ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9
STOKASTISKA VARIABLER
1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga:
a. X = ”En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös”, där x antar värdena 1 (”ja”) och 0 (”nej”).
b. X = ”Temperaturen i morgon”
c. X = ”Antalet barn i en slumpmässigt utvald familj”
d. X = ”Genomsnittligt antal barn i tre slumpmässigt utvalda familjer”
e. X = ”Lottoraden nästa lördag”
SANNOLIKHETSFÖRDELNINGEN FÖR EN DISKRET VARIABEL
2. Ett år släpps 1000 fångar fria från ett fängelse. Tabellen nedan visar hur många brott som dessa personer begick under de påföljande tre åren. Vi väljer nu slumpmässigt ut en av brottslingarna och mäter hur många brott (X) denna person begick. Beskriv sannolikhetsfördelningen för X genom att fylla i den sista kolumnen i tabellen nedan (avrunda inte).
Antal brott (x) Antal brottslingar f(x)
0 376
1 360
2 184
3 61
4 15
5 4
LITE SANNOLIKHETSLÄRA
3. Se uppgift 2. Beskriv den kumulativa fördelningsfunktionen genom att fylla i kolumnen F(x) i tabellen nedan.
Antal brott (x) Antal brottslingar f(x) F(x)
0 376 0,376
1 360 0,360
2 184 0,184
3 61 0,061
4 15 0,015
5 4 0,004
4. Är följande stokastiska variabler beroende eller oberoende? (Ingen motivering behövs.)
a. Du väljer slumpmässigt ut en person ur Finlands befolkning och mäter personens längd (X) och vikt (Y).
b. Du väljer slumpmässigt ut två personer ur Finlands befolkning och mäter den ena personens vikt (X1) och den andra personens längd (X2).
c. I en högstadieklass går 10 flickor och 10 pojkar. Man lottar slumpmässigt ut två personer som klassrepresentanter, där X1 och X2 mäter könet för respektive person.
SANNOLIKHETSFÖRDELNINGEN FÖR EN KONTINUERLIG
VARIABEL
5. X är en kontinuerlig stokastisk variabel som kan anta värden i intervallet 0 till 100: 0 ≤ 𝑥 ≤ 100. Vilket av följande tre påståenden är korrekt?
Sannolikheten för att X ska anta värdet 50 är:
a. 0 b. 0,5
c. Vi har inte tillräckligt med information för att kunna avgöra detta.
6. Figuren nedan illustrerar sannolikhetsfördelning för en kontinuerlig stokastisk variabel X som kan anta värden i intervallet 0 till 1: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. Beskriv sannolikhetsfördelningen för den här variabeln: f(x) = ... .
0
0 0,5 1
f(x)
x
7. Avkastningen på en finansiell investering är en kontinuerlig stokastisk variabel X som följer en triangelformad fördelning:
𝑓(𝑥) =2(𝑥+10)
600 då −10 ≤ 𝑥 ≤ 10 och 𝑓(𝑥) =2(20−𝑥)
300 då 10 ≤ 𝑥 ≤ 20 Hur stor är sannolikheten för att avkastningen blir negativ? (Tips: Arean för en triangel är höjden gånger bredden delat på två.)
8. Inkomsterna bland invånarna i en afrikansk stam följer en så kallad paretofördelning. I figuren nedan visas denna fördelning, där inkomsterna mäts i dollar per dag. Du väljer slumpmässigt ut en person ur den här befolkningen och mäter personens inkomst (X). Den kumulativa fördelningsfunktionen för X ges av: 𝐹(𝑥) = 1 − 1
𝑥2 då 𝑥 ≥ 1.
a. Hur stor är sannolikheten för att personen har en inkomst under fattigdomsgränsen på 2 dollar per dag?
b. Hur stor är sannolikheten för att personen har en inkomst på minst 2 dollar per dag?
c. Hur stor är sannolikheten för att personen har en inkomst någonstans mellan 2 och 5 dollar per dag?
0 0,05 0,1
-20 -10 0 10 20
x
VÄNTEVÄRDET
9. Ett år släpps 1000 fångar fria från ett fängelse. Tabellen nedan visar sannolikheten för att en slumpmässigt utvald person begick 0 brott, 1 brott, 2 brott, ..., 5 brott. Hur många brott begick dessa personer i genomsnitt? Eller med andra ord: Beräkna E(X).
Antal brott (x) f(x)
0 0,376
1 0,360
2 0,184
3 0,061
4 0,015
5 0,004
10. Du väljer slumpmässigt ut en person ur Finland befolkning. Den stokastiska variabeln X mäter om personen stöder EMU och antar då värdet 1 och annars värdet 0. Andelen finländare som stöder EMU betecknas med p. Visa att väntevärdet för X är p.
11. Väntevärdet för en stokastisk variabel X är 5. Väntevärdet för Y = X2 är då:
a. 10 b. 25
c. Vi har inte tillräckligt med information för att kunna avgöra detta.
12. På ett företag bestäms lönen enligt följande: Ingångslönen är 2000 euro. Efter ett år höjs lönen till 2300 euro; efter tre år till 2500 euro; efter fem år till 2800 euro och efter tio år till 3000 euro. Därefter höjs lönen inte fler gånger. Tabellen nedan beskriver hur stor andel av arbetarna som jobbat 0 år, 2, år, 3 år, osv. Du väljer slumpmässigt ut en av arbetarna från det här företaget. Hur mycket förväntas denna tjäna?
Antal år i tjänst (x) f(x)
0 0,1
2 0,15
3 0,05
5 0,2
6 0,3
9 0,05
10 0,1
14 0,05
VARIANSEN OCH STANDARDAVVIKELSEN
13. Tabellen nedan visar sannolikhetsfördelningen för antalet trafikolyckor som en 18-åring är med om under sitt första år bakom ratten. En slumpmässigt utvald förare förväntas vara med om 0,39 olyckor. Beräkna variansen och standardavvikelsen för antalet olyckor, Var(X).
Antal olyckor (x) f(x)
0 0,68
1 0,26
2 0,05
3 0,01
14. Du väljer slumpmässigt ut en person ur Finland befolkning. Den stokastiska variabeln X mäter om personen stöder EMU och antar då värdet 1 och annars värdet 0. Andelen finländare som stöder EMU betecknas med p. Visa att variansen för X är p(1-p).
15. Beräkna variansen för Y. Variansen för X är 10 och variansen för Z är 20. X och Z är oberoende stokastiska variabler.
a. Y = 2X b. Y = 2 + 0,5X c. Y = -X d. Y = X + Z e. Y = 2 + X + 5Z
Beräkna väntevärdet, variansen och standardavvikelsen för Y:
f. Y = -2 + X + 5Z g. Y = X – Z
