Hur resonerar du nu?: En kvantitativ innehållsanalys av imitativa och kreativa resonemang i läromedel riktade mot årskurs tre i matematik

Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier

Självständigt arbete 2 för grundlärare Fk-3, 15 hp

Hur resonerar du nu?

En kvantitativ innehållsanalys av imitativa och kreativa resonemang i läromedel riktade mot årskurs tre i matematik.

Handledare: Johan Prytz

Sebastian Eriksson & Oscar Svensson

Examinator: Jonas Almqvist

Sammanfattning

Denna studie är en kvantitativ innehållsanalys med den matematiska förmågan resonemang som fokus. Med hjälp av en operationalisering av Lithners teori (2008) om kreativt och imitativt resonemang innehållsanalyseras tio arbetsböcker med inriktning mot årskurs tre. Anledningen till uppkomsten av denna studie är att det finns läromedelsanalyser som fokuserar på resonemangsförmågan, men dessa är inte inriktade mot grundskolans lägre åldrar.

Resultaten i studien visar ett lågt antal uppgifter som inbjuder till kreativa resonemang. Med ett genomsnitt på 1,25% (standardavvikelse 0,67 procentenheter) i tio arbetsböcker.

I uppsatsen diskuteras resultatets låga användande av kreativa resonemang och jämför dessa med tidigare liknande forskning. Det diskuteras även problematiken med en ren innehållsanalys då denna endast visar vad eleverna får träna på och inte vad de lär sig. Slutsatsen blir att av de analyserade läromedlen inbjuder få uppgifter till ett kreativt resonemang. Detta lägger en viktig grund för vidare studier om läromedel och dess användande i skolverksamhet.

Nyckelord: Imitativt resonemang, kreativt resonemang, läromedelsanalys, läromedel

Innehållsförteckning

Sammanfattning ... 2

Inledning ... 5

Bakgrund ... 6

Vad är matematik? ... 6

Skolinspektionen ... 7

Teoretisk utgångspunkt ... 8

Resonemang ... 8

Imitativt resonemang ... 8

Kreativt resonemang ... 10

Tidigare forskning om teorin ... 10

Lithner ... 11

Kirschner et al. ... 12

Syfte och frågeställningar ... 14

Tidigare forskning ... 15

Läromedelsanalys ... 15

Exempel på innehållsanalyser på läromedel ... 17

Resonemangsförmåga i läromedel ... 18

Innehållsanalyser med fokus på resonemangsförmåga ... 20

Sammanfattning av tidigare forskning ... 21

Metod ... 23

Insamlingsmetod ... 23

Validitet och reliabilitet ... 23

Urval ... 24

Analysmetod ... 24

Exempeluppgifter ... 26

Hur har vi räknat uppgifter... 26

Borträknade uppgifter ... 29

Imitativa resonemang ... 30

Kreativa resonemang ... 32

Resultat ... 34

Diskussion ... 38

Forskningsdiskussion ... 38

Resultatsdiskussion ... 39

Praktiska och teoretiska tillämpningar ... 40

Referenslista ... 42

Undersökt material ... 44

Bilagor ... 45

Inledning

Vi är två lärarstudenter vid grundlärarprogrammet Fk-3 vid Uppsala universitet. Matematik har alltid varit en viktig del för oss, både under vår egen skolgång men även under vår utbildning på universitet. Under den senaste matematikkursen låg stort fokus på de fem förmågorna, vilket gjorde att vi insåg hur viktigt det var att reflektera över dessa. Den förmåga som stod ut mest för oss var resonemangsförmågan. Alltså förmågan att resonera, tänka och logiskt reflektera över sina tillvägagångssätt i matematiska situationer.

Under praktiktillfällen har vi sett hur mycket den matematiska undervisningen vilat på läromedel och eftersom läromedelsanalys inte varit ett självklart moment i utbildningen så såg vi ett problem. Nyexaminerade lärare med låg kunskap om läromedelsteori och ett stort urval av läromedel kan göra det svårt att hitta rätt matematikbok för sin klass. Det har lett till denna uppsats där en innehållsanalys av 10 arbetsböcker genomförts med resonemangsförmågan som teori med inriktning mot årskurs tre.

Bakgrund

I det här avsnittet av studien sammanfattas skolverkets syn på matematik och resonemangsförmågan för att rättfärdiga varför det är viktigt att undersöka om det finns möjlighet att träna den förmågan. Sedan följer ett avsnitt om skolinspektionens (2009) syn på läromedel och vikten av att lärare utför läromedelsanalyser i matematik med slutpunkten i varför denna studie genomförs.

Vad är matematik?

Skolverket definierar matematik som ett ämne som existerat i flera tusen år och är ett mångkulturellt fenomen som sprunget ur människans nyfikenhet och utforskaranda för att tillfredsställa praktiska behov. Skolverket menar också att matematikämnet ska hjälpa till att skapa innovation samt samhällsmedborgare genom att vara ett problemlösande, kreativt och reflekterande ämne för att hjälpa eleverna att ta välgrundade beslut i sin vardag (Skolverket 2018, s. 54). Det här är med stor sannolikhet en av anledningarna till att matematik är ett ämne som får totalt 1230 antal timmar av 6890 timmar som varje elev är garanterad genom hela grundskolan (Skolverket 2019).

Den av de fem förmågor som tas upp i denna studie är resonemangsförmågan. Skolverket (2018) skriver i syftestexten till läroplanen att eleven ska ges förutsättningar att ”föra och följa matematiska resonemang,” (Skolverket 2018, s. 55). Resonemangsförmågan finns även med i samtliga delar av det centrala innehållet som beskriver vad svensk skolmatematik ska innehålla - (ibid., ss. 55, 56). Skolverket har även gett ut en modul i sin lärportal, ”att arbeta utifrån de matematiska förmågorna” där förmågorna klargörs. Skribenten av modulen menar att samtliga förmågor har en ”komplex och multidimensionell relation till varandra” (Juter 2014, s. 4) men beskriver resonemangsförmågan på följande vis:

Resonemangsförmågan innefattar förmågan att driva en matematisk argumentation med hjälp av begrepp och procedurer till exempel i problemlösningssituationer. Resonemang förs på olika vis genom förklaring, slutledning, bevisföring och andra typer av logisk härledning. Resonemang är också en viktig del av problemlösning och bevisföring. (ibid., s. 2).

Juter (2014) menar alltså att modellering och problemlösningsförmågan är nära sammankopplade med resonemangsförmågan.

Skolinspektionen

Så här skriver skolinspektionen (2009) om sitt uppdrag på sin hemsida:

Skolinspektionen är en statlig myndighet som granskar skolor och bedömer ansökningar om att driva fristående skola. Vi har tillsynsansvar för skola, vuxenutbildning, fritidshem, förskola och annan pedagogisk verksamhet. Målet är en god utbildning i en trygg miljö (Skolinspektionen 2018).

Varje år genomför skolinspektionen en rad inspektioner i skolverksamheter runt om i landet.

Under 2009 gjordes en sådan undersökning av 23 skolenheter i tio olika kommuner med syfte att bidra till matematikundervisningens måluppfyllelse och skolresultat (Skolinspektionen 2009, s. 5).

Inspektionen visade att ca 11% av undervisningen bedrevs med hjälp av läromedel i årskurserna ett till tre. Det uppdagades även att vid lektioner där läromedel användes var ca 90% av lektionerna inom kategorin ”räkna efter regler i boken” och att resterande uppgifter var exempelvis problemlösning. Detta menar skolinspektionen (2009) leder till en väldigt ensidig träning där procedurträning ligger till fokus (ibid., s. 17). Skolinspektionen (2009) menar alltså att läroböcker har ett skevt fokus på att öva procedur och att undervisningen borde kompletteras med andra uppgifter för att ge en mer mångfacetterad bild av de kompetenser som det centrala innehållet pekar på (ibid., s. 17). Skolinspektionen (2009) avslutar med att eleverna måste ges möjlighet att utvecklas, engageras i uppgifter utöver läromedelsledd procedurhantering.

Skolinspektionen (2009) fortsätter med att målen måste klargöras för förlagen som tillverkar läromedel och arbetsböckerna måste utvecklas. Om en utveckling inte sker kan det leda till att eleverna får en begränsad matematisk förståelse. Skolinspektionen (2009) menar även att lärarna bör följa upp och utvärdera de arbetssätt och former som undervisningen ger eleverna (ibid., s.

22)

Med utgångspunkten att resonemangsförmågan är centralt för elevernas logiska tänkande, val av metod, tankebanor och procedur (Juter 2014, s. 2) kan resonemangsförmågan ses som en av de viktigaste förmågorna att träna. Skolverket (2009) menar även att ansvaret för att använda läromedel som på ett mångfacetterat sätt behandlar de matematiska förmågorna ligger hos lärarna. De trycker även på att det är lärarnas uppgift att analysera och utvärdera läromedlen (Skolinspektionen 2009, ss. 17, 22). Därför undersöker denna studie resonemangsförmågan i läromedel.

Teoretisk utgångspunkt

Under denna rubrik presenteras studiens teoretiska utgångspunkt. Först beskrivs Lithners (2008) definition av begreppet resonemang. Därefter beskrivs det imitativa resonemanget med egna underrubriker. Slutligen beskrivs kreativa resonemang under en egen rubrik.

Resonemang

Lithner (2008) menar att många forskare diskuterar hur problemlösning bör definieras samt hur problemlösningsuppgifter bör formuleras, men att det de missar är att prata om resonemang och olika sätt att resonera kring uppgifter (Lithner 2008, ss. 255-256).

Lithner (2008) förklarar att resonemang är ett begrepp som ofta är odefinierat, eftersom många anser att det underförstått finns en form av universell förståelse för begreppets betydelse.

Lithner (2008) beskriver resonemang som tankebanan som används för att nå fram till slutsatser eller resultat av uppgifter. Det behöver alltså inte vara något som baseras på formell logik utan det räcker att resonemanget är uppbackat av något som är logiskt för den som resonerar.

Resonemang blir alltså något som inte begränsas till bevis, utan så länge det finns någon form av logik för den som för resonemanget så är det fortfarande ett resonemang. Han förklarar även att ett resonemang kan vara en tankeprocess eller en produkt av tankeprocessen (Lithner 2008, s.

257). Eftersom det inte går att se någons tankeprocess så skriver Lithner (2008) dock att det är lättare att analysera resonemang som en produkt av tankeprocessen, då detta innebär att man kan se produkten som presenteras i en sekvens som löser en uppgift, alltså från uppgift till svar (ibid.).

För att lösa en uppgift så förklarar Lithner (2008) att man kan följa fyra steg. Först möter man en uppgift, sedan gör man ett strategiskt val, som i sin tur tillämpas och slutligen når man en slutsats (ibid., ss. 257-258).

Imitativt resonemang

Lithner (2008) skriver om Ben som löser en uppgift med hjälp av en algoritm, men att något som karaktäriserar Bens lösning är att den inte är hans egen, utan det är endast en procedur han imiterar från en lärobok eller en lärare. Det är detta som kallas som imitativt resonemang. Man kan sen dela upp det imitativa resonemanget i två ytterligare kategorier: Memorerande resonemang och algoritmiskt resonemang. (Lithner 2008, s. 258).

Memorerat resonemang

Memorerat resonemang kan beskrivas som en strategi man väljer, för att lösa en uppgift, som grundar sig på att minnas ett färdigt svar, för att genomförandet sedan endast ska bestå av att skriva ner svaret (Lithner 2008, ss. 258-259). Även om uppgiftslösning delvis bygger på memorerande så kan denna strategi generellt bara vara användbar vid uppgifter som inbjuder till faktasvar, exempelvis om man ska redovisa hur många kubikcentimeter en liter är, eller vad definitionen av en romb är (ibid.).

Algoritmiskt resonemang

Skoluppgifter i matematik kräver ofta uträkningar snarare än bara raka svar, då är det mer lämpligt att komma ihåg en algoritm i stället för att bara komma ihåg ett svar (Lithner 2008, s.

259). Det skulle exempelvis kunna handla om att ställa upp ett additionstal med hjälp av en vertikal uppställning, som står eller stått beskriven för eleven. Ett algoritmiskt resonemang fyller två kriterier. Strategin man väljer för att lösa en uppgift väljer man bland lösningsalgoritmer man har i minnet. Samt att själva resonemanget i sig behöver ingen vidare reflektion, utan så länge man följer resonemanget utan slarvfel så kommer man få rätt svar (ibid.). Den huvudsakliga poängen med Lithners (2008) uppfattning av algoritmiskt resonemang är att de svåra delarna av en uppgift blir omhändertagna av algoritmen för att sedan överlåta de lätta delarna till eleven (ibid.).

I sin tur delar Lithner (2008) även upp algoritmiskt resonemang i tre olika kategorier. Den ena kategorin är bekant algoritmiskt resonemang. Det handlar om att se utseendet av en uppgifts huvudsakliga egenskaper. Det är dessa egenskaper som definierar en uppgift till en uppgift eleven sett liknande av tidigare eller inte. Om då eleven känner att uppgiften är bekant, så väljer eleven därefter en lösningsalgoritm (Lithner 2008, s. 262). Den andra kategorin är ett avgränsande algoritmiskt resonemang som handlar om att testa sig fram med algoritmer som borde fungera till en uppgift. Man identifierar alltså en uppgift för att sedan hitta vilka algoritmer som borde fungera till att lösa uppgiften för att slutligen testa de olika algoritmerna tills man kommer fram till ett troligt svar (ibid., ss. 262-263). Den sista kategorin av algoritmiskt resonemang är ett väglett algoritmiskt resonemang, som innebär att eleven på ett eller annat sätt blir vägledd att komma fram till rätt algoritm. Det kan handla om att eleven följer ett exempel ur matematikboken och bara kopierar en uppställning, eller så kan det handla om att en lärare eller pedagog står vid sidan av och vägleder eleven till att välja rätt algoritm och därigenom komma fram till rätt lösning på uppgiften (ibid., ss. 262 - 265).

Kreativt resonemang

Det imitativa resonemanget handlar alltså om att imitera någon annans resonemang. I kontrast till det handlar det kreativa resonemanget mer om att skapa ett nytt resonemang. Kreativa resonemang för matematik fyller följande kriterier: nyhet, rimlighet och matematisk grund.

Resonemanget ska vara ett helt nyskapat resonemang av eleven, eller också ett glömt resonemang som eleven återskapar. Resonemanget ska vara rimligt. Det ska alltså fortfarande vara anknutet till uppgiften och det ska finnas logiska skäl till att slutsatsen av resonemanget är rimligt. Slutligen ska det finnas en matematisk grund för resonemanget. De komponenter som bygger upp resonemanget ska alltså förankras i matematiska egenskaper. (Lithner 2008, ss. 265 - 267). För att ge ett exempel på hur ett kreativt resonemang kan se ut skriver Lithner (2008) om Per som med hjälp av Lithner själv ska lösa en uppgift. Uppgiften som Per får hade inte någon självklar lösningsmetod eller instruktioner för uppgiftens lösning, så Per experimenterade med algoritmer och lösningsmetoder. Sedan testade han sig fram och det enda stödet han fick av Lithner var verifierande frågor, alltså frågor som hjälper Per att reda på om hans svar är rimligt eller inte.

Efter några försök utan någon stöttning av Lithner, kom Per fram till rätt svar (ibid., ss. 265-267).

Resonemanget var kreativt eftersom det var första gången Per stött på en liknande uppgift och han var tvungen att komma på ett för honom nytt resonemang för att lösa uppgiften.

Resonemanget var rimligt, då det gick att knyta an resonemanget till uppgiften och Per motiverade varför det var rimligt. Till slut var resonemanget kreativt eftersom den stod på en matematisk grund. Per hade, med hjälp av uppgiftens begrepp och matematiska egenskaper, tänkt ut algoritmer som kunde hjälpa till att räkna ut uppgiften. Med dessa algoritmer som kopplas till uppgiftens matematiska egenskaper skapar Per nu ett eget resonemang med en matematisk grund (ibid., ss. 265-267).

Det kreativa resonemanget kan alltså vara en längre process och kräva mer av elevernas förmåga. Medan, enligt Lithner (2008), kan det med det imitativa resonemanget finnas en risk att eleverna inte lär sig det de ska lära sig (Lithner 2008, s. 259).

Tidigare forskning om teorin

Under denna rubrik redovisas Lithners kliniska studie från 2017 som pekar på att undervisning som fokuserar på kreativa resonemang är mer gynnsamt än ett imitativt. Efter en genomgång av Lithners studie (2017) beskrivs en del poänger av Kirschner et al. (2006) som menar att ett lågt mått av guidning av eleverna kan vara rent skadligt. Dessa två teorier om den kreativa resonemangsförmågan och faran med uppgifter som innehåller ett mått av låg guidning står i rak kontrast till varandra och diskuteras därför i diskussionsavsnittet i denna studie.

Lithner

Lithner (2017) syftade till att syntetisera forskningsresultat som kan användas som principer för att formulera uppgifter. Lithner (2017) vill se vad uppgiftsbaserad undervisning gör och skapar ett ramverk för att kunna analysera effekterna av detta. Han försöker också se hur olika resonemangsförmågor påverkar elever. Han försöker också visa uppgiftsdesigner som kan optimera elevers inlärning (Lithner 2017, s. 298).

När Lithner (2017) beskriver hur en uppgift ska vara formulerad för att främja elevens möjlighet att träna på ett kreativt resonemang skriver han att den bör fylla två kriterier. Det första kriteriet ska vara att det inte ska finnas någon färdig lösningsmetod tillgänglig. Det andra kriteriet är att det ska vara rimligt att eleven berättigar skapandet och användandet av en lösning (Lithner 2017, s. 941).

Lithner (2017) förklarar varför uppgifter bör vara formulerade för att efterfråga ett kreativt resonemang i stället för ett imitativt resonemang. Han anger tre teser med varsitt argument varför. Den första är att om målet är att bygga matematisk kompetens så är det bättre att använda sig av kreativt resonemang. Till den första tesen skriver han att den stöds av TDS (Theory of Didactical Situations) vilket bygger på teorin att inlärning genom imitativa resonemang blir ineffektiv eftersom eleven inte får ta eget ansvar för deras intellektuella arbete och kommer då senare få problem för djupare inlärning (Lithner 2017, s. 939). Den andra tesen är att om eleven ska träna på sin problemlösningsförmåga så är det bättre med ett kreativt resonemang, eftersom om eleven inte tränar på problemlösning så kommer hen inte bli bättre på det och har eleven redan en färdig lösningsmetod så finns det inget problem i sig. Den tredje och sista tesen är att om målet är att bygga upp en matematisk förståelse så är det bättre med kreativa resonemang, eftersom det är nödvändigt att ha alla matematiska egenskaper i åtanke vid en uppgift som inbjuder till kreativa resonemang. Det är något som inte behövs i en uppgift som inbjuder till ett imitativt resonemang (ibid., s. 942).

För att visa att dessa teser stämmer gjordes det en forskningsstudie på ett antal elever där de skulle skriva ett prov. Hälften av eleverna fick öva på relevanta uppgifter genom att lära sig algoritmer, medan den andra hälften fick samma uppgifter men utan hjälp av algoritmer och var därför tvungna att använda sig av kreativa resonemang. Samtliga elever fick ungefär 1,5 timme att studera till provet och när provet blev skrivet så fick eleverna som fick träna på ett algoritmiskt resonemang mycket högre resultat. En vecka senare skrev eleverna samma prov igen, men den här gången fick eleverna som fick träna på kreativa resonemang högre resultat (Lithner 2017, s.

943).

Lithner (2017) förklarar också olika principer som bör beaktas vid uppgiftsformulering. För att om målet är att eleven kan använda ett algoritmiskt resonemang så kan det göras med en lösningsmetodsom presenteras i anslutning till uppgiften, eftersom forskning visar att om en elev får en lösningsmetod som hjälper den få fram rätt svar så kommer eleven använda den (Lithner 2017, s. 944). Om målet är att eleven kan använda ett kreativt resonemang så måste man anpassa svårigheten och hur mycket kreativ frihet man faktiskt får (ibid., s. 945).

Lithner (2017) avslutar sin artikel med att förklara att en uppgift som är anpassad för att eleven ska använda ett kreativt resonemang inte är hållbart om kunskapskraven på uppgiften ligger för högt. Eleven behöver självklart grundläggande kunskaper först för att sen kunna använda dessa kreativt. Det vore alltså bättre om man kunde hitta en balans mellan algoritmiskt resonemang och kreativt resonemang (Lithner 2017, s. 947).

Kirschner et al.

Kirschner, Sweller och Clarke skrev 2006 en artikel i Educational psychologist där de motsätter sig pedagogiska teorier som de kallar för ”minimal guidance”. Minimal guidance är en pedagogisk teori där eleverna får arbeta i en undersökande kontext och bes att upptäcka fundamentala och välkända fenomen inom matematik och naturvetenskap. För att kunna bedriva undervisning genom minimal guidance ska uppgifterna vara autentiska där eleverna får förutsättningar för att upptäcka fenomenet uppgiften behandlar (Kirschner et al. 2006, ss. 75, 76).

Kirschner et al. (2006) bygger i stället sin teori på vad de kallar för ”human cognitive architecture” där samarbetet mellan långtidsminne och arbetsminne är centralt (Kirschner et al.

2006, s. 76). Kirschner et al. (2006) menar att tidigare ansågs långtidsminnet vara ett passivt minne som påverkade undermedvetandet hos individen och där fragment av information gjorde att man kunde repetera det som man lärt sig (ibid., s. 76). Kirschner et al. (2006) menar att långtidsminnet är numera den dominerande strukturen av den mänskliga kognitionen, allt vi ser, hör och tänker är påverkat av tidigare erfarenheter och influeras därav av långtidsminnet.

Forskarna menar alltså att målet med undervisningen är att göra en förändring i långtidsminnet då detta enligt skribenterna är inlärning. Målet är alltså att göra en förändring i långtidsminnet för att kunna känna igen och därefter välja ett tillvägagångssätt som är gynnsamt. Forskarna tar upp exempel såsom att korsa en väg utan att bli påkörd till mer kognitivt avancerade uppgifter som att beräkna en problemlösningsuppgift (ibid., ss. 76, 77).

Enligt Kirschner et al. (2006) så har arbetsminnet två karaktäristiska drag. Det första är att arbetsminnet har en begränsad kapacitet och kan endast behandla tre till sju olika element samtidigt samt att om information inte blir repeterad inom 30 sekunder går det förlorat och befästs inte i långtidsminnet. Det andra karaktäristiska draget är att arbetsminnet är den kognitiva

process som behandlar handlingar och beslutsfattande men även den som tar in ny information (Kirschner et al. 2006, s. 77). Den viktigaste egenskapen som arbetsminnet har enligt Kirschner et al. (2006) är att arbetsminnet kan samarbeta med långtidsminnet. Dessa begränsningar är dock endast relevanta så länge arbetsminnet behandlar ny information men i samarbetet med långtidsminnnet försvinner dessa begränsningar (ibid., s.77) Detta samarbete blir då den viktigaste egenskapen som arbetsminnet har. Just i samarbetet kan den kunskap som finns i långtidsminnet alltid förflyttas till arbetsminnet för att bearbeta ett problem vilket leder till att arbetsminnets begränsade bearbetbarhet inte påverkas (ibid., s. 77). Med samarbetet i åtanke menar Kirschner et al. (2006) att de som förespråkar ”minimal guidence” antingen behandlar arbetsminnet som icke existerande alternativt att arbetsminnet inte har några gränser och skriver The onus should surely be on those who support inquiry-based instruction to explain how such a procedure circumvents the well-known limits of working memory when dealing with novel information. (ibid., s. 77).

Kirschner et al. (2006) förespråkar därmed ett tillvägagångssätt som bygger på tidigare erfarenheter och en förståelse för vilka tillvägagångssätt och hjälpmedel som finns att tillgå då detta kringgår arbetsminnets begränsningar och utnyttjar de tidigare erfarenheter eleverna upplevt ur långtidsminnet. Denna studie har valt att behandla dessa argument som en förespråkare för imitativt resonemang. Detta grundas i att Kirschner et al. (2006) anser att låta elever upptäcka och lära utan tidigare erfarenhet belastar deras arbetsminne på ett ogynnsamt sätt. Vilket står i kontrast till de centrala delarna som definierar ett arbetssätt som behandlar resonemangsförmågan kreativt.

Syfte och frågeställningar

Syftet med denna studie är att komplettera tidigare forskning med empiri kring andelen uppgifter i läromedel som ger elever förutsättningar att träna kreativa eller imitativa resonemang i årskurs tre. Detta har lett fram till följande frågeställning:

• Hur stor andel av uppgifterna ur fem läromedel ger förutsättningar att träna imitativt resonemang?

• Hur stor andel av uppgifterna ur fem läromedel ger förutsättningar att träna kreativt resonemang?

• Hur stor är den relativa och absoluta frekvensen av uppgifter som inbjuder till imitativa eller kreativa resonemang, ur samtliga läromedel?

Tidigare forskning

För att få en inblick i hur läromedelsanalyser kan genomföras redovisas först Rezat och Strässers (2015) artikelstudie som ser till tre generella kategorier av läromedelsanalyser. Sedan ges två exempel på andra former av innehållsanalyser av Bråting et al. (2019) samt Dyrvold et al. (2015) som genomförts i Sverige men mot låg- och mellanstadiet. Sedan redovisas Stylianides (2014) editorial som blir en introduktion till hur resonemang hanteras i läromedel och varför det hanteras så. Sedan redovisas Jäders (2015) artikelstudie som fokuserar på hur resonemangsförmågan behandlas i skolan. Som sista del redovisas Brehmer et al. (2016) innehållsanalys, som är inriktad på gymnasieskolans läromedel och har problemlösning genom resonemang som fokus.

Läromedelsanalys

Rezat och Strässer (2015) genomförde en artikelstudie över vilka metoder som används för att analysera läromedel i matematik i de nordiska länderna (Rezat & Strässer 2015, ss. 247, 248).

Anledningen till att Rezat och Strässer (2015) genomförde studien var att matematikboken används, enligt TIMSS 2007, som den didaktiska basen för matematikundervisning där lärare som undervisar årskurs fyra använder läromedel 65% av matematiklektionen och lärare i årskurs åtta använder läromedel 60% av matematiklektionen. Forskarna ville därav bidra till att klargöra och förfina de metoder som används för att analysera läromedel i matematik (ibid., s. 248).

Tillvägagångssättet som Rezat och Strässer (2015) använde sig utav var en socio-didaktisk tetrahedron (ibid., ss. 249, 250) där de analyserade och sorterade studier där läromedel i matematik analyserats. Forskarna delar upp studierna i tre kategorier där, influenserna i läromedel undersöks, läromedlets innehåll analyseras och läromedlets inverkan på undervisningen och inlärningen undersöks (ibid., s. 247). Forskarna beskriver den förstnämda kategorin, influenser i läromedel, som att de flesta läromedelsförfattare inte redovisar eller förklarar sina vetenskapliga avvägningar angående hur läromedlen framställts och vilka didaktiska avvägningar som skett (ibid, s. 250). Det är därför svårt att avgöra vad som påverkar framställningen av ett läromedel.

Den innehållsliga analysen är den vanligaste formen av läromedelsanalys i matematikämnet (Rezat & Strässer 2015, s. 251). De former av innehållsanalyser som forskarna bland annat tar upp är, matematisk koherens, instruktionens tydlighet och exakthet, distributionen mellan kvalitativa och kvantitativa uppgifter, representation av mångfald i läromedlet, vilka olika förmågor som finns representerade och i vilken utsträckning dessa finns samt hur text, bild,

färger och illustrationer framställs och används (ibid., s. 253). De metodiska avvägningar som dessa analyser vilar på kan delas upp i två olika former. Den kvantitativa, där uppgifterna räknas efter förutbestämda avgränsningar och som senare redovisas statistiskt. Den andra är kvalitativa analyser som är den vanligaste av de två där analysen sker genom att metodiskt steg för steg analysera innehållet i deras sammanhang utifrån olika förutbestämda modeller utan att kvantifiera resultatet (ibid., s. 252). Dessa innehållsligt olika läromedelsanalyser använder sig utav olika teorier men baseras på samma metoder för innehållsanalys vilket gör att dessa kan sammankopplas. En innehållslig analys visar endast de möjligheter det läromedlet erbjuder att lära eleverna, inte vad eleverna faktiskt lär sig under lektionstid (ibid., ss. 253, 254).

Den sista formen av läromedelsanalys är hur läromedlet påverkar elevernas inlärning och hur läromedlet influerar lektionsinnehållet (Rezat & Strässer, 2015, s.254). Det finns inte en enda insamlingsmetod som fungerar universellt för att genomföra denna form av läromedelanalys, utan flertalet metoder bör användas i kombination. Genom att använda flertalet insamlingsmetoder och triangulering av metoderna menar skribenterna att validiteten ökar då fördelarna av insamlingsmetoderna stärks medan svagheterna minskar (ibid., 2015, s.255). De metoder som forskarna rekommenderar för denna form av studie är intervjuer, enkäter och observationer (ibid., ss.254, 255). Därför redovisar Rezat och Strässer (2015) tre olika former av tillvägagångssätt för att undersöka läromedlens påverkan på elever. Ett som undersöker hur läromedel påverkar lektionerna. Ett som beskriver hur läromedel påverkar elevers prestation.

Avslutningsvis ett som undersöker hur läromedel påverkar elevers kognitiva processer. Rezat och Strässer (2015) redovisar en uppdelning av användandet av läromedel i tre kategorier som kallas direkt påverkan, indirekt påverkan och avsaknad av påverkan. Direkt påverkan är när eleverna aktivt arbetar i läromedlet. Indirekt påverkan betyder att pedagogen använder sig av läromedlets innehåll utan att direkt använda läromedlet. Avsaknad av påverkan innebär att någon koppling till läromedlet inte går att redovisa. Den andra kategorin av läromedels påverkan, är dess påverkan på elevers prestationer. Rezat och Strässer (2015) beskriver ett användande av insamlingsmetoden för- och eftertest. Dessa test jämfördes sedan efter att undervisning med läromedel skett under ett års tid. Utifrån jämförelsen kunde det påvisas att det fanns ett samband mellan elevens prestation och läromedel . Avslutningsvis redovisas problematiken med att undersöka påverkan av läromedel på elevers kognitiva processer genom att redovisa en experimentell metod där resonemangsförmågan undersöks, genom att observera och videoinspela in elever som löser matematiska uppgifter. En studie genomfördes och eleverna som deltog ombads att “tänka högt”

men fortfarande arbeta som vanligt. Problemet med den experimentella metoden är att försökspersonerna kommer att agera annorlunda än de vanligtvis skulle göra vilket resulterar i att

empirin kan bli missvisande. Även om denna problematik inte skulle påverka menar Rezat och Strässer (2015) att den experimentella metoden kan vara missvisande. De förklarar att den resonerande förmågan är inget som kan redovisas då resonerandet sker inuti försökpersonens huvud (Rezat och Strässer 2015, ss.255 - 258).Rezat och Strässer (2015) menar alltså att en läromedelsanalys är problematisk att genomföra då influenser som påverkar innehållet och dispositionen i läromedlet inte redovisas och kan därför inte analyseras. En innehållsanalys är relativt lätt att genomföra men säger inte så mycket mer än vad eleverna får möjligheten att öva sina färdigheter i men vad de faktiskt presterar går inte att undersöka. Avslutningsvis menar författarna att undersöka elevernas prestation är svårt då det är många olika parametrar och metoder som måste användas innan undersökningen är valid och reliabel.

Exempel på innehållsanalyser på läromedel

Under denna rubrik redovisas två typiska innehållsanalyser som riktar sig mot arbetsböcker mot låg- och mellanstadiet. Det är Dyrvold et al. (2015) som genomför en lingvistisk innehållsanalys av textbaserade uppgifter. Den andra studien som presenteras är Bråting et al. (2019) som analyserar algebraiskt innehåll i läromedel. Dyrvold et al. (2015) och Bråting et al. (2019) analyserar alltså inte resonemangsförmågan.

Dyrvold et al. (2015) genomförde en lingvistisk analys av textbaserade uppgifter, där bland annat matematiska läromedel med PISA-uppgifter (2006) användes som utgångspunkt.

Undersökningens syfte var att undersöka om det finns ett samband mellan elevers prestation i textbaserade uppgifter och deras ordförråd (Dyrvold et al. 2015, ss. 6, 11, 12). De kategoriserade ord som vanliga eller ovanliga matematiska ord och ställde dessa mot antalet rätta lösningsmetoder med godtagbart svar genom en korrelationsanalys. Detta för att undersöka om ett samband fanns mellan antalet ovanliga matematiska ord och antalet korrekta lösningsmetoder med ett godtagbart svar (ibid., ss. 15, 16). Slutsatsen som forskarna fann var att det finns ett krav om att eleverna måste ha ett matematiskt vokabulär men att det inte påverkar lösningfrekvensen i särskilt stor utsträckning (ibid., ss. 19, 20).

Det andra exemplet på innehållsanalys i läromedel genomfördes av Bråting et al. (2019) där ett påstående om att svenska elevers kunskapsnivå inom algebra är lågt både nationellt och internationellt låg till grund (Bråting et al. 2019, s. 28). Därför genomfördes en innehållsanalys där Blatons så kallade Big Ideas ligger som teoretisk grund för att identifiera algebraiska uppgifter i två läromedel för lågstadiet och mellanstadiet, i totalt tolv böcker (ibid., ss. 28, 32, 33).

Skribenterna drog slutsatsen att i läromedlet Eldorado var det drygt 10% som behandlade algebra i någon utsträckning medan i Matte direkt var det endast 6% av uppgifterna som behandlade

algebra (ibid., s. 39). Skribenterna avslutar studien med att påvisa problematiken med att använda sig utav Blatons Big Ideas då denna teori är väldigt generell och menar att med en smalare teoretisk utgångspunkt kunde analysverktyget gett ett mer givande resultat om algebraisk inlärning i svenska skolan (ibid., s. 45).

Resonemangsförmåga i läromedel

Under denna rubrik redovisas två studier som behandlar resonemangsförmågan, men till skillnad från det denna studie gör så behandlar de inte lågstadiet.

Stylianides (2014) skrev i International Journal Of Education Research att resonemangsförmågan är en central förmåga då den bygger upp elevernas förståelse för hur matematiska strategier och tillvägagångssätt fungerar (Stylianides 2014, s. 63).

Stylianides (2014) hävdar att elever genom egen utforskning bättre kan förstå de matematiska strukturer och system som finns att tillgå istället för att förlita sig på lärarens förklaringsmodeller (Stylianides 2014, s. 63). Trots forskningar och studier har resonemangsförmågan inte fått en adekvat plats i elevernas inlärning av matematik (ibid., s. 63). Det finns två hinder för att resonemangsförmågan ska få större plats i undervisningen. Det första är att pedagoger i grundskolan inte har kunskap om hur central resonemangsförmågan är både matematiskt och pedagogiskt. Det andra hindret är den syn som vissa lärare har angående vissa delar av resonemangsförmågan och bedömer att denna förmåga är över elevernas kapacitet att lösa uppgifter (ibid., ss. 63, 64).

Stylianides (2014) skriver också att läromedel är en central del av undervisningen då de hjälper läraren att välja ut vad som är viktigt och vad som eleverna bör tränas i. Detta gör att läromedlet får en central roll i elevernas undervisning även om arbetsboken inte används aktivt (Stylianides 2014, s. 64). Bara för att ett läromedel används betyder det inte eleven lär sig innehållet.

Stylianides (2014) menar att alla uppgifter som genomförs i klassrummet går igenom tre stadier, först hur uppgiften framställs i läromedlet, sedan hur lärare visar och förklarar uppgiften, sedan hur eleven genomför uppgiften. Detta för att sedan se vad eleven har tagit till sig (ibid., s. 64).

Det finns metodiska svårigheter med att genomföra en läromedelsanalys, det går att analysera läromedlet från flertalet olika perspektiv. Elevperspektivet beskriver Stylianides (2014) som att elevens troliga svar kan ge svar på frågan om resonemangsförmågan berörs eller inte. Stylianides (2014) är noga med att poängtera att utan för- och eftertest är perspektivet svårt att använda (Stylianides 2014, s. 66). Det andra perspektivet är det matematiska perspektivet, där man söker efter elevernas möjlighet till att få träna sin resonemangsförmåga utan en pedagogisk kontext (ibid.). Det näst sista perspektivet är lärarperspektivet där frågeställningen ”vad kommer min

elevgrupp att kunna ta till sig utifrån den här typen av uppgifter?” ställs. Man sätter alltså uppgiften i en pedagogisk kontext (ibid., s. 67). Det sista perspektivet är läromedelsförfattarens där frågan ”vad hade författaren för avsikt med hur uppgiften/ uppgifterna skulle implementeras i klassrummet?” ställs. Denna form av perspektiv är svår att applicera på läromedel, utan ska snarare användas på lärarhandledningar. Problematiken som då kan uppstå är att samtliga uppgifter troligen inte finns med i lärarhandledningen vilket leder till att det snarare är en handledningsanalys än en läromedelsanalys (ibid., s. 68).

Stylianides (2014) avslutar med att poängtera att det är viktigt att flera pedagogiska tidskrifter bör publicera fler läromedelsanalyser för att skapa en större debatt och förståelse för läromedlens roll i undervisningen (Stylianides 2014, s. 69).

Likt Stylianides (2014) studie som försöker se hur läromedel används i skolan så var syftet med Jäders (2015) avhandling att, genom att analysera forskning, få en bättre förståelse för vad som händer i skolan. Han analyserar tre studier, där huvudfokuset ligger på resonemang.

Studierna behandlar begreppet resonemang i skolan och Jäder (2015) undersöker elevernas möjlighet att träna sin resonemangsförmåga under lektionstid (Jäder 2015, ss. 5,6).

Jäder (2015) gör en distinktion mellan en procedur och ett resonemang. Han menar att ett algoritmiskt resonemang är mer av en procedurell metod snarare än ett resonemang. Detta leder ofta till att eleven som använder ett algoritmiskt resonemang inte får en djupare förståelse av vad den lärt sig. Om en elev förstår proceduren men inte sammanhanget kan det blir ett missförstånd i ett senare skede. Han ger exemplet en elev som räknar -5 -3 vilket är lika med -8. Problemet i detta fall var att eleven hade svårigheter att räkna ut talet, tills eleven kom på minnesregeln att minus och minus blir plus. Det är en minnesregel som inte stämmer överens med elevens problem, eftersom det är en minnesregel som gäller för multiplikation eller subtraktion av negativa tal. Det är detta missförstånd som Jäder (2015) menar är något som är en risk med att endast arbeta med uppgifter procedurellt eller algoritmiskt i stället för att träna eleverna på att resonera och förstå djupet i uppgifterna (Jäder 2015, ss. 1-2).

Jäder (2015) trycker på styrdokumenten och förklarar att det ligger ett fokus på att eleverna ska kunna visa vad de kan och logiskt tänkande, men att eleverna inte får lära sig detta. Han skriver att självklart måste eleverna lära sig algoritmer, men får eleverna en större förståelse för helheten ökar möjligheten att kreativt använda olika procedurer och olika begrepp (Jäder 2015, ss.

2-3).

Jäder (2015) beskriver däremot resonemangsförmågan som något som bygger på en konceptuell grund. En stark konceptuell kunskap innebär att ju mer man vet desto mer kan man sammankoppla kunskap med kunskap. Detta innebär att dessa kunskaper också bygger relationer

mellan varandra och Jäder (2015) uttrycker att det blir ett ”nät av kunskap” som blir större och större (Jäder 2015, s. 8).

Procedurell kunskap som tidigare nämnts är det som ger ett algoritmiskt resonemang. Jäder (2015) förklarar att procedurell kunskap gör att eleven lär sig det formella matematiska språket och algoritmer. Han tar som exempel ett barn som får i uppgift att räkna leksaker i rummet, men när barnet får frågan en gång till behöver hen räkna en gång till. Det barnet har alltså en procedurell kunskap. Han fortsätter med vidare exempel där elever har en procedurell kunskap, men med bristande konceptuell kunskap. Detta gör att eleverna ofta får fel svar eftersom de inte förstår de olika kontexterna som deras kunskap testas i. För att förklara så gav Jäder (2015) exempel på en elev som skulle räkna hur många gånger man skulle bli tvungen att gymma ett år på ett gym med årsavgift och billigare entrekostnad, än ett gym utan årsavgift och högre entrekostnad. Eleven hade då svarat 33,33 och avrundat nedåt till 33. Här menar Jäder (2015) att eleven har självklart räknat rätt matematiskt, men svarat fel kontextuellt eftersom om man går 33 gånger så är det billigare med det andra gymmet (Jäder 2015, ss. 8-10).

Det är viktigt att utforma undervisningen så att eleverna får träna på att ”utforska matematiken” i stället för att presentera färdiga algoritmer. Det är också viktigt att beakta elevernas uppfattning om matematik och därför blir det också viktigt att ha diskussioner om matematik som ämne med eleverna. Han anser också att läromedel som ger elever möjlighet att senare träna på sin konceptuella kunskap är värdefulla. Jäder (2015) skriver att en lärobok ofta inte används till något annat än uppgiftsbank och ifrågasätter då hur bra det är att använda dessa som stöd i lärprocesser. Läroboksförfattarnas indelning av uppgifter gör att det blir lätt att hoppa över uppgifter och då bör man se över vilka uppgifter man sätter och var (Jäder 2015, ss. 44-45).

Innehållsanalyser med fokus på resonemangsförmåga

Under denna rubrik redovisas Brehmer et al. innehållsanalys som behandlar problemlösning genom resonemangsförmågan i läromedel för gymnasieskolan.

Brehmer et al. (2016) analyserade tre serier av matematikböcker för svenska gymnasieskolan men då med fokus på problemlösningsuppgifter. Matematikböcker används ofta som en stor resurs för lärare och elever. Brehmer et al. (2016) fortsätter att den problematik som ofta uppstår är att läromedlen har ett större fokus på tillvägagångssätt än på problemlösning, vilket leder till att eleverna oftare får arbeta med rutinuppgifter än med problemlösning. Skribenterna menar därför att det är av vikt att undersöka hur problemlösningsuppgifter framställs då Sverige likt många andra länder inte har någon central institution som granskar läromedel (Brehmer et al. 2016, ss.

576, 579).

Metoden Brehmer et al. (2016) använder sig utav är att ställa fyra frågor till materialet för att undersöka antalet problemlösningsuppgifter, vilka är Vilken andel av uppgifterna kan klassificeras som matematiska problem?, Var i läroboken finns de matematiska problemen?, På vilken svårighetsnivå är de matematiska problemen?, I vilket sammanhang finns de matematiska problemen? (Brehmer et al. 2016, s.

581). Frågorna två, tre och fyra är skapade för att undersöka den fördelning av problem i läromedlen och ställs först om fråga ett uppfylls.

Det teoretiska ramverk som Brehmer et al. (2016) använder sig utav för att särskilja en problemlösningsuppgift från en rutinuppgift är Lithners imitativa och kreativa resonemang (Brehmer et al. 2016, s. 581). Skribenterna beskriver sedan deras analysverktyg där fokus läggs på att inga uppgifter ska tidigare ha behandlats eller likna de uppgifter som analyseras. Detta tillvägagångssätt utformas för att särskilja imitativa och kreativa resonemang (Ibid., ss. 581-582), vilket också bidrog till det tillvägångssätt som används i denna studie.

Det resultat som Brehmer et al. (2016) framför i artikeln är att endast 5,45% av 5722 analyserade uppgifter uppfyllde kriterierna för problemlösning där kreativt resonemang användes (Brehmer et al. 2016, s. 586). Brehmer et al. drar slutsatsen att läromedel på gymnasiet inte behandlar problemlösning i lika stor utsträckning som står framskrivet vad eleverna ska kunna i läroplanen vilket leder till att ansvaret för att eleverna ska få träna sina förmågor ligger hos den ansvarige läraren (Brehmer et al. 2016, ss. 589, 560).

Sammanfattning av tidigare forskning

Sammanfattningsvis visar Rezat och Strässer (2015) en mängd olika former av innehållsanalyser och vilka fördelar och nackdelar som dessa analysmetoder har. Problematiken med den formen av innehållsanalys denna studie använder sig utav är att det egentligen inte säger så mycket om vad eleverna faktiskt får träna på men Rezar och Strässer (2015) menar att en ren innehållsanalys fortfarande är viktig att genomföra.

Dyrvold et al. (2015) och Bråting et al. (2019) är två exempel på typiska innehållsanalyser som genomförs mot läromedel i låg- och mellanstadiet. Problematiken med dessa två studier är att de inte analyserar resonemangsförmågan utan har ett annat fokus men är av intresse då de påvisar vikten av att analysera läromedel i grundskolans lägre åldrar.

Stylianides (2014) hävdar att resonemangsförmågan är en av de mest centrala delarna i matematikundervisning och påvisar vikten av att genomföra en läromedelsanalys. Han fortsätter att det finns flertalet olika perspektiv av innehållsanalyser för att undersöka om och hur läromedel påverkar elevernas inlärning. Likt Rezat och Strässer (2015) menar alltså Stylianides (2014) att beroende på hur man väljer att innehållsanalysera ett läromedel och med vilket

perspektiv kan undersökningen få olika resultat. I frågan om vilket perspektiv denna studie har valt att använda är valet ett matematiskt perspektiv, där läromedlet analyseras utan en pedagogisk kontext. Även Jäder (2015) hävdar att resonemangsförmågan är central för elevers inlärning och menar att det är viktigt att elever får utforska matematiken istället för att endast träna ett algoritmiskt tänkande.

Brehmer et al. (2016) är den enda studie som operationaliserat Lithner (2008) och genomfört en studie med fokus på kreativt och imitativt resonemang men med fokus på läromedel för gymnasieskolan. Brehmer et al. metod och operationalisering har legat till stor grund för denna studies metodiska avsnitt.

Metod

För att samla in empiri och analysera uppgifterna ur en lärobok så behövs två metoder, en metod för att analysera uppgifterna och en metod för att samla in informationen och redovisa. Här redovisas först metoden för insamling i en underrubrik, sedan redovisas validitet och reliabilitet samt urval och till sist redovisas en detaljerad analyseringsmetod med ett förtydligande av tillvägagångssättet och sedan konkreta exempel under en egen underrubrik.

Insamlingsmetod

Metoden som används för att samla in empirin bygger på ett kvantitativt innehållsanalytiskt arbetssätt. Detta är något som rekommenderas av Boréus och Kohl (2018) i deras bok Textens mening och makt (Boréus och Kohl 2018, s. 52). De rekommenderar även att man bör ta ett beslut om man ska använda hjälpmedel, som exempelvis ett kodschema, eller inte (ibid., ss. 56-62).

Kodningsschemat bör vara där för att hjälpa till att kategorisera och dela upp uppgifterna, men eftersom denna studie ställer frågor som är enkla att följa så har vi beslutat att inte använda oss av något hjälpmedel.

När man samlar information från ett material kan det vara bra att två personer tittar på materialet med samma frågeställning för att säkerställa att bedömningen av datan är korrekt.

Detta kallas dubbelkodning (Boréus & Kohl 2018, s. 61). Dubbelkodning är alltså när två individer undersöker samma material med samma frågeställningar som utgångspunkt för att sedan diskutera data som faller under olika kategorier. Detta gör skribenterna för att säkerställa att frågorna som ställs mot materialet är rimliga för att studien ska ha en bra reproducerbarhet (ibid.). Eftersom båda skribenter för denna studie arbetat och utvärderat materialet tillsammans under insamlingen, samt arbetat vidare under analys och diskussion för att komma överens om resultaten följs därmed kriterierna för dubbelkodning.

Validitet och reliabilitet

Frågeställningen som används för att analysera läromedlen i denna studie bygger på Lithners (2008) teori och Brehmer et al. (2016) operationalisering för läromedelsanalys. Denna studie har tagit Brehmer et al. operationalisering och riktat denna mot läromedel i tredjeklass. Denna studie kan därför kategoriseras som att den har hög validitet då de frågor som ställs är väl underbyggda av tidigare forskning och är direkt ställda mot ett material som kan besvara frågan.

Reliabiliteten kan även den anses vara hög då studiens analysmetod bygger på tidigare forskares, Brehmer et al., tillvägagångssätt men anpassats mot de lägre åldrarna i grundskolan.

Datainsamlingen inför analysen skedde, som nämnt ovan, genom en dubbelkodning som rekommenderas av Boréus och Kohl (2018). Detta resulterar i att analysens reproducerbarhet och reliabilitet säkerställs (Boréus & Kohl 2018, s. 61). Boréus och Kohl (2018) rekommenderar även att man testar att analysera ett material för att säkerställa att man kategoriserar och analyserar uppgifterna korrekt (ibid., s. 60). För att följa den rekommendationen så analyserades ett läromedel gemensamt, för att se hur en uppgift skulle räknas. Det var detta som ledde fram till kriterierna för hur en uppgift skulle räknas, vad som skulle räknas som flera uppgifter och vad som inte skulle räknas överhuvudtaget.

Urval

Materialet som analyseras i denna studie är samtliga sidor och uppgifter i tio matematikarbetsböcker som används i årskurs tre med tryckår från och med 2010.

Matematikböckerna kommer från olika förlag för att vi ska kunna få en bredare överblick över hur det kan se ut i skolan. Böckerna är Mästerkatten 3A och 3B, Matte Direkt 3A och 3B, Prima Matematik 3A och 3B, Eldorado 3A och 3B och slutligen Pixel 3A och 3B. De används för analys eftersom vi vet att de används i skolan, delvis efter verksamhetsförlagd utbildning och att de fanns tillgängliga på universitetets bibliotek i Blåsenhus. Anledningen till att vi använder böcker för årskurs tre är för att de är närmre kunskapskraven för matematik.

Analysmetod

Brehmer et al. (2016) har i sin forskning undersökt huruvida matematikböcker i gymnasiet tillåter övning av problemlösning (Brehmer et al. 2016, s. 580). Brehmer (2015) beskriver en skillnad mellan matematiska problem och övningar och använder Lithners teori för att ställa dessa i kontrast mot varandra (Brehmer 2015, s. 21). Brehmers analysverktyg är intressant då han beskriver matematiska övningar som uppgifter som inbjuder till imitativa resonemang och matematiska problem som uppgifter som inbjuder till kreativa resonemang (ibid.). Det går alltså att se en koppling mellan vad Brehmer sökte efter i matematikböckerna i gymnasiet och vad denna studie söker i lågstadiet. Skillnaden blir dock att i stället för att se till om eleverna får träna på problemlösning, så söker denna studie efter om eleverna får träna på att resonera imitativt eller kreativt.

När Brehmer et al. (2016) har analyserat uppgifter, för att klassa dem som matematiska problem eller övningar, har han tittat på vad som är synligt för eleverna innan uppgifterna. I stället för att se över elevens relation till uppgiften har Brehmer sett över uppgiftens relation till tidigare sidor. Om eleven får möjlighet att lära sig en lösningsmetod så kommer uppgifter som endast upprepar dessa metoder räknas som övningar. Uppgifter som däremot antingen inte har en klar lösningsmetod eller faller utanför kapitlets kontext, tolkar Brehmer et al. (2016) den som ett matematiskt problem. Hans definitioner av övning och matematiska problem går hand i hand med hur denna studie definierar uppgifter som inbjuder till imitativt resonemang och kreativt resonemang (Brehmer et al. 2016, s. 280). I denna studie ställs en fråga mot uppgifterna. Tillåter kontexten runt uppgiften kreativt resonerande, eller får man en lösningsmetod innan uppgiften?

När uppgifterna analyseras kommer uppgifterna alltså kategoriseras som antingen imitativt resonemang eller kreativt resonemang.

Om en uppgift inte har någon lösning utskriven åt eleven innan uppgiften, så räknar Brehmer det som en problemlösningsuppgift eftersom det inbjuder till kreativa resonemang (Brehmer et al. 2016, s. 581). Det innebär alltså att vi kan säga att uppgifter som boken inte erbjuder färdiga lösningsmetoder till är uppgifter som inbjuder till kreativa resonemang. Detta eftersom Lithner (2017) också skriver att ett kriterium för ett kreativt resonemang är att det inte ska finnas någon färdig lösningsmetod tillgänglig för eleven (Lithner 2017, s. 941). Om uppgiften då har en lösningsmetod innan i boken så är det vad Brehmer kallar för övning (Brehmer et al. 2016, s.

582). Det innebär att uppgifter som har en lösningsmetod tidigare eller som bara upprepar det eleverna fått träna på tidigare, så kan dessa sägas kräva ett imitativt resonemang. Denna studie tittar alltså i sin analys på om uppgifter inbjuder till ett upprepande av tidigare eller vedertagna lösningsmetoder som finns tillgängliga för elever. Om det till exempel inte är första gången i boken som det kommer uppgifter där eleverna ska räkna ut area av till exempel en rektangel eller om det finns en tydlig instruktion för hur man räknar ut area innan uppgifterna där eleverna ska räkna ut arean så räknas dessa som imitativa. Anledningen till detta är just för att det går att anta med stor säkerhet att eleverna imiterar ett resonemang för att svara på uppgiften. Detta betyder också att om en uppgift inbjuder till en lösningsmetod som inte tagits upp i tidigare uppgifter eller i någon instruktion, kan uppgiften anses kräva ett kreativt resonemang (Lithner 2017, s. 941).

Tillvägagångssätt

Som tidigare nämnt använder denna studie Brehmer et al. (2016) analysmetod som är en operationalisering av Lithners (2008) teori för att dela upp uppgifter i två kategorier.

Denna studie har valt att kalla dessa kategorier för uppgifter som inbjuder till kreativt eller imitativt resonemang, Brehmer et al. (2016) å andra sidan har andra namn för dessa kategorier men liknande tillvägagångssätt. Brehmer et al. (2016) kallar uppgifter som

inbjuder till kreativt resonemang för problemlösning och uppgifter som inbjuder till imitativt resonemang för matematiska övningar (Brehmer et al. 2016, ss. 581, 582). Det både denna studie och Brehmer et al. har gjort är att analysera uppgifter i relation till uppgifter tidigare i arbetsboken. Under nästa rubrik “exempeluppgifter” och “imitativa resonemang” visas algoritmer som i ett senare skede endast ska imiteras och befästas.

Under rubriken “kreativa resonemang” visas istället uppgifter som inbjuder till att hitta en egen lösning för uppgiften. Detta leder till att om en arbetsbok tagit upp en algoritm och uppgifter hänvisar till dessa algoritmer, kommer uppgifterna i fråga kategoriseras som uppgifter som inbjuder till imitativa resonemang. Saknas denna styrning av vilken algoritm eller matematiskt resonemang som eleverna ska använda blir detta en uppgift som inbjuder till ett kreativt resonemang. Ett exempel på tillvägagångssättet är ett av de exempel som visas under rubriken “kreativa resonemang” där eleven fått träna på en algoritm där sidlängd och omkrets på trehörningar och fyrhörningar legat till fokus för att sedan be om en uträkning för omkretsen på en cirkel. Där måste eleven själv komma på en lösningsmetod och resonera kring hur en lösning kan uppnås.

Exempeluppgifter

Under denna rubrik redogörs hur uppgifterna har analyserats. Här redovisas fyra underrubriker.

Först en för att visa vad som har räknats som en uppgift och vad som har räknats som flera uppgifter, sedan tre för borträknade uppgifter, imitativt resonemang och kreativt resonemang.

Hur har vi räknat uppgifter

Det som görs i denna studie är alltså se om uppgifter inbjuder till ett imitativt resonemang eller ett kreativt resonemang. Denna underrubrik är till för att ytterligare beskriva vad som räknas som en uppgift i matematikböckerna.

Här finns alltså flera ställen i rutorna där eleverna kan skriva eller rita, men det eleverna ska träna på att resonera är sammanhanget mellan division och multiplikation. Den här räknas alltså som fyra uppgifter.

Enligt denna uppgift ska eleverna göra två uträkningar. En med överslag samt en mer specifik övning där eleverna får använda miniräknare. En rad räknas därför i detta fall som en uppgift, vilket leder till att detta räknas som fyra uppgifter.

Här skulle man kunna säga att det finns fem uppgifter, men man kan knappast hävda att en instruktion att hämta två a4-papper och en tärning som en matematisk uppgift som inbjuder till ett resonemang. Instruktioner likt punkt 1, 2 och 4 har därför inte räknats som uppgifter och är inte heller medräknade i analysen. Medan punkt 3 och 5 inbjuder till att eleven på ett eller annat sätt resonerar, vilket leder till att dessa två räknas och tas med i analysen.

Borträknade uppgifter

Här redovisas uppgifter där det inte går att räkna hur många gånger uppgiften inbjuder till resonemang, eller om uppgiften inbjuder till ett resonemang överhuvudtaget.

Denna uppgift är alltså ett spel, vilket leder till att det inte går att räkna hur många resonemang den kräver. Det är också osäkert hur länge spelet pågår. Detta leder till att denna uppgift och uppgifter likt denna räknas bort och inte tas med i analysen.

Imitativa resonemang

Här visas två exempel på uppgifter som räknas som imitativa.

Här visas först en lösningsmetod högst upp på sidan och sedan ska eleverna bara repetera metoden nedan. Dessa räknas alltså som imitativa resonemang, då eleverna bara behöver upprepa ett resonemang som redan står skrivet åt dem. Eftersom resonemanget också är att multiplikation är upprepad addition har dessa uppgifter räknats som fyra imitativa uppgifter.

Denna sida likt den förra är upplagd enligt samma mall, först en instruktion och sedan uppgifter där eleverna endast behöver upprepa ett resonemang som boken redan givit dem. Uppgifterna på denna sida har alltså räknats som fem uppgifter som inbjuder till imitativa resonemang.

Kreativa resonemang

Här redovisas tre exempel på uppgifter som räknas som kreativa.

På denna sida ska eleverna räkna ut omkretsen på en cirkel. Tidigare på sidan och i boken har eleverna fått träna på att räkna ut omkrets på fyr- och trehörningar. Detta leder till att elevernas lösningsmetoder är anpassade för detta och inte ett runt föremål. Eftersom eleverna inte får någon lösningsmetod av boken innan så räknas här alltså uppgiften med cirkeln som en uppgift som inbjuder till ett kreativt resonemang.

I den här uppgiften är det inte självklart vilken lösningsmetod man bör tillämpa. Innan uppgiften är det uppgifter som behandlar division, men uppgiften går inte att lösa med endast division. Ett exempel på lösning skulle kunna vara att multiplicera svärden till man får ett tal nära 69, alltså 5*8=64 och sen räkna 69-64=5. Vilket innebär att kontexten inför uppgiften inte ger eleven en tydlig lösningsmetod och uppgiften har räknats som att den inbjuder till ett kreativt resonemang.

Här får eleverna en instruktion hur de ska lösa uppgifterna, men uppgiften uppmanar eleverna att komma på en egen lösningsmetod. Uppgiften inbjuder alltså till imitativa resonemang och kreativa resonemang. På den här sidan har uppgifterna räknats som att de inbjuder till tre imitativa och tre kreativa resonemang.

Resultat

Under denna rubrik redovisas resultaten av studiens analys. Resultaten för böckerna ser väldigt lika ut, vilket leder till att några av böckerna redovisas tillsammans. I slutet av avsnittet redovisas genomsnittet ur alla böcker samt en redovisning av standardavvikelsen.

Tabell 1.1

Mästerkattens läromedel för årskurs 3, som syns i tabell 1.1, är det läromedel som totalt har flest uppgifter som inbjuder till ett kreativt resonemang, men det är också det läromedel som har flest uppgifter. Trots mängden uppgifter så är Mästerkatten det läromedel som inbjuder till flest kreativa resonemang i förhållande till det totala antalet uppgifter.

Antal uppgifter: 3678 97.66%

Antal uppgifter: 88 2.34%

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Imitativa resonemang Kreativa resonemang

Mästerkatten 3A och 3B

Tabell 1.2

Tabell 1.3

Matte Direkt (tabell 1.2) är det läromedel som har näst flest uppgifter som inbjuder till kreativa resonemang, både totalt och i förhållande till det totala antalet uppgifterna. Prima Matematik (tabell 1.3) har, likt Matte Direkt, också ett medelhögt antal uppgifter som inbjuder till kreativa resonemang, men har ett lågt antal sådana uppgifter i förhållande till det totala antalet uppgifter i Prima Matematik.

Antal uppgifter: 2527 98,40%

Antal uppgifter: 41 1,60%

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Imitativa resonemang Kreativa resonemang

Matte Direkt 3A och 3B

Antal uppgifter: 2931 98.82%

Antal uppgifter: 35 1.18%

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Imitativa resonemang Kreativa resonemang

Prima Matematik 3A och 3B

Tabell 1.4

Tabell 1.5

Eldorado (tabell 1.4) och Pixel (tabell 1.5) är väldigt liknande i sina resultat. Läromedlen har ett lågt antal uppgifter som inbjuder till kreativa resonemang, räknat totalt, men också i förhållande till totalt antal uppgifter.

Antal uppgifter: 3019 99.37%

Antal uppgifter: 19 0.63%

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Imitativa resonemang Kreativa resonemang

Eldorado 3A och 3B

Antal uppgifter: 2816,0 99.51%

Antal uppgifter: 14,0 0.49%

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Imitativa resonemang Kreativa resonemang

Pixel 3A och 3B

Tabell 1.6

Tabell 1.7

Tabell 1.6 och 1.7 visar att de undersökta läromedlen innehåller ett lågt antal uppgifter som inbjuder till kreativa resonemang. Den absoluta frekvensen visar att läromedlen genomsnittligt innehåller 39,40 uppgifter som inbjuder till kreativa resonemang, med en standardavvikelse på 26,25. Det ger oss en relativ frekvens på 1,25% med en standardavvikelse på 0,67 procentenheter.

De enda läromedlen som ligger över genomsnittet är Mästerkatten och Matte Direkt.

2994,20

39,40 0,00

500,00 1000,00 1500,00 2000,00 2500,00 3000,00 3500,00

Imitativa resonemang Kreativa resonemang

Medelvärde och standardavvikelse för absolut frekvens av imitativa och kreativa resonemang

98,75

1,25 0,00

20,00 40,00 60,00 80,00 100,00

% Imitativa resonemang % Kreativa resonemang

Medelvärde och standardavvikelse för andel

imitativa och kreativa resonemang

Diskussion

Under denna rubrik diskuteras först denna studies resultat i förhållande till resultaten i tidigare forskningar. Sedan diskuteras resultaten i förhållande till den teoretiska utgångspunkten. Slutligen diskuteras studien i förhållande till vad den bidrar till och hur man kan gå vidare från detta.

Forskningsdiskussion

Denna studie har som beskrivet i tidigare forskning en liknande teoretisk utgångspunkt som Brehmer et al. (2016) innehållsanalys. Den avgörande skillnaden är att denna studie fokuserat på läromedel i årskurs tre medan Brehmer et al. analyserar läromedel för gymnasiet. Det resultat som denna studie visar är att de tio böckerna innehåller genomsnittligt 1,25% uppgifter som inbjuder till ett kreativt resonemang, med en standardavvikelse på endast 0,67 procentenheter. Brehmer et al. analys visade 5,45% (Brehmer et al. 2016, s. 586).

Frågan om varför denna studie och Brehmer et al. (2016) studie fick en så relativt låg procentuell andel uppgifter som inbjuder till kreativa resonemang kan kopplas till Stylianides (2014) resonemang om hinder i undervisningen. Han diskuterar vad som kan påverka att elever inte får den träning som de behöver i resonemangsförmågan och hävdar att det finns kunskapshinder. Det finns lärare som inte vet hur undervisningen ska bedrivas för att stimulera förmågan. Det finns också lärare med förutfattade meningar om förmågans plats i matematiken och elevers möjlighet att vid låg ålder kunna ta till sig en till synes mer avancerad form av matematik (Stylianides 2014, s. 64). Just dessa hinder kan ligga till grund för att lärare inte efterfrågar eller letar efter uppgifter som berör resonemangsförmågan i läromedel. Därför kan dessa hinder som Stylianides (2014) påvisar nödvändigtvis inte ligga hos endast lärare utan kan även vara en del av de förutfattade meningar om elever vid låg ålder och deras matematiska kapacitet. Det kan också bero på en kunskapsbrist om resonemangsförmågans fördelar både pedagogiskt och matematiskt, hos läromedelsförfattare. Problemet är att det är svårt att påvisa om och vad som påverkar läromedelsförfattare. Rezat och Strässer (2015) pekar på just det i sin studie där de sorterar olika perspektiv av läromedelsanalys. Det är svårt att påvisa vad som påverkar läromedelsförfattare då deras inspiration och influenser inte finns framskrivna (Rezat &

Strässer 2015, s. 250).