Undervisningen i räkning med decimaler.
V i d Stockholms folkskollärareförenings tvänne senaste sammanträden har läroverks- adjunkten d:r K. R. Kellberg föreläs- ningsvis lemnat en öfversigt öfver behand- lingen a f den del a f räkneundervisningen, som omfattar räkning med decimaler. E n - l i g t löfte lemna v i här ett sammandrag a f det väsentligaste, som föreläsaren härunder uttalat.
Föreläsaren inledde framställningen a f sitt speciella ämne med några satser, gäl- lande räkneundervisningen i allmänhet.
Under de sista 30 åren hafva i vårt land tre väsentligt olika metoder för räkneun- dervisningen gjort sig gällande. Ännu i början a f 1850-talet erhöll lärjungen för hvarje ny räkneoperation bestämda regler att följa och öfverlemnades så åt sig sjelf att inlära tillämpningen. Någon förklaring huru reglerna t i l l k o m m i t , eller hvarföre de b l i f v i t j u s t sådana de voro, gafs aldrig.
Resultatet af denna undervisning var gif- vet. Så länge lärjungen hågkom reglerna, räknade han både fermt och säkert;- men så snart minnet svek honom, var han hjelp- lös. Någon reproduktion a f en bortglömd regel var j u ej tänkbar.
I senare hälften a f samma årtionde i u - trädde en reaktion mot detta förfaringssätt, men såsom vanligt slog man öfver t i l l en motsatt ytterlighet. N u skulle a l l dispo- nibel t i d användas t i l l förklaringar. H v a r j e n y t t exempel skulle af hela klassen ge- mensamt och från början t i l l slut genom- gås hevristiskt samt sönderploekas, ända t i l l dess man stannade v i d de rena axio- men. Förvärfvandet a f färdighet i utfö- randet a f de särskilda räkneoperationerna ansågs ovigtigt.
E n mellan dessa båda ytterligheter i n - slagen medelväg, som gifver förklaringeu sin vederbörliga t i d , men på samma gång
tillmäter den tekniska räknefärdigheten t i l l - börlig vigt, är väl den enda rätta och om- fattas n u af det största flertalet lärare.
D o c k eger den rena och oblandade hevri- stiken ännu varma förkämpar. Föreläsaren hade flere gånger och från olika läroverk fått mottaga lärjungar, h v i l k a varit rätt drifna i hvad han v i l l e k a l l a en aritmetisk fraseologi; men huruvida äfven den simp- laste beräkning blefve rätt utförd, berodde på en ren slump.
E n l i g t föreläsarens åsigt bör förkla- ringen samordnas med förvärfvandet a f räknefärdighet. Sedan lärjungarne med hjelp a f lärarens ledning sjelfva fått ut- leta regeln, som såmedels blifvit förkla- rad och förstådd, böra de hvar för sig få lära sig tillämpa den fermt och säkert.
H u r stor del af den för ämnet anslagna tiden bör tillerkännas teoretiserandet, kan vara o l i k a ; högst tredjedelen a f timantalet torde dertill böra användas. Sjelfklart är väl, att man i åtminstone de lägre klas- serna ej bör fordra, att lärjungarne skola i sammanhängande form kunna återgifva förklaringen. E n synnerligen lämplig ar- betsordning är att, medan lärjungarne hvar för sig inöfva ett räknesätt, anslå de 15 å 20 första minuterna af hvarje timme t i l l gemensam och v i d svarta taflan för- siggående förberedelse t i l l näst följande räknesätt. I vissa enskilda f a l l böra na- turligtvis undantag härifrån dock göras.
Men dessa båda synpunkter — bibrin- gandet a f en begreppsmessig och k l a r upp- fattning af räknereglerna samt förvärfvan- det af räknefärdighet — äro, ej de enda, som v i d undervisningen böra göra sig gäl- lande. D e r t i l l komma ytterligare åtmin- stone två andra. Lärjungen måste äfven bibringas kännedom om de o l i k a räknesät- tens särskilda användbarhet. H a n måste kunna rätt uppfatta betydelsen af de re- sultat, t i l l h v i l k a de o l i k a räknesätten leda, för att för sin uppgift kunna välja den rätta lösningen. Sådan kännedom kan
bäst meddelas, dels genom inlärandet af enkla, men bestämda definitioner för de o l i k a räknesätten, dels genom hufvudräk- ningsöfningar, h v i l k a kanske j u s t härutin- nan hafva sin största betydelse.
Föreläsaren ansåg det vara af stor vigt, att lärjungen eger eii r i k t i g föreställning om de o l i k a konkreta storheter, som ingå i räkningen; och detta ej blott så, att han vet l i t e r n vara ett rymdmått, grammet en vigt o. s. v. H a n bör t. ex. veta, att redan två vanliga stålpennor väga nära nog ett gram. H a n bör t. ex. veta, att Drottninggatan från Norrström t i l l Kungs- backen är i det närmaste en k m . H a n bör få uppmäta, huru många liter rymmas i en karafin; de särskilda föremålen i skol- rummet böra uppmätas och bestämmas.
Den t i d , som häråt egnas, är långt ifrån bortkastad. H v e m har ej haft tillfälle att iakttaga den olika säkerhet, med hvilken lärjungen rör sig, då han räknar med kronor och öre, eller då han har att göra med t. ex. hektogram och gram! Den mera oklara, obestämda uppfattningen a f de sist nämda framkallar j u s t olikheten.
D å något n y t t skall prepareras, måste läraren förutsätta, att lärjungarne hågkomma a l l t det förut genomgångna. Så är dock icke förhållandet. D e flesta, om ej alla, hafva glömt större eller mindre del deraf.
A t t afgöra, huruvida ett felaktigt svar, rö- rande något förut inlärdt, beror på tank- löshet och bristande uppmärksamhet hos gossen eller härrör af glömska, är en af lärarens svårare uppgifter. Och likväl är för honom ganska vigtigt att bedöma detta.
I förra fallet förtjenar den ouppmärksamme en tillrättavisning, hvarefter frågan genast gifves en annan. I senare fallet k a n ofta nog en r a k t på sak gående fråga åter u p p l i f v a hågkomsten a f det glömda, och dermed är då a l l t godt och väl. M e n f u l l - k o m l i g t orätt må det k u n n a anses vara att egna någon egentlig t i d häråt. A t t m i d t under en för hela klassen gemensam förklaring öfver t. ex. sättet att göra bråk liknämniga företaga en repetition af bråks förlängning med en minnesslö lärjunge, är j u att onyt- t i g t bortslösa tiden för dem, som minnas förlängningen och — hvad som är v i d a värre — förstöra sammanhanget i förkla- ringen för alla, d. v. s. göra hela lektionen gagnlös. Detta är enligt talarens meniDg afgörande, men mången anser grundligheten l i d a deraf, att man på detta sätt liksom halkar förbi en detalj i förklaringen, äfven då den förut är genomgången. — D å de öfriga lärjungarne räkna för sig sjelfva, bör naturligtvis det bortglömda repeteras med dem, som sådant behöfva.
V i d a l l förberedelse och a l l förklaring bör tillgänglig undervisningsmateriel flitigt begagnas. V i d böljan af hvarje lektion repeteras i korthet hvad nytt, som under närmast föregående lektion förekommit.
* * *
Den åskådnmgsapparat, föreläsaren an- vände för att visa, h u r u decimalbegreppet skulle kunna klargöras, utgöres af träcy- lindrar, uppträdda på lodräta jerntenar, h v i l k a äro fastsatta i ett fotstycke a f trä.
Den ene af dessa cylindrar är en meter lång. Den nästföljande är likaledes en meter lång, men delad i tio på hvarandra stående cylindrar, hvardera en decimeter.
På nästa jeruten finnas tio cylindriska skifvor, hvardera en centimeter eller t i l l - sammans en decimeter, och på fjerde jern- tenen tio d y l i k a skifvor, hvardera en m i l l i - meter eller tillsammans en centimeter.
Genom åskådande och anställande a f jemförelser mellan dessa cylindrars längd få lärjungarne inlära, h u r u tiondelar, hun- dradelar och tusendelar uppkomma. Strängt måste härvid fasthållas, att det härvid b l o t t gäller cylindrarnes längd. Decimalbegrep- pet på detta sätt inlärdt bör blifva ett resultat a f erfarenheten och ej b l o t t en abstraktion.
Sedan lärjungarne uppfattat, dels att en tiondel a f en tiondel är en hundradel och en tiondel a f en hundradel är en tusendel af det hela (här metern), dels äfven att
1 0/ i o o = V i o ™- i ° /1000 m . = V i o o m- o c h att 1. ° ° / i o o om- = V i o m- ' böra de med cylindrarne få bilda t. ex.
1 5/ i o o m- ( = V i o m- o ch V i o o m-)>
2 3 / m 1 2 3 / m 2 0 7 / m
' 1 0 0 ( 1 0 0 0 m' > ' 1 0 0 0 o. s. v. U t a n hjelp a f apparaten bör se- dan k u n n a bestämmas, h u r u många hundra- dels m . bildas a f 3/10 m . och s/ 1 0 0 m . tillsammans o. s. v.
D å detta är r i k t i g t uppfattadt; k a n tiden vara inne att börja öfningarna för deci- malers uppskrifning. Härvid k a n som åskådningsmedel användas afmätta band- stycken. O m längden a f ett sådant band utgör t. ex. 1 m. och 1 dm., bör lärjun- gen, enligt det från hela t a l kända sam- bandet mellan siffrorna veta, att denna längd s k a l l betecknas med två efter hvar- andra följande ettor (11). U t a n vidare är denna beteckning dock tydligen oriktig, och lärjungen får sjelf utleta, att orsaken härtill är, att ej sista utan första siffran utmärker enheten af ra. D å ej sista siffran i ett t a l betyder enheter, måste på något sätt utmär- kas, h v i l k e n siffra som är enhetssiffran.
D e t t a sker genom att sätta ett k o m m a (,) t i l l höger om den samma. Talet 1,1 m.
betecknar 1 m. och V i o m- a n n £i t band är t, ex. 1,27 m. K a n ej lärjungen säga, hvad sjuan utmärker, bör han hän- visas t i l l åskådningsapparaten. Bandets längd betecknas med siffrorna 1, 2 och 7 (127). och enhetssiffran utmärkes genom decimalkomma t i l l höger (1,27). N u i n - läres, att första siffran t i l l höger om decimal- kommat betecknar tiondelar och andra siff- ran hundradelar o. s. v.
N u kunna lärjungarne med tillhjelp a f cylindrarne i apparaten verkställa uppmät- ning a f föremål, som äro kortare än en meter, t. ex. kanten a f griffeltaflan, och beteckna längden med siffror. O m taflaus k a n t är 2/1 0> 3 /10 0 o ch V i o o o m- >
betecknas längden med talet 235 och tvåan utmärkes som tiondels ra, genom ett komma t i l l venster om den samma.
Härvid anmärkes, att då inga hela meter finnas, skrifves n o l l i enhetsrummet (0,235 m.).
Efter klargörandet af de o l i k a delarnes uppkomst och beteckning följer lämpligen
| en på decimalerna använd repetition a f tal-
systemet. M a n kan då låta lärjungarna tillägga och fråndraga först en siffra och sedan flere t. ex. 3,57 + (eller — ) 0,2 (0,04, 0,85 o. s. v.). Tillfälle erbjuder sig i sammanhang härmed att repetitions- vis framhålla skilnaden mellan talvärde och siffervärde. E n god öfning är att låta lärjungarne uppsäga t a l med decimaler i olika afdelningar, t. ex. 4 7 5,G i t i o t a l och tiondelar (47 t i o t a l och 56 tiondelar), i en- dast tiondelar (4756 tiondelar); i hundratal, enheter och tiondelar (4 hundratal, 75 en- heter och 6 tiondelar); 4,537 i endast tion- delar (45 tiondelar och 37 hundradels tiondelar). D å ej annorlunda föreskrifves, uppsägas talen i enheter och delar a f en- heter.
N u följer uppskrifning af t a l med upp- gifna talsorter. Exempel. U p p s k r i f 3 t i o t a l och 5 tiondelar! (30,5). S k a l l räk- ningen för lärjungen b l i f v a f u l l t medveteri, måste talsystemet vara alldeles k l a r t upp- fattadt. Derföre bör ock n u ytterligare framhållas och genom utfrågning repeteras, hvarpå en siffras talvärde beror. Såsom naturliga slutsatser a f det inlärda följer, att en siffras talvärde beror helt och hållet på dess plats t i l l höger eller venster om decimalkommat eller räknadt från enhets- siffran och att nollor k u n n a skrifvas t i l l höger om den sista decimalsiffran med verk- l i g t talvärde eller framför första heltalssiff- ran, utan att detta på något sätt ändrar de förutvarande siffrornas talvärde. Jemför t. ex.
siffrornas talvärden i 26,4 med 26^40 eller 26,400! Häraf framgår åter, att man när som helst, då sådant faller sig beqvämt, k a n t i l l - skrifva nollor efter sista decimalsiffran, A U den stund decimalernas behandling oaflåtligen grundar sig på tiotalssystemet, böra benäm- ningarne förlängning och förkortning ej an- vändas, likasom i allmänhet något t a l om bråk ej behöfver förekomma.
E n annan följd deraf, att en siffras tal- värde beror a f hennes plats, räknadt från decimalkommat, är, att m u l t i p l i k a t i o n eller division med 10, 100, 1000 o. s. v. sker genom f l y t t n i n g a f decimalkommat. Lär- jungarne få jemföra siffrornas talvärden i 24,58 och 245,8 med flere d y l i k a exempel.
V i d hvart och ett a f de särskilda räkne- sätten bör repetitionsvis genomgås om de i räkningen ingående talens benämning, om räknetecknen samt om räknesättets bety- delse och ändamål i n . m . Såsom en för- beredelse t i l l öfningarna i addition bör på- visas, att somliga t a l alls icke k u n n a adderas ( k r . och kg), att andra k u n n a ad- deras efter det enas förvandling ( k r . och öre) samt att åter andra k u n n a omedelbart adderas (kr. och k r . ) . Detta tillämpas på tiondelar, hundradelar o. s. v . V i d de första öfningarna i detta räknesätt k u n n a talen uppskrifvas efter hvarandra med an- vändande af räknetecknet (5,3 -f- 0,85 + 1,003 o. s. v . ) och räkningen verkställas. V i d ett sådant tillvägagåeude måste dock lärjungarne fasthålla två slags tankegång, nämligen dels siffrornas talvärde och dels sjelfva sammanläggningen. T i l l räkningens underlättande b r u k a r man derföre upp- skrifva talen under hvarandra så, att samma talsorter komma i en rad. D e t här sagda
gäller i tillämpliga delar äfven om sub- traktion.
V i d m u l t i p l i k a t i o n bör man utgå från addition, liksom man j u a l l t i d bygger ett förståndigt inlärande af multiplikationsta- bellen på addition och visar, att m u l t i p l i - kationen endast är en upprepad addition eller ett beqvämare sätt att finna summan af flere l i k a stora addender. Under de första öfningarna bör framhållas, att m u l - tiplikatorn a l l t i d utmärker addendernas antal, under det m u l t i p l i k a n d e n angifver deras storlek samt att m u l t i p l i k a t o r n all- tid är ett obenämdt t a l . I ex. 8 . 2,34 l i g - ger den betydelsen, att summan af 8 så- daua t a l som 2,3i s k a l l sökas, h v i l k e t beqvämast sker genom att multiplicera 2,3'i med 8.
Öfverskådligheten v i d förklaringen a f ett exempel med större m u l t i p l i k a t o r t. ex.
36 . 5,7 bör underlättas genom uträkningens gruppering. M a n bör sålunda först taga summan a f 6 sjuor och 6 femmor eller. 6 femtiosjuor och v i d uppskrifningen af resultatet noga lägga märke t i l l , att det utmärker tioudelar. D å man sedan skall söka summan a f 30 sjuor, torde vara bäst att först taga summan a f 3 sjuor. A t t summan a f 30 sjuor är 10 gånger större än summan a f 3 sjuor, böra lärjungarne på detta utvecklingsstadium lätt kunna inse. På samma sätt erhålles summan a f 30 femmor. D å summan a f 30 femmor uppskrifves, aktgifves på siffrornas talvärde.
Sedan delprodukterna blifvit sammanlagda, angifves enhetssiffran genom utsättande af decimalkommat, hvarpå med ledning a f det utförda exemplet k a n erhållas den regeln, att när m u l t i p l i k a t o r n är ett helt tal, skall produkten hafva l i k a många deci- maler som m u l t i p l i k a n d e n . Såsom fortsätt- ning a f räkning med förklaring k a n n u lämpligast användas exemplet 3 , 6 . 5,7.
V i d jemförelse med föregående öfning kunna lärjungarne genom ledning finna, att eftersomfaktorernahafvasamma siffror, måste produkten komma att innehålla samma siff- ror; men att då m u l t i p l i k a t o r n i det senare fallet är 10 gånger mindre än i det förra, måste ock produkten blifva 10 gånger mindre, hvadan i det senare fallet y t t e r l i - gare en decimalsiffra måste åtskiljas. Här- af utletas lätt den regeln, att produkten måste hafva l i k a många decimaler, som faktorerna hafva tillsammans. D å m u l t i p - likatorn utgöres af endast decimaler, k a n äfven följande utredning användas. E x . 0,57. 386. H u r u mycket är hundradelen af 386? (3,86.) Detta t a l måste n u mång- faldigas med 57.
V i d de första öfningarna i division bör divisorn naturligtvis vara ett helt t a l . M a n bör ock välja sådaua exempel, att icke någon rest uppstår v i d delningen efter si- sta decimalsiffrans nedflyttning. Ä r d i v i - sorn ett helt t a l , behöfver man blott göra lärjungen uppmärksam på, att decimal- kommat utsattes, sedan qvoteh a f enhe- . terna uppskrifvits. Förklaringen a f räk- ningen, då divisorn utgöres a f helt t a l och decimaler, kan lämpligast byggas på den från hela t a l kända erfarenhetssatsen, att om dividend och divisor multipliceras eller
divideras med samma t a l , blifver qvoten likväl den samma. Flere exempel fram- ställas t i l l jemförelse, t. ex. 8 : 2 = 4 ; 2 4 : 6 = 4; 4 8 : 1 2 = 4; 0 : 3 = 3; 0 0 : 3 0 = 3.
Lärjungarne k u n n a skriftligen på sina taflor göra försök med många d y l i k a exempel.
Med ledning a f denna erfarenhet böra de snart inse och såsom regel kunna fram- ställa, att man, innan uträkningen börjar, bör multiplicera dividend och divisor med ett sådant t a l (10, 100, 1000 o. s. v.), att divisorn blifver ett helt t a l , hvarefter räk- ningeu utföres såsom b l i f v i t sagdt v i d före- gående exempel.
