Saker vi kan göra med integraler

Teoriblad

Saker vi kan göra med integraler

Med integraler kan vi ...

beräkna areor:

1)

beräkna förändringar om derivatan (förändringshastigheten) är känd:

Motivering: (*) ger

Uppgifter där detta kan användas kan också lösas genom att bestämma rätt primitiv funktion till g’(x).

förändringen av F

integralen av F’

2)

summera oändligt många oändligt små bidrag:

F f f’ f’’

s s’

N N’

s’’

v v’

a Liten förflyttning under ett litet tidsintervall

Föremål rör sig med hastigheten v(t) = 9,8t. Hur långt rör sig föremålet under de tre första sekunderna?

Ex 1

Ex 2

Hela förflyttningen 3)

y y = f(x)

A ₁ b a

x

y y = f(x)

y = g(x) b a

x

y

y = f(x) b a

x

s(t ₂ ) – s(t ₁ ) = v(t) dt = 9,8t dt = ... ≈ 44

t ₂

t ₁

3

0

Δs = v(t) Δ t = 9,8t Δ t

F(b) – F(a) = F’(x) dx

b

a

f(b) – f(a) = f’(x) dx f’ = df

dx

b

a

g(b) – g(a) = g’(x) dx

b

a

A ₁ = f(x) dx

b

a

A ₂

A ₂ = [f(x)-g(x)] dx

b

a A ₃ = [0-f(x)] dx

b

a

A ₃

y

y = 2x

4 10

x

y y = g(x)

b a

g(a) g(b)

g(b) – g(a) x

Volymen av en tunn skiva

Linjen y = 2x, x-axeln och linjen x = 4 begränsar ett område som får rotera kring x-axeln. Bestäm rotationskroppens volym.

Hela volymen

V = 4πx ² dx = ... =

4

0

ΔV = πy ² Δ x = π(2x) ² Δ x = 4πx ² Δ x

256π Δx

3

f(x) dx = F(b) – F(a), där F’(x) = f(x) (*)

b

a

lim f(x _i ) Δx = f(x) dx

i = 1

n b

n a