• Kursboken V¨ annman: Matematisk statistik. I kursboken f˚ ar anteckningar och post-it lappar finnas, men inte l¨ osta exempel.

Po¨ ang totalt f¨ or del 1: 25 (9 uppgifter) Tentamensdatum 2011-08-23 Po¨ ang totalt f¨ or del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 – 14.00 L¨ arare: Adam Jonsson, Yacin Ameur

Jourhavande l¨ arare: Adam Jonsson Till˚ atna hj¨ alpmedel: • R¨ aknedosa,

• Kursboken V¨ annman: Matematisk statistik. I kursboken f˚ ar anteckningar och post-it lappar finnas, men inte l¨ osta exempel.

• Kompendium om flerdimensionella f¨ ordelningar

• Formelblad

• Tabeller

Tentamen best˚ ar av tv˚ a delar. P˚ a den f¨ orsta delen, som ¨ ar obligatorisk f¨ or att kunna bli godk¨ and, ska enbart svar l¨ amnas in, men l¨ osningar f˚ ar bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bed¨ omas utan enbart anv¨ andas vid gr¨ ansfall f¨ or att avg¨ ora om n˚ agon uppgift kan ”r¨ attas upp” p˚ a grund av slarvfel. P˚ a del 1 ges inga delpo¨ ang p˚ a uppgifterna.

Svaren f¨ or del 1 ska fyllas i p˚ a det blad som bifogas tentamen. Detta blad m˚ aste l¨ amnas in. L¨ agg detta blad f¨ orst bland l¨ osningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har l¨ amnats in s˚ a bed¨ oms tentamen som underk¨ and. F¨ or godk¨ ant kr¨ avs minst 17 po¨ ang p˚ a del 1. Med 2 extrapo¨ ang fr˚ an laborationerna och KGB s˚ a r¨ acker det allts˚ a med 15 po¨ ang av de 25 m¨ ojliga f¨ or godk¨ ant.

P˚ a den andra delen, som g¨ aller tentamen f¨ or ¨ overbetyg, ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas in. T¨ ank p˚ a att redovisa dina l¨ osningar p˚ a ett klart och tydligt s¨ att och motivera resonemangen. Vid bed¨ omningen av l¨ osningarna l¨ aggs stor vikt vid hur l¨ osningarna ¨ ar motiverade och redovisade. F¨ or betyg 4 kr¨ avs godk¨ ant p˚ a den f¨ orsta obligatoriska delen samt minst 13 po¨ ang fr˚ an den andra delen f¨ or ¨ overbetyg. F¨ or betyg 5 kr¨ avs godk¨ ant p˚ a den f¨ orsta obligatoriska delen samt minst 23 po¨ ang fr˚ an den andra delen f¨ or ¨ overbetyg.

OBS! Det g˚ ar inte att kompensera underk¨ ant p˚ a den f¨ orsta korta delen av tentamen med po¨ ang p˚ a den andra delen.

Ange p˚ a tentamensomslaget om du har l¨ amnat in l¨ osningar p˚ a del 2 genom att kryssa f¨ or de sista tre uppgifterna.

Om du plussar f¨ or ¨ overbetyg s˚ a skriv detta p˚ a tentamensomslaget.

1. Ett f¨ oretag som k¨ oper gr¨ avmaskiner fr˚ an en underleverant¨ or vet av er- farenhet att en viss andel av maskinerna kommer att vara felaktiga. Tre olika feltyper f¨ orekommer, som betcknas feltyp a, b respektive c. San- nolikheten att fel a f¨ orekommer p˚ a en slumpm¨ assigt vald gr¨ avmaskin

¨ ar 8 %. Motsvarande sannolikhet f¨ or fel b och c ¨ ar 3 % respektive 4 %.

Felen uppkommer oberoende av varandra.

(a) Ber¨ akna sannolikheten att en slumpm¨ assigt vald gr¨ avmaskin har

minst ett av de tre felen. (1p)

(b) Antag att en maskin visat sig ha felen a och b. Vad ¨ ar sanno-

likheten att den ¨ aven har fel c? (2p)

2. Victoria har 30 b¨ ocker i sin bokhylla varav 6 handlar om mekanik (hennes favorit¨ amne). Om Victoria v¨ aljer ut 4 b¨ ocker p˚ a m˚ af˚ a fr˚ an sin bokhylla, vad ¨ ar d˚ a sannolikheten att minst tv˚ a handlar om mekanik?

(2p) 3. Den kontinuerliga slumpvaribeln ξ har frekvensfunktionen

f (x) =

( cx

om 1 ≤ x ≤ 2, 0 annars,

d¨ ar c ¨ ar en viss konstant.

(a) Konstanten c m˚ aste ha ett speciellt v¨ arde f¨ or att funktionen ovan skall vara en frekvensfunktion. Vilket ¨ ar detta v¨ arde? (1p) (b) Ber¨ akna v¨ antev¨ ardet av ξ. (Konstanten c skall ej ing˚ a i svaret.) (2p) 4. Antag att en befolknings vuxna m¨ an har en normalf¨ ordelad vikt med

v¨ antev¨ arde 74 kg och standardavvikelse 8 cm och att befolkningens vuxna kvinnor ocks˚ a har normalf¨ ordelad vikt, men med v¨ antev¨ arde 53 kg och standardavvikelse 5 kg.

(a) Vad ¨ ar sannolikheten att en slumpm¨ assigt vald kvinna v¨ ager mel- lan 45 kg och 50 kg? Ange ditt svar i procent med tv˚ a decimaler.

(1p) (b) En man och en kvinna v¨ aljs ut slumpm¨ assigt. Vad ¨ ar sanno-

likheten att medelv¨ ardet av deras vikter ¨ ar minst 60 kg? (2p) 5. I en dator avrundas vid addition varje tal till n¨ armaste heltal. Antag

att alla avrundningsfel ¨ ar oberoende och rektangelf¨ ordelade p˚ a inter- vallet (−0.5, 0.5). Hur stor ¨ ar sannolikheten att medelfelet f¨ or 1000 tal

ligger i intervallet (−0.006, 0.006)? (2p)

6. Johan ¨ ar brottare. F¨ or att kunna t¨ avla i sin viktklass f˚ ar han inte v¨ aga mer ¨ an 78 kg. Johans v˚ ag ¨ ar inte helt tillf¨ orlitlig. Avvikelsen mellan hans faktiska vikt och den vikt som v˚ agen visar ¨ ar normalf¨ ordelad med v¨ antev¨ arde noll och standardavvikelse σ = 0.05 kg. Den vikt som v˚ agen visar kan d¨ arf¨ or ses som en observation fr˚ an N (θ, σ) f¨ ordelningen, d¨ ar θ ¨ ar Johans verkliga vikt och d¨ ar σ = 0.05 kg.

(a) Johan v¨ ager sig sex g˚ anger (direkt efter varandra) en g˚ ang per dag den sista arbetsveckan innan t¨ avlingen. Vad ¨ ar sannolikheten att v˚ agen visar en vikt som ¨ ar h¨ ogre ¨ an Johans sanna vikt under minst 5 av de 6 oberoende m¨ atningarna? (2p) (b) P˚ a kv¨ allen p˚ a dag 5 vill Johan avg¨ ora om han beh¨ over bada bastu

(f¨ or att p˚ a s˚ a vis bli av med ytterligare vikt). Han beslutar sig f¨ or att anv¨ anda de sex m¨ atningarna

Dag 1 2 3 4 5 6

5 77.899 77.9374 77.967 77.878 77.896 77.924 och testa, p˚ a 1 % signifikansniv˚ a, om hans vikt ¨ ar exakt 78 eller om den ¨ ar st¨ orre ¨ an 78 kilo. Som testvariabel anv¨ ander han kvoten

¯ x − 78

σ/ √ 6 ,

d¨ ar ¯ x ¨ ar stickprovsmedelv¨ ardet. Vilket ¨ ar det kritiska v¨ ardet p˚ a

testvariabeln? (1p)

(c) De sex m¨ atningarna f¨ or dag 1 respektive dag 5 gav

Dag 1 2 3 4 5 6

1 82.497 82.401 82.329 82.396 82.314 82.437 5 77.899 77.9374 77.967 77.878 77.896 77.924 Ber¨ akna ett 99 % konfidensintervall f¨ or Johans viktminskning fr˚ an dag 1 till dag 5. Svara med den nedre gr¨ ansen. (2p) 7. Amanda jobbar p˚ a ett amerikanskt f¨ oretag som tillverkar elektriska

komponenter. Komponenternas vikter kan betrakas som slumpm¨ assiga med v¨ antev¨ arde 0.8 pounds (lbs) och standardavvikelse 0.4 lbs, d¨ ar 1 lbs= 0.45359237 kg. Amanda beh¨ over f¨ orklara detta f¨ or n˚ agra svenska kollegor. M¨ att i kg, vad ¨ ar v¨ antev¨ ardet och variansen f¨ or komponen-

ternas vikter? (2p)

8. Antag att de tv˚ a slumpvariablerna ξ och η har den simultana san- nolikhetsfunktionen p(x, y). Nedan ges p(x, y) f¨ orutom v¨ ardet p(1, 0), som medvetet har tagits bort.

x\y 0 1 2 3

0 0.21 0.16 0.04 0.04

(b) Ber¨ akna det betingade v¨ antev¨ ardet av η givet att ξ = 1. (1p) 9. (a) Den tv˚ adimensionella slumpvariabeln (ξ, η) ¨ ar likformigt f¨ ordelad

p˚ a kvadraten

K = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

L˚ at ζ = p(ξ − 1)

+ (η − 1)

vara avst˚ andet mellan kvadratens

¨ ovre h¨ ogra h¨ orn och punkten (ξ, η). Ber¨ akna P (ζ ≤ 1).

(Observera att kvadraten K ovan inte ¨ ar samma kvadrat som vi

hade p˚ a Laboration 3.) (1p)

(b) Den tredimensionella slumpvariabeln ξ = (ξ

, ξ

, ξ

) har en lik- formig f¨ ordelning p˚ a det klot som har sitt centrum i origo och vars radie ¨ ar lika med 1. Ber¨ akna sannolikheten att ξ hamnar i den f¨ orsta oktanten, dvs omr˚ adet som ges av

{(x

, x

, x

) : 0 ≤ x

, x

, x

≤ 1}.

(2p)

Slut p˚ a del 1. Gl¨ om inte att bifoga svarsbladet med tentan!

Tabell f¨ or svar till del 1

Riv ut och l¨ agg svarsbladet f¨ orst i tentamen

Namn: . . . . Personnummer: . . . .

Fr˚ aga Svar Po¨ ang

1 a Sannolikhet (procent, en decimal) 2

b Sannolikhet (procent, en decimal) 1

2 Sannolikhet (procent, en decimal) 2

3 a konstanten c (tre decimaler) 1

b V¨ antev¨ arde (tre decimaler) 2

4 a Sannolikhet (procent, tv˚ a decimaler) 1

b Sannolikhet (procent, tv˚ a decimaler) 2

5 Sannolikhet (procent, tv˚ a decimaler) 2

6 a Sannolikhet (procent, tv˚ a decimaler) 2

b Kritiskt v¨ arde (tre decimaler) 1

c Nedre gr¨ ans (fyra decimaler) 2

7 V¨ antev¨ arde (tv˚ a decimaler) 1

Varians (tv˚ a decimaler) 1

8 a V¨ antev¨ arde (tv˚ a decimaler) 1

b Betingat v¨ antev¨ arde (tv˚ a decimaler) 1

9 a Sannolikhet (tre decimaler) 1

b Sannolikhet (tre decimaler) 2

Totalt antal po¨ ang 25

Vid bed¨ omningen av l¨ osningarna av uppgifterna i del 2 l¨ aggs stor vikt vid hur l¨ osningarna ¨ ar motiverade och redovisade. T¨ ank p˚ a att noga redovisa inf¨ orda beteckningar och eventuella antaganden.

10. En forskare har ett eget bibliotek best˚ aende av 300 b¨ ocker. Av dessa b¨ ocker ¨ ar 15 mekanikb¨ ocker. Forskaren v¨ aljer ut 12 b¨ ocker p˚ a m˚ af˚ a.

Diskutera med utg˚ angspunkt i l¨ amplig diskret f¨ ordelning varf¨ or antalet b¨ ocker som handlar om mekanik (˚ atminstone approximativt) kan antas ha en Poissonf¨ ordelning. Varf¨ or ¨ ar normalf¨ ordelningen inte en l¨ amplig modell f¨ or att beskriva antalet feltryckningar? Kom ih˚ ag att redovisa

inf¨ orda beteckningar och eventuella antaganden. (10p)

11. Differensen av det v¨ arde som Johans v˚ ag visar och den verkliga vikten

¨

ar N (δ, σ)-f¨ ordelad, d¨ ar σ = 0.04 kilo. Johan misst¨ anker att δ > 0, dvs han misst¨ anker att v˚ agen systematiskt visar en f¨ or h¨ og vikt. F¨ or att testa H

: δ = 0 mot H

: δ > 0 g¨ or Johan 18 v¨ agningar av ett f¨ orem˚ al som v¨ ager exakt 20 kg och noterar de 18 differenserna z

= x

− 20, d¨ ar x

=visad vikt p˚ a m¨ atning nummer i, i = 1, . . . , 18. Johan v¨ aljer mellan tv˚ a olika test. Det f¨ orsta testet ¨ ar

F¨ orkasta H

om d ≥ 6,

d¨ ar d =antal positiva differenser. Det andra testet ges av F¨ orkasta H

omz = z ¯

0.04/ √

18 ≥ 1.645, d¨ ar ¯ z ¨ ar medelv¨ ardet av z

, . . . , z

.

(a) Ber¨ akna styrkan i 4 = 0.0336 f¨ or de b˚ ada testen. (6p) (b) Kommentera resultatet i (b). Varf¨ or tror du att styrkan skiljer sig

mellan de tv˚ a testen p˚ a detta s¨ att? Vilket test b¨ or man f¨ oredra

och varf¨ or? (4p)

12. Majas och Joels utgifter f¨ or kursmaterial under en m˚ anad, ξ

resp ξ

, antas vara normalf¨ ordelade, d¨ ar

ξ

∈ N (820, 190) och ξ

∈ N (475, 150).

Maja och Joel l¨ aser delvis samma kurser s˚ a korrelationskoefficienten ρ = 0.7 positiv. Ber¨ akna sannolikheten att Majas utgifter under en

m˚ anad ¨ ar dubbelt s˚ a stora som Joel utgifter under samma m˚ anad. (10p)