Exempeltenta 2
Inledande matematik HF1703 (1.5 hp) Program: Byggproduktion
Datum: xxxxxx
Tentamen ger maximalt 12p. För godkänd tentamen krävs 6p.
Komplettering: 5 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Inga hjälpmedel tillåtna.
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.) Skriv endast på en sida av papperet.
Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)
Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället, utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.
Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt
ab
b a b a
5
) ( )
( + 2− − 2 .
Uppgift 2. (2p) Lös följande ekvationer a) 10
3 2x + x = b)
2 1 2
2 = x +
x .
Uppgift 3. (2p) Lös systemet ( med avseende på x och y)
6 2
9 2 3
=
−
= +
y x
y x
Uppgift 4. (2p). Lös olikheten 0 2 4 5
− ≥ x
x .
Uppgift 5. (2p ) Lös ekvationen ln(x)+ln(x−1)−ln6=0. Uppgift 6. (1p) Lös ekvationen 3x+2+3x =90.
Uppgift 7. (1p) Beräkna cos(17 ) 6
sin 5π + π
. Svara exakt.
Uppgift 8. (1p) Triangeln ABC ( se Fig 1) är en rätvinklig triangel . Bestäm sidan x. (Svara exakt)
60◦ 30◦
x
10 B
A
C
Lycka till!
FACIT
Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt
ab
b a b a
5
) ( )
( + 2− − 2 . Lösning:
+ =
−
− +
= +
− +
− +
= +
−
− +
ab
ab b
a ab b
a ab
ab b
a ab b
a ab
b a b a
5
2 2
5
) 2 (
2 5
) ( )
( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
5 4 5
4 =
= ab ab
Uppgift 2. (2p) Lös följande ekvationer a) 10
3 2x + x = b)
2 1 2
2 = x +
x .
Lösning:
a)
⇔
=
+ 10
3 2
x
x (multiplicera med 6) ⇔3x+2y =60⇔5x=60⇔x=12. Svar a) x=12
b)
⇒ +
±
=
⇒
=
−
−
⇒ +
= 2
1 16
1 4 0 1
2 1 2 2
1
2 1,2
2
2 x x
x x
x = ± ⇒
16 9 4 1
2 ,
x1
,
1 =1 x
2 1
2
=− x
Svar b)
2 , 1
1 2
1
= −
= x
x
Uppgift 3. (2p) Lösning:
6 2
9 2 3
=
−
= +
y x
y x
Vi kan t.ex. använda substitutionsmetoden.
Från andra ekvationen har vi y=2x–6 som vi substituerar i första och får:
3x+2(2x–6 ) =9⇒7x=21⇒x=3.
Därför y =2x–6 ⇒y=6–6⇒y=0 Svar: x=3, y=0
Uppgift 4. (2p). Lös olikheten 0 2 4 5 ≥
− x
x . Lösning:
Notera att olikheten inte är definierad för x=2.
0 2
4x5 – 0 + + +
−2
x – – – 0 +
2 4 5
− x
x + 0 – ej
def
+
Vi ser i tabellen att
2 4 5
− x
x ≥ 0 om x∈(−∞,0]∪(2,∞)
Uppgift 5. (2p ) Lös ekvationen 0
6 ln ) 1 ln(
)
ln(x + x− − = . Lösning:
Notera att ekvationen är definierad om V1: x>0 och V2: x−1>0.
(Båda villkor är uppfyllda om x>1.)
Från ln(x)+ln(x−1)−ln6=0 har vi ) 0 6
) 1 ln(x(x− =
.
Härav 0
6 ) 1
(x e
x − =
eller 1 6 0
6 ) 1
( 2
=
−
−
⇔
− =
x x x
x
Härav (med pq-formeln) får vi x1=3 och x2 =−2. Endast x1=3uppfyller kravet x>1 (och därmed båda krav).
Svar: Ekvationen har en lösning x1=3.
Uppgift 6. (1p) Lös ekvationen 3x+2+3x =90. Lösning:
⇔
= +
⇔
= +
⇔
= +
+ 3 90 3 (3 3 ) 90 3 (9 1) 90
3x 2 x x 2 0 x
2 9
3 90 3
10⋅ = ⇔ = ⇔ =
⇔ x x x
Svar: x=2.
Uppgift 7. Beräkna cos(17 ) 6
sin 5π + π
. Svara exakt.
Lösning:
=
+
cos(17 ) 6
sin 5π π
(Tips: Rita en trigonometrisk cirkel) =
2 1 1 2 ) 1 6 cos(
sin + = − =−
π π
.
Uppgift 8. Triangeln ABC ( se Fig 1) är en rätvinklig triangel . Bestäm sidan x. (Svara exakt)
60◦ 30◦
x
10 B
A
C
Lösning:
3 3 20
2 20 3 ) 10
30 10 cos(
=
⇔
=
⇔
=
⇔
= x x
x x
.
(Alternativ:
3 3 20
2 20 3 ) 10
60
10 =sin( ⇔ = ⇔ =x ⇔x= x
x
Svar:
3
= 20 x
