ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9
STOKASTISKA VARIABLER
1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga:
a. X = ”En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös”, där x antar värdena 1 (ja) och 0 (nej).
b. X = ”Temperaturen i morgon”
c. X = ”Antalet barn i en slumpmässigt utvald familj”
d. X = ”Genomsnittligt antal barn i tre slumpmässigt utvalda familjer”
e. X = ”Lottoraden nästa lördag”
SANNOLIKHETSFÖRDELNINGEN FÖR EN DISKRET VARIABEL
2. Ett år släpps 1000 fångar fria från ett fängelse. Tabellen nedan visar hur många brott som dessa personer begick under de påföljande tre åren. Vi väljer nu slumpmässigt ut en av brottslingarna och mäter hur många brott denna begick, där antalet brott betecknas med X. Beskriv sannolikhetsfördelningen och fördelningsfunktionen för X genom att fylla i tabellen nedan.
Brott (x) Antal brottslingar f(x) F(x)
0 376
1 360
2 184
3 61
4 15
5 4
SANNOLIKHETSFÖRDELNINGEN FÖR EN KONTINUERLIG
VARIABEL
3. X är en kontinuerlig stokastisk variabel som kan anta värden i intervallet 0 till 100: 0 ≤ 𝑥 ≤ 100. Vilket av följande tre påståenden är korrekt?
Sannolikheten för att X ska anta värdet 50 är:
a. 0
b. 0,5
c. Vi har inte tillräckligt med information för att kunna avgöra detta.
4. Figuren nedan illustrerar sannolikhetsfördelning för en kontinuerlig stokastisk variabel X som kan anta värden i intervallet 0 till 1: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. Beskriv sannolikhetsfördelningen för den här variabeln: f(x) = ... .
5. Avkastningen på en finansiell investering är en kontinuerlig stokastisk variabel X som följer en triangelformad fördelning:
𝑓(𝑥) =2(𝑥+10)
600 då −10 ≤ 𝑥 ≤ 10 och 𝑓(𝑥) =2(20−𝑥)
300 då 10 ≤ 𝑥 ≤ 20 Hur stor är sannolikheten för att avkastningen blir negativ? (Tips: Arean för en triangel är höjden gånger bredden delat på två.)
6. Inkomsterna bland invånarna i ett fattigt land följer en så kallad Dagum- fördelning. I figuren nedan visas en sådan fördelning, där inkomst mäts i dollar per dag. Den kumulativa fördelningsfunktionen ges av:
𝐹(𝑥) = 1 (1 +⁄ 𝑥12)2 då 𝑥 > 0 0
0 0.5 1
f(x)
x
0 0.05 0.1
-20 -10 0 10 20
x
a. Hur stor är sannolikheten för att personen har en inkomst under fattigdomsgränsen på 2 dollar per dag?
b. Hur stor är sannolikheten för att personen har en inkomst på minst 2 dollar per dag?
c. Hur stor är sannolikheten för att personen har en inkomst någonstans mellan 2 och 5 dollar per dag?
7. Finska lågstadieelever bor inom sju kilometers radie från sin skola. Nedan visas fördelningsfunktionen för avståndet till skolan för en slumpmässigt utvald elev.
Kalle bor längre bort från sin skola än 80 procent av lågstadieelever (och närmare sin skola än 20 procent). Hur lång väg har Kalle till skolan?
𝐹(𝑥) =𝑥492 då 0 ≤ x ≤ 7
VÄNTEVÄRDET
8. Ett år släpps 1000 fångar fria från ett fängelse. Tabellen nedan visar sannolikheten för att en slumpmässigt utvald person begick 0 brott, 1 brott, 2 brott, ..., 5 brott. Hur många brott begick dessa personer i genomsnitt? Eller med andra ord: Beräkna E(X).
Antal brott (x) f(x)
0 0,376
1 0,360
2 0,184
3 0,061
4 0,015
5 0,004
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x)
Inkomst, dollar per dag (x)
9. En frilansare gör hemsidor åt företag. Antalet beställningar som kommer in under en vecka är en stokastisk variabel som vi betecknar med X. Anta att frilansaren kan få in allt mellan 0 och 4 beställningar per vecka. Hur många beställningar kan frilansaren förvänta sig under en vecka? Eller med andra ord:
Beräkna E(X).
Beställningar (x) f(x)
0 0,3
1 0,4
2 0,2
3 0,08
4 0,02
10. Du väljer slumpmässigt ut en person ur Finland befolkning. Den stokastiska variabeln X mäter om personen stöder EMU och antar då värdet 1 och annars värdet 0. Andelen finländare som stöder EMU betecknas med p. Visa att väntevärdet för X är p.
11. Väntevärdet för en stokastisk variabel X är 5. Väntevärdet för Y = X2 är då:
a. 10 b. 25
c. Vi har inte tillräckligt med information för att kunna avgöra detta.
VARIANSEN OCH STANDARDAVVIKELSEN
12. Tabellen nedan visar sannolikhetsfördelningen för antalet trafikolyckor som en 18-åring är med om under sitt första år bakom ratten. En slumpmässigt utvald förare förväntas vara med om 0,39 olyckor. Beräkna variansen och standardavvikelsen för antalet olyckor.
Antal olyckor (x) f(x)
0 0,68
1 0,26
2 0,05
3 0,01
13. Anta att en aktie kan antingen minska i värde med 1 euro, förbli oförändrad i värde, eller öka i värde med 1 euro. Sannolikheterna för dessa tre scenarion är
0,2, 0,5 respektive 0,3. Beräkna variansen och standardavvikelsen för förändringen i aktiens värde.
14. Du väljer slumpmässigt ut en person ur Finland befolkning. Den stokastiska variabeln X mäter om personen stöder EMU och antar då värdet 1 och annars värdet 0. Andelen finländare som stöder EMU betecknas med p. Visa att variansen för X är p(1-p).
ANDRA EGENSKAPER HOS POPULATIONEN
15. Du vill estimera det linjära sambandet mellan ålder och längd. Hur ser en statistisk modell ut som beskriver data?
