• Kursboken V¨ annman: Matematisk statistik. I kursboken f˚ ar anteckningar och post-it lappar finnas, men inte l¨ osta exempel.

Po¨ ang totalt f¨ or del 1: 25 (9 uppgifter) Tentamensdatum 2010-10-27 Po¨ ang totalt f¨ or del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 – 14.00 L¨ arare: Adam Jonsson, Erland Gadde, Ove Edlund

Jourhavande l¨ arare: Adam Jonsson Tel: 0766-317460

Till˚ atna hj¨ alpmedel: • R¨ aknedosa,

• Kursboken V¨ annman: Matematisk statistik. I kursboken f˚ ar anteckningar och post-it lappar finnas, men inte l¨ osta exempel.

• Kompendium i Regressionsanalys

• Formelblad

• Tabeller

Tentamen best˚ ar av tv˚ a delar. P˚ a den f¨ orsta delen, som ¨ ar obligatorisk f¨ or att kunna bli godk¨ and, ska enbart svar l¨ amnas in, men l¨ osningar f˚ ar bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bed¨ omas utan enbart anv¨ andas vid gr¨ ansfall f¨ or att avg¨ ora om n˚ agon uppgift kan ”r¨ attas upp” p˚ a grund av slarvfel. P˚ a del 1 ges inga delpo¨ ang p˚ a uppgifterna.

Svaren f¨ or del 1 ska fyllas i p˚ a det blad som bifogas tentamen. Detta blad m˚ aste l¨ amnas in. L¨ agg detta blad f¨ orst bland l¨ osningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har l¨ amnats in s˚ a bed¨ oms tentamen som underk¨ and. F¨ or godk¨ ant kr¨ avs minst 19 po¨ ang p˚ a del 1. Med 4 extrapo¨ ang fr˚ an laborationerna och KGB s˚ a r¨ acker det med 15 po¨ ang av de 25 m¨ ojliga f¨ or godk¨ ant.

P˚ a den andra delen, som g¨ aller tentamen f¨ or ¨ overbetyg, ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas in. T¨ ank p˚ a att redovisa dina l¨ osningar p˚ a ett klart och tydligt s¨ att och motivera resonemangen. Vid bed¨ omningen av l¨ osningarna l¨ aggs stor vikt vid hur l¨ osningarna ¨ ar motiverade och redovisade. F¨ or betyg 4 kr¨ avs godk¨ ant p˚ a den f¨ orsta obligatoriska delen samt minst 13 po¨ ang fr˚ an den andra delen f¨ or ¨ overbetyg. F¨ or betyg 5 kr¨ avs godk¨ ant p˚ a den f¨ orsta obligatoriska delen samt minst 23 po¨ ang fr˚ an den andra delen f¨ or ¨ overbetyg.

OBS! Det g˚ ar inte att kompensera underk¨ ant p˚ a den f¨ orsta korta delen av tentamen med po¨ ang p˚ a den andra delen.

Ange p˚ a tentamensomslaget om du har l¨ amnat in l¨ osningar p˚ a del 2 genom att kryssa f¨ or de sista tre uppgifterna.

Om du plussar f¨ or ¨ overbetyg s˚ a skriv detta p˚ a tentamensomslaget.

LYCKA TILL!

1. I textilfabriken kontrollerar de tv˚ a kontrollanterna Adam och Berit alla plagg efter att de sytts ihop. De ska b˚ ada tv˚ a granska alla plagg, och de ska ocks˚ a genomf¨ ora granskningarna s˚ a att de ¨ ar oberoende av varandra. Anta att en viss typ av plagg ¨ ar defekt, och att sannolikheten att Adam uppt¨ acker detta ¨ ar 91% och motsvarande f¨ or Berit ¨ ar 96%.

(a) Ber¨ akna sannolikheten att ingen av dom uppt¨ acker defekten. (1p) (b) Ber¨ akna sannolikheten att exakt en av dom uppt¨ acker defekten. (1p) (c) Ber¨ akna sannolikheten att minst en av dom uppt¨ acker defekten. (1p) (d) Givet att minst en av dom uppt¨ acker defekten, hur stor ¨ ar san-

nolikheten att Berit uppt¨ acker defekten? (1p) 2. En forskare konstruerar med hj¨ alp av metoden i avsnitt 8.2.2 i V¨ annman

tolv konfidensinervall I ₁ , I ₂ , . . . , I ₁₂ f¨ or v¨ antev¨ ardena µ ₁ , µ ₂ , . . . , µ ₁₂ i tolv olika normalf¨ ordelade populationer. Varje intervall har konfidens- grad 95 % och de tolv stickproven antas vara oberoende. Vad ¨ ar san- nolikheten att minst 9 av de 12 intervallen t¨ acker sitt v¨ antev¨ arde?

(2p) 3. Sannolikheten att en flygkrash intr¨ affar n˚ agonstans i v¨ arlden under en

dag ¨ ar 1.096%. Antag, vilket ¨ ar ganska rimligt, att flygkrasher under olika dagar intr¨ affar oberoende av varandra. Ber¨ akna, antingen exakt eller med hj¨ alp av Poissonf¨ ordelningen, sannolikheten att det sker en flygkrash under minst fem dagar p˚ a ett ˚ ar (365 dagar). (2p) 4. Inger har en aktieportf¨ olj v¨ ard 750 kkr. Portf¨ oljens v¨ arde den 31 de-

cember 2010 betecknas ξ och antas ha en N (770, 130)-f¨ ordelning.

(a) Ber¨ akna sannolikheten att portf¨ oljen ¨ ar v¨ ard mindre ¨ an 600 kkr

den 31 december. (1p)

(b) F¨ or att f¨ ors¨ akra sig mot kursfall har Inger k¨ opt ett finansiellt kontrakt som ger utbetalningen

200 kkr om ξ ≤ 600,

100 kkr om 600 < ξ ≤ 700, och 0 kr om ξ > 700.

(1)

Ber¨ akna den f¨ orv¨ antade utbetalningen som kontraktet ger ¹ . (2p) 5. En fiskares v¨ antetider ξ 1 , ξ 2 , . . . mellan napp (“napp” betyder att en

fisk fastnar p˚ a kroken) antas vara oberoende och Exponentialf¨ ordelade med v¨ antev¨ arde 1/λ = 10 minuter. Man kan visa att

τ = ξ ₁ + ξ ₂ + ξ ₃ + ξ ₄ ,

1

Svaret p˚ a b) skulle kunna anv¨ andas f¨ or att priss¨ atta kontraktet. I praktiken s˚ a anv¨ ands

dock den s.k. log-normalf¨ ordelningen f¨ or att beskriva aktiekurser.

som ¨ ar tidpunkten f¨ or det fj¨ arde nappet, har en sk Gammaf¨ ordelning.

Dess frekvensfunktion ¨ ar

f τ (x) = λ ⁴

6 x ³ e ^−λx , x > 0. (2)

(a) Best¨ am v¨ antev¨ ardet E(τ ). (1p)

(b) Best¨ am variansen V (τ ). (1p)

(c) L˚ at ¯ ξ vara den genomsnittliga v¨ antetiden fram till och med det fj¨ arde nappet. Best¨ am variansen V ( ¯ ξ). (1p) 6. P˚ a ett sjukhus d¨ ar man skickar vissa av sina blodprover till tv˚ a olika

laboratorier f¨ or analys ville man utf¨ ora en unders¨ okning f¨ or att testa om laboratorierna m¨ ater likv¨ ardigt. Vid unders¨ okningen tog man ett enda blodprov p˚ a 6 ml fr˚ an en patient och s¨ ande 3 ml var till de tv˚ a laboratorierna, som vart och ett fick g¨ ora 9 oberoende m¨ atningar p˚ a provet. Resultatatet av m¨ atningarna, i kodade enheter, ges nedan:

M¨ atning 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Lab 1 31.2 30.2 43.8 38.0 34.3 35.8 27.7 40.8 29.8 Lab 2 40.7 34.7 41.6 40.6 40.4 31.1 32.1 27.6 31.5 En ber¨ akning av medelv¨ arden och stickprovsstandardavvikelser gav

¯

x 1 = 34.63, ¯ x 2 = 35.59, s 1 = 5.45, s 2 = 5.29.

Ber¨ akna ett l¨ ampligt 95% konfidensintervall f¨ or den genomsnittliga skillnaden under rimliga normalf¨ ordelningsantaganden.

F¨ or att genomf¨ ora ett tv˚ asidigt hypotestest av

H 0 :”ingen genomsnittlig skillnad mellan Lab 1 och Lab 2”

p˚ a 5% signifikansniv˚ a s˚ a kan man anv¨ anda beslutsregeln: f¨ orkasta noll- hypotesen om det ber¨ aknade intervallet inte t¨ acker noll. Om denna beslutsregel till¨ ampas, skall nollhypotesen d˚ a f¨ orkastas? F¨ or 2 po¨ ang kv¨ avs r¨ att nedre gr¨ ans och r¨ att svar (ja eller nej). (2p) 7. V¨ atetomen best˚ ar av en atomk¨ arna och en enda elektron. Innan m¨ atning

kan elektronens position relativt atomk¨ arnan betraktas som slumpm¨ assig, och avst˚ andet mellan k¨ arnan och elektronen kan d¨ arf¨ or beskrivas med en slumpvariabel ζ. D˚ a atomen befinner sig i grundtillst˚ andet ges frekvensfunktionen f¨ or ζ av

f ζ (x) = 4

a ³ ₀ x ² e ^−2x/a

, x > 0, d¨ ar a ₀ ¨ ar den s.k. Bohr-radien.

Anv¨ and definitionen av v¨ antev¨ arde f¨ or en kontinuerlig slumpvariabel f¨ or att ber¨ akna E[ζ], det f¨ orv¨ antade avst˚ andet mellan k¨ arnan och elek- tronen i en v¨ ateatom i sitt grundtillst˚ and. Du kan anv¨ anda att funk- tionen f _τ (x) fr˚ an uppgift 5 f¨ or varje v¨ arde p˚ a λ > 0 ¨ ar en frekvens- funktion, vilket betyder att R ∞

0 f τ (x)dx = 1. (1p)

8. Antag att x 1 , . . . , x n ¨ ar ett observerat stickprov fr˚ an en N (µ, σ)-f¨ ordelning, d¨ ar σ = 1.6 ¨ ar k¨ and. F¨ or att testa H ₀ : µ = 15 mot H ₁ : µ > 15 p˚ a 5% signifikansniv˚ a anv¨ ands medelv¨ ardet ¯ x som testvariabel.

(a) Om n = 10 kan beslutsregeln: f¨ orkastas H ₀ om ¯ x > 15.83 anv¨ andas.

Ber¨ akna detta tests styrka i punkten µ = 16. (1p) (b) Om n ≥ 10 s˚ a skall en annan beslutsregel anv¨ andas f¨ or att

genomf¨ ora testet p˚ a 5% signifikansniv˚ a. Best¨ am n och testet s˚ a att testets styrka i punkten µ = 16 blir minst 90%. Ange det minsta v¨ ardet p˚ a n som ger en styrka p˚ a minst 90%. (2p) 9. En studie av hur mycket av det biologiska materialet som finns kvar

vid frystorkning av j¨ ast ² har resulterat i analysen i tabell 1. Un- der f¨ ors¨ oket anv¨ andes procentandel glycerin p˚ a niv˚ aerna 10, 20 och 30% (Glycerine), och avkylningshastighet p˚ a niv˚ aerna 10, 20 och 30 ^◦ C/min (Speed), vilket gav totalt 9 observationer av hur m˚ anga procent biologiskt material som finns kvar i j¨ asten efter frystorkning (Material).

(a) Best¨ am residualspridningen s e . (1p)

(b) Best¨ am f¨ orklaringsgraden R ² . (1p)

(c) F¨ or att avg¨ ora om Speed ska vara med som f¨ orklarande variabel p˚ a 5% signifikansniv˚ a, j¨ amf¨ ors |t-kvot| med ett tal. Ange detta tal, samt ange om Speed ska beh˚ allas som f¨ orklarande variabel. (1p) (d) Finn ett 95% konfidensintervall f¨ or hur Material f¨ or¨ andras i

genomsnitt om Glycerine ¨ okar med 1% och Speed h˚ alls kon-

stant. Svara med den ¨ ovre gr¨ ansen. (2p)

Tabell 1: Regression Analysis: Material versus Glycerine; Speed The regression equation is

Material = 107 - 0,050 Glycerine - 0,900 Speed

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 107,333 3,555 30,19 ? Glycerine -0,0500 0,1208 -0,41 ? Speed -0,9000 0,1208 -7,45 ? S = ? R-Sq = ? R-Sq(adj) = 87,0%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression ? 487,50 Residual Error ? 52,50

Total ? 540,00

Slut p˚ a del 1. Gl¨ om inte att bifoga svarsbladet med tentan!

2

Savova I, Donev TN, Tepavicharova I and Alexandrova T (1989). Comparative studies

on the storage of freeze-dried yeast strains on the genus Saccharomyces. In Proceedings

of the 4th International School on Cryobiology and Freeze-drying, 29 July–6 August 1989,

Borovets, Bulgaria, p32–33. Bulgarian Academy of Sciences Press, Sofia.

Tabell f¨ or svar till del 1

Riv ut och l¨ agg svarsbladet f¨ orst i tentamen

Namn: . . . . Personnummer: . . . .

Fr˚ aga Svar Po¨ ang

1 a Sannolikhet (procent, tv˚ a decimaler) 0.36 1

b Sannolikhet (procent, tv˚ a decimaler) 12.28 1

c Sannolikhet (procent, tv˚ a decimaler) 99.64 1

d Sannolikhet (procent, en decimal) 96.34 1

2 Sannolikhet (procent, en decimal) (99.8) 99.77 2

3 Sannolikhet (procent, en decimal) 37.1 2

4 a Sannolikhet (procent, en decimal) 9.5 (9.549 ex- akt, Φ(−1.31) = 9.5098)

1

b V¨ antev¨ arde (en decimal) 39.0 (39.07 exakt)

5 a V¨ antev¨ arde (en decimal) 40 1

b Varians (en decimal) 400 1

c Varians (en decimal) 25 1

6 Nedre gr¨ ans (en decimal), samt “ja” eller “nej” −6.36, “Nej” 2

7 V¨ antev¨ arde (uttryckt i a 0 ) ³ ₂ a 0 1

8 a Styrka (procent, en decimal) 63.2 (65.16 exakt, Φ(0.36) = 64.1 ok)

1

b n 22 2

9 a Residualspridning (tv˚ a decimaler) 2.96 1

b F¨ orklaringsgrad (tv˚ a decimaler) 90.27 1

c |t-kvot| j¨ amf¨ ors med (tv˚ a decimaler) 2.45

“Ja” eller “Nej” “Ja” 1

d Ovre gr¨ ¨ ans (tv˚ a decimaler) 0.25 2

Totalt antal po¨ ang 25

Vid bed¨ omningen av l¨ osningarna av uppgifterna i del 2 l¨ aggs stor vikt vid hur l¨ osningarna ¨ ar motiverade och redovisade. T¨ ank p˚ a att noga redovisa inf¨ orda beteckningar och eventuella antaganden.

10. En fiskares v¨ antetider ξ 1 , ξ 2 , . . . mellan napp (“napp” betyder att en fisk fastnar p˚ a kroken) antas vara oberoende och Exponentialf¨ ordelade med v¨ antev¨ arde 1/λ = 10 minuter.

Ber¨ akna sannolikheten att fiskaren lyckas f˚ a ˚ atminstone 40 napp p˚ a

fem timmar=300 minuter. V¨ almotiverade approximationer godtas. (10p) 11. Victoria har alltid undrat om sannolikheten att f˚ a klave vid slantsin-

gling faktiskt ¨ ar 0.5. Hon beslutar sig d¨ arf¨ or f¨ or att kasta sin favorit- enkrona (som hon fick n¨ ar hon tappade sin f¨ orsta tand) 1000 g˚ anger.

(a) F¨ oresl˚ a ett l¨ ampligt hypotestest. Testvariabel, beslutsregel och f¨ ordelningsantaganden skall tydligt framg˚ a. V¨ almotiverade ap- proximationer f˚ ar anv¨ andas f¨ or att best¨ amma testet s˚ a att det

f˚ ar signifikansniv˚ an 10%. (8p)

(b) Finns det anledning att tro att hennes mynt ¨ ar asymmetriskt om 516 klavar f˚ as p˚ a de 1000 kasten? Anv¨ and testet i a) f¨ or att

besvara fr˚ agan. (2p)

12. Vi forts¨ atter att arbeta med datamaterialet som anv¨ andes i del 1, uppgift 9. Sj¨ alva datamaterialet redovisas i tabell 2 nedan. Analysen i tabell 1 har problem som blir uppenbara om alla ”?”ers¨ atts med sina v¨ arden. F¨ or att komma till r¨ atta med detta provar vi tv˚ a al- ternativa l¨ osningar. I tabell 3 har ytterligare en f¨ orklarande variabel, Glycerine^2, lagts till, som ¨ ar kvadraten p˚ a Glycerine.

(a) Ange fullst¨ andiga modellantaganden f¨ or analysen i tabell 3. Utg˚ a- ende fr˚ an minitabutskiften, och residualanalysen i figur 1, samt vid j¨ amf¨ orelse med tabell 1, ange vilka f¨ ortj¨ anster och problem

som analysen uppvisar. (3 p)

(b) Det andra angreppss¨ attet ¨ ar att helt ta bort glycerinhalten som f¨ orklarande variabel, vilket resulterar i enkel regression med re- sultat i tabell 4 och figur 2. Ange fullst¨ andiga modellantaganden och ange vilka f¨ ortj¨ anster och problem som detta angreppss¨ att har, j¨ amf¨ ort med de tidigare resultaten. (3 p) (c) F¨ or den enkla regression som beskrivs i tabell 4, best¨ am ett kon-

fidensintervall som med 95% s¨ akerhet inneh˚ aller procenten biol- ogiskt material som finns kvar i frystorkad j¨ ast om avkylning- shastigheten ¨ ar 15 ^◦ C/min.

Tips: De n¨ odv¨ andiga parametrar som inte ¨ ar givna i tabell 4, ¨ ar

f¨ or detta problem relativt enkla att ber¨ akna via ”handr¨ akningar”,

s˚ a de ges inte h¨ ar utan ska ber¨ aknas och redovisas. (4 p)

Tabell 2: Datamaterialet som beskriver hur procenten biologiskt material i frystorkad j¨ ast (Material) varierar med procentandel glycerin och avkylning- shastighet i ^◦ C/min.

Glycerine 10 10 10 20 20 20 30 30 30 Speed 10 20 30 10 20 30 10 20 30 Material 96 85 82 100 92 80 96 88 76

Tabell 3: Regression Analysis: Material versus Speed; Glycerine; Glycerineˆ2 The regression equation is

Material = 95,7 - 0,900 Speed + 1,35 Glycerine - 0,0350 Glycerine^2

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 95,667 6,261 15,28 0,000 Speed -0,90000 0,09661 -9,32 0,000 Glycerine 1,3500 0,6763 2,00 0,102 Glycerine^2 -0,03500 0,01673 -2,09 0,091 S = 2,36643 R-Sq = 94,8% R-Sq(adj) = 91,7%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 3 512,00 170,67 30,48 0,001 Residual Error 5 28,00 5,60

Total 8 540,00

Figur 1: Residualplottar vid regressionanalysen med Speed; Glycerine;

Glycerineˆ2.

Tabell 4: Regression Analysis: Material versus Speed The regression equation is

Material = 106 - 0,900 Speed

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 106,333 2,449 43,41 0,000 Speed -0,9000 0,1134 -7,94 0,000 S = 2,77746 R-Sq = 90,0% R-Sq(adj) = 88,6%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 1 486,00 486,00 63,00 0,000 Residual Error 7 54,00 7,71

Total 8 540,00

Figur 2: Residualplottar vid regressionanalysen med Speed.