Kursboken Vännman: Matematisk statistik, Kursmaterialet Vännman: Regressionsanalys,

Poäng totalt för del 1: 25 (6 uppgifter) Tentamensdatum 2010-06-04 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 – 14.00 Lärare: Ove Edlund

Adam Jonsson Mikael Stenlund

Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa,

Kursboken Vännman: Matematisk statistik, Kursmaterialet Vännman: Regressionsanalys,

Kursmaterialet ”Några ofta förekommande fördelningar”, Tabeller

Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, ska enbart svar lämnas in, men lösningar får bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bedömas utan enbart användas vid gränsfall för att avgöra om någon uppgift kan ”rättas upp” på grund av slarvfel. På del 1 ges inga delpoäng på uppgifterna.

Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Detta blad måste lämnas in.

Lägg detta blad först bland lösningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har lämnats in så bedöms tentamen som underkänd. För godkänt krävs minst 19 poäng på del 1. Med 4 extrapoäng från laborationerna och KGB så räcker det med 15 poäng av de 25 möjliga för godkänt.

På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in.

Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen.

Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg.

OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen.

Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för uppgifterna 7, 8 eller 9.

Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget.

LYCKA TILL!

1. En bilverkstad har kommit fram till att bilar av ett visst märke kan ha följande motorfel. Feltyp A är ”trasigt spjäll”. Feltyp B som är ”fel i elektroniken för motorstyrning”. Sannolikheten att en slumpmässigt vald bil har feltyp A resp.

B är 0.6 och 0.3. Sannolikheten att en bil har feltyp A, men ej feltyp B är 0.36.

(a) Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt vald bil av märket i fråga

har båda feltyperna. (2p)

(b) Feltyp C, ”fel i elektroniken för bromssystemet”, är oberoende av feltyp A. Sannolikheten att en bil har både feltyp C och feltyp A är 0.24 medan sannolikheten att en bil har både feltyp C och feltyp B är 0.28. Givet att en slumpmässigt vald bil har fel i elektroniken för bromssystemet, vad är sannolikheten att elektroniken för motorstyrning är inte fungerar? (2p) 2. En viss typ av lysrör har en Exp(10

)-fördelad livslängd, dvs den förväntade

livslängden är 10000 timmar. Beräkna sannolikheten att 2 eller fler lysrör i en

förpackning av 3 rör lyser mer än 10000 timmar. (2p)

3. Den stokastiska variabeln ξ representerar tidsåtgången för att tillverka en viss enhet i en fabrik. Frekvensfunktion för ξ ges av

f (x) = {

cx

, 0 ≤ x ≤ 3 0 för övrigt, där c är en konstant.

(a) Bestäm c. (1p)

(b) Beräkna sannolikheten att det tar mellan 1 och 2 minuter att tillverka

en enhet av den aktuella typen. (2p)

4. Eva har sedan länge ägnat sin fritid åt att handla med aktier. Hon är duktig, så hennes förväntade vinst (enghet: kr) per dag är positiv. Med hjälp av Nor- malfördelningsdiagram, som hon lärt sig använda när hon läste matematisk statistik, och uppgifter om sina vinster det senaste året drar Eva slutsatsen att vinsterna de olika dagarna kan betraktas vara observationer på oberoende normalfördelade stokastiska variabler med väntevärde µ = 225 och standar- davvikelse σ = 155. Vinsten kan alltså vara negativ, vilket tolkas som att hon då gör en förlust.

Anmärkning: (a),(b),(c) och (d) nedan bygger inte på varandra.

(a) Beräkna sannolikheten att Evas totala vinst under en arbetsvecka, som

består av fem dagar, blir minst 1500 kr. (2p)

(b) Eva vill övertyga sin vän Anna om att hon i långa loppet gör en vinst 90

(c) Med hjälp av Normalfördelningstabellen i Evas gamla kursbok beräk- nar hon enkelt att sannolikheten att göra en vinst på minst 200 kronor under en dag till 0.564. Eva vill veta standardavvilkelsen σ för andelen

1 5 η

dagar under en arbetsvecka som vinsten är minst 200, där η är antalet dagar med en vinst på minst 200. Eva inser att η är Binomialfördelad, men hon fastnar när hon skall beräkna standardavvikelsen för andelen.

Bestäm σ. (2p)

(d) Evas vän Anna går med på att betrakta Evas vinster som normalför- delade, men tror att väntevärdet µ är mindre än 225. Anna tror inte heller att standardavvikelsen σ är lika med 155 utan betraktar den som okänd. För att testa sin hypotes så bestämmer Anna sig för att beräk- na Evas vinster under fem dagar och sedan förkasta sin nollhypotes om värdet på testvariabeln

¯ x − 225

s/ √ 5

är mindre än −4.6, där s är stickprovsstandardavvikelsen. Bestäm san- nolikheten att Anna kommer att förkasta nollhypotesen trots att Eva har rätt, dvs om µ i själva verket är lika med 225. (2p) 5. Två barnläkare har sina mottagningar i olika stadsdelar. Stadsdel 1 är ett

utpräglat villaområde medan bostäderna i stadsdel 2 i huvudsak är flerfa- miljshus. Alla barn i staden genomgår en särskild undersökning, som äger rum när barnen är ungefär ett år gamla. På grund av diverse slumpartade skäl, är inte alla barn exakt lika gamla vid undersökningen. De båda läkarna vill ta reda på om barn i den ena stadsdelen generellt sett blir undersökta vid lägre ålder än i den andra. Under en månads tid noterar läkarna ål- dern på de barn som undersöks. Det råkar bli 8 barn hos läkare nummer ett och 7 barn hos läkare nummer två, och deras åldrar är (enhet: månader)

Läkare 1 12.2 13 11.5 14.4 10.8 11.4 10 11.5

Läkare 2 8.2 8 9.7 9.3 8.9 12 8.7

Stickprovens observerade medelvärden och standardavvikelser beräknas till:

Medelvärde observerad standardavvikelse

Läkare 1 11.850 1.359

Läkare 2 9.257 1.345

Antag att stickproven kommer från normalfördelningar.

(a) Beräkna ett konfidensintervall för den genomsnittliga åldern för barn som undersöks av läkare 2. Använd 99 procents konfidensgrad. Ange

intervallets övre ändpunkt. (1p)

För att genomföra ett tvåsidigt hypotestest av H

:''ingen genomsnitt-

lig åldersskillnad'' på en procents signifikansnivå så kan man beräkna

ett 99 procentigt konfidensintervall för den genomsnittliga ålderskillna-

den mellan barn som undersöks av läkare 1 och läkare 2 och förkasta

nollhypotesen om intervallet inte täcker noll.

(b) Beräkna ett 99 procentigt konfidensintervall för den genomsnittliga ål- derskillnaden mellan barn som undersöks av läkare 1 resp. läkare 2.

Ange intervallets nedre ändpunkt. Ange även om nollhypotesen skall förkastas om man använder beslutsregeln ovan.

För 2p krävs rätt värde och rätt slutsats. (2p)

6. I en amerikansk undersökning mättes under 1951–1953 hur glasskonsum- tionen påverkades av pris, temperatur och inkomst. Varje mätresultat är en sammanställning av glassförsäljningen under fyra veckor i enheten pint/per- son, medelpriset för glass i dollar/pint, medeltemperaturen i

F, och vecko- medelinkomsten i dollar per hushåll, under respektive period. Totalt består datamaterialet av 30 mätresultat. Regressionsanalysen på datamaterialet ges i minitabutskriften i tabell 1, med vissa borttagna kvantiteter.

(a) Bestäm residualspridningen s

. (1p)

(b) Bestäm den justerade förklaringsgraden R

. (1p) (c) För att testa om glasspriset har inverkan på glassförsäljningen jämförs

en t-kvot med ett värde från t-fördelningstabellen. Bestäm denna t-kvot.

Svara med tre decimaler. (1p)

(d) Bestäm ett 95 % konfidensintervall för koefficienten för den genomsnitt- liga ökningen av glasskonsumtionen (IC) då temperaturen (temp) ökas

med en enhet. Redovisa den undre gränsen. (2p)

Tabell 1

IC = 0,197 - 1,04 price + 0,00346 temp + 0,00331 income

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 0,1973 0,2702 ? ?

price -1,0444 0,8344 ? ?

temp 0,0034584 0,0004455 ? ?

income 0,003308 0,001171 ? ?

S = ? R-Sq = ? R-Sq(adj) = ?

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression ? 0,090251 0,030084 Residual Error ? 0,035273 0,001357

Total ? 0,125523

Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan!

Tabell för svar till del 1

Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen

Namn: . . . . Personnummer: . . . .

Fråga Svar Poäng

1 a Sannolikhet

(procent, en decimal)

24.0 % 2

b Sannolikhet

(procent, en decimal)

70.0 % 2

2 Sannolikhet

(procent, en decimal)

30.6 % 2

3 a c (två decimaler) 0.11 1

b Sannolikhet

(procent, en decimal)

25.9 % 2

4 a Sannolikhet

(procent, två decimaler)

14.01 % 2

b a (en decimal) 26.4 2

c Standardavvikelse (två decimaler)

0.22 2

d Sannolikhet

(procent, en decimal)

0.5 % 2

5 a Övre gräns

(två decimaler)

11.15 1

b Undre gräns (två decimaler)

0.48

Ja eller nej Ja 2

6 a Residualspridning (fyra decimaler)

0.0368 1

b R

(procent, två decimaler)

68.66 % 1

c t-kvot (tre decimaler) -1.252 1

d Undre gräns (fyra decimaler)

0.0025 2

Totalt antal poäng 25

Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del 2 läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att noga re- dovisa införda beteckningar och eventuella antaganden.

7. En dag i september 2009 erbjöds alla som åt lunch i Centrumrestaurangen på Luleå tekniska universitet att spela ett spel. Spelet gick till på följande sätt:

två sexsidigar tärningar kastades, och man vann om tärningarna visade sam- ma antal prickar. Vinst på spelet innebar att man slapp betala sin lunch, som kostade 55 kr. Man räknade med att 600 personer skulle äta på lunch på re- staurangen den aktuella dagen. Budgetansvarig var intresserad av att veta hur stor kostnaden för förlorad intäkt högst skulle bli. Beräkna K så att kostnaden är högst K med 90 procents säkerhet.

Välmotiverade approximationer godtas. (10p)

8. I en fabrik har man ett kvalitetskrav för produktionen som säger att ande- len defekta enheter som en maskin producerar inte får överstiga 0.02 i det långa loppet. Man misstänker att en viss maskin inte uppfyller kravet, och som anställd får du i uppgift att konstruera en statistisk metod som baserat på ett stickprov om 18 producerade enheter skall upptäcka om maskinen inte uppfyller kvalitetskravet.

(a) Formulera ett lämpligt hypotestest. Inför lämpliga beteckningar och mo- tivera de fördelningsantaganden som du gör. Hypoteser, testvariabel samt beslutsregel skall tydligt framgå. Välj beslutsregeln så att testet får en signifikansnivå som ligger så nära fem procent som möjligt. (4p) (b) Beräkna styrkan för ditt test i det fall att andelen felaktiga enheter i det

långa loppet är lika med 0.04. Kommentera resultatet. (2p) (c) Att undersöka producerade enheter är billigt, medan det i slutändan

blir kostsamt för företaget om maskinen producerar för många defek- ta enheter. För att få ett test med bättre statistiska egenskaper, dvs ett test som med större sannolikhet upptäcker om maskinen inte uppfyller kvalitetskravet, föreslår en kvalitetskonsult att du skall basera ditt test på 350 undersöka enheter.

Bestäm det nya testet, även i detta fall med en signifikansnivå som lig- ger så nära fem procent som möjligt. Beräkna testets styrka då andelen felaktiga enheter (i det långa loppet) är lika med 0.04. Jämför det nya

testet med testet från (a). Kommentera. (4p)

För full poäng på deluppgift (c) skall Poissonfördelningen användas för att förenka beräkningarna.

9. I en artikel i Journal of the American Medical Association

undersöks bl.a.

om människokroppens normala temperatur verkligen är 37

C (i artikeln 98.6

◦

F). Datamaterialet består av noggranna mätningar av slumpvis utvalda per- soners kroppstemperatur. Kroppstemperaturerna är här uttryckta i

C, och presenteras i tabell 2.

1Mackowiak, P. A., Wasserman, S. S., and Levine, M. M. (1992), A Critical Appraisal of 98.6 Degrees F, the Upper Limit of the Normal Body Temperature, and Other Legacies of Carl Reinhold August Wunderlich, Journal of the American Medical Association, 268, 1578-1580.

(a) Bestäm ett 99 % konfindensintervall för den förväntade kroppstempera- turen under normalfördelningsantagande, och tolka resultatet. Var no- ga med att formulera modellantagandet. Medelvärde och skattad stan- dardavvikelse för kroppstemperaturen för datamaterialet beräknas i Mi- nitab till ¯ x = 36.805 och s = 0.40724. Till din hjälp i denna deluppgift, och de efterföljande, har du också tabell 3 med t-fördelningsvärden vid

speciella frihetsgrader. (2 p)

Tabell 2

◦C puls kön ^◦C puls kön ^◦C puls kön ^◦C puls kön ^◦C puls kön 35.72 70 0 35.94 71 0 36.06 74 0 36.11 80 0 36.17 73 0 36.17 75 0 36.17 82 0 36.22 64 0 36.28 69 0 36.33 70 0 36.33 68 0 36.33 72 0 36.33 78 0 36.39 70 0 36.39 75 0 36.44 74 0 36.44 69 0 36.44 73 0 36.5 77 0 36.56 58 0 36.56 73 0 36.56 65 0 36.56 74 0 36.61 76 0 36.61 72 0 36.67 78 0 36.67 71 0 36.67 74 0 36.67 67 0 36.67 64 0 36.67 78 0 36.72 73 0 36.72 67 0 36.78 66 0 36.78 64 0 36.78 71 0 36.78 72 0 36.83 86 0 36.83 72 0 36.89 68 0 36.89 70 0 36.89 82 0 36.89 84 0 36.94 68 0 36.94 71 0

37 77 0 37 78 0 37 83 0 37 66 0 37 70 0

37 82 0 37.06 73 0 37.06 78 0 37.11 78 0 37.11 81 0 37.11 78 0 37.17 80 0 37.22 75 0 37.22 79 0 37.22 81 0 37.28 71 0 37.33 83 0 37.39 63 0 37.44 70 0 37.5 75 0 35.78 69 1 35.94 62 1 36 75 1 36.22 66 1 36.22 68 1 36.33 57 1 36.44 61 1 36.5 84 1 36.5 61 1 36.56 77 1 36.56 62 1 36.56 71 1 36.61 68 1 36.61 69 1 36.61 79 1 36.67 76 1 36.67 87 1 36.67 78 1 36.67 73 1 36.67 89 1 36.72 81 1 36.78 73 1 36.78 64 1 36.78 65 1 36.78 73 1 36.78 69 1 36.78 57 1 36.83 79 1 36.83 78 1 36.83 80 1 36.89 79 1 36.89 81 1 36.89 73 1 36.89 74 1 36.89 84 1

36.94 83 1 37 82 1 37 85 1 37 86 1 37 77 1

37.06 72 1 37.06 79 1 37.06 59 1 37.06 64 1 37.06 65 1 37.06 82 1 37.11 64 1 37.11 70 1 37.11 83 1 37.11 89 1 37.11 69 1 37.11 73 1 37.11 84 1 37.17 76 1 37.22 79 1 37.22 81 1 37.28 80 1 37.28 74 1 37.33 77 1 37.33 66 1 37.39 68 1 37.44 77 1 37.72 79 1 37.78 78 1 38.22 77 1

Tabell 3

Tabellen ger det x-värde för vilket P (ξ > x) = α givet antalet frihetsgrader f . α

f 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005

125 1.2884 1.6571 1.9791 2.3565 2.6157 3.1567 3.3701 126 1.2883 1.6570 1.9790 2.3563 2.6154 3.1562 3.3694 127 1.2883 1.6569 1.9788 2.3561 2.6151 3.1556 3.3688 128 1.2882 1.6568 1.9787 2.3558 2.6148 3.1551 3.3682 129 1.2881 1.6568 1.9785 2.3556 2.6145 3.1546 3.3675 130 1.2881 1.6567 1.9784 2.3554 2.6142 3.1541 3.3669

(b) I datamaterialet i tabell 2 finns uppgifter om vilopulsen för varje per- son i undersökningen. För att undersöka om kroppstemperaturen beror av vilopulsen, görs en regressionsanalys i Minitab enligt tabell 4 och fi- gur 1. Redovisa modellantagande och de slutsatser du drar ifrån tabell och grafer, med motiveringar. Som en del i din undersökning ska du finna ett 95 % konfidensintervall för den genomsnittliga ökningen av temperatuern då vilopulsen ökas med en enhet. (4 p)

Tabell 4

tempC = 35,7 + 0,0146 heartrate

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 35,7282 0,3654 97,79 0,000 heartrate 0,014604 0,004931 2,96 0,004 S = 0,395505 R-Sq = 6,4% R-Sq(adj) = 5,7%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression ? 1,3722 1,3722 8,77 0,004 Residual Error ? 20,0223 0,1564

Total ? 21,3944

Figur 1

(c) För att besvara frågan om könet påverkar hur temperaturen beror av vilopulsen, så införs en dummyvariabel för könet, som är 0 för män och 1 för kvinnor, samt en samspelsvariabel som är produkten av vilopul- sen och könet. Regressionsanalysen från Minitab med dessa förklarande variabler redovisas i tabell 5 och figur 2. Redovisa två skattade regres- sionslinjer, en för varje kön, samt undersök om riktningskoefficienterna för de linjer som skattas är signifikant skilda från varandra på 5 % signi- fikansnivå. Redovisa också modellantagande och de slutsatser du drar

ifrån tabell och grafer, med motiveringar. (4 p)

Tabell 5

tempC = 35,8 + 0,0129 heartrate + 0,022 gender + 0,0017 gender*heartrate

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 35,7803 0,6127 ? ?

heartrate 0,012875 0,008325 ? ?

gender 0,0224 0,7602 ? ?

gender*heartrate 0,00173 0,01028 ? ?

S = 0,391270 R-Sq = 9,8% R-Sq(adj) = 7,7%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression ? 2,1048 0,7016

Residual Error ? 19,2896 0,1531

Total ? 21,3944

7. Sannolikheten att vinna sin lunch är 1/6. Vi har därför η ∈ Bin(600, 1/6),

där η är antalet personer som vinner. Enligt CGS har vi approximativt η ∈ N (100, 9.129). Kostnaden ξ = 55η uppfyller ξ ≤ K om η ≤ K/55. K skall därför uppfylla

0.9 = P (η ≤ K

55 ) ≃ Φ(

− 100 9.129 ), vilket ger (

− 100)/9.129 = 1.28 ⇒ K = 6143 kr.

8. (a) Låt p beteckna andelen defekta enheter (i det långa loppet). För att testa H

: p = 0.02(H

: p ≤ 0.02 går också bra) mot H

: p > 0.02 används testvariabeln ξ =antalet defekta enheter i stickprovet. Vi antar att maskinen ``saknar minne'' så att händelern att de olika enheterna är defekta är oberoende, vilket ger ξ ∈ Bin(18, p).

Beslutsregel: förkasta H

om ξ ≥ k, där k bestäms av signifikansvni- vån: P (ξ ≥ k|p = 0.02) = 0.05. Vi har P (ξ ≥ 1|p = 0.02) = 0.305, P (ξ ≥ 2|p = 0.02) = 0.0495 och P (ξ ≥ 3|p = 0.02) = 0.0052 så k = 2 passar bäst för ändamålet.

(b) Styrkan P (ξ ≥ 2|p = 0.04) = 0.16 i punkten p = 0.04 är usel.

(c) Vi använder samma beslutsregel som ovan, förkasta H

om ξ ≥ k,

fast med ett annat k. Om p < 0.1 använder vi approximationen ξ ∈

P (350p). k bestäms av signifikansvnivån: P (ξ ≥ k|p = 0.02) =

P (ξ ≥ k|ξ ∈ P o(7)) = 0.05. Poissonfördelningstabellen i boken ger

att k = 12 passar bäst. (Vi har P (ξ ≥ 12|ξ ∈ P o(7)) = 0.0533.) Styr-

kan i punkten p = 0.04 är P (ξ ≥ 12|ξ ∈ P o(14)) = 0.74. En klar

förbättring!

9. (a) I modellvärlden, låt kroppstemperaturen för individ i betecknas av ξ

. Under följande antaganden om ξ

gör vi ett konfidensintervall för vän- tevärdet:

• ξ

∈ N(µ, σ),dvs kroppstemperaturen för alla människor har en variation som ges av normalfördelningen, med väntevärde µ och standardavvikelse σ.

• Alla ξ

är oberoende av varandra.

Eftersom spridningen σ är okänd, får vi ett konfidensintervall för µ med konfidensgrad 1 − α av

ξ ¯ ± t

(n − 1) σ

√ n

där n är storleken på stickprovet och σ

är den skattade standardavvi- kelsen. Vi applicerar den formeln i observationsvärlden,

¯

x ± t

(n − 1) s

√ n

där ¯ x = 36.805, s = 0.40724 och n = 130.Konfidensgraden 99 % ger α = 0.01 och t

(129) = 2.6145 från tabell 3, vilket ger intervallet

[36.71, 36.90]

dvs med 99 % säkerhet ligger människokroppens normala kroppstem- peratur mellan 36.71 och 36.90 grader celsius.

(b) Låt X

vara vilopulsen, och Y

vara kroppstemperaturen för person i, då antar vi att förhållandet mellan dem beskrivs av relationen:

Y

= β

+ β

X

+ ε

, ε

∈ N(0, σ)

dvs avvikelserna från linjen β

+β

X

antas vara normalfördelade med konstant standardavvikelse, dessutom antar vi att avvikelserna ε är obe- roende.

Normalfördelningsplotten i figur 1 visar att normalfördelningsantagan- det är rimligt, och residualplotten styrker ytterligare resultatet. Modell- funktionen verkar vara rimlig och antagandet om konstant standardav- vikelse är också rimligt.

Förklaringsgraden är mycket låg, endast 6.4%, vilket tyder på att varia- tionerna i kroppstemperatur i hög utsträckning är slumpmässiga, eller i alla fall inte förklaras i någon hög utsträckning av vilopulsen. Kan man ändå säga att vilopulsen påverkar kroppstemperaturen? Ja det kan man, ty p-värdet för

visar att på 1% signifikansnivå är koeffici- enten för

skilld från 0, eftersom 0.004 < 0.01.

Det finns flera studentiserade residualer som ligger utanför intervallet

[ −2, 2], som därmed är misstänkta uteliggare, samt en studentiserad

(c) De två regressionslinjerna, för respektive kön blir, för män (kön=0)

= 35.7803 + 0.01288

och för kvinnor (kön=1)

tempC

= 35.8027 + 0.01461

Modellantagandet är att kroppstemperaturerna Y

beskrivs av samban- det

Y

= β

+ β

X

+ β

X

+ β

X

X

+ ε

, ε

∈ N(0, σ) där X

är vilopulserna, X

är dummyvariabler som beskriver könet, och ε

är oberoende stokastiska variabler.

Linjernas riktningskoefficienter skiljer sig åt om vi kan påvisa att koef- ficienten för

är signifikant skild från 0. t-kvoten för denna koefficient ges av 0.00173/0.01028 = 0.168. Om beloppet av t-kvoten är större än t

(126) är koefficienten skild från noll med signifikansnivå 5%. Tabell 3 ger att t

(126) = 1.9790, så vi kan inte hävda att koefficienten är skilld från 0.

En motsvarande analys av koefficienten för

visar att inte heller den är signifikant skilld från noll. Vi kan alltså inte påvisa att det finns någon skillnad mellan könen.

Residualplottarna i figur 2 visar för övrigt att modellantagandena är väl

uppfylld. Uteliggarna ligger väsentligen på samma sätt som i uppgift (b).