Introduktionskurs i matematik, v.t. 2010. Deltentamen 3.

Introduktionskurs i matematik, v.t. 2010. Deltentamen 3.

Hjälpmedel: Icke formelhanterande miniräknare. Formelsamling för gymnasiet.

Skrivtid: 3 timmar; Max: 20 poäng Tomas Nilson, Mittuniversitetet.

Lösningarna skall presenteras på ett sådant sätt att uträkningar och resonemang blir lätta att följa. Avsluta varje lösning med ett tydligt angivet svar.

1. Bestäm följande gränsvärden:

a) limx→3 x²−9

x−3 b) limx→∞3x²−5x+7

7x²−3x+5 c) limx→1

√x−1

1−x . (3p)

2. Låt f(x) =√

x och g(x) = x + 3. Bestäm f ◦ g(x) och dess denitionsmängd

D_{f ◦g}. (2p)

3. Deniera med hjälp av gränsvärden när en funktion f sägs vara kontinuerlig i

punkten x = a. (1p)

4. Låt a och b vara reella konstanter och f : R → R ges av

f (x) =







x²+3x−10

x²+x−6 om x ∈ R \ {−3, 2};

a om x = 2;

b om x = −3.

Bestäm om möjligt a så att f är kontinuerlig i x = 2. (2p)

5. Låt M = {−1, 1}. Avgör för följande funktioner om de är injektiva eller inte, om de är surjektiva eller inte. Motivera dina svar.

a) f : Z → R, där f(x) = 2x + 1; (1p)

b) g : R \ {0} → M, där g(x) = _|x|^x; (1p)

c) h : M → Z \ {0}, där h(x) = x. (1p)

1

2

6. Låt f : R → [1, ∞), där f(x) = x²+ 1 .

a) Visa att f inte är inverterbar på hela R. (1p) b) Bestäm största möjliga denitionsmängd för f så att f blir inverterbar

och bestäm denna invers f⁻¹(x). (2p)

7. Använd instängningssatsen för att beräkna. (3p)

x→2lim(x − 2)²cos

 1 x − 2

 .

8. Aspektuppgift: Vi vet att alla parabler, det vill säga grafer till andragradpoly- nom är symmetriska kring en linje. Grafer till tredjegradspolynom kan inte vara symmetriska kring en linje men däremot runt en punkt. Tag till exempel grafen till f(x) = x³. Om denna graf xeras i origo, så kan den roteras 180 grader och man får då tillbaka samma graf. Polynom av högre grad än tre måste uppfylla vissa vilkor för att vara symmetriska kring en linje, alternativt en punkt. För polynom av udda grad har vi följande villkor.

Proposition 1. Låt f vara ett polynom av grad n. Då är grafen till f symmetrisk runt punkten (a, f(a)) om och endast om f kan skrivas

f (x) =

m

X

i=0

k2i+1(x − a)²ⁱ⁺¹
+ c där n = 2m + 1 och c är en konstant.

Låt p(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D. Visa att varje polynom av grad tre är symmetriskt runt en punkt (a, p(a)) genom att för p(x) bestämma konstanterna

a, k1, k3 och c i Proposition 1. (3p)

Lycka till!