Pålfundament: Jämförelse mellan fackverksmodellen och balkmodellen

1.

PÅLFUNDAMENT

J

PILE CAPS

C

-

-

Författare: Khaled Hamada och Jesper Forell

Uppdragsgivare: Byggnadstekniska Byrån AB

Handledare: Bogdan Micu, BTB Ali Farhang, KTH ABE

Examinator: Per Roald, KTH ABE

Examensarbete: 15,0 högskolepoäng inom byggteknik och design

Godkännande datum: 2018-06-20

Serienummer: TRITA-ABE-MBT-1856

S AMMANFATTNING

Fackverksmodellen är idag den modell som vid dimensionering av pålfundament är vanligast att använda. Det kan finnas tillfällen där en fackverksmodell inte är fördelaktig att dimensionera ett fundament efter, till exempel vid stora pålavstånd då det leder till höga fundament.

Pålfundament kan även dimensioneras enligt balkmodellen. Detta examensarbete kommer att undersöka fördelarna och nackdelarna med respektive beräkningsmodell. Med hjälp av två konstruerade beräkningsmallar för respektive modell dimensioneras ett fundament med fyra pålar. Fallstudien kommer att bli grunden för jämförelsen.

Båda beräkningsmallarna kommer att följa SS-EN-1992-1-1:2005 Eurokod 2 dimensionering av betongkonstruktioner. De ekvationer som används vid dimensionering med respektive modell kommer att redovisas för att förtydliga genomförandet för detta arbete. Jämförelsen kommer att göras för följande parametrar;

 armerings- och betongmängd

 sprickfördelande armering

 förankring av längsgående stänger

 fundamentets geometri

 påverkan av felslagning

Utifrån resultatet från fallstudien blir fundament dimensionerande enligt fackverksmodellen högre än fundament dimensionerat enligt balkmodellen. Balkmodellen kräver mer

huvudarmering och är mer känslig för felslagning. Sprickarmering krävs inte i lika stor utsträckning för fundament dimensionerande enligt balkmodell. Fackverksmodellen kräver större förankringslängd.

Vilken modell som är bäst lämpad beror på fundamentets utformning och vilka förutsättningar som finns på arbetsplatsen. Finns det krav på hur högt fundamentet får vara är balkmodellen bättre lämpad. Där pålarna kan placeras inom minimiavstånd och där ingen begränsning på hur högt fundamentet får vara är det lämpligt att använda sig av fackverksmodellen.

Nyckelord: Pålfundament, Eurokod 2, fackverksmodell, balkmodell, dimensionering, jämförelse.

A ^BSTRACT

The strut-and-tie model is today the model that is most commonly used for designing pile caps.

There may be occasions where a strut-and-tie model is not that beneficial to design a pile cap after, for example big distances between piles will lead to high pile caps. Pile caps can also be designed according to the so-called flexural model. This thesis will investigate the pros and cons that comes with each model. This will be done by constructing two calculation templates for each model to design a four-pillar foundation.

Both calculation templates will follow SS-EN-1992-1-1: 2005 Eurocode 2 design of concrete structures. The equations that will be used for designing each model will be explained to clarify the implementation of this work. The comparison will be made for the following parameters;

 reinforcement and concrete amount

 crack reinforcement

 anchorage of longitudinal reinforcement

 the height of the pile cap

 impact of miss-piling

Based on the outcome of the case study, a pile cap designed according to the strut-and-tie model results in higher caps than a cap designed according to the flexural model. The flexural model requires more longitudinal reinforcement and is more vulnerable to miss-piling. Crack reinforcement is not required to the same extent for the flexural model compared to caps

designed according to the strut-and-tie model. The strut-and-tie model requires longer anchoring length for the longitudinal reinforcement.

The model that is best suited depends on the preconditions where the foundation is going to be placed and the formation of the pile cap. If there is a limit for how high the pile cap can be, the flexural model can be better suited. Where the piles can be placed within minimum distances and there is no limitation on the height of the foundation, it is advisable to use the ‘strut-and-tie model.

F ^ÖRORD

Detta examensarbete blir vår avslutande studie för utbildningen Byggteknik och design på KTH.

Vi vill skicka ett stort tack till vår näringslivshandledare Bogdan Micu, Tom Almqvist och Simon Glans på BTB som har under denna tid gett oss möjligheten att rådfråga och diskutera arbetet med dem. Vi vill även tacka vår handledare från KTH, Ali Farhang och Robert Abrahamsson från BTB som såg till att detta arbete blev möjligt.

Stockholm, juni 2018

Jesper Forell och Khaled Hamada

I NNEHÅLLSFÖRTECKNING

SAMMANFATTNING ... III ABSTRACT ... V FÖRORD ... VII

1. INLEDNING ... 1

1.1PROLOG ... 1

1.2BAKGRUND ... 1

1.3SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNING ... 1

1.4MÅL ... 2

1.5AVGRÄNSNINGAR ... 2

2. METOD ... 3

2.1LITTERATURSTUDIE ... 3

2.2BERÄKNINGSMALL ... 3

2.3FALLSTUDIE ... 3

3. NULÄGESBESKRIVNING ... 5

4. TEORETISK BAKGRUND ... 6

4.1BALKMODELL ... 9

4.2FACKVERKSMODELL ... 9

5. GENOMFÖRANDE ... 11

5.1DIMENSIONERING ENLIGT BALKMODELL ... 11

5.1.1 Dimensionerande pelarkraft ... 11

5.1.2 Dimensionerande moment ... 12

5.1.3 Dimensionerande tvärkraft ... 14

5.1.4 Kontroll av lokalt tryck ... 18

5.2DIMENSIONERING ENLIGT FACKVERKSMODELL ... 19

5.2.1 Trycksträvor och noders hållfasthet ... 19

5.2.2 Lutning på trycksträvan ... 21

5.2.3 Dimensioneringsgång för fackverksmodellen ... 22

5.2.4 Erforderlig armering och placering... 26

5.3SPRICKARMERING ... 29

5.3.1 Krav på sprickbildning ... 29

5.3.2 Beräkningsgång för sprickbredd ... 30

5.3.3 Minimiarmering med hänsyn till sprickbredd ... 32

5.4FÖRANKRINGSLÄNGD ... 33

6. RESULTAT ... 36

6.1FALLSTUDIE 1A ... 36

6.1.1 Balkmodellen ... 36

6.1.2 Fackverksmodellen ... 42

6.1.3 Sammanställning ... 51

6.2FALLSTUDIE 1B ... 52

7. ANALYS ... 53

7.1FUNDAMENTETS GEOMETRI ... 53

7.2DIMENSIONERING AV ARMERING ... 53

7.3TVÄRKRAFTER I BALKMODELLEN ... 54

7.4SPRICKARMERING ... 54

7.4.1 Val av sprickarmering ... 54

7.5FÖRANKRINGSLÄNGD ... 57

7.6PÅVERKAN AV FELSLAGNING ... 57

8. SLUTSATSER ... 58

9. REKOMMENDATIONER ... 59 REFERENSER ... 60 BILAGOR ... 61

1

1. I ^NLEDNING 1.1 P

Allteftersom bebyggelse ökar blir det svårare att hitta mark som har tillräckligt god bärighet. Det har därför skapats ett behov inom byggbranschen att utveckla grundläggningsteknik som kan göra det möjligt att bygga där marken själv inte klarar av lasterna från byggnadsverket. En väl använd grundläggningsteknik i Sverige är pålning.

Pålning går ut på att pålar oftast av stål eller betong slås eller borras ner till berg. På pålarna gjuts ett fundament som har i uppgift att föra lasten från byggnadsverket ner till pålarna.

Dimensionering av fundamenten kan ske med olika metoder, men den som förkommer mest är dimensionering enligt fackverksanalogi (vidare fackverksmodellen), den kan användas i

diskontinuitetsområden och i kontinuitetsområden för sprucken platta eller balk. Dimensionering som ordinär balk (vidare balkmodellen) förekommer också men i mindre utsträckning och används i kontinuitetsområden där tvärsnittet fortsätter att vara plant efter pålastning. De båda modellerna skiljer sig åt i hur man betraktar spänningarna i fundamentet, vilket leder till att utformningen på fundamentet vad gäller armeringsmängd, betongmängd och geometri kan se olika ut (Svensk Standard, 2008).

Sedan 2011 ska varje bärande konstruktion vara anpassad till de europeiska

dimensioneringsreglerna, eurokoderna. Tidigare följdes Boverkets konstruktionsregler (BKR).

1.2 B

Fackverksmodellen är idag den modell som vid dimensionering av pålfundament är vanligast att dimensionera efter. Det kan finnas tillfällen då en fackverksmodell inte är fördelaktigt att dimensionera efter, till exempel vid stora pålavstånd då det teoretiskt leder till höga fundament.

Det kan då vara ett alternativ att använda balkmodellen vid dimensionering för att få ett fundament som passar bättre för aktuellt fall.

Ett återkommande problem efter införandet av eurokoderna är sprickbreddsberäkningarna för fackverksmodellen. Den beräknade mängden sprickarmering har ökat markant i jämförelse med den mängd sprickarmering som erhölls av de gamla konstruktionsreglerna BKR. Det är inte heller tydligt hur den effektiva betongarean ska beräknas. Därför måste en tolkning göras för vad som gäller för fackverksmodellen

1.3 S

Syftet med detta arbete är att kunna jämföra utfallet vid dimensionering av pålfundament med balkmodellen och fackverksmodellen. Jämförelsen kommer göras för följande parametrar;

 armerings- och betongmängd

 sprickfördelande armering

 förankringslängder

 geometrin på fundamnetet

 Påverkan av felslagning

2 Att kunna göra denna jämförelse ska leda till att identifiera fördelarna och nackdelarna för respektive modell. Detta arbete ska också undersöka om sprickarmeringen i ett pålfundament kan reduceras med avseende på reglerna som Eurokod 2 förespråkar. Den frågeställning som detta arbete har är således:

När är det fördelaktigt att konstruera pålfundament enligt balkteorin respektive fackverksteorin?

Vilka krav gäller för sprickarmering vid dimensionering av pålfundament?

1.4 M

Målet är att påvisa skillnader mellan de båda modellerna och förtydliga när det är fördelaktigt att dimensionera efter respektive modell. För att kunna göra detta ska två beräkningsmallar tas fram för dom båda modellerna, där sedan ett fall för ett fundament med fyra pålar beräknas med båda modellerna. Utfallet från beräkningarna utgör resultatet av denna studie. För att komma fram till uppsatt mål krävs förståelse för nedanstående punkter;

 förstå teorierna bakom de båda modellerna för att kunna jämföra de mot varandra

 komma fram till vad som gäller vid sprickarmering för ett pålfundament

 få god förståelse i programmet MathCad Prime för att kunna göra korrekta beräkningsmodeller.

1.5 A

För att kunna genomföra examensarbetet inom given tidsram har vissa avgränsningar gjorts. De avgränsningar som arbetet har är att

 Endast fundament med 4 pålar beaktas vid fallstudien.

 pålarna antas vara vertikala

 vid beräkning antas pelaren vara utan moment och placerad i mitten av fundamentet

 betongklasser över C50/60 används ej vid beräkningar

 tvärkraftsberäkningarna görs med vertikala byglar

 vinkeln på trycksträvan vid beräkningar av skjuvglidbrott sätts till 𝜃 = 45°

 exponeringsklassen kommer att vara XC4 som ger maximala tillåtna sprickbredden 𝑤_{𝑘.𝑚𝑎𝑥}= 0,3 𝑚𝑚 och minsta täckande betongskiktet, 𝐶_𝑛𝑜𝑚= 55 𝑚𝑚.

3

2. M ^ETOD

2.1 L

Lämpliga litteraturstudier görs för att kunna nå de mål som satts för arbetet. De båda modellernas teoretiska bakgrund och funktioner studeras för att kunna analysera och förstå skillnaderna mellan dem. Eurokod 2 som berör dimensionering av betongkonstruktioner studeras för utförandet av beräkningsmallarna. Eftersom Eurokod 2 är det regelverk som ska följas är det viktigt att förstå vad regelverket säger. Eurokod 2 har god validitet eftersom det är ett EU- bestämt regelverk för dimensionering av betongkonstruktioner.

Svårigheten med litteraturstudien är att få informationen som finns i eurokoderna tillämpbar för dimensionering av pålfundament. Detta eftersom eurokoderna är generella för alla

betongkonstruktioner vilket kräver att en tolkning måste göras av vilka formler och regler som gäller för pålfundament.

2.2 B

Beräkningsmallar för de båda teorierna har genomförts i beräkningsprogrammet MathCAD prime. Detta program har valts eftersom det är ett smidigt program att genomföra beräkningar i och väl använt inom branschen. Beräkningsmallarna kommer att programmeras genom att noggrant följa de regler och formler som föreskrivs i Eurokod 2. I respektive beräkningsmodell ska indata föras in för att vidare bestämma armerings- och betongmängd samt geometri på fundamentet.

2.3 F

Beräkningsmodellerna kommer att tillämpas i ett scenario med bestämda förutsättningar och fundamenten utformas efter de krav som respektive modell ställer. Fallstudien utförs först där jämförelse görs mellan tre olika armeringsdiametrar och sedan med tre olika betongklasser.

Detta för att kunna se hur val av armeringsdiameter och betongklass påverkar dimensioneringen av fundamentet. Pålarna är av typen RR 170/10 och har kapaciteten 870 KN i brottgränstillstånd.

Pålarna är inte placerade på ett avstånd närmare än 5 påldiametrar. Pelarens dimension är 300x300 mm. Se figur 2.1 och 2.2 för utformning av fundament enligt respektive metod.

I alla beräkningar beaktas felslagning av pålarna. För att kontrollera hur stor inverkan som felslagning har på dimensionerande krafter i respektive modell, beräknas erforderlig armeringsmängd utan hänsyn till felslagning. Erhållet resultat jämförs med beräkningar där felslagning har beaktats. Denna kontroll görs endast för betongklass C35/45 med

armeringsdiameter ∅20 i detta fallstudie.

4 Figur 2.1 Utformning enligt balkmodell

Figur 2.2 Utformning enligt fackverksmodell

5

3. N ULÄGESBESKRIVNING

Konstruktörerna på Byggnadstekniska Byrån använder idag för det mesta fackverksmodellen.

Ett återkommande problem vid användning av fackverksmodellen är att höjden på fundamentet i vissa fall blir för hög. Detta har lett till en önskan att vid sådana fall kunna använda sig av balkmodellen för att erhålla en annan geometri för fundamentet. Därför görs jämförelsen mellan dessa båda modeller i denna studie.

Byggnadstekniska byrån har sitt kontor vid Slussen i Stockholm. Företaget har tillhandahållit licenser för beräknings- och modelleringsprogram som har varit till nytta för att kunna utföra arbetet. Anställda på företaget har god kunskap inom området och har varit en resurs för information och teknisk rådgivning under hela arbetets gång.

6

4. T EORETISK BAKGRUND

Den teoretiska referensram som detta arbete har sin grund i är utbildningen Byggteknik och design på Kungliga Tekniska Högskolan i Stockholm. Denna studie är en fördjupning från de kurser inom konstruktionsteknik som studenterna bakom detta arbete har deltagit i.

De två teorier som detta arbete studerar är fackverksmodellen och balkmodellen. Det är även möjligt att dimensionera ett fundament som en platta. Vilken modell som ska användas beror på fundamentets geometri och pålarnas placering i fundamentet. Fundamentets utformning

påverkar vilka krafter som beaktas vid dimensioneringen. Metoderna har olika begränsningar och skiljer sig ifrån varandra i vilka krafter som beaktas. (Westerberg, 1985).

Vid höga fundament med korta pålavstånd likt figur 4.1 blir spänningsfördelningen

diskontinuerlig. Det är då lämpligt att dimensionera fundamentet enligt fackverksmodellen.

Figur 4.1 Exempel på fundament där fackverksmodell tillämpas Vid låga fundament där pålarnas avstånd i ena riktningen är mer än två gånger större än avståndet i den andra riktningen är det lämpligt att dimensionera fundamentet som en balk, se figur 4.2.

Figur 4.2 Exempel på fundament där balkmodell tillämpas

7 Om förhållandet mellan pålarnas avstånd i x- och y-led är mellan ett och två och höjden är låg sett i förhållanden till längd och bredd, bör fundamentet dimensioneras som en platta och risken för genomstansning vid pelare och pålar ska då beaktas. Moment kommer även att uppstå i båda fundamentets riktningar. Se figur 4.3.

Figur 4.3 Exempel på fundament där fundamentet dimensioneras som en platta

8 Skillnaden mellan en platta och en balk är krafternas verkningslinje. Ett rektangulärt fundament likt en balk har tvärkraft och moment i en endast en riktning, se figur 4.4. Ett kvadratiskt fundament likt en platta dimensioneras för moment i två riktningar samt genomstansning, se figur 4.5. Därför är det viktigt att ta hänsyn till fundamentets geometri vid val

dimensioneringsmodell. Både plattan och balken har begränsningar för hur hög konstruktionen får vara.

Figur 4.4 Rektangulärt fundament. Krafternas verkningslinje

Figur 4.5 Kvadratiskt fundament. Krafternas verkningslinje

9

4.1 B

När fundamentet dimensioneras efter balkmodellen, betraktas fundamentet som en ordinär balk.

Detta ställer krav på fundamentets geometri. Avståndet mellan pålarna i ena riktningen måste vara mer än två gånger större än pålavståndet i andra riktningen. Fundamentshöjden får inte heller vara större än en tredjedel av det största pålavståndet, se figur 4.1 (Westerberg, 1985).

Fundamentet har en punktlast i mitten i form av pelaren som leder till motverkande reaktionskrafter från pålarna. Dimensionering sker således efter tvärkraft och moment i

dimensionerande snitt, därefter kontrolleras armeringens förankringslängd, bärförmåga för lokalt tryck samt kravet på sprickbildning i betongen (Svensson & Losberg, 1990).

4.2 F

Vid dimensionering av ett fundament enligt fackverksmodellen antas spänningsfördelningen i fundamentet som icke-linjär. Zoner där spänningen fördelas icke-linjärt på detta vis kallas diskontinuitetszoner, förkortat D-zoner. Sådana konstruktioner får då dimensioneras utgående från fackverksanalogi (Svenska betongföreningen, 2010).

Fackverksanalogi innebär att spänningsfältet i D-zonen uppskattas och analyseras med hjälp av kraftlinjemetod. Kraftlinjemetod betyder att spänningsfältet simuleras med kraftlinjer som förbinder last (pelare) med motsvarande reaktion (pålar), se figur 4.3. När kraftlinjemetoden är utförd upprättas en lämplig fackverksmodell. I en fackverksmodell definieras de tryckta fälten som trycksträvor och de dragna fälten som dragband. Dragband sträcker sig mellan

pålhuvudena. Längs med dragbanden placeras dragarmeringen för att ta upp dragkrafterna (Svensk Standard, 2008).

Figur 4.3 Fackverksmodellens beståndsdelar.

Kraften uppepå fundamentet skapar ett tryck i fundamentets överkant. Vilket ger upphov till trycksträvor. Vinkeln ska vara 45° ≤ 𝜃 ≤ 70° mellan fundamentets plan och trycksträvan. Detta betyder alltså att höjden på fundamentet och avstånden mellan pålarna måste anpassas så att den vinkeln blir minst 45 (Svensson & Losberg, 1990). Vinkeln 45 är den mest optimala att använda då den ger den minsta konstruktionshöjden.

10 Där kraftlinjer möts eller ändrar riktning placeras det som benämns noder, i noderna råder jämvikt mellan alla krafter och nodens maximala spänning behöver kontrolleras vid

dimensionering. Med hänsyn till att vinkeln på tryckstävan mellan pelare och fundaments plan måste ha ett värde på 45° ≤ 𝜃 ≤ 70° så har fackverksmodellen sina begränsningar. Till exempel kan det leda till höga fundament då pålarna är på stora avstånd från varandra. Trycksträvor, dragband och noder ska dimensioneras så att de klarar de spänningarna som uppstår.

Fundamentet ska vidare kontrolleras med avseende på förankringslängd och sprickbredd (Svenska betongföreningen, 2010).

11

5. G ENOMFÖRANDE

I följande kapitel ska beräkningsgången för de båda modellerna redovisas. Dimensioneringen sker helt enligt de formler och regler som har fastställts i regelverket SS-EN-1992-1-1, Eurokod 2: Dimensionering av betongkonstruktioner. I fall där ingen källa redovisas är informationen hämtad ifrån, Eurokod 2 (Svensk Standard, 2008).

5.1 D

Vid dimensionering enligt balkmodellen ska fundamentet dimensioneras efter moment och tvärkraft i kritiska snitt. Därefter sker kontroll av armeringens förankringslängd, lokalt tryck vid pelare och krav på sprickbildning (Svensson & Losberg, 1990). Fundamentets höjd exklusive ingjutningsdjupet för pålarna får vara max en tredjedel av pålavståndet, detta för att villkoret för balkmodellen ska vara uppfyllt (Svensk Standard, 2008).

5.1.1DIMENSIONERANDE PELARKRAFT

Fundamentet dimensioneras efter pålarnas kapacitet och inte pelarlasten. Erforderligt antal pålar fås genom att dividera lasten som pelaren utsätter fundamentet för med given pålkapacitet.

Antalet pålar blir värdet som fås avrundat uppåt till närmaste heltal. Många gånger avrundas antalet pålar till jämnt antal för att uppnå symmetri i pålgruppen. Till exempel om tre pålar räcker, används fyra pålar istället. Den dimensionerande pelarlasten som fundamentet kan bära blir då antalet pålar multiplicerat med pålkapaciteten, Ekvation 5.2.

𝑛_{𝑝å𝑙𝑎𝑟}=^{𝑄𝐸𝑑.𝑎𝑘𝑡𝑢𝑒𝑙𝑙}

𝑁_{𝑝.𝑅𝑑} 5.1

𝑄_{𝐸𝑑.𝑚𝑎𝑥}= 𝑁_{𝑝.𝑅𝑑}∗ 𝑛_{𝑝å𝑙𝑎𝑟} 5.2

𝑁_{𝑝.𝑅𝑑}: Är pålkapaciteten 𝑄_{𝐸𝑑.𝑎𝑘𝑡𝑢𝑒𝑙𝑙}: Är aktuell pelarlast.

𝑄_{𝐸𝑑.𝑚𝑎𝑥}: Är maximal pelarlast sett till antalet pålar i fundamentet.

12 5.1.2DIMENSIONERANDE MOMENT

Momentet beräknas genom att analysera fundamentet som en konsolbalk där varje påle i varje snitt ger upphov till ett moment som beror på pålens reaktionskraft och avståndet från pelaren, Se figur 5.1 och Ekvation 5.3.

Figur 5.1 Dimensionerande moment enligt balkmodellen för ett fyr-pålsfundament.

𝑀_𝐸𝑑 = 𝑁𝑃.𝑅𝑑.𝑝å𝑙𝑒.1∗^{𝑙𝑎𝑡.1}

2 + 𝑁𝑃.𝑅𝑑.𝑝å𝑙𝑒.2∗^{𝑙𝑎𝑡.2}

2 … + 𝑁𝑃.𝑅𝑑.𝑝å𝑙𝑒.𝑛∗^{𝑙𝑎𝑡.𝑛}

2 5.3

𝑁_{𝑃.𝑅𝑑}: Pålens dimensionerande kapacitet

𝑙_𝑎𝑡: Avståndet mellan pålar i dimensionerande snittet.

Armeringsmängd för böjande moment i brottgränstillstånd

Dimensionerande momentet utsätter fundamentet för dragkraft i fundamentets underkant. Den armeringsmängd som placeras i fundamentet ska klara av att ta upp denna dragkraft utan att konstruktionen går i brott.

För att beräkna mängden böjarmering som krävs kommer användning av dimensionslösa storheter att tillämpas. Dessa storheter kan härledas från formler som står i Eurokod 2 och som går ut på att spänningsfördelningen i tvärsnittet är rektangulär (Almssad, 2015). De

dimensionslösa storheter som kommer att användas definieras i Ekvation 5.4 och 5.5.

𝑚̅ =_𝑓 ^𝑀𝐸𝑑

𝑐𝑑∗𝑏∗𝑑² Relativt moment 5.4

𝜔 = 1 − √1 − 2𝑚̅ Mekaniskt armeringsinnehåll 5.5

𝑀_𝐸𝑑: Dimensionerande moment.

13 𝑓_𝑐𝑑: Betongens dimensionerande tryckhållfasthet.

𝑏: Bredden på fundamentet vinkelrätt mot momentet.

𝑑 Den effektiva höjden från fundamentets överkant till armeringens tyngdpunkt.

För ett lager armering kan effektiva höjden bestämmas med Ekvation 5.6.

𝑑 = ℎ_{𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡}− 𝐼_𝑝−^∅

2 5.6

Vid två lager armering antas att tyngdpunkten hamnar i mitten mellan lagren och oavsett antalet stänger i varje lager. Effektiva höjden beräknas då med Ekvation 5.7.

𝑑 = ℎ_{𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡}− 𝐼_𝑝−^{𝑠𝑙𝑎𝑔𝑒𝑟+∅}

2 5.7

ℎ_{𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡}: Höjden på fundamentet.

𝐼_𝑝: Ingjutningsdjupet för pålarna.

∅: Diametern hos längsgående dragarmering.

Värdet ”𝑚̅” ska kontrolleras mot värdet för ”𝑚̅_𝑏𝑎𝑙 ” för att se om tvärsnittet är normalarmerat eller överarmerat. Det rekommenderas att ha ett värde på 𝑚̅ < 𝑚̅_𝑏𝑎𝑙 , alltså ett underarmerat fundament. Ett överarmerat tvärsnitt kan orsaka ett oönskat sprött brott vilket ska undvikas. Är 𝑚̅ < 𝑚̅_𝑏𝑎𝑙 leder det till att konstruktionen får ett segt brott och då är det möjligt att se när konstruktionen är på väg att gå i brott i god tid innan det sker (Almssad, 2015). Beräkning av erforderlig mängd längsgående dragarmering sker sedan med hjälp av Ekvation 5.8.

𝐴_𝑠 =^{𝜔∗𝑓𝑐𝑑∗𝑏∗𝑑}

𝑓_𝑦𝑑 5.8

𝑓𝑐𝑑: Betongens dimensionerande tryckhållfasthet.

𝑓_𝑦𝑑 Stålets dimensionerande stålspänning.

Det värdet som erhålls från 𝐴_𝑠 ska enligt kapitel 9.2.2.1 i Eurokod 2 kontrolleras mot det minsta tillåtna värdet för längsgående dragarmering, Ekvation 5.9. Detta för att säkerhetsställa

fundamentets robusthet.

𝐴_{𝑠,𝑚𝑖𝑛} = 0,26 ∗ (^{𝑓𝑐𝑡𝑚}

𝑓_𝑦𝑘) ∗ 𝑏 ∗ 𝑑, 𝑑𝑜𝑐𝑘 𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡, 0,0013 ∗ 𝑏_𝑡∗ 𝑑 5.9 𝑓_𝑐𝑡𝑚: Medelvärde för betongens draghållfasthet

𝑓_𝑦𝑘: Karakteristiskt värde för armeringens sträckgräns

14 Med erforderlig armeringsarea beräknad så kan antalet armeringsstänger bestämmas genom att dela den totala beräknade arean som krävs för att undvika brott med arean hos en

armeringsstång, se Ekvation 5.10. Värdet som fås från denna ekvation ska alltid avrundas uppåt till närmaste heltal.

𝑛_{𝑗ä𝑟𝑛}= ^𝐴𝑠

𝐴_𝜙 5.10

Placeringen av armeringen sker ovanför pålhuvudena. Stängernas läge till varandra bestäms av det minsta centrumavståndet och hur många stänger som får plats i ett lager armering. Minsta centrumavståndet bestäms med Ekvation 5.11.

𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥{𝜙, 𝑑𝑔+ 5, 20 𝑚𝑚} + ∅ 5.11

𝑑_𝑔: Största kornstorleken på ballasten i betongen.

Maximalt antal stänger i ett lager bestäms genom Ekvation 5.12.

𝑛_{𝑠𝑡ä𝑛𝑔𝑒𝑟}=^{𝑏−2∗𝐶𝑛𝑜𝑚−∅}

𝑠_𝑚𝑖𝑛 + 1 5.12

Centrumavståndet mellan varje stång bestäms sedan genom Ekvation 5.13.

𝑠 =^{𝑏−2𝐶𝑛𝑜𝑚−∅}

𝑛_𝑒𝑓𝑓−1 5.13

𝑛_𝑒𝑓𝑓: Valt antal stänger

5.1.3DIMENSIONERANDE TVÄRKRAFT

Vid dimensioneringen av fundamentet med avseende på tvärkraft skall hänsyn tas till de två brottmoder som kan uppstå, livtryckbrott och skjuvglidbrott,.

I fundamentet är det pelaren som bidrar med tvärkraft. Tvärkraften som kommer från pelaren antas ge upphov till sneda trycksträvor som resultat av fundamentets tryck- och dragresultant.

Lutningen på skjuvsprickan som uppstår samt de antagna trycksträvorna sätts till 45.

Livtryckbrott uppstår när spänningen i någon av dessa trycksträvor går över deras kapacitet vilket leder till att tvärsnittet krossas, se figur 5.2 Kapaciteten för fundamentet med avseende till livtryckbrott kontrolleras invid pelarens periferi och jämförs med den dimensionerande

tvärkraften. Då tvärkraften överstiger tvärkraftskapacitet för livtryckbrott erfordras tvärkraftsarmering. Tvärkraftskapaciteten för livtryckbrott avser den övre gränsen för fundamentets tvärkraftskapacitet (Engström, 2007).

Figur 5.2 Livtryckbrott (Engström, 2007)

15 Skjuvglidbrott som är det andra brottmodet som ska beaktas, uppstår när betongen förskjuts utefter en uppstådd böjspricka. Detta är den vanligaste typen av tvärkraftsbrott i en

betongkonstruktion. Avgörande för att detta tvärkraftsbrott inte ska ske är att med hjälp av armering se till så att kraftövergången från yttre last till upplag står i jämvikt trots att sprickor uppstår. Böjarmeringen bidrar således till tvärkraftskapaciteten genom att förhindra vidgning av sprickan men också genom dymlingsverkan som är det motstånd som armeringen ger när den börjar böjas (Engström, 2007). Se figur 5.3.

Figur 5.3 Skjuvglidbrott (Engström, 2007)

Den dimensionerande tvärkraften beräknas genom att betrakta fundamentet som en balk med stödreaktioner från pålarna och punktlast i mitten från pelaren. Dimensionerande tvärkraften erhålls genom att ta ett snitt i mitten av fundamentet och sedan summera reaktionskrafterna från pålarna på någon sida av snittet, Ekvation 5.14.

𝑉_𝐸𝑑 = 𝑁_{𝑝.𝑅𝑑.𝑠𝑛𝑖𝑡𝑡} 5.14

𝑁_{𝑝.𝑅𝑑.𝑠𝑛𝑖𝑡𝑡}: pålkrafterna på ena sidan av snittet.

När fundamentet ska dimensioneras med avseende på den tvärkraft som uppstår ska kapaciteten mot de nämnda brottmoderna kontrolleras. Vid de första beräkningarna kontrolleras

fundamentets tvärkraftskapacitet utan tvärkraftsarmering för att se om tvärkraftsarmering behövs eller ej (Engström, 2007).

Dimensionering med hänsyn till livtryckbrott

Enligt Eurokod 2 betecknas maximal bärförmåga för livtryckbrott utan tvärkraftsarmering som, 𝑉_{𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥}, Se Ekvation 5.15.

𝑉_{𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥} = 0,5𝜐 ∗ 𝑓_𝑐𝑑∗ 𝑏 ∗ 𝑑 5.15

𝜐 = 0,6 [1 − (𝑓_𝑐𝑘 250). ]

𝑓_𝑐𝑑: Betongens dimensionerande tryckhållfasthet.

𝑏: Tvärsnittets bredd vinkelrätt mot tvärkraftens riktning.

𝑑: Effektiva höjden för tvärsnittet.

För att livtryckbrott inte ska inträffa ska 𝑉_{𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥} vara större än dimensionerande tvärkraften för fundamentet, Villkor: 𝑉_{𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥} > 𝑉_𝐸𝑑

16 Dimensionering med hänsyn till skjuvglidbrott

I en konstruktionsdel som inte innehåller tvärkraftsarmering bestäms tvärkraftskapaciteten enligt kapitel 6.2.2 i Eurokod 2 med Ekvation 5.16.

𝑉𝑅𝑑,𝑐 = [𝐶𝑅𝑑.𝑐∗ 𝑘 ∗ (100 ∗ 𝜌𝑙∗ 𝑓𝑐𝑘)¹³] ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 5.16

Villkor: 𝑉_{𝑅𝑑,𝑐} > 𝑉_𝐸𝑑 𝐶_{𝑅𝑑.𝑐} =0,18

𝛾_𝑐 = 0,12

𝑘 = 1 + √200 𝑑 ≤ 2,0 𝜌_𝑙 = ^𝐴𝑠𝑙

𝑏∗𝑑≤ 0,02 Armeringsinnehåll för längsgående armering Dock med minsta värdet:

𝑉_{𝑅𝑑,𝑐} = 𝜐_𝑚𝑖𝑛∗ 𝑏 ∗ 𝑑

𝜐_𝑚𝑖𝑛 = 0,035 ∗ 𝑘³²∗ 𝑓_𝑐𝑘

1

2 där 𝑘 = 𝑘₁= 0,15 enligt den nationella bilagan.

Dimensionering av tvärkraftsarmering

I de fall då ovanstående villkor inte uppfylls innebär det att konstruktionen behöver

tvärkraftsarmering för att uppnå krävd tvärkraftskapacitet. Tvärkraftsarmering förutsätts vara vertikal som tidigare nämnts i kapitel 1.4 Avgränsningar. Eurokod 2 anger då följande ekvation vid bestämning av en konstruktions bärförmåga med tvärkraftsarmering, Ekvation 5.17 med hänsyn till livtryckbrott och Ekvation 5.18 med hänsyn till skjuvglidbrott (Engström, 2007).

𝑉_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥} =^{𝛼𝑐𝑤∗𝑏∗𝑧∗𝜐1∗𝑓𝑐𝑑}

cot 𝜃+tan 𝜃 5.17

𝛼_𝑐𝑤= 1.0 för konstruktioner som ej är förspända.

𝑧: Inre hävarm, uppskattas till 0,9d

𝜐₁= 0,6 För alla betongklasser upp till och med C50/60 𝑓_𝑐𝑑: Betongens dimensionerande tryckhållfasthet.

𝜃: Vinkeln på trycksträvan, får sättas till 21.8° < 𝜃 ≤ 45°

𝑉_{𝑅𝑑.𝑠} =^𝐴𝑠𝑤

𝑠 ∗ 𝑧 ∗ 𝑓_𝑦𝑤𝑑∗ cot 𝜃 5.18

𝐴_𝑠𝑤: Tvärkraftarmeringens area.

17 𝑠: Centrumavstånd mellan tvärkraftsarmeringen.

𝑓_𝑦𝑤𝑑: Draghållfastheten vid flytning för tvärkraftsarmeringen.

För att bestämma erforderlig mängd tvärkraftsarmering sätts 𝑉𝑅𝑑.𝑠 = 𝑉𝐸𝑑 för att sedan lösa ut uttrycket ^𝐴𝑠𝑤

𝑠 som då indikerar den mängd tvärkraftsarmeringsarea som behövs per

centrumavstånd. Centrumavståndet väljs sedan till ett värde som är praktiskt t.ex. 100, 150 eller 200 mm och så vidare. Vid valt centrumavstånd fås en armeringsarea och då kan en lämplig diameter på byglarna väljas.

Innehållet av tvärkraftsarmering i fundamentet kan sedan bestämmas enligt kapitel 9.2.2 i Eurokod 2, Ekvation 5.19.

𝜌_𝑤= 𝐴_𝑠𝑤/(𝑠 ∗ 𝑏 ∗ sin 𝛼). 5.19

𝛼: Är vinkeln mellan tvärkraftsarmeringen och längdaxeln.

Detta värde får dock inte vara mindre än 𝜌_{𝑤.𝑚𝑖𝑛}, Ekvation 5.20. Detta för att undvika risken för ett sprött brott som kan uppstå om tvärkraftsarmeringen är för liten i jämförelse med

spricklasten. (Engström, 2007) 𝜌_{𝑤.𝑚𝑖𝑛}= 0,08 ∗ (^{√𝑓𝑐𝑘}

𝑓_𝑦𝑘). 5.20

Vidare i samma kapitel ger Eurokod 2 en ekvation för att bestämma maximalt avstånd mellan tvärkraftsarmering i bärverkets längdriktning, Ekvation 5.21.

𝑠_{𝑙.𝑚𝑎𝑥} = 0,75𝑑(1 + sin 𝛼). 5.21

I det fall då tvärkraftsarmeringen också behöver läggas i tvärled, vilket är fallet i ett pålfundament, bestäms största centrumavståndet mellan skänklarna med Ekvation 5.22.

𝑠_{𝑡.𝑚𝑎𝑥} = 0,75𝑑 < 600𝑚𝑚 5.22

18 5.1.4KONTROLL AV LOKALT TRYCK

För en delvis belastad betongyta som är fallet för ett pålfundament med pelare, ska enligt Eurokod 2 inverkan av lokalt tryck kontrolleras. Den last som kontrolleras för lokalt tryck blir då pelarlasten. Beräkning av fundamentets bärförmåga med avseende på lokalt tryck beräknas enligt Ekvation 5.23.

𝐹_𝑅𝑑𝑢 = 𝐴_𝑐0∗ 𝑓_𝑐𝑑∗ √^𝐴_𝐴^𝑐1

𝑐0 ≤ 3,0 ∗ 𝑓_𝑐𝑑∗ 𝐴_𝑐0 5.23

𝐴_𝑐0: Är arean på pelaren som ger upphov till tryck.

𝑓_𝑐𝑑: Är betongens tryckhållfasthet.

𝐴𝑐1: Är den största arean som är likformig 𝐴𝑐0 över vilken lasten kan fördelas.

Det värdet som erhålls från Ekvation 5.23 jämförs sedan med summan av alla pålars kapacitet.

Figur 5.4 Definition av areorna 𝐴_𝑐0 och 𝐴_𝑐1 (Svensk Standard, 2008)

19

5.2 D

I detta kapitel kommer beräkningsgången vid dimensionering enligt fackverksmodellen redogöras. De regler och formler som används i detta kapitel är anpassade efter Eurokod 2 (Svensk Standard, 2008).

Antalet pålar som bär fundamentet väljs med hänsyn till den dimensionerande pelarlasten. Detta leder till att kapaciteten som alla pålar har tillsammans är större än pelarlasten. Fundamentet kommer således att dimensioneras efter den maximala lasten som pålarna kan bära, vilket blir samma ekvation som för balkmodellen Ekvation 5.1.

5.2.1TRYCKSTRÄVOR OCH NODERS HÅLLFASTHET

Den maximala tillåtna spänningen som tillåts i en trycksträva sätts alltid lika med den dimensionerande tryckhållfastheten i betongen, 𝑓_𝑐𝑑.

En nods maximala spänning beror på vilka krafter som verkar inom noden. Beräkning av den maximala spänningen i en nod görs med hänsyn till betongens dimensionerande tryckhållfasthet, variabeln 𝑘 samt 𝜐^′. Variabeln 𝑘 reducerar eller ökar nodens hållfasthet med avseende på vilken typ av spänningar som möts i noden, se nedanstående Ekvationer 5.24- 5.27 (Svensk Standard, 2008).

De två nodförhållanden som uppstår vid ett fundament med fler än två pålar är Tryck/drag-nod med armering förankrad i två vinkelräta riktningar ovanför pålarna, samt nod med treaxligt-tryck som består av tre trycksträvor under pelare.

I och med att trycksträvan möter pålens reaktionskraft med en lutning kommer dragkraft att skapas. Dragkraften tas upp genom armeringen som läggs i två riktningar. Storleken på

dragkraften beror på trycksträvans vinkeln och pelarlasten Denna typ av nod är belägen ovanför pålarna och är således en tryckt/dragen nod. Då noden består av dragband som är förankrade i två vinkelräta riktningar kommer nodens spänningskapacitet att reduceras med faktorn 𝑘₃= 0,75 (Svensk Standard, 2008).

Den andra noden är belägen uppe vid pelaren och är en nod som har treaxligt-tryck och består av tre trycksträvor. Den ena trycksträvan går från noden under pelaren till noden över pålen och de andra två går vinkelrätt mot varandra längs pelarens sidor, se figur 5.5. För fundament med fyra pålar finns det fyra noder under pelaren. Detta eftersom kraftfördelningen i fundamentet blir mer korrekt om tryckkrafterna från pålen delas upp i fyra noder. Varje av dessa fyra noder verkar inom en fjärdedel av pelarens yta. Noden får förhöjd spänningskapacitet på grund av omslutning av omgivande betong genom att faktor 𝑘₄= 3,0 används vid beräkning. I ett fundament med fyra pålar beräknas således nodernas maximala spänningskapaciteter med Ekvation 5.26 och 5.27 (Svensk Standard, 2008).

20 Figur 5.5 Placering och definition av noder.

𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥}= 𝑓_𝑐𝑑 Trycksträvans dimensionerande tryckhållfasthet

𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥.1}= 𝑘₁∗ 𝜐^′∗ 𝑓_𝑐𝑑 Tryckt nod där inga dragband förankras. 5.24 𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥.2}= 𝑘₂∗ 𝜐^′∗ 𝑓_𝑐𝑑 Tryck-/dragnod med dragband förankrat i en riktning. 5.25 𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥.3}= 𝑘₃∗ 𝜐^′∗ 𝑓_𝑐𝑑 Tryck-/dragnod med dragband förankrat i två riktningar. 5.26 𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥.4}= 𝑘₄∗ 𝜐^′∗ 𝑓_𝑐𝑑 Tryck-/dragnod med fleraxligt tryck 5.27 𝑘1: Är parameter vars värde är nationellt valbar. Rekommenderat till 1,0

𝑘₂: Är parameter vars värde är nationellt valbar. Rekommenderat till 0,85 𝑘₃: Är parameter vars värde är nationellt valbar. Rekommenderat till 0,75 𝑘₄: Är parameter vars värde är nationellt valbar. Rekommenderat till 3,0 𝜐^′ = 1 − (^𝑓𝑐𝑘

250).

21 Vid dimensionering och en önskan om en lägre utnyttjandegrad av spänningen i noderna kan hållfastheten multipliceras med önskad utnyttjandegrad.

5.2.2LUTNING PÅ TRYCKSTRÄVAN

Huvudvillkoret för att kunna använda fackverksmodellen vid dimensionering av ett

pålfundament är att vinkeln mellan trycksträvan och fundamentets plan i det dimensionerande snittet ska vara 45° ≤ 𝜃 ≤ 70°, se figur 5.6. Det dimensionerande snittet tas igenom diagonalen på fundamentet då antalet pålar är fyra (Westerberg, 1985). Vid dimensionering är

utgångspunkten att vinkeln på trycksträvan 𝜃 väljs till önskat värde. Nedan visas en figur över de krafter och mått som ska dimensioneras i en fackverksmodell.

Figur 5.6 Fackverksmodell med ingående dimensioneringsmått och krafter.

𝜎_𝑐0: Huvudspänning under pelare

𝜎_𝐸𝑑.1: Dimensionerande spänning från trycksträvan vid pelare 𝜎_𝐸𝑑.2: Dimensionerande spänning från trycksträvan vid påle 𝜎_𝐸𝑑.3: Dimensionerande spänning från pålen

𝐶₁: Trycksträvans kraft

𝑇₁: Dragkraften i dimensionerande snitt

𝑎_𝑐: Halva tryckzonshöjden för 𝜎_𝑐0

22 𝑎₁: Tryckzonbredden för trycksträvan vid pelare

𝑎₂: Tryckzonsbredden för trycksträvan vid påle

𝑙𝑝.𝑥: Pålavstånd i x-led

𝑙_𝑝.𝑦: Pålavstånd i y-led

𝑙_𝑎𝑡: Är avstånd mellan pålarna i dimensionerande snitt

𝑏_{𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒}: Är pelarbredd i snittet. 𝑏_{𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒}= √𝑏₁∗ 𝑏₂ vid rektangulär pelare 𝑦: Är avståndet från pelarens kant till noden under pelaren

𝑧: Höjden mellan noden under pelaren och noder över pålen 𝜃: Är vinkeln mellan trycksträvan och fundamentets plan

𝑢: Nodzonens höjd för noden över pålen

5.2.3DIMENSIONERINGSGÅNG FÖR FACKVERKSMODELLEN

Spänningarna som uppstår i noderna beräknas med Ekvationerna 5.28-31. Alla spänningar finns illustrerade i figur 5.6

𝜎_𝑐0= ^{𝑁𝑏𝑟𝑜𝑡𝑡.Ö𝐾}

𝑎_𝑐∗2^{𝑏𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒}

2

5.28

𝜎_𝐸𝑑.1= ^𝐶1

𝑎₁∗^{𝑏𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒}₂

5.29

𝜎_𝐸𝑑.2= ^𝐶1

𝑎₂∗𝑏_𝑡 5.30

𝜎_𝐸𝑑.3=^𝑁_𝑏^{𝑝.𝑅𝑑}

𝑡∗𝑙_𝑡 5.31

Vinkeln på trycksträvan mellan påle och pelare sätts till önskat värde. Värden på 𝑢, 𝑎_𝑐 och 𝑧, definierade enligt figuren ovan beräknas därefter med hjälp av vinkeln och deras förhållande till varandra. Med dessa värden uträknade kan den minsta tillåtna fundamentshöjden och nodzonens höjd 𝑢 beräknas. Då höjden och 𝑢 eventuellt inte är praktiskt lämpliga, väljs en något större höjd på fundamentet samt ett nytt värde på 𝑢 med hänsyn till armeringens placering i noden. Denna avrundning görs efter vad dimensionerande konstruktör anses vara lämpligt. En ny vinkel får då beräknas och kontroll av noder och trycksträvor utifrån den nya vinkeln görs på nytt.

Beräkning av trycksträvans dimensionerande kraft sker genom trigonometrisk formel och beror på pålens kapacitet och trycksträvans lutning, Se Ekvation 5.32.

𝐶₁=^{𝑁𝑝.𝑅𝑑}

sin 𝜃 5.32

För att tryckzonsbredden 𝑎₁ ska kunna beräknas, löses termen ut ur Ekvation 5.29. 𝜎_𝐸𝑑.1 sätts lika med 𝑚𝑖𝑛{𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥}, 𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥 𝑛𝑜𝑑}} då spänningarna inte får överstiga hållfastheten för noden

23 och trycksträvan. Den dimensionerande hållfastheten kan antingen vara nodens eller

trycksträvans beroende på vilken av de som har lägst hållfasthet. Se Ekvation 5.33 för beräkning av 𝑎₁.

𝑎₁= ^{2∗𝑁𝑝.𝑅𝑑}

sin 𝜃∗𝜎_𝐸𝑑.1∗𝑏_{𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒}= ^{2∗𝑁𝑝.𝑅𝑑}

sin 𝜃∗𝑚𝑖𝑛{𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥},𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥 𝑛𝑜𝑑}}∗𝑏_{𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒} 5.33 Minsta värdet på 𝑦 bestäms genom villkoret att spänningarna inte får överstiga nodens

hållfasthet. 𝑦 härleds från samband i figur 5.7 nedan och beräknas med Ekvation 5.34.

sin(𝜃) = 𝑦 ∗ ²

𝑎₁ → 𝑦 =^{sin(𝜃)∗𝑎1}

2 = sin(𝜃)∗ 2∗𝑁_{𝑝.𝑅𝑑}

2∗sin 𝜃∗𝑚𝑖𝑛{𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥},𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥 𝑛𝑜𝑑}}∗𝑏_{𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒}

𝑦 = ^{𝑁𝑝.𝑅𝑑}

𝑚𝑖𝑛{𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥},𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥 𝑛𝑜𝑑}}∗𝑏_{𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒} 5.34

När 𝑦 är bestämt kan 𝑎𝑐 bestämmas med Ekvation 5.35.

𝑎_𝑐 = ^𝑦

tan(𝜃) 5.35

Då avståndet mellan noden över pålen och noden under pelaren i x-led är känt, kan 𝑧 bestämmas med Ekvation 5.36.

𝑧 = tan(𝜃) ∗ (^𝑙𝑎𝑡

2 − (^{𝑏𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒}

2 − 𝑦)) 5.36

För fundament med fyra pålar är 𝑙_𝑎𝑡:

𝑙_𝑎𝑡 = √(𝑙_𝑃.𝑥)²+ (𝑙_𝑃.𝑦)²+ 2 ∗ 𝑡_𝑃 5.37

𝑡_𝑃: Tolerans för felslagning i mm.

Nodzonens höjd 𝑢 i en tryck-dragnod beror på vinkeln på trycksträvan. Denna höjd ska bestämmas så att nodens maximala spänning inte överskrids. Armeringens tyngdpunkt och noden ska alltid ligga på halva nodzonens höjd. Detta för att armeringen ska kunna ta upp de dragkrafter som verkar inom noden. Minsta värde på 𝑢 kan beräknas enligt Ekvation 5.40. 𝑢 löses ut ur Ekvation 5.38 och 𝑎₂ ersätts med Ekvation 5.39. (Svenska betongföreningen, 2010)

𝑎2= sin(𝜃) ∗ (𝑙𝑡+^𝑢−2∅_{tan 𝜃} ) 5.38

𝜎_𝐸𝑑.2= ^𝐶1

𝑎₂∗𝑏_𝑡= 𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥} → 𝑎₂= ^𝐶1

𝜎_𝐸𝑑.2∗𝑏_𝑡= ^{𝑁𝑝.𝑅𝑑}

sin 𝜃∗𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥}∗𝑏_𝑡 5.39

𝜎_𝐸𝑑.2 sätts lika med 𝑚𝑖𝑛{𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥}, 𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥.𝑛𝑜𝑑}} eftersom spänningarna inte får överstiga hållfastheten för noden och trycksträvan.

𝑢 = ^𝑎2

cos (𝜃).− 𝑙_𝑡∗ tan 𝜃 + 2∅ = ^{𝑁𝑝.𝑅𝑑}

cos (𝜃).∗sin 𝜃∗𝜎_{𝑅𝑑.𝑚𝑎𝑥}∗𝑏_𝑡− 𝑙_𝑡∗ tan 𝜃 + 2∅ 5.40 𝑏_𝑡: Tryckplattans bredd

𝑙_𝑡: Tryckplattans längd

24 Två armeringsdiametrar läggs till vid beräkning av 𝑢. Detta är för att armeringen placeras i två riktningar där ena riktningen kommer hamna en armeringsdiameter ovanför noden. Genom att öka 𝑢 med två armeringsdiametrar beaktas den ökade dragspänningen som kommer att uppstå i ena riktningen.

Fundamentshöjden exklusive ingjutningsdjupet blir således:

ℎ_{𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡}=^𝑢

2+ 𝑧 + 𝑎_𝑐

Om den minsta höjden på fundamentet anses vara opraktiskt väljs en lämpligare höjd, detta leder till att vinkeln ändras något och får bestämmas på nytt. Den nya vinkeln beräknas med Ekvation 5.41

𝜃𝑛𝑦 = 𝑡𝑎𝑛⁻¹(^{ℎ𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡−𝑎𝑐−}

𝑢 2

(^𝑙𝑎𝑡

2−(^𝑏1

2−𝑦)) ) 5.41

I Ekvation 5.41 ovan är 𝑎_𝑐 den enda variabeln som beror på den ursprungliga vinkeln, se Ekvation 5.35. En ny ekvation för 𝑎_𝑐 härleds genom likformighet, Se figur 5.6 och 5.7.

Figur 5.7 Förtydligande av relationer mellan termer för beräkning av 𝑎_𝑐

𝑎_𝑐 (^𝑙𝑎𝑡

2−(^𝑏1

2−𝑦))=^𝑦

𝑧 → 𝑎_𝑐∗ 𝑧 = 𝑦 ∗ (^𝑙𝑎𝑡

2 − (^𝑏1

2 − 𝑦)) Där 𝑧 är:

𝑧 = ℎ_{𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡}− 𝑎_𝑐−^𝑢

2

Ekvationen för 𝑧 sätts in i sambandet ovan.

𝑎_𝑐∗ (ℎ_{𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡}− 𝑎_𝑐−^𝑢

2) = 𝑦 ∗ (^𝑙𝑎𝑡

2 − (^𝑏1

2 − 𝑦))

25 𝑎_𝑐∗ ℎ_{𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡}− (𝑎_𝑐)²− 𝑎_𝑐∗^𝑢

2− 𝑦 ∗ (^𝑙𝑎𝑡

2 − (^𝑏1

2 − 𝑦)) = 0 (𝑎_𝑐)²+ 𝑎_𝑐∗ (^𝑢₂− ℎ_{𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡}) + 𝑦 ∗ (^𝑙𝑎𝑡₂ − (^𝑏₂¹− 𝑦)) = 0 Genom att använda Pq-formeln kan 𝑎_𝑐 lösas ut.

𝑎_𝑐 = −

𝑢

2−ℎ_{𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡}

2 ± √(

𝑢

2−ℎ_{𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡}

2 )

2

− 𝑦 ∗ (^𝑙𝑎𝑡

2 − (^𝑏1

2 − 𝑦)) 5.42

𝜃_𝑛𝑦 beräknas då med uttryck för 𝑎_𝑐 insatt i Ekvation 5.40 enligt nedan.

𝜃_𝑛𝑦 = 𝑡𝑎𝑛⁻¹ (

ℎ_{𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡}−(−

𝑢

2−ℎ𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡

2 ±√(

𝑢

2−ℎ𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡

2 )

2

−𝑦.(^𝑙𝑎𝑡

2−(^𝑏1

2−𝑦)))−^𝑢

2

(^𝑙𝑎𝑡

2−(^𝑏1

2−𝑦))

)

5.41

Beräkningarna upprepas med den nya vinkeln och kontroll av spänningar och krafter görs på nytt för att se om den ändrade fundamentshöjden går att använda.

26 Dimensionerande krafter i dragband

När vinkeln 𝜃_𝑛𝑦 är bestämd kan de dimensionerande krafterna i dragbanden beräknas. För att beräkna dimensionerande krafter för de båda dragbanden i fundamentet används vinkeln 𝛼 mellan dragkraften 𝑇₁ och x-riktningen, se figur 5.8.

Figur 5.8 Definition av vinkeln 𝛼 för dimensionerande kraft i dragband.

Vinkeln 𝛼 används för att få fram hur stor del av dragkraften som varje dragband tar upp. Denna vinkel beror på avståndet mellan pålarna i respektive riktning. Vid rektangulära fundament är vinkeln mindre i ena riktningen än den andra som resulterar i två olika dragkrafter. Beräkning av dragkrafterna görs med Ekvation 5.43 och 5.44.

𝑇_1.𝑥= cos 𝛼 ∗ 𝑇₁ Dragkraften i längdriktning. 5.43

𝑇_1.𝑦= sin 𝛼 ∗ 𝑇₁ Dragkraften i tvärriktning. 5.44

𝑇₁= cos 45° ∗ 𝐶₁ Dragkraftsresultant.

𝐶₁: Är beräknat värde för kraften i trycksträvan enligt Ekvation 5.33 Vinkeln 𝛼 för ett fundament med fyra pålar beräknas enligt Ekvation 5.45.

𝛼 = tan⁻¹

𝑙𝑝.𝑦

2 −(^{𝑏𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒}

2 −𝑦)

𝑙𝑝.𝑥

2 −(^{𝑏𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒}

2 −𝑦)

5.45

90° − 𝛼: Vinkeln mellan dragkraftsresultanten och dragbandet i y-led.

5.2.4ERFORDERLIG ARMERING OCH PLACERING

För att motverka dragkrafterna som uppstår i noder ovanför pålarna placeras armeringen i dessa zoner. Armeringen placeras i de dragna zonerna som idealiserats enligt fackverksmodellen.

Erforderlig mängd armering beräknas genom att dividera den dimensionerande kraften för dragsträvan i respektive riktning med armeringens dimensionerande hållfasthet, Ekvation 5.46 och 5.47.

𝐴_{𝑒𝑟𝑓.𝑥} =^𝑇1.𝑥

𝑓_𝑦𝑑 Erforderlig armeringsarea i fundamentets längdriktning. 5.46

27 𝐴_{𝑒𝑟𝑓.𝑦} = ^𝑇1.𝑦

𝑓_𝑦𝑑 Erforderlig armeringsarea i fundamentets tvärriktning. 5.47

Antal stänger som behövs för att komma upp i den erforderliga armeringsarean beräknas genom Ekvation 5.48.

𝑛_{𝑠𝑡ä𝑛𝑔𝑒𝑟}=^{𝐴𝑒𝑟𝑓}

𝐴_∅ 5.48

𝐴𝑒𝑟𝑓: Erforderlig armeringsmängd enligt Ekvation 5.46 eller 5.47.

𝐴_∅: Arean hos en armeringsstång med vald diameter.

För fackverksmodellen beräknas den bredd som armeringen kan placeras inom med Ekvation 5.49-5. Denna bredd påverkas av antalet lager armeringsjärn. Antalet järn som får plats inom denna bredd beräknas enligt Ekvation 5.55. (Westerberg, 1985)

Bredden armeringen kan placeras inom i ett fundament med ett lager:

𝐵_{𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔}= 𝑏_𝑝+

𝑢 2

tan(𝜃_𝑛𝑦). 5.49

Bredden armeringen kan placeras inom i ett fundament med två lager:

𝐵_{𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔}= 𝑏_𝑝+

𝑢−𝑠𝑙𝑎𝑔𝑒𝑟 2

tan(𝜃_𝑛𝑦). för lager 1 5.50

𝐵_{𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔}= 𝑏_𝑝+

𝑢+𝑠𝑙𝑎𝑔𝑒𝑟 2

tan(𝜃_𝑛𝑦). för lager 2 5.51

Bredden armeringen kan placeras inom i ett fundament med tre lager:

𝐵_{𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔}= 𝑏_𝑝+

𝑢 2

tan(𝜃_𝑛𝑦). − 𝑠_{𝑙𝑎𝑔𝑒𝑟} för lager 1 5.52

𝐵_{𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔}= 𝑏_𝑝+

𝑢 2

tan(𝜃_𝑛𝑦). för lager 2 5.53

𝐵_{𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔}= 𝑏_𝑝+

𝑢 2

tan(𝜃_𝑛𝑦). + 𝑠_{𝑙𝑎𝑔𝑒𝑟} för lager 3 5.54

𝑠_{𝑙𝑎𝑔𝑒𝑟}: Är centrumavstånd mellan armeringslagren.

𝑏_𝑝: Tryckplattans bredd.

𝑡_𝑝: Ingjutningsdjupet hos pålen.

𝑐_𝑝: Är avståndet från pålen till kanten på fundamentet.

28

∅_{𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔}: Diametern hos en armeringsstång.

𝑛_{𝑙𝑎𝑔𝑒𝑟.𝑚𝑎𝑥}=^{𝐵𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔−∅}

𝑠_𝑚𝑖𝑛 + 1 5.55

Se Ekvation 5.11 för 𝑠_𝑚𝑖𝑛.

När armeringsbehovet och placeringen av armeringen är bestämd bör nodzonens höjd kontrolleras för att se om armeringen får plats att verka inom noden. Riktlinjer för värden på nodzonenshöjd finns beskrivet i svenska betongföreningens handbok om Eurokod 2.

𝑢 = 2𝑠₀ För nod med ett lager armering dragen 2𝑠₀ bakom

nodområdet.

𝑢 = 2𝑠₀+ (𝑛_{𝑙𝑎𝑔𝑒𝑟}− 1)𝑠_{𝑙𝑎𝑔𝑒𝑟} För nod med n lager armering dragen 2𝑠₀ bakom nodområdet.

𝑠₀: Är avståndet från pålens tryckplatta till

tyngdpunkten hos första lagret armering.

Figur 5.9 Anordning av armering i en tryck-dragnod i en riktning. (Svensk Standard, 2008) Armeringen ska således förankras över samt minst 2𝑠₀ bakom nodområdet. Vid förankring av huvudarmering rekommenderas det att bocka upp stängerna. Mer detaljerat om vad som gäller vid beräkning av förankringslängd förklaras i kapitel 5.5.

29

5.3 S

Sprickbildning i en armerad betongkonstruktion är i princip oundvikligt när konstruktionen utsetts för dragspänningar. Kontroll av sprickbredd är viktigt då för stora sprickor påverkar konstruktionens utseende och hållbarhet. Stora sprickor ger upphov till att syre, vatten och ibland även klorider snabbare kan nå armeringen, vilket kan leda till att armeringen korroderar och får sämre bärförmåga.

Orsaken till sprickbildningar är att dragspänningarna som uppstår är större än betongens draghållfasthet. Dessa dragspänningar kan komma från:

 Yttre laster

 Interna dragspänningar från krympning, fuktrörelser och temperaturskillnader i betongen

Krympning är en av huvudorsakerna till att betongen spricker och uppkommer när betongens volym minskar. Denna volymminskning oraskas av att betongen torkar ut. Det finns två typer av krympning, fri krympning och förhindrad krympning. Fri krympning är när fundamentets volym kan minska utan motreaktioner. Förhindrad krympning bildas när fundamentet står i kontakt med andra konstruktionsdelar som förhindrar krympningen, då kan betongen spricka om draghållfastheten inte är tillräcklig, vilket den sällan är. Även armeringen i fundamentet

motverkar krympning och därför är det viktigt att kontrollera sprickbredden. Sprickarmeringens uppgift är att fördela sprickorna så att de blir fler men inte lika stora. Detta leder till att syre och vatten svårare att tränga in till armeringen. (Almssad, 2015)

5.3.1KRAV PÅ SPRICKBILDNING

För armerade betongkonstruktioner beror den maximala tillåtna sprickbredden på exponeringsklassen. Den karakteristiska sprickbredden beräknas under kvasi-permanent lastkombination och jämförs med den maximalt tillåtna sprickbredden som fås ur Tabell 5.1.

Tabell 5.1, visar tillåten sprickbredd med hänsyn till exponeringsklass och livslängd. (Svensk Standard, 2008)

Dragarmeringen i fundamentet placeras ovanför pålarna. Täckskiktet för armeringen motsvarar då pålarnas ingjutningsdjup för balkmodellen och ingjutningsdjupet plus halvtryckzons höjden