Ämnet räkning i folkskolan.

(1)

Ämnet räkning i folkskolan.

1. I n l e d n i n g .

Under ofvanstående öfverskrift ämna v i med redaktionens tillåtelse i en följd af kortare uppsatser framlägga några åsigter, t i l l hvilkä v i k o m m i t under utarbetandet af en räknebok för folkskolan. Som t i d - ningens läsekrets b l i r satt i tillfälle att taga kännedom om denna räknebok, torde det ej vara olämpligt, om v i på ett eller annat ställe hänvisa t i l l den samma i syfte att närmare belysa och motivera planen för boken. Men trots detta sammanhang är det egentliga ändamålet med dessa uppsatser temligen fristående, näm- ligen att dels utreda, h v i l k a fordringar som må ställas på en räknebok för folkskolan, dels bestämma dessas relativa betydelse, dels ock tillse, huru de k u n n a med hvarandra förenas.

V i uppfatta det nästan som en skyl- dighet af den, som under utarbetandet, af en lärobok k o m m i t t i l l i någon mån sjelf- ständiga åsigter, att offentligen motivera dessa (såsom ock ofta sker utomlands medels en läroboken åtföljande broschyr) och sålunda bespara herrar lärare en all- t i d besvärlig och ofta fruktlös undersök- ning af, hvad som ligger t i l l grund för författarens framställningssätt. Ofta kan förordet lemna utrymme nog för en d y l i k motivering. M e n v i d en räknebok, som hufvudsakligen är exempelsamling, äro förf:s grunder alltför undangömda för att med lätthet k u n n a framletas. D e äro ej månge, hvilkas skaplynne tillåter dem, att studera en exempelsamling på samma sätt som en annan b o k ; men för öfrigt vore ej ens detta nog. T y förf:s stånd- p u n k t i hvarje f a l l , hans syfte med hvarje exempel (om sådant finnes), hans omdöme

om exemplets svårighetsgrad, j a ofta äfven.

riktigheten eller tydligheten af hans ut- tryckssätt, — a l l t detta k a n bedömas en- dast genom att taga hänsyn t i l l uträknan- det, och det medger ej tiden, då man. lä- ser eller ögnar i en bok.

Men de fleste lärare ega en erfarenhet och ett på denna grundadt omdöme, som sätter dem i stånd att, då en förf. säger:

»dm fordran har j a g velat efterkomma i det omfånget, och j a g har genomfört den på det sättet», — då genast säga sig sjelfva, om detta k a n vara värdt att pröfva i praktiken eller icke. U r denna synpunkt torde — det hoppas v i åtmin- stone — efterföljande uppsatser k u n n a betraktas som en objektiv utredning af, hvad förf. anser vigtigt för en folkskole- räknebok att iakttaga, och icke som ett försök att genom framhållande af sitt eget ställa föregångare eller medtäflare i skuggan; än mindre k a n det vara väl- mening att gå en upplyst och sjelfständig k r i t i k i förväg, t y en bok k a n j u bedö- mas äfven efter andra grunder än dem, efter h v i l k a den är utarbetad.

Efter dessa förberedande anmärkuingar öfvergå" v i t i l l sjelfva ämnet och torde då för dagen få som inledning t i l l de följande uppsatserna meddela några be- traktelser öfver

2. R ä k n e u n d e r v i s n i n g e n f ö r r o e h n u . Räkning var förr ett ämne, i h v i l k e t lärjungen fick trefva sig fram så godt han kunde med hjelp a f en eller annan anvisning a f läraren. M e n i samma mån som den fordran vann gehör, att läraren^

hvarenda timme igenom skulle vara le- dande och undervisande, ej blott rättande och öfvervakande, påyrkades äfven en annan form för räkneundervisningen. A f detta yrkande blefvo hvarken folkskolorna

(2)

eller de för dem afsedda räkneböckerna oberörda, Förut fick hvarje lärjunge oberoende a f kamraterna räkna framåt, tills han hann ut räkneboken; uu ville man ha alla, begåfvade och Idena, samman- hållna i ett räknelag. Detta senare var dock ingen principiell fordran, utan blott den naturliga följden af en annan, den nämligen, att lärjungen skulle k l a r t för- stå uppgiften och i sammanhang dermed kunna både uttänka och redogöra för lös- ningssättet. V a r hans förfarande förut ett ofta tanklöst trefvande efter lösnings- sättet, så blef det nu, ej i principen, men väl i tillämpningen, esomoftast ett skäli- gen osjelfständigt åhörande af, hvad lära- ren gick igenom eller hvad de bäste i klassen hade reda på.

Förut hade lärjungen t i l l ledning en dunkel föreställning om rätta sättet, v u n - nen derigenom, att läraren uträknat ett eller annat t a l för honom: denna före- ställning kunde möjligen b l i klarare exempel efter exempel och såluncla v i d slutet a f räknesättet vara t y d l i g och bruk- bar nog, om än skäligen mekanisk. M e n när han kom ut i lifvet,' stod han vanligen frågande och spörjande framfor äf- ven enklare räknefrågor, oviss om räkne- sättet och dermed äfven om, hvilken a f de magasinerade föreställningarna om olika räknefrågors uppställning och uträkning, som skulle kunna leda t i l l målet. L i k - visst var det ganska vanligt, att man redan v i d unga år genomräknat »hela Zweigbergk», och mekanisk räknefärdighet saknade i regeln blott den, som från bör- jan blifvit så ohjelpligt efter sina k a m - rater, att han derigenom mist intresset för ämnet: t y »metoden» var ej egnad att drifva någon fram mot. hans vilja.

Så långt om »det gamla sättet».

H u r u d a n a blefvo, i motsats härtill, de vanliga resultaten a f det utprägladt för- ståndsmessiga förfarandet. 1) Goda och dåliga hufvuden hunno ungefär »lika långt»: de förra kunde b l i ganska säkra i utredningen, de senare på sin höjd klena eftersägare. 2) På samma t i d som en medelmåttig y n g l i n g förut hann »räkna»

2 0 exempel, hann n u hela klassen att

»genomgå» 5: deraf följde, att den me- kaniska räknefärdigheten i a l l t för ringa grad uppöfvades. 3) E n annan, dock mindre gifven följd var, att lärobok och lärare med förkärlek sysselsatte sig med invecklade, hvarandra ej allt för l i k a uppgifter, emedan annars j u intet n y t t b l i f v i t att utreda (se t. ex. Phragméns räkne- böcker) : n u är det emellertid så, att exemplen ur lifvet vanligen äro ganska enkla t i l l sitt lösningssätt, och att derför den förståndsskärpa, som med tillkrång- lade, opraktiska uppgifter k a n utbildas, icke är värd, hvad det kostar att för- värfva den.

V i tro ej, att någon s k a l l kunna påvisa den ringaste öfverdrift i , hvad v i sagt om resultaten af de båda o l i k a förfaringssätten.

T i l l försvar för det nya anlitas ofta det

»axiomet», att hvad man en gång r i k t i g t förstått, det glömmer man aldrig. A c k , äfven j a g har länge lefvat i denna l y c k l i g a

föreställning, men många års erfarenhet ha tyvärr beröfvat m i g tron på »axiomet».

Naturligtvis afses här blott de läroan- stalter, der »förståndsmetoden» Varit någor- lunda fullständigt genomförd. Men detta har den ingalunda varit i folkskolan. Den har der ej ens t i l l sina grunddrag blifvit allmänt tillämpad. Orsaken härtill är den, att i det stora flertalet a f folkskolor på landsbygden läraren måste samtidigt syssel- sätta flera afdelningar och i följd deraf omöjligen kan egna så mycken t i d åt hvar- dera, som metodens ordentliga genomförande kräfver. H a n måste i vidsträckt omfång anlita tysta öfningar, och hans för hela klassen afsedda undervisning kommer då naturligast att bestå i dels förberedelser för dessa, dels sammanfattningar af det vetande, som genom dem bör hafva v u n - nits, — såvida nämligen icke läraren före- drager att låta lärjungarne gå framåt hvar för sig och sjelf blott sköter facit samt undervisar enskilda barn så långt tiden medger, d. v. s. i hufvudsak följer »det gamla sättet».

Normalplanens fordringar på läraren äro långt ifrån små eller lätta att efterkomma, särskildt hvad möjligheten att ordna de tysta öfningarna i räkning angår. Granska v i några a f de skenbart enklaste läsord- ningarna, å h v i l k a tyst öfning ärljetecknad, så finna v i vederbörandes mening vara, att en lärare, som har fyra klasser att samti- digt undervisa, skall använda tre timmar t i l l för alla fyra klasserna gemensam räk- neundervisning, medan deremot två klasser åt gången skola åtskilliga timmar i veckan sysselsättas med »tyst öfning» i räkning, under det läraren, undervisar de två öfriga klasserna i geometri eller läsning, natur- kunnighet, katekes, diktamensskrifning eller räkning v i d svarta taflan.

Men h u r u skall nu läraren bära sig åt för att förebygga alltför täta afbrott a f dem, som under sina tysta öfningar på- träffa exempel, som de ej kunna räkna.

De timmar, då han har alla fyra klasserna att gemensamt undervisa, kunna svårligen vara beräknade på att användas endast t i l l för- beredelser för alla de olika stadiernas tysta öfningar. E j heller skulle en t i l l f y l - lesgörande sådan förberedelse vara möjlig att åstadkomma. S k a l l åter läraren låta barnen hoppa öfver svårare exempel tills vidare och sedan å särskild t i d genomgå dessa-, b l i r ämnet för honom oskäligt be- tungande.

I hvad f a l l som helst kräfver ämnet a f honom en så - stor förmåga att indela t i - den och arbetet, att omtänksamt förbereda och snabbt kontrollera hvarje barns arbete, samt i det hela taget att sköta flera saker på en gång, utan att störas i det ena af det andra — en så stor förmåga, att den ej kan vara en v a n l i g företeelse, seminari- erna må n u fullgöra sin uppgift h u r u väl som helst.

Med hänsyn t i l l landsbygdens folkskolor måste derför räkneboken ha t i l l uppgift att befria läraren från så stor del som möjligt a f nyssnämda arbete. H u r u detta skall tillgå, b l i r en senare fråga, N u vilja v i blott fasthålla, att det svår-

ligen k a n ske genom blott och' bart ett närmande t i l l den förståndsmessiga metoden. Lägger boken eller undervisaren an på att för hvarje n y t t steg något skall finnas att utfundera eller utspekulera, så komma de mindre begåfvade barnen ingen vart under de tysta öfningarna. Dessa må- ste derför vara anlagda på utbildande af mekanisk räknefärdighet, h v i l k e t ej behöf- ver hindra, att åtskilligt annat a f värde kan komma med liksom få köpet.

Ofvan hafva v i velat påpeka, att de resultat, som i allmänhet vunnits medels

»förståndsmetoden» i de skolor, der den blifvit genomförd, ej äro så mycket värda, att folkskolan k a n anses vinna synnerli- gen mycket på undervisningens »höjande»

i j u s t den riktningen. Och då härtill kommer, att undervisandet a f en stor mängd barn på olika ståndpunkt nödvändiggör mera räknande, än metoden v i l l veta af, så tro v i oss berättigade att påstå, att i det stora flertalet af vårt lands folkskolor räkneundervisningen ej med fördel kan göras t i l l tankeexercis under lärarens kom- mando, utan bör blifva hufvudsakligen ett sjelfarbete under lärarens ledning och till- syn. Organisationen a f detta sjelfarbete få v i tillfälle att afhandla i det följande.

Förr frågade man vanligen alls icke, hvarför räkningen utfördes på det eller det viset, — och det var alldeles för HM.

Nu är man benägen att fråga hvarför så tidigt och så ofta, att frågan huru ej hin- ner b l i ordentligen besvarad, och detta är alldeles för mycket. Lagom måste ligga någonstädes mellan de båda ytterligheterna.

/. P. Veländer.

(3)

Ämnet räkning i folkskolan.

3. Räkneundervisningens mål.

S t o c k h o l m s folkskollärareförenings k o - miterade för g r a n s k n i n g a f läroböcker i a r i t m e t i k u t t a l a i sin k o r t a och goda framställning a f sina grundsatser en åsigt om räkneundervisningens mål, som v i ej utan v i d a r e k u n n a taga för g o d .

I n n a n v i närmare angifva skälen härför, böra v i nämna, att vår räkneboks n u färdiga förra hälft n j u t i t förmånen a f en g r a n s k n i n g i k o r r e k t u r u t a f två bland nämde komiterade, och a t t de ej f u n n i t skäl t i l l anmärkningar vare s i g m o t p l a - nen eller utförandet i dess helhet. I fråga o m planläggningen hade dock för- fattaren haft tillfälle a t t rådföra sig med dem, i n n a n arbetet renskrefs t i l l t r y c k - n i n g , och de förbättringar eller förtyd- liganden a f enstaka ställen, som de för- ordat, har förf. v i l l i g t och med nöje t i l l - lämpat. D e t l i g g e r under sådana för- hållanden nära t i l l hands att antaga, a t t o l i k h e t e n mellan förfis och komiterades åsigter o m räkneundervisningens mål ej k a n v a r a a f någon betydelse, åtminstone ej för räknebokens uppställning.

F ö r u t r e d n i n g e n a f våra åsigter o m den väg, på h v i l k e n målet k a n uppnås, är det e m e l l e r t i d a f v i g t a t t n o g g r a n t angifva vår u p p f a t t n i n g a f sjelfva målet, och det t o r d e då vara lämpligt och ledan- de t i l l ökad t y d l i g h e t att framhålla den åtminstone f o r m e l l a s k i l n a d , som finnes mellan nämda komiterades och våra egna åsigter i ämnet:

K o m i t e r a d e y t t r a (å sid. 5) följande, h v a r a f v i tillåta oss a t t k u r s i v e r a några u t t r y c k : » E n på pedagogiska g r u n d e r m e t o d i s k t o r d n a d u n d e r v i s n i n g i räkne- k o n s t e n såväl som i hvarje annat läro-

ämne åsyftar de i n t e l l e k t u e l l a förmögen- heternas och — hvad räknekonsten beträf- far — i synnerhet förståndets utveckling och tankekraftens stärkande. D e n åsyftar tillika att genom s i t t innehåll, så långt den det kan, föra eleven i n på de o l i k a områ- dena a f n a t u r e n och l i f v e t

samt

meddela tillräcklig öfning och färdighet i lösningen af den mängd olika räknefrågor, som det praktiska lifvet ställer på hvarje samhälls-

medlem. »

V å r ståndpunkt är n u k o r t e l i g e n deu, att det som här (måhända m i n d r e afsigt- l i g t ) står sist eller efter »samt», det v i l j a v i sätta i första r u m m e t , o a k t a d t v i antagligen i fråga o m förståndets u t - v e c k l i n g och tankekraftens stärkande både önska och f o r d r a det mesta m ö j - l i g a a f u n d e r v i s n i n g e n . Äfven v i äro a f den åsigten, a t t u n d e r v i s n i n g e n i hvarje läroämne bör b i d r a g a t i l l förstån- dets u t v e c k l i n g och tankekraftens stär- kande, men v i t r o ej, att detta bör u p p - ställas såsom främsta målet för något folkskoleämne, icke ens matematiken.

I det hela taget bör en k u n s k a p , som ej är lämpad efter det p r a k t i s k a l i f v e t s kraf, rätt fattade, anses vara a f r i n g a värde.

D e allmänna läroverkens v i g t i g a s t e p r a k - t i s k a u p p g i f t är att förbereda för u n i - versitetsstudier. D e n n a u p p g i f t s svår- förenlighet (ej oförenlighet) m e d o l i k a efter det dagliga l i f v e t s b e h o f afpassade afslutningskurser är en h u f v u d o r s a k t i l l , att nämda k u r s e r i allmänhet l e d t t i l l m i n d r e värdefulla resultat.

M e n . för f o l k s k o l a n föreligger i n g e n d y l i k »högre» u p p g i f t , som k a n öfva i n - flytande ens på något a f dess läroämuen.

A f kristendomsundervisningen f o r d r a r väl i n g e n , a t t den i första r u m m e t s k a l l u t - v e c k l a förståndet: leder den ej t i l l en k u n - skap, som är användbar i l i f v e t såsom

(4)

m a n i n g t i l l sedlighet eller s k y d d m o t frestelser, så anses den vara a f föga värde, äfven o m de inlärda l e x o r n a h u l - p i t barnet i g e n o m »nattvardsläsningens»

svårigheter. I modersmålet är v i s s e r l i g e n förståendet af, h u r u m a n bör säga och skrifva, o s k i l j a k t i g t från färdigheten i språkets både m u n t l i g a och s k r i f t l i g a användning, men i n s i g t e n k a n och bör b i b r i n g a s i och genom färdighetens u t b i l d - n i n g , och icke tvärtom: t e o r e t i s k i n s i g t i språklära, rättskrifningsregler och be- toningsregler är i och för s i g a f m y c k e t r i n g a värde för f o l k s k o l e b a r n , t y det är först på ett m y c k e t högre s t a d i u m (för mången ej ens uppnådt genom m o g e n - hetsexamen), som m a n eger förmåga att sjelf göra p r a k t i s k tillämpning a f det teoretiska vetande, m a n inhemtar. I historia är folkskolans u p p g i f t begränsad t i l l dels de sedligt stärkande föredömena af upphöjda karaktärer, dels kännedom om allmänt kända och derför i d a g l i g t samtal eller t i d n i n g a r ofta åberopade h u f v u d p u n k t e r i vårt f o l k s öden eller vårt samhälles u t v e c k l i n g — och båda dessa mål sammanfalla m e d det inlärdas p r a k - t i s k a användbarhet. Geografiundervisnin- gen i f o l k s k o l a n lär i n g e n vilja d r i f v a längre i r i k t n i n g a f föreställningsförmå- gans eller f o r m - och p r o p o r t i o n s - m i n n e t s u t b i l d n i n g , än som med inlärandet a f den för l i f v e t behöfliga kännedomen o m värt eget och andra länders n a t u r och f o l k , näringsgrenar och vigtigaste o r t e r är utan särskild t i d s u p p o f f r i n g förenligt.

Och att från naturkunniglietens r i k a om- råde gifva u p p l y s n i n g o m mera än det i p r a k t i s k t afseende närmast liggande kan ej ifrågasättas i f o l k s k o l a n . Åtmin- stone t y d e r normalplanens k u r s u p p g i f t alldeles bestämdt på en a f s i g t l i g begräns- n i n g t i l l det i l i f v e t användbara, då den samma upptager följande: »Beskrifning af de allmännaste naturföremål; m e n n i - skokroppens b y g g n a d och livsförrättnin- g a r ; läran om de v i g t i g a s t e naturförete- elserna; läran o m himlakropparne.» H v a d s l u t l i g e n geometri angår, så äro föreskrif- terna d e r o m sådana, a t t en på E u k l i d i s k t vis »tankestärkande» b e h a n d l i n g a f äm- net k a n anses r e n t a f förbjuden.

F i n n e s n u något skäl a t t låta ämnet räkning i f o l k s k o l a n intaga en undantags- ställning på sådant sätt, att hänsynen t i l l lifvets k r a f der anses m i n d r e v i g t i g än den allmänna förståndsutveckling, som m e d ämnets t i l l h j e l p k a n ernås? I n g a - l u n d a , så v i d t v i k u n n a se.

Om förståndsutvecklingen sättes i främ- sta r u m m e t endast t i l l gensaga m o t den gammaldags tanklösa utanläsningen a f samtliga folkskolans läroböcker, från kate- kesens subjekts- och predikatslösa svar t i l l språklärans och räknebokens regler, så hafva v i i sak i n t e t att invända. L i t e t e g e n d o m l i g t förefaller dock uttalandet genom sin k o n t r a s t m o t den t i l l »folk- t r o » v o r d n a och för visso a f många lärare delade åsigten, att ( u t o m kateke- sen) j u s t s k r i f n i n g och räkning äro de för l i f v e t v i g t i g a s t e , de p r a k t i s k t n y t t i - gaste a f alla folkskolans ämnen.

M e n v i återgå t i l l sjelfva saken. "•:

.. V i fråga då: A r tillräcklig färdighet i lösningen a f det p r a k t i s k a l i f v e t s räk- nefrågor en n a t u r l i g eller g i f v e n följd af ett u t v e c k l a d t förstånd och en öfvad t a n k e k r a f t ? Nej:. Nå, innebär då en för det p r a k t i s k a l i f v e t tillräcklig öfning och färdighet i lösningen a f räknefrågor den u t v e c k l i n g a f förståndet, som a f den åt ämnet anslagna t i d e n är a t t påräkna?

Ja, den k a n och bör göra det. D e t t a b e r o r å ena sidan deraf, att för förstån- dets u t v e c k l i n g ingenting behöfver medta- gas, som ej tillika är nyttigt för lifvet, och å andra sidan deraf, a t t det n y t t i g a som behöfver läras är så mångahanda och dess inlärande kräfver så stor och sä o l i k a r t a d förståndsöfning, att derutöfver i n t e t v i d a r e h v a r k e n behöfver eller i regeln h i n n e r medtagas. Särskildt i det sistnämda fallet v o r e det en misshus- hållning m e d t i d e n , o m något a f den p r a k t i s k t n y t t i g a öfningen åsidosattes för a t t på annan väg v i n n a en förståndsut- v e c k l i n g , som b o r t k u n n a på samma t i d medhinnas jemte det p r a k t i s k t n y t t i g a .

Förstånd och o m d ö m e utvecklas bäst och mångsidigast på i u d u k t i v väg, ge- n o m samlande, ordnande, jemförande och bedömande a f erfarenhetsrön, det v i l l här säga: genom a t t sysselsättas m e d f a l l u r l i f v e t , exempel u r v e r k l i g h e t e n . Invänder man, Ä t det förr v a n l i g a räk- nandet a f massor a f exempel lät förstån- det förblifva t e m l i g e n o u t v e c k l a d t , så svara v i , att detta v a r t i l l stor del sjelfva exemplens f e l : hade dessa v e r k l i g e n v a - r i t sådana de möta i l i f v e t , f u l l t k o n - k r e t a och åskådligt framstälda, inbjudande lärjungen a t t tänka sig i n i situationen och fästa s i g v i d de lemnade mått- och p r i s u p p g i f t e r n a , för öfrigt intressanta och mångsidiga, omvexlande, små och lätt uträknade, i stället för a t t vara h o p k o n - struerade efter några gifna räknesätts- schemata, abstrakta, d u n k l a och skefva, främmande for lärjungens erfaremhet och tröttande h o n o m genom väldiga t a l , bråk som v i d p r e s t v a l och en själlös erfarenhet, som måste hos h o n o m väcka i n - t r y c k e t af, a t t han b l o t t hade a t t köra i samma hjulspår, så länge räknesättet varade, — då hade säkerligen förstånds- u t v e c k l i n g e n b l i f v i t påtaglig.

F ö r öfrigt neka v i v i s s t icke, att »tanke- kraften» m e d framgång k a n stärkas på en mera abstrakt väg, men på f o l k s k o - lans s t a d i u m t o r d e detta ej vara a t t t i l l - råda: regeln från det empiriska till det rationella betecknar en n a t u r l i g och än- damålsenlig utvecklingsgång, h v i l k e n d o c k den lärare, som gör förståndsutvecklin- gen t i l l ett fristående mål, löper fara a t t rubba. D e t kan j u hända, a t t det som på ett lägre s t a d i u m är tidsödande och o p r a k t i s k t , t . ex. det från räknefärdig- heten väsentligt åtskilda teoretiska förstå- endet, af räkneoperationernas natur, g r u n - der och i n r e sammanhang, k a n på ett annat stadium, då den erforderliga m o - genheten är uppnådd, vara så t i l l v i d a p r a k t i s k t , som det då k a n utgöra ett fullständigande, redande och klargörande

a f redan v u n n a i n s i g t e r , h v i l k a sålunda fastas säkrare i m i n n e t och i högre grad b l i lärjungens andliga egendom: m e n den lärare, som sätter förståndsutvecklingen i främsta r u m m e t , är ock frestad att på d y l i k a i n s i g t e r lägga otillbörlig v i g t i förtid. . ' ,

Fasthåller man, att räknefärdighet och förståndsutveckling böra uppnås på samma gång och m e d samma medel, så kan det vara l i k g i l t i g t , o m de nämnas som sidoordnade eller ettdera sättes i främsta r u m m e t . M e n dels a f de skäl v i ofvau anfört eller a n t y d t , dels för a t t v i n n a en nogare bestämd utgångspunkt för några följande u t r e d n i n g a r , är det d o c k a f v i g t a t t v i , i e n l i g h e t m e d vår öfvertygelse, angifva räkneundervisuingens mål så- lunda:

1) förmåga att räkna säkert och rätt;

2) öfning att tänka sig det gifna fallet med alla på svaret inverkande biomständig- lieter;

3) färdighet alt lösa eller uträkna sålunda genomtänkta uppgifter från det allmänna p-aktiska lifvets (ej specialyrkenas) olika områden; och

4) klar uppfattning af de fyra räknesät- tens natur och inbördes sammanhang samt, om sä medhinnes, af öfriga mera kombi- nerade eller ur formler framgångna lösnings- sätts härledning ur de förstnämda.

D e n första u p p g i f t e n anse v i v i g t i g a s t och den andra nästan v i g t i g a r e än den tredje, m e n den fjerde m i n s t v i g t i g .

V å r begränsning a f målet är, t r o v i , alldeles den samma som S t o c k h o l m s k o - miterades. D e t är b l o t t i uttryckssätten och i fråga o m ordningsföljden v i afvika från dem. J . P. Veländer.

(5)

Ämnet räkning i folkskolan.

Af J. P. Veländer.

4. M e d e l a t t nå målet.

D e t a f räkneundervisningens mål, som v i stält i främsta rummet, eller säkerheten i sjelfva uträknandet, är i vår tanke ej blott så vigtigt, utan äfven så svårt att uppnå, att man ej kan taga för gifvet, att det s k a l l vinnas endast genom mycket räk- nande. Somliga barn räkna fort och slarfvigt, andra långsamt men säkert; endast få räkna både fort och väl, h v i l k e t dock a l l a borde lära. T y denna förmåga både k a n och bör vinnas i och med inlärandet af de fyra räknesätten i hela t a l och medels uppgifter, som i allmänhet innehålla blott små eller lätthandterliga t a l .

Några a f de mest använda tyska räkne- böckerna för folkskolan röja i detta stycke en hänsynslöshet mot barnens intresse, ett åsidosättande a f regeln att »lusten s k a l l drifva verket», j a en omensklighet, som endast k a n ha sin grund i att förf. ej i förväg gittat utröna, hur mycken möda, j a

»vedermöda», som deras orimligt dryga uppgifter måste vålla barnen, utan samman- hopat en mängd siffror på slump och sedan lugnat sitt samvete med, att barnen skola vänjas v i d ihärdighet, arbetsamhet, under- gifvenhet och andra kristliga dygder, ej besinnande att man för att nå dessa höga mål måste börja i rätta ändan, — måste börja med att väcka arbetslust och sporra t i l l ihärdighet*, men icke genom att för- störa det l i l l a gry i denna r i k t n i n g , som k a n finnas hos ett barn. B a r n kunna visserligen ha öfverflöd på energi, lifskraft

* V i d genomläsande af- det här skrifna k o m - mer förf. att tänka på det för a l l a lärare väl- kända läseboksstycket »Ihärdighet» med dess pedagogiskt värdefulla, här omedelbart tillämp- liga m o r a l .

och uthållighet (i l e k t. ex.), men de måste hafva sysselsättningen lämpligt uppdelad, och helst äfven a f omvexlande slag.

Tänkom oss ett barns känslor, då det suttit och »tröskat» en hel timme med en taflan fyllande additions-, multiplikations-, eller divisions-uppgift, och ändtligen får mödans lön i och med lärarens svar: »fel på två siffror; räkna om det igen!» O, I räkneboksförfattare, som fyllen sidorna med dylika, a l l barnslig lifaktighet öde- läggande uppgifter!

Om ändå lärarne hade t i d , klokhet och omtanke nog — j a , rättighet med, förstås!

— att öfva rysk censur på siffermassorna och med ogenomskådlig trycksvärta öfver- smeta dem!! I åtskilliga af våra svenska räkneböcker finnas t. ex. i m u l t i p l i k a t i o n tjogtals exempel sammanfösta, hvilkas facit är mer än tiosiffrigt, j a mest 14—15-siffrigt (16—20-siffriga resultat förekomma äfven!), och det är rent a f sällsynt att finna en förf., som principielt lägger an på små t a l . Stockholmskomiterade göra det emellertid, och Nyström har — möjligen i följd a f deras uttalanden — i sin nya bok för folkskolan framlagt välbehöfliga exempel på praktisk reduktion a f förut oerhörda exempel.

Någon falsk föreställning måtte emeller- t i d ligga t i l l grund för denna användning af stora t a l . Antagligen inbillar man sig, 1) att det är »svårare» att räkna stora t a l , och 2) att det j u s t derför är rätta sättet att vinna »säkerhet». D e t förra är skeft, det senare är grundfalskt. Det är i och för sig icke »svårare» att multiplicera 7 med 9 och hålla reda på minnessiffrorna å ömse sidor, om 7 står i midten a f ett nio-siffrigt t a l , än om 7 står m i d t i ett tresiffrigt:

men den stora uppgiften är mera enformig och intresselös, mera ansträngande, tröttande och förslappande, än den mindre; den inne-

(6)

håller intet enda öfningsmoment, som ej kan vinnas medels ett motsvarande antal små räkneuppgifter, men den innehåller rätt mycket idislande a f sådan öfning, som barnet ej behöfver.

Säkerheten i uträknandet beror a f va- kenhet, som är raka motsatsen t i l l den trötthet, som de stora och långa exemplen framkalla. Får barnet ett exempel af tio orätt, så är det i regeln genast färdigt att utplåna det l i l l a felet genom en omräkning:

»det s k a l l snart vara gjordt!» tänker det, och griper sig h u r t i g t an. M e n låt det få en siffra i en rad a f t i o orätt, så k a n det ej vara oförnuftigt nog att tänka på samma t i l l i t s f u l l a sätt. Och antag sedan, att felet berott a f att det »fått för sig», att 9 x 7 är 56, medan det haft a l l t annat redigt och k l a r t för sig, så s k a l l det omtugga a l l t det öfriga, dröja v i d och spana efter fel på a l l a håll, misstänka osäkerhet v i d hvarje siffra, utom möjligen v i d 9 x 7 (ty en oriktig föreställning upprepar sig lättast, om den kommer i n i samma tröga, långa tankeserie som förut!) — och sålunda kan barnet ej undgå att känna sig straffadt för en raskhet, som i och för sig är en dygd och som kanske alls ej v a r i t orsaken t i l l det begångna räknefelet. Raskhet och slarf äro nämligen vida åtskilda. D e n förra bör uppmuntras, det senare stäfjas och straffas.

Räkneundervisningen lemnar osökta t i l l - fällen t i l l bådadera.

Det finnes, tro v i , blott två förhållanden, som k u n n a göra stora t a l i viss mån be- rättigade: det ena är deras användbarhet t i l l »proftal», d. v . s. t i l l pröfning af redan vunnen säkerhet, ej t i l l vinnande a f sådan;

det andra är deras relativa brukbarhet v i d tysta öfningar för mera försigkomna barn.

Det är nämligen nödvändigt, att materialet för de tysta öfningarna någorlunda räcker t i l l , så att ej läraren b l i r a l l t för mycket upptagen af de barn, som skulle sköta sig sjelfva. M e n äfven för detta ändamål böra de ej anlitas, förr än barnet är så pass säkert, att det ej känner sig modstulet eller ryggar tillbaka, för de stora siffrorna; och de k u n n a då möjligen hafva det goda med sig, att de f r a m k a l l a den med verkligheten öfverensstämmande föreställningen, att äfven dryga och besvärliga räkneuppgifter kunna förekomma, ehuru de jemförelsevis sällan göra det. M e n v i d resultatens bedömande bör läraren a l l t i d taga hänsyn t i l l , om felet sannolikt beror af straffvärdt slarf eller a f förlåtligt misstag. ,

T i l l motarbetande och naturenligt be- straffande a f slarf hafva v i å omslaget t i l l vår räknebok (egentligen facithäftet) tillrådt herrar lärare att vänja lärjungarne v i d att pröfva talen medels uträkning på olika sätt.

D e t t a är nämligen j u s t det slags garanti, som i det praktiska lifvet tillämpas, och den är a f sådant slag, att lärjungarna böra i god t i d vänjas dervid. Dessutom har detta extra arbete det goda med sig, att det k a n tillämpas j u s t i de f a l l , då det behöfves, och för de barn, som göra sig skyldiga t i l l slarf. H u r u v i tänkt oss denna tillämpning, derom upplyser nämda omslagsmeddelande fullständigt nog.

* *

Den andra a f räkneundervisningens upp- gifter var att vänja lärjungarne att tänka sig det gifna fallet med alla på svaret in- verkande biomständigheter. D å man fordrar åskådlighet i undervisningen, är det j u s t det stora pedagogiska värdet a f k l a r a och t y d l i g a föreställningar man betonar: men åskådligheten är ej mindre vigtig för fram- kallande af fullständiga, allsidiga föreställ- ningar. D e n skematiska framställningen har sitt stora värde j u s t genom sin större klarhet och tydlighet; den utgör ett fram- hållande a f hufvudsaken med åsidosättande af bisakerna: men dermed får man ej låta sig nöja.

Visserligen finnas områden, särskildt geografiens och historiens, inom h v i l k a fullständiga föreställningar ej stå att vinna annat än rent undantagsvis; och det är ett sjelf bedrägeri, fast ganska' vanligt, att tro motsatsen. På andra områden »beror det på hur man tar det». Men två områden finnas, der föreställningarnas fullständighet är grundväsentlig: det logiska och det tek- niska. O c h det är a f dem det p r a k t i s k a , lifvet närmast beror. Förbiseendet a f en skenbart oväsentlig biomständighet k a n göra en storartad och snillrik uppfinning, l i k a väl som den enklaste modell odugliga för sitt ändamål. Och värdet a f ingeniörs- praktik ligger j u s t i den öfning man får

att taga biomständigheter med i räkningen.

H v a d åter logiken angår, så är det en vidskepelse att tro, att dess teoretiska stu- dium är tillräckligt t i l l att göra en menniska logisk: det är den praktiska t i l l - lämpningen a f logiken, på h v i l k e n snart sagdt a l l t hänger. Och det förhållandet, att logiska menniskor äro så oerhörd^ sällsynta, kan ej ursäktas med att så få fått studera logik. E n skematisering a f de tänkandets regler och lagar, som äfven enfaldigt folk r i k t i g t tillämpar, är ej så öfverdrifvet vig- t i g ; men det som behöfs är 1) vana att samla förutsättningarna (premisserna) f u l l - ständigt, innan man drager sina slutsatser, 2) förmåga att bedöma förutsättningarnas inbördes v i g t och ordna dem derefter, och 3) öfning att oförvillad a f känslostämningar och fördomar draga r i k t i g a slutsatser ur de samlade och ordnade förutsättningarna.

I de allmänna läroverken torde d y l i k a logiska öfningar' förtjena en plats, anordnade enligt grundtanken i Landtmansons l i l l a stilistik, som är uppdagande och rättande af felaktigheter i en samling valda exempel (uppslag t i l l d y l i k a samlingar finnas åtmin- stone inom engelska literaturen): men i folkskolan får man nöja sig med de t i l l - fällen, som öfriga ämuen erbjuda att se logiken t i l l godo. Och bland dessa ämnen står räkning främst.

I samma mån som räkning göres t i l l en a l l t igenom praktisk disciplin och sättes i direkt samband med verkligheten och lifvet, i samma mån b l i r dess praktiskt logiska betydelse a l l t större. D e t är naturligtvis förståndsodlande att tillämpa en gifven regel; men det är än mera förståndsodlande att uttänka både hvad som är att tillämpa och h u r u tillämpningen bör göras, — och det är denna öfning som för lifvet är a f vigt. För att förmå barnet dertill, måste

läraren och läroboken samverka. Läraren bör tillse, att lärjungen fasthåller alla sakens detaljer, och en sådan fråga, som: »Gör det någonting t i l l saken, om — — ? » är ofta på sin plats i lärarens mun. Orim- liga eller bristfälliga exempel k u n n a härvid gagna rätt mycket, om nämligen läraren låter sig angeläget vara, att påvisa både hvad som utgör felet och hvarför det är ett fel. Jag tror ej ens, att läraren hör eller behöfver draga sig för att mästra eller kritisera den räknebok, som barnen använda, — men det må lemnas åt en hvars godtfinnande. Hufvudsaken är att barnen få lösa ett tillräckligt antal goda och lämpliga uppgifter.

Anskaffandet a f dessa uppgifter åligger naturligtvis i första hand räkneboken. Men lämplig är ej hvarje uppgift, som är matematiskt r i k t i g . D e n måste äfven ligga barnets erfarenhet så nära, att det kan tänka sig det beskrifna fallet såsom verk- l i g t eller måla det i sin föreställning med f u l l åskådlighet och k l a r h e t : h v i l k e t ingalunda ' behöfver .hindra utan tvärtom bör bidraga t i l l , att lärjungens erfarenhet oupp hörligen utvidgas genom d y l i k a uppgifter.

V i d a r e måste både t i l l innehåll och form uppgiften vara så konkret som möjligt, enär den eljes frestar lärjungen att fästa sig blott v i d siffrorna: hellre Änders och Bengt, än A . och B . , hellre ett uppdiktadt, alldeles specielt f a l l , än ett generelt; hellre

»en trädgård i form a f en qvadrat», än endast »en qvadrat»; hellre »vägen mellan Stockholm och Upsala», än »vägen mellan två ställen»; hellre en hjulring än en cirkel o. s. v. Men derjemte alltigenom en naturlig utgångspunkt i hvarje exempel!

E n sådan början som: »En man köpte en sak för ^ och en annan för en i af sin kassa — — » synes oss alldeles för- kastlig för ett ö/wm^sexempel på det stadium, der d y l i k a pläga förekomma. Det kan ej vara folkskolans uppgift att utbilda klyftighet i lösande af räknegåtor eller det slags fintlighet, som består i att baklänges nysta upp abstrakta och opraktiska eqva- tionsproblem. M a n har knappast rättighet att krångla med d y l i k t , så länge vigtiga och mera förståndsodlande uppgifter i mängd finnas, som barnet ej lärt att lösa.

Slutligen måste en »lämplig» uppgift u p p f y l l a ännu en fordran: den får ej taga något för gifvet, som ej är gifvet, ej ute- lemna eller underförstå något, hvarken af slarf eller af »beräkning» att barnet nog ändå förstår meningen. M o t denna regel pläga regula de tri-exemplen synda fruk- tansvärdt och dermed ovilkorligen bidraga t i l l vana v i d slarfvigt och ofullständigt uttryckssätt äfven hos barnet. D e t fins räkneböcker, i h v i l k a k n a p p t h v a r t tionde regula de tri-exempel är f u l l t korrekt, och det är sällsynt att i en räknebok hälften af dithörande uppgifter hålla streck. D e t vanligaste felet är, att man tager för gifvet, att en vara säljes t i l l samma pris i parti och i minut. M e n äfven uppenbara orim- ligheter söker man i n b i l l a barnet, såsom att 6 man, som arbeta 12 t i m m a r om dagen, böra medhinna l i k a mycket* som 9 man med 8 timmars arbetstid eller 18 med 4.

(7)

Första v i l k o r e t för att en uppgift skall få lösas med regula de t r i (hvilket dock i lifvet inträffar nästan blott v i d ränteräkning) är att verklig prqportionalitei skall vara för handen: detta skulle barnet lära sig inse och undersöka, och uppgiften måste vara sådan, att svaret på denna första fråga ej kan b l i tvifvelaktigt.

* *

V i hafva härmed påpekat några förhål- landen, som enligt vår mening ej få lemnas åsido, om man v i l l med räkneunder- visningen uppnå de två mål, som v i stält i första och andra rummet. H v a d vårt tredje mål eller förmågan att lösa uppgifter från • det praktiska lifvets olika områden angår, så sammanhänger denna förmåga naturligtvis ganska nära med hvad v i ofvan framstält, men b l i r derjemte resultatet a f hela exempelsamlingens innehåll å ena sidan och metodiska planläggning å den andra;

och härtill återkomma v i i det följande.

B l o t t ett moment må här påpekas såsom temligen förbisedt, ehuru v i vilja läsa en antydan derom i Stöckholmskomiterades o r d :

»föra eleven i n på de olika områdena a f naturen och lifvet» *. Exemplen böra näm- ligen innehålla sådana uppgifter ur naturen och lifvet, som äro värda att lägga på minnet.

A l l a sifferuppgifter böra vara ej blott rimliga, utan så v i d t möjligt är äfven sanna.

På det sättet skulle räkneboken kunna b l i både för läraren och barnen en l i k a t i l l - förlitlig bok som geografien, historien eller naturläran: dess a l l a uppgifter skulle vara l i k a nyttiga att lägga på minnet, och droge man fördel häraf, skulle man redan från skolan föra med sig ut i lifvet en hel del vetande a f det slag, som eljes måste för- värfvas sedermera medels långsamt och ofta d y r t samlande a f erfarenhet.

H v a d slutligen insigten i räknesättens grunder och inre sammanhang angår, så tro v i , såsom redan förut nämts, att man bör gå från det empiriska t i l l det ratio- nella, alltså visa först och förklara sedan.

I första årskursen v i l j a v i derför inrymma endast anvisningar t i l l uppställning och ut- räkning, och dessa anvisningar böra sluta sig t i l l bestämda, valda exempel samt få ej ha formen a f abstrakta redogörelser för huru man bör bära sig åt. Först i andra årskursen kommer utredningen a f räkne- sättens grunder, och äfven der bör den genomgående stödja 'sig v i d exempel, som skola" utgöra både bevisnings- och tillämp- ningsmaterialet.

A t t insigten på detta sätt k a n b l i säker är otvifvelaktigt, men den utgör dock ett vetande a f temligeu fristående art. V i ha nog litet hvar lärt oss t. ex. division utan

* Det finnes dock Områden, som helst må lemnas å sido. E l l e r h v a d säges o m följande exempel i en af våra mest använda räkneböc- ker: » R . hade i kassan 28,05 kr., då h a n satte sig ned att spela w h i s t ; u t i hvarje p a r t i för- lorade h a n 4,77 kr.» (underbara ödets skickelse!);

»till h u r u många p a r t i g r räckte penningarne?»

— Det följande exemplet är ännu u n d e r b a r a r e : der v i n n e r R. i hvarje w h i s t p a r t i 8,4 k r . 7 gån- ger, och förlorar l i k a regelbundet 9,6 k r . 6 gånger.

att få reda på dess samband med eller utveckling ur de föregående räknesätten;

och vårt vetande i sistnämda stycken spelar ingen märkbar r o l l , då v i verkställa en division. För detta vetande bör derför intet annat a f större v i g t uppoffras. M e n vid sidan af detta andra och t i l l afslut- ning af det hela eger insigten i räknesät- tens teori sitt f u l l a berättigande.

Må man blott icke förvexla denna teori med den mycket underordnade och relativt ovigtiga mnemotekniska färdigheten att under uträkningens hela förlopp hålla reda på siffrornas valör a f hundratal, tusental o. s. v., — en förvexling h v a r t i l l Seger- stedts metodiska anvisningar i anmärknings- värd grad göra sig skyldiga. Äfven detta må j u komma med, men hvarken som hufvudsak eller' som något öfver a l l t annat stående matematiskt vetande. D e t k a n j u öfvas en och annan gång och helst med hjelp af små t a l ; men a f dess utförande i detalj eller tidsödande och ansträngande tillämpning, t. ex. v i d mångsiffriga divisions- uppgifter, kan ej stort mera gagn vinnas, än som genom fasthållande a f den allmän- giltiga regeln, att hvarje siffra har tio gånger större värde än siffran närmast t i l l höger, kan på v i d a genare väg ernås.

Rättelse. I föregående uppsats o m »Råkne- undervisningens måh förekommer k n a p p t en spalt från slutet ordet erfarenhet i stället för enformighet. Der skulle nämligen talas o m exempel, »främmande för lärjungens erfarenhet och tröttande h o n o m genom väldiga t a l , brak som v i d prestval och en själlös enformighet, som måste hos h o n o m väcka i n t r y c k e t af att h a n b l o t t hade att köra i samma hjulspår, så länge räknesättet varade».

(8)

Ämnet räkning i folkskolan.

A f J. P. Veländer.

5. E x e m p l e n s i n d e l n i n g - i k o n k r e t a o c h a b s t r a k t a .

V i hafva i det föregående både af hand- lat räkneundervisningens mål och fram- hållit några medel att nå målet, men anse oss behöfva ytterligare dröja något v i d de uppgifter, som öfningsexemplen ha att fylla, eller v i d hvad v i k a l l a t exemplens funktioner, innan v i öfvergå t i l l den närmare undersökningen a f h v i l k a fordringar en exempelsamling har att uppfylla.

Man talar ofta om abstrakta och konkreta exempel såsom motsatser t i l l hvarandra, och man plägar äfven taga för gifvet, att de konkreta äro »lättare» och derför böra föregå de abstrakta. V i d framställandet af denna senare fordran har dock näppe- ligen någon gifvit den sådan allmängiltig- het, som en välkänd räkneboksförfattare, hvilken — måhända afsigtligt — bevisade

»lärans» orimlighet genom att redan i addition sätta alla sina 50 delvis både v i d - lyftiga och svåra »konkreta» exempel fram- för exemplet 1 + 2 + 3 + 4 ! Och detta enkla exempel föregås närmast a f ett så inveck- l a d t »fall ur lifvet», att dess blotta rela- terande upptager 13 (säger tretton) f u l l a rader och dess uträkning kräfver både addition, subtraktion och — åtminstone en ytterligare upplysning t i l l a l l a dem, som finnas i exemplet (detta är också a l l t igenom bygdt på glömska!). /. , •

Med sådana skräckbilder för ögonen ön- skar naturligtvis en k v a r en uppdelning af både de konkreta och de abstrakta exemplen efter svårighetsgraden, så att det hela b l i r deladt i små grupper,- a f h v i l k a dock hvar> och en skulle börja med konkreta exempel. M o t denna fordran ha v i j u s t ingenting att invända, enär den med lätt-

het låter sig förenas med h v i l k a andra grunder som helst för en exempelsamlings ordnande: den är alltså åtminstone oskad- lig, och den k a n möjligen i åtskilliga f a l l vara helsosam. Men berättigad finna v i den dock icke, och det a f följande skäL

Först och främst kunna v i ej • godkänna exemplens indelning i konkreta och abstrakta,- enär denna indelning synes '• oss både oklar och oegentlig. V a n l i g e n in*

lägger man i uttrycket »konkreta exempel»

blott meningen »exempel med benämda tal», och då menar man med abstrakta blott rena sifferexempel. Denna skilnad är dock alldeles för oväsentlig för att tjena t i l l i n - delningsgrund. N a t u r l i g t v i s är talet 2 en abstraktion i jemförelse med två äpplen;

men hvarje större antal b l i r en abstraktion, så snart nämligen ej enheterna kunna sam- manhållas ' i föreställningen med f u l l t y d - lighet. Undervisningen k a n väl medels åskådliggörande af ett och annat mellan- liggande slå en brygga från det f u l l t verk- liga t i l l det blott tänkta, men endast ett mycket ringa antal storheter k a n den fram- visa i f u l l t konkret skick.

Endast undantagsvis k a n , något så a l l - dagligt som 12 kronor konkretiseras v i d undervisningen: det skulle vara medels fram- visande a f 12 enkronor, t y en t i a och en tvåkrona ihop innebure en betydande abstraktion, ehuru å andra sidan denna vore ganska lätt p å . grund a f barnets redan v u n n a erfarenhet om m y n t . M y n t torde nämligen af alla sorter vara de, som barnet lättast k a n göra sig reda för. De vanliga längdmåtten äro redan svårare.

A f ytmåtten och rymdmåtten k a n man med knapp nöd visa de vanligaste; i , en• skema- tisk f o r m : »en kanna (eller en liter) är så mycket, som k a n f y l l a detta måttet», får man nöja sig med att säga och öfverlåta åt lifvets erfarenhet att lära barnet, hur

(9)

mycket en kanna är i en mjölkbunke, en v a t t e n k r u k a eller en soppterrin. Öfver- gången från den rent qvadratiska ytan, som sällan förekommer i verkligheten, t i l l så- dana ytor, som skola mätas eller uträknas, kräfver mycken öfning i abstraktion. V i g t - enheterna k a n man ej konkretisera medels utveckling a f känslan a f tyngd (det får öfverlåtas åt lifvet!), utan man får nöja sig med en b i t a f en viss metall och af former, som för barnet utestänga nästan all beräknande jemförelse mellan olika vigter.

I det stora hela äro v i i dessa stycken l i k a stälda som matgästerna på ett värdshus, för h v i l k a den enda påtagliga skilnaden mellan hel- och halfportionerna är — t a l l - rikarnes o l i k a utseende. V i behöfva något yttre, ofta helt oväsentligt att liksom fästa det abstrakta v i d , och v i taga hvad som ligger närmast: men detta är — förunder- l i g t nog! — i de allra flesta f a l l sjelfva siffran. E t t litet antal a f lämpliga enheter, som k a n både öfverskådas och samman- fattas t i l l en t y d l i g föreställning samt så- som sådan fasthållas i minnet — detta är det f u l l t konkreta. M e n det är alls icke gifvet, att uppgiften b l i r konkretare derigenom, att en eller annan sort utsattes efter siffrorna: tvärtom k a n detta öka abstrak- tionen. 1 + 2 + 3 är ovedersägligen en abstrakt uppgift, men en sammanräkning a f 12 gossar och 13 gossar är i följd a f talens oöfverskådlighet minst l i k a abstrakt. For- dran att det konkreta bör föregå det ab- strakta ( i den mening som orden pläga tagas), synes oss derför ojäfaktig endast då fråga är om de allra första talföreställ- ningarnas utveckling hos barnen: men antagligen k a n den gagna äfven högre upp derigenom, att den förmår läraren att lägga sig v i n n i n g om åskådlighet i sin undervisning.

»Stycketalsräkning» förefaller i regeln barnen enklare än egentliga sorter: hvarför?

Om en dag hafva barnen i allmänhet en ganska konkret föreställning, och skolbarn nog också om en timme: men om dygn, minuter, månader eller år? E l l e r om en bok papper, ett. tjog ägg eller ett gross knappar? Talstorheten härvidlag uppfattas för visso i de allra flesta f a l l endast med tillhjelp a f talens ordningsföljd: och denna är någonting ganska lättfattligt på samma gång som den är någonting för alla t a l och i a l l a förhållanden användbart och derför snart nog innötes grundligt och göres t i l l barnets egendom i högre grad än räkne- undervisningens mesta öfriga innehåll. V i veta, h v i l k a t a l som ligga närmast under och närmast öfver 35, och dermed upp- bygga v i vår föreställning om 35, då detta tal namnes: så göra ock ba r r l e D> så snart de lärt sig att »räkna så långt», d. v. s.

uppräkna talen i ordning från 1 .

Med denna utredning, som nog k u n n a t b l i konkretare, om utrymmet medgifvit oss att ur en räknebok, h v i l k e n som helst, citera en bundt skenbart konkreta, men i sjelfva verket mycket abstrakta öfnings- exempel, hafva v i egentligen haft för afsigt att frigöra oss (och andra) från den i vår tanke olämpliga indelningsgrunden. Frågan

b l i r då närmast, om någon annan natur- ligare finnes att sätta i stället. E n sådan måste påtagligen hvila på en undersökning af frågan, h v i l k a olikartade svårigheter olika exempel erbjuda, eller genom h v i l k a svå- righeters öfvervinnande exemplen verka utbildande. D e t t a b l i r å andra sidan nästan det samma som a f h v i l k a olika sidor räkne- färdigheten utgöres, enär a l l a dessa sidor måste vederbörligen öfvas, om det s k a l l b l i något helt och dugande a f öfningen.

6. E x e m p l e n s i n d e l n i n g e f t e r f u n k t i o n e r . Taga v i ett vanligt exempel u r verkligheten och undersöka hvad som fordras för att lösa eller uträkna en sådan uppgift, så få v i t i l l resultat: 1) förmåga att göra uppgiftens innehåll klart och åskådligt för tanken; 2) förmåga att tänka ut sättet alt lösa frågan; och 3) förmåga att utföra sjelfva räkningen.

Den förstuämda förmågan utgöres dels a f tankereda, dels (särskildt v i d exempel u r böcker) a f språkliga insigter. T i l l tanke- redan hörer äfven att k u n n a afgöra, om exemplet upptager a l l t som behöfves för uppgiftens lösande. Och t i l l den språkliga insigten hör ej blott uppfattandet a f meningen i dess helhet, utan äfven kännedo- men om de använda termernas och uttryc- kens betydelse, de må vara hemtade från matematikens område eller från andra håll.

A t t denna förmåga är ytterst v i g t i g för lifvet, att den förutsätter en mångsidig för- ståndsodling och endast genom en sådan kan utbildas, och att den slutligen är en väsentlig sida a f förmågan att lösa räkne- uppgifter, — detta torde hvarje lärare inse och erkänna.

Hvarför då icke lägga an på dess utbildande j u s t under och i sammanhang med räkneöfningarna ? Ja, hvarför ej göra detta t i l l en oeftergiflig fordran på en god exempelsamling? D e t var j u s t den saken man förr försummade, och j u s t denna för- summelse var skuld t i l l den vunna räkne- färdighetens ringa användbarhet i lifvet.

Visserligen kan åtskilligt annat än lämp- liga räkneuppgifter bidraga t i l l nämda för- mågas utbildande: men det måste a l l t i d leda t i l l uppoffring af t i d och krafter, om det som står i ett organiskt och nära sammanhang med hvartannat s k a l l läras h v a r t för sig, och gagnet a f det som läres b l i r vanligen äfven mindre derigenom.

När emellertid sjelfva uppgiften är ge- nomskådad och uppfattad, kommer turen t i l l förmågan alt tänka ut lösningssättet.

Detta är tydligen en alldeles ny sida af räkneöfningen, visserligen beroende af, men alls icke sammanfallande med den förra.

Här är det fråga om att gifva formelt ut- t r y c k åt hvad man redan uppfattat, eller, för att använda ett vanligt uttryck, att

»uppsätta» talet. H v i l k e t eqvationspro- blem som helst är egnadt att visa, huru- som »uppsättandet» är något för sig f r i - stående, oberoende l i k a väl a f förmågan att hyfsa och lösa eqvationen som a f för- mågan att förstå sjelfva problemets orda- lydelse.

Men v i behöfva ej gå så långt för a t t

finna' exempel i mängd. E t t barn, som t. ex. mycket väl k a n i hufvudet saniman- lägga 8 ettöringar och 7 tioöringar, behöfver derför ej kunna »uppsätta» detta additions- tal (1 + 1 + 1 etc. + 1 0 + 10 + 10 etc.);

möjligen k a n det också tro, att 8 ettor tecknas 8 o. s. v . E l l e r det k a n förstå hvad 3 gånger 4 är och i analogi dermed äfven hvad 13 gånger 24 är, utan att kunna teckna eller uppsätta detta. Det kan förstå, hvad som menas med »skilnad», med »mera» och »mindre», med »öfver- skott« och »brist», utan att i och med det samma hafva k l a r t för sig, att dessa förhållanden utrönas genom subtraktion af det mindre talet från det större. Ä n svå- rare är det att ge formelt u t t r y c k åt så- dana frågor som »hur stor del a f 20 öre är 5 öre?» och »hur stor blir hvarje del, då 20 öre delas i 5 delar?»

E n 18-årig flicka, som väl förstod, när addition eller subtraktion borde anlitas för uträkningen, kunde deremot ej på samma sätt döma om den blifvande effekten af multiplikations eller divisions användning:

hon uträknade derför exemplen på båda sätten, och om v i d uppnämningen det genom division erhållna resultatet var orätt, sade h o n : «jaså, då skall det vara så», och så presenterade hon multiplikationsre- sultatet, — och tvärtom. Sifferfel gjorde hon sig sällan eller a l d r i g skyldig t i l l : hvad hon saknade, var j u s t förmågan att uppsätta talen. Denna förmåga tages naturligtvis än mera i anspråk, då fråga blir om exempel, som kräfva en kombination af flere bland de fyra räknesätten. Och här är det som man a f gammalt gjort uppsättningskonsten t i l l en särskild spekula- tionsbransch, åsyftande dels att uppfinna och fastställa olika konstgrepp, metoder och »räknesätt» för o l i k a slags räkneupp- gifter, dels att konstruera räkneuppgifter för de sålunda åstadkomna »räknesätten», bland h v i l k a »sammansatt regula de tri»

bör få hedersplatsen.

T i l l slut nämna v i utbildningen a f för- mågan att uträkna det uppsatta talet såsom öfningsexemplens tredje funktion. Denna sida har räkneundervisningen egentligen a l d r i g försummat, och den har under långa tider varit nästan det enda slags räkne- öfning som förekommit i både hela tal, bråk och decimalbråk, h v i l k e t a l l t man lät föregå räkning med »sorter». Men detta oaktadt har man ej d r i f v i t öfningen i önskvärdt omfång, i ty att man nästan alldeles försummat uträkning a f tecknade exempel med blandning a f + , — , x och : uti. Denna försummelse har dels befäst ett stort svalg mellan de mest inkrånglade exemplen i regula de t r i och d y l i k a »räk- nesätt» å ena sidan och de enklaste eqva- tioner å den andra, dels hindrat lärjungarne från den nyttiga vanan att i ett samman- hang göra sig reda för hela uppgiftens lösning. A t t hålla reda på de matema- tiska tecknen eller använda dem under ut- räknandet, har b l i f v i t ansedt som oöfver- vinneligt svårt och krångligt, och a l l dermed följande öfning i ordning, noggrannhet och tarkereda h a r lemnats åsido.

T i l l uträknandet hänföra v i naturligtvis

(10)

äfven den s. k . uppställningen, t. ex. a f enheter under enheter, tiotal under t i o t a l och tiondedelar under tiondelar i addition och subtraktion, m . m . d y l . Deremot skulle v i gerna se, att t i l l »uppsättandet» i ofvan använda betydelse lades öfning i att matematiskt teckna hvarje uppgift (såvida detta ej redan vore gjordt i räkneboken), innan man skrede t i l l uträknandet.

V i d v a n l i g hufvudräkning förekommer öfning i så väl uppsättande som uppfattande endast i obetydlig grad, enär hufvud- räknings-uppgifter j u böra vara så enkla, att både deras innehåll och deras lösnings- sätt ögonblickligen uppfattas, så att hela uppmärksamheten k a n egnas åt siffrorna.

V i d vanliga rena sifferexempels uträkning ifrågakommer likaledes öfning endast i ut- räkning. N u k a n det väl tyckas, som skulle uppgiften med endast ett slags öf- ning vara lättare än sådana som gå u t på tre slags öfning i samma vefva: och dock är det företrädesvis de förra man k a l l a t abstrakta och ansett kräfva större mogen- het! N a t u r l i g t v i s bör a l l t i d det mått a f abstraktion, som exemplen kräfva, påaktas vid deras ordnaude. Likaså äro konkreta exempel med så små tal, att resultatet genast inses, utan uträkning, mycket lämpliga a t t inleda nya moment i undervisningen med, och på det sättet k a n ofta sammanhanget med det föregående lätt påvisas, eller rät- ten t i l l ett förfarande, grunderna för en gifven regel åskådliggöras. Men långt der- utöfver har man ej skäl att gå, åtminstone ej så långt, att man syndar mot den vigtiga regeln: lär blott en sak åt gången!

I kraft häraf och med hänsyn t i l l öf- ningsexemplens gifna funktioner synes oss följande allmänna skema för uppgifternas gruppering vara det naturligaste:

1) Små och mycket lättfattliga samt lätt uträknade uppgifter användas så snart något n y t t s k a l l läras eller förklaras. H a r man tillgång t i l l både benämda och obe- nämda t a l a f l i k a enkel beskaffenhet, så må man föredraga de förra. ' M e n vigtigt är, att ej det oväsentliga tillägget eller

»sorten» leder tanken bort från hufvudsaken eller gifver lärjungen något »extra»

att fundera på.

2) Dernäst böra på hvarje n y t t stadium, för hvarje n y svårighetsgrad de dithörande räkneoperationerna inläras, och detta i regeln medels uträknande a f redan uppsatta tal eller sådana, hvilkas uppsättande ej vållar någon svårighet.

3) Närmast i ordningen komma uppgifter, särskildt egnade a t t lära lärjungen inse, när han har användning för de inlärda räkneoperationerna, nämligen dels sådana uppgifter, hvilkas uppsättande och uträk- nande på det senast lärda sättet är påtag- ligt, dels andra, som antingen k u n n a tjena t i l l jemförelse eller t i l l frestelse ( = sporra t i l l eftertanke) eller t i l l repetition a f uppgifter från tidigare stadier.

4) Först när inom hvarje exempelgrupp lösningssättets utfunderande öfvats så mycket, att det går lätt, bör man lägga an på att i stället för de mera skematiska och typiska exemplen välja sådana, hvilkas fullständiga uppfattande och åskådliggö-

rande för tanken kräfver särskild ansträng- ning. D i t höra särskildt sådana exempel, der en del a f det för lösningen nödvän- diga är utelemnadt, doldt eller angifvet på en omväg, eller der åtskilligt är medtaget, som ej kommer uträkningen v i d och alltså bör lemnas åsido.

T i l l dessa grunder för exemplens ordnande k o m m a ännu andra a f annat slag, såsom normalplanens bestämmelse, att för- sta årskursen bör omfatta blott t a l under 1,000, eller den lämpligaste gången v i d metersorternas inlärande, eller m u l t i p l i k a - tions- och divisionstabellernas inlärande i samband med derför lämpliga räkneexem- pel o. s. v. I följd häraf k a n tillämp- ningen a f nyssnämda grundsatser på åt- skilliga ställen i vår räknebok vara mindre t y d l i g , liksom den på uågra ställen är med afsigt modifierad. Så t. ex. låta v i ofta, utan annat skäl än undseende för en mycket utbredd mening, exempel med benämda tal föregå de rena sifferexemp- len, men anse oss då ej förpligtade att välja l i k a små siffror eller l i k a lätt ut- räknade t a l för de senare som för de förra: t y hufvudregeln för ordningsföljden bör dock vara ett jemt fortskridande från det lättare till det svårare.

(11)

Ämnet räkning i folkskolan.

A f J. P. Veländer.

7. Om n å g r a a f v å r a g r u n d s a t s e r . I förordet t i l l vår räknebok hafva v i i största korthet sammanfattat de grundsatser v i sökt genomföra i boken. F l e r a af dem torde vara så pass sjelfklara, att de ingen vidare motivering beliöfva, och det synes oss högst förunderligt, att våra räkne- böcker i allmänhet tyckas antingen icke fråga efter dem eller ock finna dem oför- enliga. D i t höra följande grundsatser:

a) Endast med verkligheten överensstäm- mande uppgifter användas.

b) Blott en sak åt gången tages före och inläres.

c) Svårigheterna fördelas planmessigt på liela lärotiden.

d) Repetition af det förut inlärda före- tages esomoftast.

H v a d uppgifternas öfverensstämmelse med verkligheten angår, så hafva v i redan förut i denna uppsatsserie angifvit två hufvudskäl derför. D e t ena var, att lärjungen skulle k u n n a fästa samma t i l l i t t i l l en uppgift i räkneboken som t i l l en i geografien, h i - storien eller naturläran. D e t andra var, att han borde lära sig att undersöka ex-

emplens uträknelighet, hvilkeu skall bedö- mas j u s t u r verklighetens synpunkt, t y teo- retiskt möjliga, men faktiskt omöjliga uppgifter bör han förkasta såsom olösliga, när de möta honom i lifvet.

E t t tredje skäl är tidens knapphet: folkskolans barn ha verkligen ej råd att offra hela terminer på endast förståndsodlande saker, utan måste i första rummet hålla sig t i l l hvad de för framtiden behöfva, helst detta a l l t i d bör kunna b l i l i k a förstånds- odlande som något annat. N y l i g e n åter- gafs i denna t i d n i n g ett föredrag om slöjden i folkskolan. I detta föredrag sattes fordran på en praktisk undervisning i en viss motsats t i l l den fordran, att undervisningen skall vara uppfostrande. För oss finnes en sådan motsats ej t i l l . Ordet »praktisk»

kan missförstås ända derhän, att man. v i l l servera barnet en mängd på dess stånd- p u n k t osmältbara saker, hvilkas framtida gagn naturligtvis måste b l i = 0. Lemnom sådana saker åt den mognare åldern, åt folkhögskolan eller åt p r a k t i k e n i lifvet.

Men för öfrigt må skolan utan tvekan upj>

taga det praktiska i samma form, som det möter i lifvet, såvida ej detta skulle i alldeles enstaka f a l l visa sig stridande mot sunda pedagogiska grundsatser.

Men exemplens öfverensstämmelse med verkligheten har två hufvudsidor. D e n ena är, att alla sifferuppgifter skola vara t i l l - förlitliga eller åtminstone wmliga. D e n andra är, att sjelfva de valda exemplen ur lifvet, de relaterade fallen skola vara sannolika och f u l l t naturliga, jemte det de äro både valda och relaterade med hänsyn t i l l barnets ståndpunkt och uppfattnings- förmåga.

Sifferkorrektheten pläga räkneböckerna iakttaga, när siffrorna äro lånade ur natur- läran, historien eller geografien, men för öfrigt sällan: dock finnas några förf., som låta sig angeläget vara att angifva rimliga pris på den mängd varor boken omtalar, och redan detta är j u en mycket god sak.

Men när fråga b l i r om de relaterade fallens rimlighet, då låta de eljes så n y k t r a och torra förf. fantasien ordentligt skena åstad, och kombinationer förekomma på hvar sida, t i l l h v i l k a man fåfängt söker motstycken i lifvet. Otänkbara i ett afseende äro de icke, t y då hade j u ej vederbörande förf.

kunnat tänka sig dem; men det är otänk- bart, att barnet för framtiden s k a l l råka ut för några alldeles likartade f a l l ; och i samma mån som n u d y l i k a exempel ellei exempelafdelningar (t. ex. sammansatt regula de tri) b i l d a en hufvudsaklig del a f hvad barnet i skolan fått lära att räkna, i samma mån står det främmande och nästan hand- fallet inför de i grunden vida enklare räkne- frågor det sedan på egen hand k a n få att besvara, helst som v i d dessa vanligen äi att beakta - en eller annan biomständighel af sådant slag, som räkneboken vant ve- derbörande att förbise.

A t t blott en sak åt gången borde tågat före och inläras framstod fordom i räkne- böckerna som ett så afgjordt axiom, atl man vicl sidan deraf hvarken tänkte på svårigheternas jemna fördelning eller på be- hofvet af repetition. Se bara på den mön-

(12)

stergille gamle Zweigbergk, som v i alla lärt oss att högakta. H u r u genomplöjdes icke der hvarje räknesätt för sig utan inmän- gande af en rad från något föregående, ända tills det borde vara r i k t i g t grundligt inlärdt.

Och h u r u fullständigt lades det icke sedan åsido, lemnande lärjungen åt det 'glada hoppiet, att han aldrig mer skulle få med det räknesättet att göra. D e t är sant, att

»blandade öfningsexempel» forekommo på några ställen i boken, men att de inne- buro någon repetition a f det föregående, anade säkert ej mången, t y förut hade man sysslat uteslutande med mekaniskt uträk- nande, och n u skulle man fundera ut räk- nesätt, h v i l k e t var något splitter n y t t och »mycket svårt», hvadan man ofta ej fann annan utväg än att försöka det ena först, det andra sedan. D e t är ock sant, att de fyra räknesätten nog kommo att repeteras under uträknande a f exempel längre fram i boken, men man fick aldrig lära sig, h u r långt man skulle kunna komma med hela t a l allena i lösande a f praktiska vippgifter, utan man fick den föreställnin- gen, att-massor a f regler, formler och kon- stiga både uppställnings- och uträkningssätt måste komma t i l l , innan hvad man lärt i hela t a l , bråk och decimalbråk dugde t i l l någonting.

E n reaktion häremot var naturligtvis oundviklig, men n u gick man t i l l motsatt öfverdrift. I sin ifver att häfda hela tals störa praktiska betydelse blandade man der in a l l t möjligt. L i n d b l o m , som härutiunan måhända gått längst, gör t.. ex. i blandade öfningsexempel t i l l hela t a l ej blott , en omfattande användning a f bråkbegreppet (24 trettisjundedelar af 333 k r . ; 2 sextio- sjundedels k g . m . m.), utan har särskilda afdelningar för inlärande a f enkel regula de t r i (när IG hästar få 96 k g . hö om dagen, åt h i l r u många räcka då 84 k g . om dagen ? o. s. v.), sammansatt regula de t r i (med fin stil), intresseräkning både för uträkning a f ränta och a f kapital, %-\>e- räkning, alligationsräkning * och medeltals- uträkning (hvilket t a l är medeltal mellan (!) 1,856, 7,593, 18,001 och 20,050? m . fl.).

Och samme förf. nöjer sig i den del a f hela tals inledning, som tillhör första års- klassen, ej med färre sorter än mynt, fot, tum, kanna kbtum, m., dm., cm., hl., I , dl., gr., dg., hektar, ar, qvm. och qvdm., och a l l t detta i de 38 första exemplen (eller rättare på de första 21 sidorna).

V i hafva vågat framdraga dessa exempel på en principiell åtskilnad mellan en mycket utbredd bok och vår bok, som går mycket långt i motsatt r i k t n i n g . Den, som delar Lindbloms uppfattning, s k a l l icke ett ögon- blick känna sig frestad att använda vår bok, t y åtskilligt a f det som han tager före i första årsklassen, våga v i ej komma med förr än i tredje. V i betvifla ej möjligheten af att plugga i n allt det der i barn a f första årsklassen, men då s k a l l det ske under själströttande exercis och under ett lång-

* V i behöfva väl ej nämna, att v i användt dessa namn ej för att. väcka känsla af att här före- ligger något svårt, utan som den beqvämaste och allmänfattligaste beteckningen för exemplens beskaffenhet.

varigt »på stället marsch», som synes oss obarmhertigt att döma de rörliga, glädtiga barnasinnena t i l l .

Omvexling för sinnet beredes ej genom att gifva barnet många saker att lära på en gång, utan genom att låta det som s k a l l läras inöfvas medels och tillä.mpas på en hel rad olikartade uppgifter. Enformighet i dessa är ej svår att undvika. Men möj- ligen kan upprepandet af samma operation uppmuntra t i l l tanklöshet. Sådan förhindras då genom inströende a f exempel i sådan form, att de ej kunna uträknas utan att vara ordentligt genomlästa och r i k t i g t upp- fattade. Siffror, som ej skola tagas med i räkningen, eller t a l , som skola med, men ej stå utskrifna med siffror, k a n man nästan a l l t i d få i n i n a t u r l i g t och okonstladt sammanhang (se t. ex. uppgifterna 33, 35, 36, 37 å sid. 4 eller 49, 54, 55, 60 och följ., 68, 69 m . f l . , m. fl.). V i d a r e har man a l l t det förut inlärda att t i l l g r i p a , och det bör man använda för inströende a f repe- titionsexempel, så snart den tanken är att förmoda hos barnet: »här bara räknar j a g på samma sätt som i förra exemplet», men detta ej skulle v a r a rätt. I ex. 8 1 — 8 4 å sid. 9 i vår bok v i l l man j u s t hafva barnet att göra »liksom förut», men när man gifver det uppgifter ur verkligheten

att lösa, v i l l man det icke. (Forts.)