L¨asanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Mats Boij 18 november 2001
13 Grupper
Det trettonde kapitlet behandlar grupper. Att formulera abstrakta begrepp som grupper har visat sig mycket kraftfullt. Man kan p˚a det viset se vad som g¨aller f¨or en mycket stor m¨angd till synes olika begrepp. Permutationer och modul¨ar aritmetik visar sig p˚a det viset ha n˚agot gemensamt.
Rekommenderade uppgifter l¨attare sv˚arare
13.1 1
13.2 4
13.3 1 3
13.4 1
13.5 1 2
13.6 1 4
13.7 1,3
13.8 2
13.10 8
13.1 Gruppaxiomen
Gruppbegreppet generaliserar flera av de saker vi sett tidigare. M¨angden av alla permutationer under sammans¨attning bildar en grupp och heltalen under addition bildar en grupp, precis som heltalen modulo n under addition. Det definieras vad som menas med en bin¨ar operation p˚a en m¨angd. Det ¨ar en regel som tar tv˚a element och ger tillbaka ett element. Exempel p˚a bin¨ara operationer ¨ar addition, subtraktion och multiplikation av heltal, reella tal, eller n˚agot annat slags tal. Ett annat exempel ¨ar sammans¨attning av funktioner fr˚an en m¨angd till sig sj¨alv, speciellt permutationer.
eftersom det kan anses vara en del av definitionen av vad en bin¨ar operation ¨ar. Det andra axio- met, associativiteten s¨ager att vi kan utel¨amna parenteser n¨ar vi upprepar gruppoperationen, med andra ord kan vi definiera sammans¨attning av en hel f¨oljd element.
Det tredje s¨ager att det finns ett element, e, som ¨ar neutralt f¨or gruppoperationen. Detta ele- ment kallas identitetselementet, och man kan visa att det bara finns ett s˚adant element i en grupp.
Ibland kan man ¨aven s¨aga enhetselement (eng. unit).
Det fj¨arde axiomet s¨ager att alla element i gruppen ¨ar inverterbara, dvs f¨or a kan vi hitta a−1 s˚a att a∗ a−1 = e och a−1∗ a = e.
Ordningen f¨or en grupp ¨ar antalet element i gruppen. Detta skall inte blandas ihop med be- greppet multiplikativ ordning, eller ordningen av ett gruppelement som betyder den minsta po- sitiva potens av ett element som ger identitetselementet. Om gruppen ¨ar o¨andlig s¨ags den ha o¨andlig ordning.
Overs¨attningar¨ group grupp
binary operation bin¨ar operation closure slutenhet
associativity associativitet identity identitet
inverse invers order orning
infinite order o¨andlig ordning
13.2 Exempel p˚a grupper
Symmetriska gruppen Snhar vi st¨ott p˚a tidigare. Det ¨ar m¨angden av permutationer av en m¨angd med n element och gruppoperationen ¨ar sammans¨attning. Ordningen av Sn ¨ar n!.
En annat exempel p˚a grupper ¨ar symmetrigrupper f¨or geometriska objekt. Det ¨ar stelkropps- rotationer som ˚aterf¨or objektet p˚a sig sj¨alvt. Ett objekt som inte har n˚agon symmetri har en trivial symmetrigrupp, dvs bara identitetselementet. I avnittet introduceras triangelgruppen G∆som ¨ar symmetrigruppen f¨or en liksidig triangel. Den visar sig ha ordning sex.
Det andra exemplet anv¨ander sig av matriser. Eftersom matriser introduceras f¨orst i Mate- matik II kan det vara lika bra att hoppa ¨over detta exempel. Annars kan man gl¨omma bort ma- trisnotationen och bara t¨anka sig par av element i Z3, (a, b), d¨ar a 6= 0. Multiplikationen ges av (a, b)∗ (c, d) = (ac, ad + b). Det visar sig att detta ger en grupp av ordning 6 med identitetsele- ment (1, 0).
Overs¨attningar¨
symmetric group symmetriska gruppen symmetries symmetrier
equilateral triangle liksidig triangel group table grupptabell
matrix matris
13.3 Grundl¨aggande algebra i grupper
Avsnittet bahendlar n˚agra grundl¨aggande r¨akneregler i grupper. Det f¨orsta som n¨amns ¨ar att man ofta inte skriver ut gruppoperationen som∗ utan anv¨ander multiplikativ notation ist¨allet.
Sats 13.3.1 s¨ager att vi alltid kan anv¨anda kancellering i grupper, b˚ade till v¨anster och till h¨oger. I grupper ¨ar det viktigt att skilja p˚a h¨oger och v¨anster, eftersom de i allm¨anhet inte ¨ar kommutativa, dvs det ¨ar inte alltid sant att ab = ba. Om ab = ba f¨or alla a och b i en grupp kallas gruppen abelsk eller kommutativ.
En annan viktig observation ¨ar att grupptabellen alltid ¨ar en latinsk kvadrat, dvs varje symbol f¨orekommer precis en g˚ang i varje rad och varje kolonn. D¨aremot ¨ar det inte sant att alla latinska kvadrater ¨ar grupptabeller. De flesta latinska kvadrater har inte den associativa egenskapen som kr¨avs f¨or att det skall vara en grupptabell.
Sats 13.3.2 s¨ager att vi alltid har en unik l¨osning till ekvationer som ax = b d¨ar a och b
¨ar givna element i en grupp. H¨ar konstateras ocks˚a att gruppens identitetselement ¨ar entydigt best¨amt, dvs det finns bara ett s˚adant, och ¨aven inversen till ett element ¨ar entydigt best¨amd.
Observera att detta inte ing˚ar bland gruppaxiomen, utan ¨ar en f¨oljd av dem.
Overs¨attningar¨
abstract algebra abstrakt algebra commute kommuterar
commutative kommutative abelian abelsk
latin square latinsk kvadrat
13.4 Ordningen av ett gruppelement
H¨ar definieras ordningen av ett gruppelement. Det handlar om att ta potenser av element. F¨orr eller senare kommer man att komma till identitetselementet, i alla fall om gruppen ¨ar ¨andlig. Den minsta positiva potensen som ger identitetselementet kallas elementets ordning och skrivs o(x) f¨or ett element x.
Sats 13.4 s¨ager att det f¨oljer att alla andra potenser som ¨ar lika med enhetelementet ¨ar mul- tipler av ordningen, dvs xm = e medf¨or att m ¨ar delbart med o(x).
powers potenser order ording
infinite order o¨andlig ording
13.5 Isomorfi av grupper
Isomorfi ¨ar ett viktigt begrepp inte bara f¨or grupper. Det kommer att komma upp n¨ar det g¨aller b˚ade ringar i kapitel 15 och grafer i kapitel 10. Att tv˚a abstrakt definierade objekt ¨ar isomorfa betyder att de egentligen ¨ar exakt likadana. Det enda som skiljer dem ¨ar namnen p˚a elementen.
N¨ar vi skall beskriva detta matematiskt blir det i form av en bijektion, f som dessutom beva- rar gruppstrukturen, dvs uppfyller
f (a∗ b) = f(a) ∗ f(b)
f¨or alla a och b i G. En s˚adan bijektion kallas isomorfi av grupper.
Exemplet p˚a isomorfi som ges i avsnittet bygger p˚a de tv˚a exemplen fr˚an avsnitt 13.2. Det skulle ocks˚a g˚a att byta ut matrisexemplet mot symmetriska gruppen S3, eftersom den ocsk˚a ¨ar isomorf med triangelgruppen.
Overs¨attningar¨
isomorphism isomorfi isomorfic isomorfa
13.6 Cykliska grupper
Den f¨orsta och viktigaste byggstenen n¨ar det g¨aller att konstruera grupper ¨ar de cykliska grupper- na. Vi har st¨ott p˚a dem som de additiva grupperna Zn, men ocks˚a genom cykliska permutationer.
Om vi tar en cyklisk permutation av n element och dess potenser f˚ar vi en cyklisk grupp av ordning n.
Ett viktigt begrepp som kommer in ¨ar generator. Ett element a ¨ar en generator till en cyklisk grupp om gruppen best˚ar av alla potenser av a.
N¨ar vi pratar om potenser i grupper ¨ar det bra att komma ih˚ag att gruppoperationen inte alltid
¨ar multiplikation. Om gruppoperationen ¨ar addition motsvarar potenser multipler.
N¨ar vi sedan skall bygga upp n˚agot med de cykliska grupperna anv¨ander vi f¨orst direkt pro- dukt. Det betyder att vi bildar en ny grupp G × H fr˚an tv˚a grupper G och H genom att ta produktm¨angden och anv¨anda gruppoperationerna oberoende av varandra p˚a de olika kompo- nenterna.
Exemplet visar vad som h¨ander n¨ar vi bildar produkter av n˚agra olika cykliska grupper. Ibland visar det sig att resultatet blir en cyklisk grupp, ibland inte. Sats 13.6 talar om att vi kan f˚a en isomorfi mellan en cyklisk grupp och en produkt av tv˚a cykliska grupper om ordningarna f¨or faktorerna ¨ar relativt prima.
Overs¨attningar¨ cyclic cyklisk generate generera
infinite cyclic group o¨andlig cyklisk grupp direct product direkt produkt
13.7 Delgrupper
N¨ar vi ska g˚a n¨armare in p˚a strukturen hos grupper st¨oter vi p˚a begreppet delgrupp. Det ¨ar en delm¨angd av en grupp som dessutom bildar en grupp med samma gruppoperation som den ursprungliga gruppen.
Sats 13.7 talar om att det finns tv˚a kriterier som tillsammans bildar n¨odv¨adniga och tillr¨ackliga villkor f¨or n¨ar en delm¨angd av en grupp skall vara en delgrupp. Det ena ¨ar att delm¨angden skall vara sluten under gruppoperationen, det andra ¨ar att den skall vara sluten under invers.
Om gruppen ¨ar ¨andlig r¨acker det f¨orsta f¨or att det skall vara en delgrupp, eftersom inversen av ett element d˚a alltid ¨ar en potens av samma element.
Varje g˚ang vi tar ett element a i en grupp s˚a f˚ar vi en cyklisk delgrupp som genereras av a ge- nom att ta m¨angden av potenser av a. Observera att vi ¨aven m˚aste ta med de negativa potenserna om a har o¨andlig ordning. Ordningen av den delgrupp som genereras av a ¨ar lika med ordningen av a.
Overs¨attningar¨
subgroup delgrupp, undergrupp
sufficient conditions tillr¨ackliga villkor centre center
cyclic subgroup cyklisk delgrupp
13.8 Sidoklasser och Lagranges sats
Lagranges sats visar styrkan i gruppbegreppet genom att det ger ett v¨aldigt klart krav p˚a ordning- en f¨or delgrupper i grupper. Fr˚an Lagranges sats f¨oljer sedan exempelvis Eulers sats.
Lagranges sats (Sats 13.8.2) s¨ager att ordningen f¨or en delgrupp m˚aste dela gruppens ord- ning. Id´en med beviset ¨ar att bilda en partition av gruppen i delar som alla ¨ar lika stora som delgruppen. Delarna i denna partition kallas sidoklasser och ¨ar i sig ett nyttigt begrepp. Eftersom gruppoperationen inte alltid ¨ar kommutativ skiljer vi p˚a h¨oger- och v¨anstersidoklasser.
Sats 13.4.3 ¨ar em f¨oljdsats, eller ett korollarium, till Lagranges sats, och den s¨ager att gruppe- lementens orgningar m˚aste dela gruppens ordning och att d¨armed a|G| = e, f¨or alla a i en ¨andlig grupp G. Det ¨ar detta som direkt ger Eulers sats n¨ar vi ser p˚a gruppen av inverterbara element i Znsom ¨ar en grupp av ordning φ(n).
Sats 13.4.4 ¨ar en annan f¨oljdsats som s¨ager att det f¨or varje primtal p bara finns en grupp upp till isomorfi, n¨amligen Cp. Alla grupper av ordning p ¨ar allts˚a cykliska.
ordna upp delgrupperna i ett lattice.
Overs¨attningar¨ coset sidoklass
left coset v¨anstersidoklass right coset h¨ogersidoklass
Lagrange’s Theorem Lagranges sats distinct distinkta, olika
index index
lattice lattice, gitter
