• Kursboken V¨ annman: Matematisk statistik. I kursboken f˚ ar anteckningar och post-it lappar finnas, men inte l¨ osta exempel.

Po¨ ang totalt f¨ or del 1: 25 (7 uppgifter) Tentamensdatum 2011-01-14 Po¨ ang totalt f¨ or del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 – 14.00 L¨ arare: Adam Jonsson och Ove Edlund

Jourhavande l¨ arare: Adam Jonsson Tel: 0766-317460

Till˚ atna hj¨ alpmedel: • R¨ aknedosa,

• Kursboken V¨ annman: Matematisk statistik. I kursboken f˚ ar anteckningar och post-it lappar finnas, men inte l¨ osta exempel.

• Kompendium i Regressionsanalys

• Formelblad

• Tabeller

Tentamen best˚ ar av tv˚ a delar. P˚ a den f¨ orsta delen, som ¨ ar obligatorisk f¨ or att kunna bli godk¨ and, ska enbart svar l¨ amnas in, men l¨ osningar f˚ ar bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bed¨ omas utan enbart anv¨ andas vid gr¨ ansfall f¨ or att avg¨ ora om n˚ agon uppgift kan ”r¨ attas upp” p˚ a grund av slarvfel. P˚ a del 1 ges inga delpo¨ ang p˚ a uppgifterna.

Svaren f¨ or del 1 ska fyllas i p˚ a det blad som bifogas tentamen. Detta blad m˚ aste l¨ amnas in. L¨ agg detta blad f¨ orst bland l¨ osningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har l¨ amnats in s˚ a bed¨ oms tentamen som underk¨ and. F¨ or godk¨ ant kr¨ avs minst 19 po¨ ang p˚ a del 1. Med 4 extrapo¨ ang fr˚ an laborationerna och KGB s˚ a r¨ acker det med 15 po¨ ang av de 25 m¨ ojliga f¨ or godk¨ ant.

P˚ a den andra delen, som g¨ aller tentamen f¨ or ¨ overbetyg, ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas in. T¨ ank p˚ a att redovisa dina l¨ osningar p˚ a ett klart och tydligt s¨ att och motivera resonemangen. Vid bed¨ omningen av l¨ osningarna l¨ aggs stor vikt vid hur l¨ osningarna ¨ ar motiverade och redovisade. F¨ or betyg 4 kr¨ avs godk¨ ant p˚ a den f¨ orsta obligatoriska delen samt minst 13 po¨ ang fr˚ an den andra delen f¨ or ¨ overbetyg. F¨ or betyg 5 kr¨ avs godk¨ ant p˚ a den f¨ orsta obligatoriska delen samt minst 23 po¨ ang fr˚ an den andra delen f¨ or ¨ overbetyg.

OBS! Det g˚ ar inte att kompensera underk¨ ant p˚ a den f¨ orsta korta delen av tentamen med po¨ ang p˚ a den andra delen.

Ange p˚ a tentamensomslaget om du har l¨ amnat in l¨ osningar p˚ a del 2 genom att kryssa f¨ or de sista tre uppgifterna.

Om du plussar f¨ or ¨ overbetyg s˚ a skriv detta p˚ a tentamensomslaget.

LYCKA TILL!

1. En slumpm¨ assigt utvald student vid en h¨ ogskola betalar sina r¨ akningar genom n˚ agon internetbank med sannolikheten 42 %. Sannolikheten att en student har mobiltelefon ¨ ar 62 %. Sannolikheten att en student har b˚ ade mobiltelefon och betalar sina r¨ akningar genom en internetbank

¨ ar 35 %.

(a) Ber¨ akna sannolikheten att en student varken har mobiltelefon eller betalar sina r¨ akningar genom en internetbank. (1p) (b) En slumpm¨ assigt vald student har mobiltelefon. Hur stor ¨ ar san-

nolikheten att han ocks˚ a betalar r¨ akningarna genom en internet-

bank? (2p)

2. Timo kastar en t¨ arning om och om igen. L˚ at ξ beteckna antalet kast som kr¨ avs f¨ or att f˚ a den f¨ orsta sexan. De m¨ ojliga v¨ ardena p˚ a ξ ¨ ar allts˚ a de positiva heltalen 1, 2, 3, . . . .

Ber¨ akna sannolikheten att det kr¨ avs minst 4 kast f¨ or att f˚ a en sexa,

dvs ber¨ akna P (ξ ≥ 4). (2p)

3. L¨ angden f¨ or graviditeter hos honor i en mycket stor population apor, pop1, kan beskrivas med en normalf¨ ordelning som har v¨ antev¨ ardet 136 dagar och standardavvikelsen 18.6 dagar.

(a) Best¨ am den l¨ angsta av de 3 % kortaste graviditeterna. (1p) (b) I en annan stor population apor, pop2, kan graviditeternaz l¨ angd

beskrivas med en N (121, 12.4) f¨ ordelning. Vad ¨ ar d˚ a sannolikheten att graviditeten f¨ or en hona i pop1 ¨ ar l¨ angre ¨ an den f¨ or en hona

i pop2? (2p)

4. Iljan tar varje morgon tv˚ a bussar f¨ or att komma till skolan. Bussar- na avg˚ ar 6 ggr/timme, men eftersom tidtabell saknas betraktar Iljan de tv˚ a v¨ antetiderna ξ ₁ , ξ ₂ som oberoende slumpvariabler, var och en med en rektangelf¨ ordelning R(0, 10). Man kan visa att Iljans totala v¨ antetid, ξ Iljan = ξ 1 + ξ 2 , har frekvensfunktionen

f (x) =



 

 

x

100 , 0 ≤ x ≤ 10

2

10 − ₁₀₀ ^x , 10 ≤ x ≤ 20 0 f¨ or ¨ ovrigt.

(a) Ber¨ akna sannolikheten att Iljans totala v¨ antetid en morgon blir

mellan 8 och 12 minuter. (2p)

Iljans syster Vera tar de tv˚ a bussarna tillsammans med Iljan, men tar sedan en ytterligare buss som g˚ ar 4 ggr/timme. Hennes totala v¨ antetid

¨ ar ξ _{V era} = ξ _Iljan + ξ ₃ , d¨ ar ξ ₃ ∈ R(0, 15).

(b) Best¨ am E(ξ V era ), dvs best¨ am Veras f¨ orv¨ antade totala v¨ antetid. (2p) 5. En l¨ akare vill veta om svenska m¨ an har st¨ orre ¨ overarmsm˚ att p˚ a h¨ oger

sida eller om m˚ attet p˚ a h¨ oger och v¨ anster sida i genomsnitt ¨ ar det-

kollega. Kollegan har dock inte noterat de faktiska m¨ atv¨ ardena, utan endast angivit (med +) om personens h¨ ogra ¨ overarmsm˚ att var st¨ orre.

Resultatet ˚ aterges nedan:

Man nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

M¨ atning + + + + + + - + + +

(a) L¨ akaren tycker att det ¨ ar rimligt att anv¨ anda antalet + tecken f¨ or att testa

H ₀ : “ingen genomsnittlig skillnad”

H ₁ : ”h¨ oger sida ¨ ar st¨ orre i genomsnitt” (1) och f¨ orkasta H ₀ om antalet + tecken ¨ ar minst 8. Hon f¨ orkastar d¨ arf¨ or hypotesen att m˚ atten i genomsnitt ¨ ar lika p˚ a h¨ oger och v¨ anster sida.

Vilken signifikansniv˚ a har det test som l¨ akaren till¨ ampat? (2p) (b) L¨ akaren ¨ ar inte n¨ ojd med den metod som anv¨ andes i (a) och beslu-

tar sig d¨ arf¨ or f¨ or att g¨ ora en ny unders¨ okning om 10 personer.

Resultatet ˚ aterges nedan.

Nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

H 38.2 46.2 37.5 39.1 39.5 46.1 26.6 34.7 31.4 28.4 V 38.3 44.1 36.2 37.7 38.8 44.1 27.2 33.7 31.5 26.8 En ber¨ akning gav

¯

x _H = 36.77, ¯ x _V = 35.84, s _H = 6.65, s _V = 6.10, ¯ z = 0.930, s _z = 0.933, d¨ ar ¯ z och s z betecknar medelv¨ arde och standardavvikelse f¨ or dif- ferensserien z _i = x _H,i − x _V,i , i = 1, 2, . . . , 10.

Ber¨ akna ett l¨ ampligt 98% konfidensintervall f¨ or den genomsnitt- liga skillnaden mellan ¨ overarmsm˚ attet p˚ a h¨ oger och den v¨ anster sida (h¨ oger minus v¨ anster) under rimliga normalf¨ ordelningsantaganden.

Ange intervallets nedre ¨ andpunkt. (2p)

6. Livsl¨ angderna f¨ or en viss typ av elektroniska komponenter antas vara oberoende och Exponentialf¨ ordelade med v¨ antev¨ arde 1/λ ˚ ar.

(a) Man vill pr¨ ova hypotesen att den f¨ orv¨ antade livsl¨ angden ¨ ar 2 ˚ ar.

F¨ or att testa H 0 : λ = 1/2 mot H 1 : λ > 1/2 anv¨ ander man observerade livsl¨ angder x ₁ , . . . , x ₄₀ f¨ or 40 slumpm¨ assigt utvalda komponenter och beslutsregeln:

f¨ orkasta H ₀ om ¯ x < 1.48.

Anv¨ and centrala gr¨ ansv¨ ardessatsen f¨ or att ber¨ akna styrkan hos

testet om λ = 2/3. (2p)

(b) N¨ ar man till¨ ampade testet i (a) kunde H 0 inte f¨ orkastas. Man antog d¨ arf¨ or att λ = 1/2. Givet att en slumpm¨ assigt utvald kom- ponent har fungerat i 3 ˚ ar, vad ¨ ar sannolikheten att den fungerar

i ytterligare 1 ˚ ar? (2p)

7. I en studie av tryckh˚ allfastheten hos betong varieras proportioner hos best˚ andsdelarna samt betongens ˚ alder. I unders¨ okningen anv¨ andes som f¨ orklarande variabler bl.a. andelen Cement, masugnsslagg (Slag) och vatten (Water), alla i enheten kg/m ³ , samt betongens ˚ alder (Age) i enhet dagar. Mot detta m¨ attes den beroende variabeln, tryckh˚ allfasthet (Concrete compressive strength) i enheten MPa.

En regressionsanalys av en delm¨ angd av datamaterialet, best˚ aende av 30 observationer, ger upphov till resultatet i tabell 1.

(a) Best¨ am residualspridningen s _e . (1p)

(b) Best¨ am den justerade f¨ orklaringsgraden R ² _a . (1p) (c) F¨ or att avg¨ ora om Slag ska vara med som f¨ orklarande variabel

p˚ a 1% signifikansniv˚ a, j¨ amf¨ ors |t-kvot| med ett tal. Ange detta tal samt ange (Ja eller Nej) om Slag ska beh˚ allas som f¨ orklarande variabel. (Ange Ja om variabeln Slag skall beh˚ allas.) (1p) (d) Finn ett 99% konfidensintervall f¨ or hur Concrete compressive

strength f¨ or¨ andras i genomsnitt om Water ¨ okar med 1 kg/m ³ och ¨ ovriga f¨ orklarande variabler h˚ alls konstant. Svara med den

undre gr¨ ansen. (2p)

Tabell 1: Regression Analysis: Concrete compres versus Cement; Slag; Water;

Age

The regression equation is

Concrete compressive strength = - 0,3 - 0,0984 Cement - 0,122 Slag + 0,374 Water + 0,0233 Age

Predictor Coef SE Coef T P

Constant -0,32 12,43 -0,03 ?

Cement -0,09837 0,01358 -7,24 ?

Slag -0,12164 0,01748 -6,96 ?

Water 0,37374 0,06440 5,80 ?

Age 0,023329 0,004444 5,25 ?

S = ? R-Sq = ? R-Sq(adj) = ?

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression ? 1185,37 Residual Error ? 241,29

Total 29 ?

Slut p˚ a del 1. Gl¨ om inte att bifoga svarsbladet med tentan!

Tabell f¨ or svar till del 1

Riv ut och l¨ agg svarsbladet f¨ orst i tentamen

Namn: . . . . Personnummer: . . . .

Ett fel i svaret p˚ a uppgift 2 r¨ attades den 25 januari

Fr˚ aga Svar Po¨ ang

1 a Sannolikhet (procent, en decimal) 31.0 1

b Sannolikhet (procent, tv˚ a decimaler ) 56.45 2

2 Sannolikhet (procent, en decimal) 57.9 (exakt

(5/6) ³ )

2

3 a L¨ angden (en decimal) 101.0 1

b Sannolikhet 74.9 (Φ(0.67)) 2

4 a Sannolikhet (procent, en decimal) 36.0 2

b V¨ antev¨ arde (en decimal) 17.5 2

5 a Signifikansniv˚ a (procent, tv˚ a decimaler) 5.47 2

b Nedre gr¨ ans (en tre decimaler) 0.098 2

6 a Styrka (procent, en decimal) 46.8 (Φ(−0.08)) 2

Sannolikhet (procent, en decimal) 60.7 (e ^−0.5 ) 2

7 a Residualspridning (tre decimaler) 3.107 1

b Justerad f¨ orklaringsgrad (procent, tre decimaler) 80.381 1 c |t-kvot| j¨ amf¨ ors med (tre decimaler) 2.787

“Ja” eller “Nej” Ja 1

d Undre gr¨ ans (fyra decimaler) 0.1943 (0.1942572 exakt)

2

Totalt antal po¨ ang 25

Vid bed¨ omningen av l¨ osningarna av uppgifterna i del 2 l¨ aggs stor vikt vid hur l¨ osningarna ¨ ar motiverade och redovisade. T¨ ank p˚ a att noga redovisa inf¨ orda beteckningar och eventuella antaganden.

8. Alla r¨ akneregler f¨ or sannolikheter som vi ¨ ar vana att anv¨ anda kan h¨ arledas fr˚ an sannolikhetsaxiomen. Tex s˚ a kan man bevisa Sats 2B p˚ a f¨ oljande s¨ att: A ∪ A ^c = Ω och P (Ω) = 1 ger att P (A ∪ A ^c ) = 1.

Eftersom A och A ^c (per definition) ¨ ar disjukta f˚ ar vi 1 = P (A ∪ A ^c ) = P (A) + P (A ^c ), dvs P (A) = 1 − P (A ^c ).

(a) Antag att A och B ¨ ar h¨ andelser och att B alltid intr¨ affar d˚ a A intr¨ affar. Antag med andra ord att A ¨ ar en delm¨ angd av B. Visa

att P (A) ≤ P (B). (5p)

(b) Antag att A och B ¨ ar oberoende h¨ andelser. Visa att A ^c och B ^c

¨

ar oberoende h¨ andelser. (5p)

Det kan underl¨ atta att rita Venndiagram men endast figurer kommer inte att ge full po¨ ang. Du kan anv¨ anda Sats 2B och Sats 2C utan bevis.

L¨ osning

(a) Vi har B = A∪E, d¨ ar E = B ∩A ^c . Eftersom A och E ¨ ar disjunkta och P (E) ≥ 0 f˚ ar vi

P (B) = P (A ∪ E) = P (A) + P (E) ≥ P (A).

(b) Vi vet att P (A ∩ B) = P (A)P (B) och vill visa att P (A ^c ∩ B ^c ) = P (A ^c )P (B ^c ).

Vi har A ^c ∩ B ^c = (A ∪ B) ^c . (Mer allm¨ ant g¨ aller ∩ ⁿ _j=1 A ^c _j = (∪ ⁿ _j=1 A _j ) ^c . Resultatet kallas ibland De Morgans lag och g¨ aller f¨ or en godtycklig samling m¨ angder {A _j } _j∈J .)

Vi f˚ ar

P (A ^c ∩ B ^c ) = P ((A ∪ B) ^c )

= 1 − P (A ∪ B) enligt Sats 2B

= 1 − (P (A) + P (B) − P (A ∩ B)) enligt Sats 2C

= 1 − P (A) − P (B) + P (A)P (B)

= (1 − P (A))(1 − P (B))

= P (A ^c )P (B ^c ) enligt Sats 2B.

(2)

9. Vi forts¨ atter med uppgift 5. En l¨ akare vill veta om svenska m¨ an har

st¨ orre ¨ overarmsm˚ att p˚ a h¨ oger sida eller om m˚ attet p˚ a h¨ oger och v¨ anster

sida i genomsnitt ¨ ar detsamma. Hon betraktar de tio differenserna

z ₁ = −0.1, z ₂ = 2.1, . . . , z ₁₀ = 1.6 fr˚ an sin unders¨ okning som observa-

tioner p˚ a oberoende N (δ, σ) f¨ ordelade stokastiska variabler, d¨ ar σ ¨ ar

ok¨ and och δ ¨ ar den genomsnittliga skillnaden mellan ¨ overarmsm˚ attet

p˚ a h¨ oger och v¨ anster sida. F¨ or att testa H 0 : δ = 0 mot H 1 : δ > 0 v¨ aljer hon mellan teckentestet:

f¨ orkasta H 0 om x ≥ 8,

d¨ ar x ¨ ar det observerade antalet positiva differenser, och t-testet:

f¨ orkasta H ₀ om t = z ¯ s _z / √

10 > 1.83.

(a) Till¨ ampa de tv˚ a testen. Ger de samma slusats? (1p) (b) Ber¨ akna styrkan f¨ or teckentestet i fallen att δ = 1.2816, σ = 1

och δ = 1.6445, σ = 1. (4p)

(c) Styrkefunktionen S(µ, σ) f¨ or teckentestet beror av b˚ ade δ och σ men om vi t.ex. betraktar fallet σ = 1 s˚ a kan S(µ, 1) skissas som funktion av δ. G¨ or det. Skissen beh¨ over inte vara exakt.

Motsvarande styrkefunktion f¨ or t-testet kan inte ber¨ aknas exakt med de metoder vi har l¨ art oss i kursen men. Visa med hj¨ alp av en skiss i samma diagram hur du tror att den ser ut. Det

¨ ar f¨ orh˚ allandet mellan de tv˚ a funktionerna som ¨ ar av betydelse.

Motivera varf¨ or du tror att f¨ orh˚ allandet som du skissat g¨ aller. (6p) L¨ osning

(a) Vi har x = 7 och t = 3.15. Allts˚ a skall H ₀ f¨ orkastas enligt t-testet och accepteras enligt teckentestet.

(b) Eftersom z i ¨ ar en observation fr˚ an N (δ, 1) ¨ ar sannolikheten f¨ or en positiv differens i fallen δ = 1.2816 och δ = 1.6445 lika med 0.9 resp 0.95. Det betyder att x i de tv˚ a fallen ¨ ar en observation fr˚ an Bin(10, 0.9) respektive Bin(10, 0.95) och s˚ aldes att x ⁰ = 10−x, dvs antalet negativa differenser, ¨ ar en observation fr˚ an Bin(10, 0.1) eller Bin(10, 0.05). Med hj¨ alp av Binomialf¨ ordelningstabellen f˚ ar vi att styrkan i de tv˚ a fallen ¨ ar P (x ⁰ ≤ 2) = 0.9104 respektive P (x ⁰ ≤ 2) = 0.9848.

(c) Grafen till S(δ), δ > 0 skall ritas mjuk. Det skall framg˚ a att S(1.2816) = 0.91, S(1.6445) = 0.98 samt att signifikansniv˚ an ¨ ar ca 5% (5.47% exakt). Grafen till styrkefunktionen f¨ or t-testet skall ritas mjuk och det skall framg˚ a att signifikansniv˚ an ¨ ar 5%.

Styrkefunktionen f¨ or t-testet ligger ¨ over Styrkefunktionen f¨ or teck- entestet. Det beror p˚ a att t-testet konstruerats med modellan- tagandet (dvs normalf¨ ordelningsantagandet) som utg˚ angspunkt.

Det har inte teckentestet. S˚ a under f¨ oruts¨ attning att antagan- det ¨ ar rimligt kan man s¨ aga att t-testet “anv¨ ander informationen b¨ attre” och d¨ af¨ or uppt¨ acker n¨ ar H ₀ ¨ ar falsk med st¨ orre sanno- likhet.

10. Datamaterialet i Tabell 2, som best˚ ar av 38 observationer, beskriver

hur antal inkomna ordrar (ordrar ×1000) f¨ or postorderf¨ oretag beror av

upplagan p˚ a katalogen (uppl ×1000) och antal tryckta sidor i katalogen

(sidor).

Tabell 2: Datamaterialet som beskriver hur antal inkomna ordrar varierar med upplagan och antal tryckta sidor. Antalet observationer ¨ ar n = 38.

uppl sidor ordrar

2800 22 437

2670 14 204

2800 37 725

2784 15 279

2800 38 474

2620 172 1587 2620 249 2630

2470 84 798

2620 242 2509 2475 100 1192 2620 114 882

2620 37 511

2448 96 896

uppl sidor ordrar 2648 116 1297

2525 94 857

1000 47 388

980 48 462

1000 15 67

1112 45 326

1000 23 145

1000 44 298

2188 23 179

1028 47 289

2200 31 200

1000 48 461

980 48 223

uppl sidor ordrar

728 47 235

2510 26 235

1500 58 594

2500 128 1800 2620 120 1457 2528 120 1710 2630 121 1715 2550 122 1615

1150 61 196

1150 50 309

1150 50 263

1147 60 332

F¨ or att f¨ orklara hur ordrar beror av upplaga och sidor, g¨ or vi multipel linj¨ ar regressionanalys. Vi skapar en matris X ∈ R ^38×3 vars f¨ orsta kolumn ¨ ar ettor, andra kolumnen ¨ ar uppl och tredje ¨ ar sidor, och en vektor y som inneh˚ aller ordrar. F¨ oljande kvantiteter ber¨ aknas sedan

(X ^T X) ⁻¹ =





2.08385 · 10 ⁻¹ −8.64954 · 10 ⁻⁵ −1.48187 · 10 ⁻⁴

−8.64954 · 10 ⁻⁵ 5.49082 · 10 ⁻⁸ −2.98962 · 10 ⁻⁷

−1.48187 · 10 ⁻⁴ −2.98962 · 10 ⁻⁷ 9.99443 · 10 ⁻⁶





(X ^T X) ⁻¹ (X ^T y) =





−364.846 0.183301 10.2639





38

X

i=1

e ² _i = 1.15929 · 10 ⁶

38

X

i=1

(y i − y) ² = 1.69303 · 10 ⁷

d¨ ar e i ¨ ar elementen i residualen. Genomf¨ or f¨ oljande uppgifter:

• Ange fullst¨ andiga modellantaganden.

• Plocka fram den modellfunktion som minsta-kvadratmetoden ger.

• Best¨ am f¨ orklaringsgraden R ² .

• Best¨ am residualspridningen s _e .

• Best¨ am skattad standardavvikelse f¨ or koefficienten till uppl, och till sidor.

• G¨ or hypotespr¨ ovning p˚ a koefficienten till uppl f¨ or att avg¨ ora om den ¨ ar skilld fr˚ an 0 p˚ a 1% signifikansniv˚ a.

• Best¨ am ett 99% konfidensintervall f¨ or koefficienten till sidor. (9 p) L¨ osning:

• Modellantagande Y _i = β 0 + β 1 X i,1 + β 2 X i,2 + ε i , d¨ ar i = 1 . . . 38

¨ ar index, Y _i ¨ ar antal ordrar, 728 ≤ X _i,1 ≤ 2800 ¨ ar upplagan,

15 ≤ X i,2 ≤ 249 ¨ ar antal sidor, och ε i ∈ N (0, σ) ¨ ar oberoende

stokastiska variabler.

• I modellfunktionen skattas β ₀ , β 1 , β 2 med b 0 , b 1 , b 2 som ges av normalekvationen (X ^T X) ⁻¹ (X ^T y), dvs skattade modellen ¨ ar

Y ˆ i = −364.846 + 0.183301 · X 1,i + 10.2639 · X 2,i

• F¨ orklaringsgraden R ² = 1 −

P ₃₈

i=1 e ² _i P 38

i=1 (y i − y) ² = 1 − 1.15929 · 10 ⁶

1.69303 · 10 ⁷ = 0.9315 = 93.15%

• Residualspridningen

s e = v u u t

1 38 − 3

38

X

i=1

e ² _i = p

1.15929 · 10 ⁶ /35 = 182.0

• Skattad standardavvikelse f¨ or b 1 ges av s e g˚ anger roten ur diag- onalelement 2 i (X ^T X) ⁻¹ , dvs

s b

= 182.0

√

5.49082 · 10 ⁻⁸ = 4.265 · 10 ⁻² P˚ a samma s¨ att anv¨ ands diagonalelement 3 f¨ or s b

,

s _b

= 182.0

√

9.99443 · 10 ⁻⁶ = 0.5754

• Vi ber¨ aknar |t-kvot| =   

b 1

s _b

   =

0.183301 4.265 · 10 ⁻²

 = 4.298. Eftersom denna ¨ ar st¨ orre ¨ an kritiska gr¨ ansen t _0.005 (30) = 2.750 > t _0.005 (35), kan vi dra slutsatsen att b 1 ¨ ar signifkant skild fr˚ an 0.

• Konfidensintervallet ges av

[b 2 − s _b

· t _0.005 (35), b 2 + s b

· t _0.005 (35)]

˚ Aterigen finns inte t _0.005 (35) med i tabellen, s˚ a vi anv¨ ander t _0.005 (30) = 2.750 ist¨ allet

[10.2639 − 0.5754 · 2.750, 10.2639 + 0.5754 · 2.750]

= [8.68, 11, 85]