚a att sm¨altpunkterna ¨ar olika.

(11)

Exempel 2: V˚ag

Man har tv˚a v˚agar, A och B, där man misstänker att v˚ag B har ett systematiskt fel s˚a att den ger för högt utslag medan man vet att v˚ag A väger rätt i medeltal. Man vägde 6 förem˚al p˚a b˚ada v˚agarna och fick nedanst˚aende resultat:

F¨orem˚al, i 1 2 3 4 5 6

v˚ag A, x

i

1.0 7.7 9.6 21.0 32.3 22.6

v˚ag B, y

i

3.1 8.8 12.0 19.5 35.5 32.5

Sätt upp en lämplig modell för data, baserad p˚a normalfördelning och

avgör om v˚ag B ger för högt utslag i medeltal.

(12)

Exempel 2

0 1 2 3 4 5 6 7

0 10 20 30 40

Föremål nr

Vikt

Vikt. A: x B: o

0 1 2 3 4 5 6 7

−5 0 5 10

Föremål nr

Viktdifferens

(13)

Ex.2 l¨osning

1. Modell och problem

Stickprov i par med n = 6 observationer av

X

i

= ”v˚ag A f¨or f¨orem˚al nr. i” och Y

i

= ”v˚ag B för förem˚al nr. i” där E(X

i

) = μ

i

och E(Y

i

) = μ

i

+ Δ.

Bilda Z

i

= Y

i

− X

i

= ”v˚ag B − v˚ag A f¨or f¨orem˚al nr. i” ∈ N (Δ, σ).

Testa H

₀

: Δ = 0 mot H

₁

: Δ > 0 p˚a signifikansniv˚a α = 5 %.

2. Skattning

Δ

^∗

= . . . , σ

^∗

= . . . , f = . . . 3. Egenskaper

Δ

^∗

∈ . . . , Om H

₀

¨ar sann s˚a . . . , d(Δ

^∗

) = . . . 4. L¨osning

(Ett l¨ampligt ensidigt test med t-f¨ordelning . . . ) Eftersom . . . kan H

₀

[f¨orkastas/inte f¨orkastas].

5. Slutsats: [Ja/Nej], vi [kan/kan inte] p˚ast˚a att v˚ag B ger f¨or h¨ogt utslag.

(14)

Exempel 3: Jordb¨avningar

Antalet jordskalv under ett ˚ar i ett omr˚ade anses vara poissonf¨ordelat med parametern μ, dvs om

X = ”antal jordskalv under ett ˚ar”

g¨aller X ∈ Po(μ). Antalet jordskalv olika ˚ar anses vara oberoende.

Den seismologiska aktiviteten har under en l¨angre period varit ganska konstant med ett μ som anses vara 1.6.

Under perioden 1990 − 1999 uppm¨attes emellertid 25 jordskalv i omr˚adet. Tyder detta p˚a att omr˚adet blivit seismologiskt oroligt s˚a att μ

¨okat?

(15)

Ex.3: L¨osning

1. Modell och problem

Vi har egentligen n = 10 oberoende observationer av

X

i

= ”antal jordskalv under ˚ar i” ∈ Po(μ) men vi har bara noterat observationen y = 25 av

Y = P

n

i=1

X

_i

= ”antal jordskalv p˚a 10 ˚ar” ∈ Po(n · μ) = Po(10μ).

Vi vill testa H

₀

: μ = 1.6 mot H

₁

: μ > 1.6 p˚a signifikansniv˚a α = 5 %.

2. Skattning

μ

^∗

= ¯ x =

^y_n

=

²⁵₁₀

= 2.5.

3. Egenskaper

Om H

₀

¨ar sann s˚a ¨ar Y ∈ Po(nμ

₀

) = Po(10 · 1.6) = Po(16).

Eftersom 16 > 15 kan vi normalapproximera s˚a att Y ∈

_∼

N 16, √

16 och μ

^∗

=

₁₀^Y

∈

∼

N (. . . , . . . ) med D

₀

(μ

^∗

) = . . . .

(16)

4. L¨osning

(L¨ampligt ensidigt test som utnyttjar D

₀

(μ

^∗

) . . . .) Eftersom . . . kan H

₀

[f¨orkastas/inte f¨orkastas].

5. Slutsats:

[Ja/Nej], vi [kan/kan inte] p˚ast˚a att μ ¨okat.

(17)

Transformation av konfidensintervall

Har man ett konfidensintervall f¨or en parameter θ I

θ

= [a

₁

, a

₂

]

kan detta transformeras till ett intervall f¨or g(θ) genom

I

g(θ)

= [g(a

1

), g(a

₂

)]

om g är monoton (strängt växande eller strängt avtagande) i det omr˚ade där θ är definierad.

Ex. Ett intervall för β =”ökningen av järnhalten per meter” i ett

vattendrag blev I

β

= [−0.0372, −0.0153]. Transformera detta till ett

intervall f¨or minskningen av j¨arnhalten per 100 meter.

(18)

Repetition Metodval Exempel Konfidensintervall Transformation Konfidensintervall f¨or σ²

Konfidensintervall f¨or σ

²

i N(μ, σ)

x

1

, . . . , x

n

observationer av X

i

∈ N(μ, σ) Ett 1 − α konfidensintervall f¨or σ

²

ges av

I

_σ2

= (n − 1)s

²

χ

²_α/2

(n − 1) , (n − 1)s

²

χ

²_1−α/2

(n − 1)

!

= Q

χ

²_α/2

(f ) , Q χ

²_1−α/2

(f )

!

d¨ar

I

s

²

= 1 n − 1

n

X

i=1

(x

i

− ¯ x)

²

= Q f

I

χ

²_α/2

(n − 1) ¨ar χ

²

-f¨ordelningens α/2-kvantil (Tabell 4).

Ett konfidensintervall f¨or σ f˚as genom att dra roten ur gr¨anserna i I

_σ2