Då gäller att r är en rot till P (x )0  x r    *k x där k   x är en polynom sådant att grad

Faktorsatsen

Antag att ^{P (x )} är ett polynom med grad ^{P ( x )  1}

Då gäller att r är en rot till ^{P ( x )  0 }  ^{x  r}    ^{* k x} där k   x är en polynom sådant att grad

  x  grad p   x  1 k

Anm. Att r är en rot till p   x  0 innebär att p   r  0

Ex.

Polynomet ^P   ^{x  x}

³

^{ 7 x  6} och Q   x  x  1 är givna.

Utför polynomdivisionen  

  ^x

Q x

P och använd resultatet för att lösa ekvationen P   x  ⁰

Lösning:

Använd faktorsatsen

 

 

 

0

6 6

6 6

6 7

6 7

|

6 1

2 2

3 3 3 2





















  







x x

x x

x x

x x

x x

x x x

Alltstå:

1 6 6

7

2

3

  





 x x

x x x

Vi kan då skriva tredjegradspolynomet som:

 

 

 

 

 











 





x k r x x

P

x x x x

x

³

 7  6   1

²

  6



Att lösa x

³

 x 7  6  0 är samma sak som att lösa

   

2 3

2 5 2 1 4

24 4 1 2 0 1

6 :

2

1 0

1 : 1

0 6 1

3 2

2

1 0 2 0





















































x x

x x

x x

x x

x x

x     



 3 1 2

Ex.

1 0 1

0 1

1 1 1

0 1 2

2 1 2 1

2 2





























x x x x x

x x

Dubbelrot

Ex.

a) Visa att ekvationen x

²

 2 x

²

 2 x  3  0 har roten x  1 b) Lös ekvationen x

³

 2 x

²

 2 x  3  0

a) Sätt in x  1 i ekvationen 0 3 1

* 2 1

* 2

1

³



²

   Alltså:



r

x 1  är en rot till P   x  x

³

 2 x

²

 2 x  3  0

Faktorsatsen säger om x  1 är en rot till P   x  0  P    x  x  1    * k x då k   x är en polynom av grad 2

Vi får då k   x genom att dividera P   x med  x  r  D.v.s.

1 3 2 2

²

3







 x

x x x

 

 

 

0

3 3

3 3

3 2

3 2 2

|

3 1

2 2

2 3

2 3

2







































x x

x x

x x

x x

x x x

x x x

Alltså:

   

2 13 2 1

2 13 2 1

4 3 1 2 0 1

3 :

2

1 0

1 : 1

0 3

* 1 3

2 3

3 2

2

1

0 2 0 2

3





















































x x

x x

x

x x

x x x

x x

x      

Ex. Läxa

a) Visa att ekvationen x

³

 6 x

²

 11 x  6  0 har roten x  2 Lösning:

HL VL  2

³

 6 * 2

²

 11 * 2  6  9  24  22  6  0 

 

 

 

0 6 3

6 3

8 4

6 11 4

2

6 11 6

|

3 4 2

2 2

2 3

2 3

2



































x x

x x x

x x

x x x

x x x

Alltså:

   

1 3

3 2 2 0

3 4 : 2

2 0

2 : 1

3 4 2

6 11 6

3 2

3 2

1

0 2 0 2

3













































x x

x x

x

x x

x x x x

x

x      

b) lös ekvationen x

³

 6 x

²

 11 x  6  0

 

 

  x x c

x x

c x x

x x x

c x x x

x x

x































2 2

2 2

| 1 2

2 2

2 3

2 3 2

  x  0

r d.v.s. c  2  0  c   2 Alltså:

   

    ₀

2 3

2 1

2 1

2 2

2 2

2 2

3

 





















 x x

x x x

x x x x

x x

Lös ^{täljaren  0} :

! k 1

! 2

2 3 2 1 4

8 4 1 2 0 1

2 :

2

! 1 0

1 : 1

3 2

2

1

O x

Falsk x

x x

x x

Falsk x

x









































Obs!

Nämnaren får ej bli 0 för någon av de framtagna rötterna

1

* 2

2 1 2 3 4 8 4 9 2 3

0 2

2

3





























x x

x x x

Ex. Läxa

a) Bestäm konstanten c så att polynomet ^P   ^{x  x}

³

^{ 2 x}

²

^{ x  c} blir jämt delbar med

  x  x

²

 x  2 Q

b) Lös ekvationen 0

2 3 2

2 2

3











 x x

c x x

x för det angivna värdet på konstanten c