Kurvor, derivator och integraler

Kurvor, derivator och integraler

GENOMGÅNG 3.1

2

Växande och avtagande

Första och andra derivata

Första derivatans nollställen Andra derivatans nollställe

Teckentabell

Extremvärden

5

5

-3

-3

+ 0 - 0 +

-3 3

Vi tar hjälp av DESMOS

https://www.desmos.com/calculator/xaj5c5qh8f

Exempeluppgift

  ²

Arean är A x  x(36 2 ) 36 x  x  2x

Vilka värden kan x anta?

Exempeluppgift

  ²

Arean är A x  x(36 2 ) 36 x  x  2x

Vilken är den maximala arean?

Exempeluppgift

Definitionsmängd: 0  x 18

? ?

Exempeluppgift

  ²

Arean är A x  x(36 2 ) 36 x  x  2x Definitionsmängd: 0  x 18

 

' 36 4

A x   x

 

' 0 36 4 0 9

A x    x   x 

 ⁹ 9(36 2 9) 9 18 162 eller

A      

Svar: Största arean får vi där x = 9 och den är 162 ae.

 ^{9 36 9 2 92} 324 162 162

A       

  ²

Arean är A x  x(36 2 ) 36 x  x  2x

Exempeluppgift - kontroll

Maximal area

Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva

koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area.

Maximal area

Räta linjen 3

: y   2 x 9

Hur får vi fram denna?

6 3

4 2

k y

x

 

   

 9 m 

y

x

Maximal area

Räta linjen: 3 9 y   2 x 

3 3 2

Arean: 9 9

2 2

A x   x     x  x

' 3 9

A   x

' 0 3

A   x

3 2 27

(3) 3 9 3 27 13,5 27 13,5

2 2

A            

Rektangelns maximala area är 13,5 ae.

3 9

y 2x

x

Maximal area

Räta linjen: 3 9 y   2 x 

3 2

Arean: 9 1,5 9

A x   2 x     x  x

 

(3) 1,5 32 9 3 13,5 A      

Lösning 2

 

1 2 max

0 1,5 9 0

0 och 6 3

A x x

x x x

     

   

Rektangelns maximala area är 13,5 ae.

Maximal area - övning

Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva

koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area.

P

Maximal area - övning

Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva

koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area.

 ^{0,5 8} ²

( ) x 0,5 8

A x  x     x  x '( ) 8

A x   x

'( ) 0 8 A x   x 

(8) 0,5 82 8 8 A     

(8) 32

A 

Svar: Den maximala arean är 32 ae.

P

Maximal area - övning

Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva

koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area.

  ²

( ) 0,5 8 0,5 8

A x   x x    x  x '( ) 8

A x   x

'( ) 0 8 A x   x 

(8) 0,5 82 8 8 A     

(8) 32

A 

Svar: Den maximala arean är 32 ae.

P

Maximal area - övning

  ²

( ) 0,5 8 0,5 8

A x   x x    x  x

Exempeluppgift

Bestäm det största och det minsta värdet som

x x

x x

f ( )  4 ³ 390 ² 12000

antar i intervallet

50 18  x 

1. Vi börjar med att derivera f(x)

12000 780

12 )

´(x  x²  x  f

2. Vi sätter f´(x) = 0

0 12000 780

12x²  x   PQ-formeln ger ossx₁  25

2  40 x

Exempeluppgift

Bestäm det största och det minsta värdet som

x x

x x

f ( )  4 ³ 390 ² 12000 antar i intervallet 18  x  50

1  25

x x₂  40

3. Vi sätter in våra x-värden i f(x)

4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000

Största värde: 118 750??

Minsta värde: 112 000??

Kan vi vara säkra på detta?Nej!

Varför inte det?

Exempeluppgift

Bestäm det största och det minsta värdet som

x x

x x

f ( )  4 ³ 390 ² 12000 antar i intervallet 18  x  50 Största värde: 125 000 Minsta värde: 112 000

OBS!

4 × 18^3 - 390 × 18^2 + 12000 × 18 = 112968 4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000 4 × 50^3 - 390 × 50^2 + 12000 × 50 = 125000

Exempeluppgift

Bestäm det största och det minsta värdet som

x x

x x

f ( )  4 ³ 390 ² 12000 antar i intervallet 18  x  50

4 × 18^3 - 390 × 18^2 + 12000 × 18 = 112968 4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000 4 × 50^3 - 390 × 50^2 + 12000 × 50 = 125000

Kommentar:

För att vara säker på att vi har största respektive lägsta värde

i det givna intervallet måste vi sätta in dels de båda x-värdena som derivatans nollställen ger, dels de båda x-värdena som ges av

intervallet yttervärden.

Exempeluppgift

Bestäm det största och det minsta värdet som

x x

x x

f ( )  4 ³ 390 ² 12000 antar i intervallet 18  x  50

4 × 18^3 - 390 × 18^2 + 12000 × 18 = 112968 4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000 4 × 50^3 - 390 × 50^2 + 12000 × 50 = 125000

GENOMGÅNG 3.2

31

• Polynomfunktioner

• Andraderivatan

• Andraderivatan och grafen

Polynomfunktioner

Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm.

A

Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på x ^som

ger minsta möjliga värde på arean A^.

Uppgift 3212, sidan 149 (151)

Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x.

A

Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm.

Polynomfunktioner

Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x.

Jag inför beteckningar för de 3 vita trianglarna:

I

II

III

I:

II:

III:

16 (12 ) 192 16

2 x 2 x 96 8x

     

2 2

(16 2 ) 16

2 8

2 2 x x

x   x x x

 

 

12 2 2

2 x 24x 12

 x

 

A

Polynomfunktioner

Arean (A) av den grå triangeln:

I

II

III

I:

II:

III:

x 8 96 8x  x2

x 12

) 12 ( ) 8

( ) 8 96

(

192 x x x² x

A      

x x

x x

A 19296 8 8  ² 12 x

x

A  96 ² 12 96

2 12 

 x x

A

A

Polynomfunktioner

Definitionsmängden för arean (A) är:

I

II

III

I:

II:

III:

x 8 96 8x  x2

x 12

96

2 12 

 x x

A

8 0  x 

Variabeln x måste ligga mellan 0 och 8. Varför?

A

Polynomfunktioner

För vilket värde på x blir den grå triangelarean den minsta möjliga? Börja med att derivera A!

I

II

III

96

2 12 

 x x

A

A A´ x2 12

0 12

2 0

´  x   A

2x 12 x 6

   

Svar: När x = 6 så har den grå arean minsta möjliga värde.

Polynomfunktioner

Kontrollerar med graf:

I

II

III A  x² 12x  96

A

Definitionsmängd Minsta area

x-värde vid minsta area

Uppgift 3212, sidan 149 (151)

Största area??

Polynomfunktioner

Andraderivatan

2

4

24

5 )

(

' x x x

f  

x x

x

f '' ( )  20

 48

Andraderivatan

e

x x

f ' ( )  16  8

e

x

f '' ( )  16  16

Andraderivatan

x x x

x x

f 4

3 2 3

12 3

) 2 (

3

3   



4 2

3 4 ) 6

(

' ²

2   

 x x

x f

x x

f ''( )  4

Andraderivatan och grafen

2 15

6 ²

3   

 x x x

y y' 3 x² 12x 15 y '' x6 12

Andraderivatan och grafen

2 15

6 ²

3   

 x x x

y y' 3x² 12x 15 y '' x6 12

Andraderivatan och grafen

3 6 2 15 2

y x  x  x  y' 3 x² 12x 15 y'' 6 x 12

Andraderivatan och grafen

http://www.youtube.com/watch?

v=DlRT3xmcExI

[C:a 10 minuter]

Länk till DESMOS

Andraderivatan och grafen

http://www.youtube.com/watch?v=J2NDtXc3-ME

Andraderivatan och grafen

http://www.youtube.com/watch?v=bOdPIKYs1W4

GENOMGÅNG 3.3

53

• Primitiva funktioner

• Primitiva funktioner med villkor

Primitiva funktioner

2 15

6 )

( x  x

 x

 x  f

15 12

3 )

(

' x  x

 x  f

C x

x x

x

F ( ) 

 6

 15  15

12 3

)

( x  x

 x 

f

Primitiva funktioner

( )

f x  x x C x

F  

) 2 (

2

1

( ) x 1

f x 

Primitiva funktioner

)

( x x

f 

x C x

F  

) 3 (

3

Primitiva funktioner

)

( x x

f 

x C x

F  

) 4 (

4

Primitiva funktioner

C x x

y   1  2 2

2

C x

x

y  ²  

 C



 2 2 0 ²

 C



 4 2 0

 C

 2 0

2

 C

Den sökta funktionen:

2   2

 x x y

Primitiva funktioner

´  x

y y  ?

Vilken grad skall funktionen ha?

x

Vad skall (-1) multipliceras med för att det skall bli 1? 1

1 



 x

y C

y   1 x 

Primitiva funktioner

x C y   1 

 C



 2 1 1

 C

 2

1 1 

2

 3 C

Den sökta funktionen:

2 1  3



 x y

2

1  3



 x^ y

GENOMGÅNG 3.4

66

• Integraler

• Integralberäkning med primitiv funktion

• Tillämpningar och problemlösningar

Integraler

Integraler



a

dx x

f ( )

Integraler



a

dx x

f ( )

Övre integrationsgräns

Undre integrationsgräns Integraltecken

Integrand

Integrationsvariabel

Integraler

6 3

)

(x  x²  f

C x x

x

F   6 

3 ) 3

(

3

C x

x x

F( )  ³  6  x x

x

F( )  ³  6

0,2

Integraler

6 3

)

(x  x²  f

x x

x

F( )  ³  6

^{1 }

4 , 0

2 6)

3

( x dx  ¹0^,,⁰4

3 6x

x 



^{13  61} ^{ 0,43  60,4}



  ^{7  2,464}



536 ,

 4

Integraler

6 3

)

(x  x²  f

x x

x

F( )  ³  6

^{1 }

4 , 0

2 6)

3

( x dx  ¹0^,,⁰4

3 6x

x 



^{13  61} ^{ 0,43  60,4}



  ^{7  2,464}



536 ,

 4

Integraler

6 3

)

(x  x²  f

x x

x

F( )  ³  6

^{1 }

4 , 0

2 6)

3

( x dx  ¹0^,,⁰4

3 6x

x 



^{13  61} ^{ 0,43  60,4}



  ^{7  2,464}



536 ,

 4

Hur lutar grafen ?

2 1

y x 

Hur lutar grafen i den punkt där x = 2?

Hur lutar grafen?

Hur lutar grafen i den punkt där x = -1?

2 1

y x 

Hur lutar grafen?

Hur stor är integralen mellan x = 1 och x = 2?

2 1

y x 

Integral/area

Hur stor är arean mellan grafen och den positiva x-axeln?

Hur stor är integralen

mellan x = - 1 och x = 1?

Hur stor är integralen från x = - 1 och x = 5?

Hur stor är den samman- lagda arean mellan grafen och x-axeln från x = - 1 till och med x = 5?

3 5 2 5

y   x x  x

Lutning/tangent

3 5 2 5

y   x x  x

Hur lutar grafen i den punkt där x = 2?

Vilken ekvation har tangenten till grafen i den punkt där x = 2?

Rita in den räta linje som tangerar grafen i den punkt där x = 2?

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012