TEN 1 HF 1703 Inledande matematik

TEN 1 HF 1703 Inledande matematik

Datum: 23 aug 2019 Tid: 8:15-10 Examinator: Armin Halilovic

Lärare: Erik Melander

Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar.

Hjälpmedel: Inga hjälpmedel Betyg: P eller F

Betygsgränser: För godkänt prov krävs minst 6 poäng. För betyget Fx krävs 5 poäng.

• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

• Denna tentamenslapp (tentafrågor) får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar.

1. Låt 𝑀𝑀1 = {𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶, 𝐷𝐷} och 𝑀𝑀2 = {𝐶𝐶, 𝐷𝐷, 𝐸𝐸, 𝐹𝐹}

Vad blir 𝑀𝑀₁∩ 𝑀𝑀₂? 1p

Stämmer det att 𝑀𝑀₁ ⊂ 𝑀𝑀₂? 1p

2. Lös ekvationen 3^x+2+3^x =90. 2p

3. Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ^{8(𝑥𝑥−2)3}

4𝑥𝑥−8 1p

b) ^{24(𝑥𝑥−5)2}

(𝑥𝑥−2)²−(𝑥𝑥−8)² 1p

4. Triangeln ABC, i nedanstående figur är (uppenbart) en rätvinklig triangel.

Bestäm sidan x. (Svara exakt) 2p

60^◦ 30^◦

x

10 B

A

C

5. Lös ekvationen 𝑥𝑥³− 5𝑥𝑥²+ 6𝑥𝑥 = 0 2p

6. Lös ekvationen ^{ln(x)+ln(5)=ln8−ln2}. 2p Lycka till.

FACIT

1. Låt 𝑀𝑀₁ = {𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶, 𝐷𝐷} och 𝑀𝑀₂ = {𝐶𝐶, 𝐷𝐷, 𝐸𝐸, 𝐹𝐹}

Vad blir 𝑀𝑀1∩ 𝑀𝑀2? 1p

Stämmer det att 𝑀𝑀1 ⊂ 𝑀𝑀2? 1p

Lösning:

𝑀𝑀1∩ 𝑀𝑀2 = {𝐶𝐶, 𝐷𝐷}

Nej, eftersom det finns element i 𝑀𝑀₁ som inte finns i 𝑀𝑀₂.

2. Lös ekvationen 3^x+2 +3^x =90. 2p

Lösning:

3^𝑥𝑥+2+ 3^𝑥𝑥 = 90 skriver om med potenslagar till

3²⋅ 3^𝑥𝑥+ 3^𝑥𝑥 = 90 samlar alla 3^𝑥𝑥−termer

10 ⋅ 3^𝑥𝑥 = 90 förenklar till

3^𝑥𝑥 = 9 = 3² och vi ser nu att vi har 𝑥𝑥 = 2

Svar: 𝑥𝑥 = 2

3. Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ^{8(𝑥𝑥−2)3}

4𝑥𝑥−8 1p

b) ^{24(𝑥𝑥−5)2}

(𝑥𝑥−2)²−(𝑥𝑥−8)² 1p

Lösning:

a) Förkortar med 4 och får

8(𝑥𝑥 − 2)³ 4𝑥𝑥 − 8 =

2(𝑥𝑥 − 2)³

𝑥𝑥 − 2 = 2(𝑥𝑥 − 2)²

b) Använder konjugatregeln i nämnaren och får 24(𝑥𝑥 − 5)²

(𝑥𝑥 − 2)²− (𝑥𝑥 − 8)² = 24(𝑥𝑥 − 5)²

�(𝑥𝑥 − 2) + (𝑥𝑥 − 8)��(𝑥𝑥 − 2) − (𝑥𝑥 − 8)�

= 24(𝑥𝑥 − 5)² (2𝑥𝑥 − 10)6 =

24(𝑥𝑥 − 5)²

12(𝑥𝑥 − 5) = 2(𝑥𝑥 − 5)

Svar: a) 2(𝑥𝑥 − 2)² b) 2(𝑥𝑥 − 5)

4. Triangeln ABC, i nedanstående figur är (uppenbart) en rätvinklig triangel.

Bestäm sidan x. (Svara exakt) 2p

60^◦ 30^◦

x

10 B

A

C

Lösning:

Enligt definition har vi att 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(30°) =¹⁰_𝑥𝑥 , så löser vi ut 𝑥𝑥 får vi 𝑥𝑥 = 10

cos(30°) = 10

√3/2= 20

√3 Svar: 𝑥𝑥 =20

√3

5. Lös ekvationen 𝑥𝑥³− 5𝑥𝑥²+ 6𝑥𝑥 = 0 2p

Lösning:

Bryter ut 𝑥𝑥 och får då 𝑥𝑥(𝑥𝑥² − 5𝑥𝑥 + 6) = 0. Nollproduktsmetoden ger nu att antingen så 𝑥𝑥 = 0 eller så 𝑥𝑥²− 5𝑥𝑥 + 6 = 0

Löser vi den sista ekvationen med pq-formeln så får vi att 𝑥𝑥 =5

2 ±��52�

2

− 6 =5

2 ±�25 4 −

24 4 =

5 2 ±

1 2 och vi får alltså att 𝑥𝑥 = 2 eller 𝑥𝑥 = 3

Svar: 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 2 eller 𝑥𝑥 = 3

6. Lös ekvationen ln(x)+ln(5)=ln8−ln2. 2p

Lösning:

Logaritmlagarna ger att 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 5 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 5𝑥𝑥 och 𝑙𝑙𝑙𝑙 8 − 𝑙𝑙𝑙𝑙 2 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 �⁸₂� = 𝑙𝑙𝑙𝑙 4 så ekvationen kan skrivas om till

𝑙𝑙𝑙𝑙(5𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙 4 och vi får då att 5𝑥𝑥 = 4, så 𝑥𝑥 = 4/5 = 0,8

Svar: 𝑥𝑥 = 0,8