Inledning. Kapitel Signaler och system

Kapitel 1

Inledning

1.1 Signaler och system

Temat f¨or denna kurs ¨ar signaler och system. En kvantitativ behandling av signaler och system och deras v¨axelverkan utg¨or grunden f¨or den del av informationstekniken som best˚ar av manipulering, lagring och ¨overf¨oring av information, som representeras i form av signaler.

En signal definieras som n˚agot som inneh˚aller information. Informationen kan best˚a av variationer hos en fysikalisk storhet som kan manipuleras med hj¨alp av fysikaliska processer. Exempel p˚a signaler ¨ar

- audiosignaler, s˚asom i telefoni, CD-spelare m.m., - video- och bildsignaler,

- seismiska signaler,

- biologiska signaler, s˚asom elektrokardiogram (EKG), elektroencefalogram (EEG), m.m.

Signaler kan representeras p˚a flera olika s¨att. Exempelvis ¨ar en audiosignal ur- sprungligen en akustisk signal (ljud, eller tryckvariationer i luften), men kan konvert- eras till en elektrisk signal med en mikrofon, eller representeras med hj¨alp av variationer hos de magnetiska egenskaperna i ett magnetband, eller i form av en sekvens av tal s˚asom i en CD skiva. Alla dessa olika representationer av signalen kan med hj¨alp av en h¨ogtalare konverteras tillbaka till en akustisk signal.

Med ett system avses i detta sammanhang n˚agot som transformerar en signal till en annan signal eller till en annan signalrepresentation. System i denna mening ¨ar s˚aledes komponenter som manipulerar, transformerar, lagrar eller ¨overf¨or signaler. Exempel p˚a system ¨ar t.ex. de komponenter i en mobiltelefon som transformerar en akustisk (ljud)signal till en elektrisk signal, filtrerar bort ointressanta, men st¨orande, h¨oga frekvenser i den elektriska signalen, och d¨arefter transformerar den elekriska signalen till digital form.

Signaler beskrivs p˚a ett naturligt s¨att i form av matematiska funktioner. System representeras d¨arvid av operatorer som transformerar funktioner (signaler) till andra funktioner (signaler). Den matematiska beskrivningen av signaler och system ¨ar d¨arf¨or

oumb¨arlig f¨or f¨orst˚aelsen av processer d¨ar signaler och system ing˚ar.

Teorin f¨or signaler och system brukar ofta g˚a under begreppet signalbehandling (eng. signal processing, fi. signaalink¨asittely). Viktiga till¨ampningsomr˚aden f¨or signal- behandling ¨ar t.ex.:

- audiotill¨ampningar (telefoni, CD-skivor, taligenk¨anning och -syntes m.m.) - bildbehandling (digital kamera, f¨orb¨attring av suddiga bilder m.m.) - telekommunikation (telefoni, all slags signal¨overf¨oring)

- medicinska till¨ampningar (analys av EKG och EEG, tomografi m.m.) - m¨atteknik (behandling och tolkning av m¨atdata, m.m.)

- reglering och automation (behandling av m¨atdata f¨or regler¨andam˚al, till¨ampning av digital signalbehandling f¨or reglering av snabba processer som kr¨aver stor datorka- pacitet, m.m.)

F¨orutom i direkt tekniska till¨ampningar, s˚a har avancerad signalbehandlingsteknik revolutionerat flera grundforskningomr˚aden. Som ett exempel m˚a n¨amnas introduk- tionen av adaptiv optik i teleskop, som m¨ojligg¨or kompensation av de st¨orningar som f¨ororsakas av atmosf¨arisk turbulens. Kompensationen kan g¨oras i reell tid med hj¨alp av digitala signalbehandlingssystem. Detta har medf¨ort att teleskop p˚a markytan idag kan g¨oras konkurrenskraftiga med teleskop placerade i rymden, n˚agot som ¨annu f¨or n˚agra ˚ar sedan ej var realistiskt.

1.2 Matematisk representation av signaler

S˚asom tidigare konstaterades, s˚a kan en signal fysikaliskt ha olika representations- former, s˚asom akustisk, elektrisk, magnetisk m.m. Det v¨asentliga hos en signal ¨ar emellertid den information den inneh˚aller. Denna ¨ar oberoende av den fysikaliska rep- resentationsformen, och best˚ar av signalens variationer som funktion av tiden (s˚asom i en akustisk eller elektrisk representation) eller av en rumskoordinat (s˚asom i ett mag- netband eller en CD-skiva). Dessa variationer kan representeras matematiskt som en funktion x(t) av en oberoende variabel t. Vanligen t¨anker man sig signaler som funk- tioner av tiden t, ¨aven om den fysikaliska representationen i vissa till¨ampningar kan h¨anf¨ora sig till en rumskoordinat, vilket t.ex. ¨ar fallet i bildbehandling. Det ¨ar naturligt att representera signaler som beskriver informationen i en bild som 2-dimensionella funktioner x(s, t), d¨ar s och t ¨ar koordinater i ett tv˚a-dimensionellt koordinatsystem.

Klassificering av signaler

Fysikaliska signaler ¨ar n¨astan uteslutande kontinuerliga och kan representeras i form av en kontinuerlig funktion x(t) av en kontinuerlig variabel t. En akustisk signal best˚ar s˚aledes av de kontinuerliga tryckvariationerna p(t) i luften, som av ¨orat uppfattas som ljud. En akustisk signal kan i en mikrofon transformeras till en kontinuerligt varierande elektrisk signal. Med en kontinuerlig eller analog signal x(t) avses en signal som ¨ar definierad f¨or alla tider t i ett intervall t₁ ≤ t ≤ t₂, och som kan anta alla v¨arden i ett intervall, a ≤ x(t) ≤ b.

D˚a en signal skall bearbetas med hj¨alp av en dator b¨or den representeras i form av en sekvens tal. En s˚adan sekvens kallas f¨or diskret signal. Matematiskt karakteriseras

en diskret signal xd som en talsekvens,

{x_d(k)} = {. . . , x_d(−2), x_d(−1), x_d(0), x_d(1), x_d(2), . . .} (1.1) En diskret signal {x(kT_s)} som f˚as genom att avl¨asa en analog signal x(t) vid de diskreta tidpunkterna kT_s, k = . . . , −1, 0, 1, . . ., kallas samplad signal. Tiden T_s ¨ar samplingstiden. Liksom analoga signaler kan diskreta och samplade signaler anta alla v¨arden i ett intervall, a ≤ x_d(k) ≤ b.

D˚a en signal behandlas med hj¨alp av en dator kan den inte l¨angre anta vilket som helst v¨arde, utan representeras digitalt, s˚a att den kan anta endast 2^B niv˚aer. En diskret signal som kvantiserats till ett ¨andligt antal niv˚aer kallas digital signal.

1.3 Matematisk representation av system

Ett system transformerar en signal x(t) till en annan signal y(t) (figur 1.1). System rep- resenteras fysikaliskt av olika fysikaliska processer som p˚averkar en signal. Ett system kan t.ex. best˚a av en elektronisk krets eller komponent som f¨or¨andrar egenskaperna hos en elektrisk signal, eller en kommunikationskanal som f¨orvr¨anger en ¨overf¨ord signal.

Matematiskt kan ett system representeras av en avbildning G av signalen x(t) till signalen y(t), s˚a att y(t) vid varje tidpunkt t ¨ar en funktion av signalen x. Signalen x(t) kallas systemets insignal och y(t) dess utsignal. Ett statiskt system karakteriseras av att utsignalens v¨arde y(t) ¨ar en funktion endast av insignalens v¨arde x(t) vid tiden t, dvs

y(t) = F (x(t)) (1.2)

Ett statiskt system ¨ar ekvivalent med en variabeltransformation och ¨ar ganska trivialt ur signalbehandlingens synpunkt. Mera intressant ¨ar dynamiska system, d¨ar utsignalen y(t) vid varje tidpunkt t ¨ar en funktion av insignalen x ocks˚a vid andra tidpunkter, dvs

y(t) = (Gx)(t) (1.3)

J¨amf¨or figur 1.1. Utsignalen y(t) hos ett dynamiskt system ¨ar s˚aledes en funktion ocks˚a av tidigare insignaler till systemet. Denna f¨orm˚aga att ’minnas’ tidigare insignaler g¨or att dynamiska system har ett mycket mera komplicerat och intressantare beteende

¨an statiska system. System med kontinuerliga in- och utsignaler kallas kontinuerliga system. Kontinuerliga dynamiska system beskrivs i allm¨anhet med hj¨alp av differen- tialekvationer.

Ett system med en diskret insignal {x(k)} och en diskret utsignal {y(k)} repre- senteras p˚a analogt s¨att matematiskt av en avbildning G av signalen {x(k)}, s˚a att y(n) ges som en funktion av sekvensen {x(k)}. Ett system med diskreta in- och utsig- naler kallas ett diskret system. Ett diskret statiskt system beskrivs i analogi med det kontinuerliga fallet av ett statiskt samband,

y(n) = F (x(n)) (1.4)

-

- G y

x

Figur 1.1: Ett system.

medan ett dynamiskt diskret system beskrivs av

y(n) = (G{x(k)})(n) (1.5)

Diskreta dynamiska system beskrivs i regel med hj¨alp av differensekvationer.

Digitala system ¨ar diskreta system som har digitala in- och utsignaler, och som implementeras digitalt.

I signalbehandlingsproblem ing˚ar vanligen tv˚a typer av system. De fysikaliska pro- cesserna ¨ar s˚a gott som alltid kontinuerliga till sin karakt¨ar, och b¨or d¨arf¨or modelleras matematiskt som kontinuerliga system. Signalbehandlingsoperationer implementeras nuf¨ortiden d¨aremot n¨astan uteslutande digitalt. D¨arf¨or ¨ar de system som st˚ar f¨or signalbehandlingen diskreta eller digitala system.

1.4 Analog och digital signalbehandling

Analoga signaler representeras av en fysikalisk storhet, ofta av en elektrisk s˚adan. I analog signalbehandling b¨or implementeringen utf¨oras med hj¨alp av l¨amplig h˚ardvara, s˚asom olika typer av elektriska kretsar.

Tidigare implementerades digitala signalbehandlingsoperationer ocks˚a med hj¨alp av h˚ardvara, s˚asom digitalelektronik och logiska kretsar. En viktig skillnad mellan analog och digital signalbehandling ¨ar dock det faktum att digitala signalbehandlingsopera- tioner best˚ar av numeriska manipulationer av diskreta sekvenser. Dylika manipula- tioner kan i praktiken utf¨oras mycket effektivt med hj¨alp av datorer. Signalbehandling som utf¨ors numeriskt med hj¨alp av datorer kallas digital signalbehandling (eng. Digital Signal Processing, DSP).

De signaler som man ¨onskar manipulera med ett digitalt signalbehandlingssystem

¨ar fortfarande vanligen kontinuerliga, s˚asom audiosignaler m.m. (j¨amf¨or diskussionen ovan). Ett typiskt digitalt signalbehandlingssystem (figur 1.2) best˚ar d¨arf¨or, f¨orutom av en processor, av en analog-till-digital omvandlare (A/D omvandlare), som samplar den kontinuerliga signalen x_f(t), samt en digital-till-analog omvandlare (D/A omvand- lare), som bildar en kontinuerlig signal y(t) fr˚an den digitala signalen {y_d(k)} fr˚an processorn. Dessutom beh¨ovs ett analogt l˚agpassfilter F , som f¨ore analog-till-digital omvandlingen filtrerar bort s˚adana h¨oga frekvenser i signalen x(t), som inte kan repre- senteras i den samplade signalen, samt ett l˚agpassfilter H efter D/A-omvandlaren, med

x ^- F _x ^-

f A/D ^-

xd DSP y_d ^- D/A y ^- H y^-_a Figur 1.2: Digitalt signalbehandlingssystem.

vilket den analoga signalen y_a ges ¨onskade egenskaper genom att interpolera signalen mellan samplingstidpunkterna.

Digital signalbehandling g¨or det m¨ojligt att implementera algoritmer som i prak- tiken inte kan realiseras analogt. Det faktum att algoritmerna implementeras med hj¨alp av mjukvara i form av numeriska ber¨akningar medf¨or att ¨aven mycket komplicerade metoder kan implementeras relativt enkelt. Detta kan j¨amf¨oras med analog signalbe- handling, som b¨or implementeras med hj¨alp h˚ardvara i form av elektroniska kretsar.

Detta g¨or givetvis t.ex. modifieringen av algoritmerna mycket arbetsdrygare. Analog implementering av mera komplicerade metoder begr¨ansas dessutom av toleranserna hos enskilda elektroniska komponenter, vilket d¨aremot inte utg¨or n˚agot problem vid en digital implementering. Flera avancerade signalbehandlingsproblem kan i praktiken l¨osas endast med hj¨alp av digital signalbehandling. Ett klassiskt exempel ¨ar lagringen av audiosignaler p˚a en CD-skiva (j¨amf¨or avsnitt 1.5). Ett annat exempel d¨ar digitala metoder ¨ar oumb¨arliga ¨ar avancerad bildbehandling.

Digital signalbehandling har ocks˚a ett antal nackdelar. I till¨ampningar d¨ar man manipulerar en kontinuerlig signal b¨or systemet f¨orses med A/D och D/A omvandlare (figur 1.2). Konversionshastigheterna hos existerande A/D och D/A omvandlare ¨ar begr¨ansade. Detta s¨atter en ¨ovre gr¨ans f¨or hur snabbt varierande signaler som kan behandlas. F¨or t.ex. audiotill¨ampningar ¨ar hastigheterna dock helt tillr¨ackliga.

En fundamental begr¨ansning hos digital signalbehandling f¨ororsakas av det faktum att information alltid g˚ar f¨orlorad d˚a en kontinuerlig, fysikalisk signal representeras i diskret eller digital form. F¨or det f¨orsta ¨ar det generellt inte m¨ojligt att exakt repre- sentera en kontinuerlig signal i form av en diskret sekvens (eftersom en kontinuerlig signal ju beskrivs av ett o¨andligt antal signalv¨arden, i motsats till en diskret signal som best˚ar av en sekvens av tal). Ett kvantitativt svar p˚a vilka kontinuerliga signaler som kan representeras i form av en diskret sekvens ges av samplingsteoremet. En an- nan begr¨ansande faktor vid digital signalbehandling utg¨ors av de kvantiseringsfel som uppst˚ar p˚a grund av ¨andlig ordl¨angd. B˚ada dessa begr¨ansningar b¨or beaktas d˚a man planerar digitala signalbehandlingssystem.

Digital signalbehandling som skall utf¨oras i realtid kr¨aver effektiva processorer.

Det har f¨or detta ¨andam˚al utvecklats speciellt f¨or digital signalbehandling anpassade processorer, s.k. digitala signalprocessorer, eng. digital signal processors (DSP). Dessa har en arkitektur som ¨ar speciellt optimerad f¨or typiska signalbehandlingsoperationer, s˚asom ber¨akningen av utsignalen fr˚an ett digitalt filter eller ber¨akning av Fourier- transformen. Det finns ocks˚a applikationsspecifika processorer f¨or olika signalbehan-

dlingstill¨ampningar. Ett viktigt gr¨ansomr˚ade mellan signalbehandling och datorteknik

¨ar planeringen av arkitekturer f¨or digitala signalprocessorer.

Digitala signalprocessorer brukar f¨orutom sj¨alva processorn ocks˚a vara f¨orsedda med A/D- och D/A-omvandlare samt de analoga filter som beh¨ovs f¨ore och efter omvan- dlingarna, j¨amf¨or figur 1.2. Dessutom skall samplingstiden enkelt kunna specificeras.

1.5 Ett exempel: lagring av audiosignaler p˚ a CD-skiva

Ett v¨alk¨ant exempel p˚a avancerad digital signalbehandling ¨ar lagringen av audiosig- naler p˚a CD-skivor. Denna till¨ampning har inte varit m¨ojlig att realisera med hj¨alp av h˚ardvarubaserade metoder, utan effektiva digitala signalprocessorer har varit en f¨oruts¨attning f¨or att kunna banda audiosignaler digitalt p˚a CD-skivor.

P˚a en CD-skiva finns informationen lagrad i digital form i form av ’punkter’ som kan avl¨asas optiskt med en laserstr˚ale. Den uppn˚adda lagringst¨atheten ¨ar 10⁶ bitar/mm². Ett mycket f¨orenklat blockshema som visar manipulationerna vid bandning av en audiosignal p˚a en CD best˚ar av f¨oljande komponenter (se figurerna 1.28 och 1.29 i Ifeachor och Jervis (2001)):

• Den akustiska signalen ¨overf¨ors till en elektrisk signal i en mikrofon. (I praktiken har man tv˚a parallella signaler motsvarande tv˚a kanaler.)

• Den analoga signalen l˚agpassfiltreras f¨or att elimera h¨ogfrekventa komponenter som ej kan representeras av en diskret signal med den valda samplingsfrekvensen.

• Den l˚agpassfiltrerade signalen samplas med en A/D omvandlare. Samplings- frekvensen ¨ar 44.1 kHz. Detta kan j¨amf¨oras med den h¨ogsta frekvens det m¨ankliga

¨orat uppfattar, som ¨ar ca 20 kHz. Enligt samplingsteoremt kan en diskret sig- nal korrekt beskriva frekvenser upp till halva samplingsfrekvensen; i detta fall ¨ar halva samplingsfrekvensen 44.1/2 = 22.05 > 20 kHz.

Varje signalv¨arde representeras efter A/D-omvandlingen med hj¨alp av 16 bitar.

• Den digitala signalen, best˚aende av en bit-sekvens, kodas med en feltolerant kod.

M˚als¨attningen med dylika koder ¨ar att inf¨ora redundans i signalen s˚a att den ur- sprungliga signalen skall kunna ˚aterskapas trots fel vid signal¨overf¨oring och/eller lagring. Optimala metoder att inf¨ora denna redundans s˚a att en given feltoler- ans uppn˚as m¨ojligast effektivt (f˚a redundanta bitar) ges av Hamming och Reed- Solomon koder. Alla CD-skivsystem har en tv˚astegs Reed-Solomon kod som kan rekonstruera den ursprungliga signalen trots felsekvenser som kan vara upp till 4000 steg l˚anga.

• Lagring av den digitala signalen p˚a en CD-skiva.

Reproduktion av audiosignalen p˚a en CD-skiva best˚ar ˚a sin sida av f¨oljande element:

• L¨asning av digital signal med hj¨alp av laserstr˚ale.

• Dekodning av den kodade signalen och rekonstruktion (inklusive felkorrigering) av ursprunglig digital signal.

• Den digitala signalen ¨oversamplas, s˚a att en ny digital signal med samplings- frekvensen 176.4 kHz (=4 × 44.1 kHz) bildas. Orsaken till detta ¨ar att konstruk- tionen av en analog signal fr˚an den med 44.1 kHz samplade digitala signalen skulle kr¨ava ett analogt filter med mycket strikta specifikationer f¨or att med tillr¨acklig noggrannhet rekonstruera den ursprungliga audiosignalen.

• Den ¨oversamplade digitala signalen transformeras med en D/A omvandlare och ett efterf¨oljande analogt l˚agpassfilter till an analog signal som med tillr¨acklig nog- grannhet rekonstruerar den ursprungliga audiosignalen. Tack vare den ¨okade sam- plingsfrekvensen hos den digitala signalen kan det analoga l˚agpassfiltrets speci- fikationer g¨oras mindre strikta.

1.6 Viktiga signalbehandlingsoperationer

Vi skall h¨ar sammanfatta n˚agra av de viktigaste problemst¨allningarna och opera- tionerna i signalbehandling. En god f¨orst˚aelse av dessa problemst¨allningar ¨ar en f¨oruts¨attning f¨or att kunna l¨osa i praktiken f¨orekommande signalbehandlingsproblem.

Fourieranalys

Ett alternativ till en signals representation som en funktion x(t) i tidsplanet ¨ar att beskriva signalens frekvensinneh˚all i form av en funktion X(ω) av frekvensen ω. Det visar sig att flera signalbehandlingsproblem ¨ar naturligare och enklare att analysera och l¨osa i frekvensplanet ¨an i tidsplanet. Matematiskt definieras frekvensplansrepre- sentationen X(ω) som Fouriertransformen av funktionen x(t). Ber¨akningen av Fourier- transformen av en signal ¨ar en viktig signalbehandlingsoperation. Standardalgoritmen f¨or effektiv ber¨akning Fouriertransformer ¨ar den s.k. snabba Fouriertransformen.

Syntes och implementering av filter

Ett filter ¨ar ett system som manipulerar en signal x(t) och transformerar den till en annan signal y(t). Systemet G i figur 1.1 ¨ar ett filter. Syntes av filter best˚ar av att konstruera ett filter s˚a att den bildade signalen y(t) har givna egenskaper. En typisk problemst¨allning ¨ar t.ex. att eliminera brus fr˚an en signal f¨or att ur denna extrahera en ursprunglig brusfri signal. Detta kan g¨oras genom att konstruera ett filter som sp¨arrar de frekvenser som bruset best˚ar av.

En annan problemst¨allning ¨ar implementeringen av filter. Det ¨ar h¨arvid viktigt att fil- terekvationerna utf¨ors m¨ojligast effektivt. Digitala signalprocessorer har en arkitektur som st¨oder en effektiv numerisk exekvering av filterekvationer.

Signaltransformer

Vid ¨overf¨oring eller lagring av signaler ¨ar det ofta viktigt att minimera m¨angden av data f¨or ¨okad ¨overf¨orings- eller lagringskapacitet. Detta f¨oruts¨atter att signalerna beskrivs i en kompakt form. F¨or att uppn˚a detta till¨ampas olika signaltransformer, i vilka

signalen representeras med hj¨alp av olika funktionsklasser. Om funktionsklassen ¨ar vald s˚a att den ¨ar representativ i avseende ˚a den aktuella signalen, s˚a kan signalen representeras p˚a ett mycket ekonomiskt s¨att med en datam¨angd som ¨ar betydligt min- dre ¨an den m¨angd data som den ursprungliga signalen kr¨aver. Den ovan n¨amnda Fouriertransformen ¨ar en s˚adan transform, d¨ar funktionsklassen best˚ar av periodiska sinus- och cosinusfunktioner. Det finns emellertid en m¨angd andra viktiga signaltrans- former. En speciellt effektiv transform f¨or signalkompression baserar sig p˚a s.k. krus- ningar (eng. wavelets). Teorin f¨or wavelet transformen ¨ar r¨att avancerad och den har full¨andats f¨orst r¨att nyligen.

Det kan vara sk¨al att p˚apeka att den typ av signalkompression som h¨ar avses baserar sig p˚a inherenta egenskaper hos signalen representerad i form av en funktion x(t) eller en sekvens {xd(k)}. D˚a signalen representeras med hj¨alp av sina dominerande kom- ponenter g˚ar vanligen en del information f¨orlorad. Denna komprimeringsmetod skall ej f¨orv¨axlas med de f¨orlustfria metoder som anv¨ands f¨or att komprimera bitsekvenser, s.k. Lempel-Ziv kodning, som utnyttjar upprepningar av delsekvenser. F¨orlustfri kod- ning till¨ampas f¨orst p˚a den komprimerade signalen.

Modulering

Vid ¨overf¨oring av signaler representeras signalerna s¨allan i sin ursprungliga form, utan i st¨allet moduleras de p˚a olika s¨att. Om t.ex. audiosignaler skulle ¨overf¨oras p˚a samma kanal utan modulering skulle endast en signal i g˚angen kunna s¨andas, eftersom de olika signalerna inte skulle kunna skiljas ˚at p˚a mottagarsidan. Med modulering d¨aremot ¨ar det m¨ojligt att samtidigt s¨anda flera signaler ¨over samma kanal utan f¨orv¨axling av signalerna. Detta ˚astadkommes genom att l˚ata signalen inverka p˚a n˚agon egenskap hos var sin ”b¨arv˚ag”. Dessa ¨ar h¨ogfrekventa signaler, som ¨ar v¨al separerade fr˚an varandra t.ex. genom att de upptar olika frekvensband eller tilldelas olika andelar av en tidsperiod. Ett flertal olika moduleringsmetoder har utvecklats s˚av¨al f¨or analog som digital signal¨overf¨oring.

Kodning

Kodning anv¨ands bl.a. f¨or att uppn˚a feltolerans vid signal¨overf¨oring och lagring. M˚al- s¨attningen vid felkorrigerande kodning ¨ar att kunna rekonstruera den ursprungliga sig- nalen trots fel vid ¨overf¨oring eller lagring av signalen. Detta uppn˚as genom att inf¨ora redundans i signalen. En feltolerant kod genererar d¨arf¨or oundvikligen en kodad signal som ¨ar l¨angre ¨an den okodade signalen. Ett trivialt s¨att vore att upprepa varje sig- nalv¨arde i en diskret signal ett antal g˚anger, varvid enstaka fel l¨att kunde uppt¨ackas och elimineras. Det finns emellertid betydligt effektivare kodningsmetoder, i vilka den ko- dade signalen kan g¨oras m¨ojligast kort samtidigt som en given felkorrigeringskapacitet garanteras. Dessa ¨ar de s.k. Hamming koderna (f¨or bit-sekvenser) och Reed-Solomon koderna (f¨or icke-bin¨ara sekvenser). Alla CD-system f¨or audiotill¨ampningar utnyttjar t.ex. en effektiv felkorrigerande kod av denna typ (j¨amf¨or avsnitt 1.5).

Kodning ¨ar ett mycket omfattande problemomr˚ade med egna teorier och metoder.

Aven om kodningsproblem uppst˚¨ ar i flera signalbehandlingstill¨ampningar, s˚a ¨ar kod- ning n¨armare besl¨aktad med allm¨an informationsteori och kommunikationsteori.

Det skulle kr¨ava flera ˚ars studier att ens ytligt bekanta sig med alla de specialmetoder som till¨ampas inom modern signalbehandlingsteknik. Lyckligtvis baserar sig huvud- delen av metoderna p˚a ett begr¨ansat antal fundamentala principer, som r¨acker till f¨or att f¨orst˚a och till¨ampa metoderna. M˚als¨attningen med denna kurs ¨ar att i en kompakt form ge de baskunskaper som beh¨ovs f¨or att f¨orst˚a de viktigaste inom signalbehandling f¨orekommande problemst¨allningarna.

1.7 Litteratur

Det finns en m¨angd utm¨arkta l¨arob¨ocker i signalbehandling. ¨Aldre klassiker i ¨amnet med ing˚aende behandling av teorin inom omr˚adet ¨ar bl.a. Rabiner och Gold (1975), Oppenheim och Willsky (1983) och Oppenheim och Schafer (1975) och Proakis och Manolakis (1996). En mera praktisk presentation ges i Ifeachor och Jervis (2001), d¨ar bl.a. kommersiella digitala signalprocessorer och deras arkitekturer diskuteras.

Dessa b¨ocker kan i det stora hela anses rikta sig ˚at ingenj¨orsstuderande med kunskaper inom t.ex. elektroteknik eller elektronik. En modernare presentation med ett speciellt datatekniskt perspektiv ges av Stein (2000), medan Prandoni och Vetterli (2008) be- handlar ¨amnet fr˚an en kommunikationsteknisk utg˚angspunkt. Smith (2003) ger en ing˚aende inledning till digital signalbehandling som str¨avar till en praktisk f¨orst˚aelse av ’hur det fungerar’.

Svenskspr˚akiga introduktioner till signalbehandling ges av Sv¨ardstr¨om (1987) samt Gustafsson, Ljung och Millnert (2000). Harnefors, Holmberg och Lundqvist (2004) ger en bred introduktion till signaler och system, inklusive grunderna f¨or signalbehandling och reglersystem.

Referenser

Gustafsson, F., Ljung, L., Millnert, M. (2000). Signalbehandling. Studentlitteratur.

Harnefors, L., Holmberg, J., Lundqvist, J. (2004). Signaler och system med till¨ampningar.

Liber.

Ifeachor, E. C., Jervis, B. W. (2001). Digital Signal Processing. A Practical Approach.

(andra upplagan) Addison-Wesley.

Oppenheim, A. V., Schafer, R. W. (1975). Digital Signal Processing. Prentice-Hall.

Oppenheim, A. V., Willsky, A. S. (1983). Signals and Systems. Prentice-Hall.

Prandoni, P., Vetterli, M. (2008). Signal Processing for Communications. CRC Press.

Proakis, J. G., Manolakis, D. G. (1996). Digital Signal Processing. Principles, Algo- rithms, and Applications. Prentice-Hall.

Rabiner, L. R., Gold, B. (1975). Theory and Application of Digital Signal Processing.

Prentice-Hall.

Smith, S. W. (2003). Digital Signal Processing. A Practical Guide for Engineers and Scientists. Newnes.

Stein, J. (2000). Digital Signal Processing. A Computer Science Perspective. Wiley.

Sv¨ardstr¨om, A. (1987). Till¨ampad signalanalys. Studentlitteratur.