Derivatan av en invers

Ekvationslösning och inversa funktioner

Analys360 (Grundkurs) Instuderingsuppgifter

Dessa övningar är det tänkt du ska göra i anslutning till att du läser huvudtexten. De flesta av övningarna har, om inte lösningar, så i varje fall anvisningar till hur uppgiften kan lösas. Ha dock inte för bråttom att titta på lösningarna – det är inte så man lär sig. Du måste först noga fundera ut vad det du inte förstår.

Glöm inte att hela tiden reflektera kring vad du lär dig. Saker som är svåra att förstå kräver ibland att man tänker under en längre period.

Ibland måste man bara lära sig hur man gör, för att förstå lite senare (när hjärnan fått mer att arbeta med).

Ekvationslösning

Övning 1 Låt p(x) =3x⁴+16x³+18x². Låt N(a)vara antalet olika reella lösningar till ekvationen p(x) =a. Bestäm N(a)för varje reellt tal a.

Numerisk bestämning av en rot

Övning 2 Polynomet i föregående uppgift har tre nollställen. Vilken av dessa närmar vi oss om vi startar i x= −2.5 och använder Newton- Raphsons metod för att hitta nollställen? Gör tre iterationer. Använd miniräknare eller något motsvarande.

Inversa funktioner

Övning 3 Vilka av nedanstående funktioner är inverterbara?

−1 −0.5 0.5 1

−1.5

−1

−0.5 0.5

x y

−4 −3 −2 −1 1

10 20 30

x y

−1 −0.5 0.5 1

−100

−50 50 100

x y

1 2 3 4 5

5 10 15 20 25

x y

Övning 4 Betrakta funktionen f(x) =x−1/x, definierad för x>0.

a) Skissera grafen till funktionen. Hur ser man i grafen att den är inverterbar?

b) Skissera inversen till funktionen i samma figur. Vad är dess definitionsområde och värdemängd?

c) Beräkna ett uttryck för inversen f⁻¹(x).

Övning 5 Beräkna(f⁻¹◦f)(x) respektive f◦f⁻¹)(x) för f(x) = x², x ≥ 0. Gör sedan samma sak med f(x) = x−_{1/x, x}> 0 från föregående uppgift.

Derivatan av en invers

Övning 6 Genomför räkningarna som beräknar derivatan av √³ x såsom de görs i Exempel 6.

Övning 7 Betrakta åter funktionen f(x) = x−1/x, definierad för x>0.

a) Du räknade ut inversen f⁻¹(x)ovan. Derivera det uttrycket b) Beräkna samma derivata med hjälp av formeln(f⁻¹)⁰(b) =

1/ f⁰(a). Vilket är sambandet mellan b och a?

Kedjeregeln

Övning 8 Derivera följande funktioner:

a) √ ¹

1−x² b) (x²+1)^px²+1, c) ^2x+3

√

4x²+12x+10. Vi avslutar med ett exempel av samma typ som Exempel 9.

Övning 9 En 10 meter lång stege lutar mot en vägg. Stegens neder- del rör sig från väggen med en hastighet av 2 m/s. Hur snabbt faller stegens överdel då dess nederdel befinner sig 6 meter från väggen?

Övning 10 Vatten droppar ned på marken så att en pöl bildas. Vatten tillförs med en konstant hastighet av 1000 mm³/min, och vattenpölen kan antas vara cirkulär och ha samma tjocklek över hela sin yta.

a) Antag att tjockleken på pölen hela tiden är 3 mm. Med vilken hastighet ändras radien på pölen vid det tillfälle då radien är 100 mm?

b) Antag nu istället att tjockleken på pölen varierar med tiden.

Vid en viss tidpunkt observerar man att tjockleken är 3 mm och radien 50 mm, och att radien ökar med 1 mm/min. Ökar eller minskar tjockleken vid denna tidpunkt?

En allmän binomialsats

Övning 11 Bestäm Maclaurinutvecklingen av ordning 6 av funktio- nen

f(x) =^p₁+x³.

Svar och anvisningar

Övning 1 Att rita grafen till detta polynom var en instuderingsupp- gift till kapitlet Analys av polynomfunktioner. Där såg vi att grafen ser ut som

−4 −3 −2 −1 1

−20 20

x y

där den lokala extrempunkterna är(−3,−₂₇), (−2, 5), (0, 0). Från det ser vi att N(a)ges av följande tabell:

a : < −27 = −27 (−27, 0) =0 (0, 5) =5 >5

N(a): 0 1 2 3 4 3 2

Övning 2 Kalla polynomet f(x). Då gäller att f⁰(x) =12z(x+1)(x+ 3)och vi får att

f(−_2.5) = −³²⁵

16, f⁰(−_2.5) = ⁴⁵ 2

vilket ger första approximationen

x₁= −⁵ 2−−³²⁵₁₆

45 2

= ¹¹⁵

72 = −1.59722.

Nästa approximation blir

x₂=x₁−f(x₁)/ f⁰(x₁) = −1.61276

och den sista blir

x₃=x₂−f(x₂)/ f⁰(x₂) = −1.61257.

Polynomets nollställen är 0 (dubbelrot) och

1

3(−8±√ 10)

så vi närmar oss¹₃(−8+√

10) = −1.61257.

Övning 3 Den i övre vänstra hörnet är strängt avtagande, och därför inverterbar. Den i övre högra hörnet är inte injektiv, och därför inte in- verterbar. Den i nedre vänstra hörnet är inte strängt avtagande (den är inte definierad i x=0) men den är injektiv. Den är därför inverterbar, vilket även gäller den sista, eftersom den är strängt växande.

Övning 4 Grafen för funktionen är som nedan, vilket är en strängt växande kurva. Alltså är funktionen injektiv och därmed inverterbar.

−1 1 2 3

−2

−1 1 2 3

x y

Att den är strängt växande följer av att f⁰(x) =₁+_1/x²>0. Inversen är den röda kurvan (lägg märke till att längderna på axlarna inte är lika långa).

Det analytiska uttrycket för inversen (som efterfrågas i c) fås genom att vi löser ekvationen

x−¹

x =y ⇔ x²−xy−1=0 ⇔ x= ¹

2(y+^qy²+4). Det betyder att inversen ges av

f⁻¹(x) = ¹

2(x+^px²+4).

(Notera att både grafen till funktionen och till dess invers har linjen y=x som asymptot i oändligheten. Bevisa det!)

Slutligen, värdemängden Vfär helaR, så inversen är definierad för alla x. Däremot är värdemängden för inversen bara y> 0, eftersom det är definitionsmängden för f .

Övning 5 För f(x) =x²gäller att f⁻¹(x) =√

x så vi får, för x>0, (f◦f⁻¹)(x) = f(f⁻¹(x)) =f(√

x) = (√ x)²=x medan

(f⁻¹◦f)(x) = f⁻¹(f(x)) =f⁻¹(x²) =

√ x²=x.

Räkningarna är likadana för f(x) =x−1/x, bara mer komplicerade.

Inversen var f⁻¹(x) =¹₂(x+√

x²+₄)_{, så}

(f◦f⁻¹)(x) =f(¹

2(x+^px²+4)) = ¹

2(x+^px²+4) − ¹

1 2(x+√

x²+4) Förläng med konjugatet i det sista uttrycket:

1

1 2(x+√

x²+4)=2

√

x²+₄−x x²+4−x² = ¹

2(^px²+4−x). Stoppar vi in det ovan, ser vi att f◦f⁻¹)(x) =x. I andra ordningen har v

f⁻¹(f(x)) =¹ 2(f(x) +

q

f(x)²+4 och vi har att

f(x)²+4= (x−¹

x)²+4=x²+2+¹

x = (x+ ¹ x)². Vi ser därför att f(x) +p f(x)²+4=2x, och alltså att(f⁻¹◦f)(x) = x.

Övning 6 Sätt f(x) =√³

x=x^1/3. Om vi låter g(x) =x³, så gäller att f(g(x)) = x. Om vi deriverar den ekvationen enligt kedjeregeln får vi

f⁰(g(x))g⁰(x) =1 ⇔ f⁰(x³) = ¹ 3x².

Sätt nu y=x³. Då är x=y^1/3och vi kan skriva om den sista likheten som att

f⁰(y) = ¹ 3y^2/3 = ¹

3x^−2/3. Övning 7 a) inversen är x→ (x+√

x²+4)/2, vars derivata är

(1+√ ^x

x²+4)/2= ^x+√ x²+4 2√

x²+4 .

b) Vi har att f⁰(a) = 1+1/a² = (a²+1)/a². Vi ska räkna ut den inversa funktionens derivata i b = f(a) = a−_{1/a. Då} måste vi först lösa ut a, och det är den inversa funktionen a= (b+√

b²+4)/2. Vi får då att

(f⁻¹)⁰(b) = ^a2

1+a² = ^a a+¹_a^. Men här har vi att

a+¹ a= ¹

2(b+^pb²+4) + ² b+√

b²+4

=¹

2(b+^pb²+4) +¹

2(^pb²+4−b) =^pb²+4.

Här har vi använt konjugatregeln i näst sista likheten. Det föl- jer att

(f⁻¹)⁰(b) = ^b+√ b²+4 2√

b²+4 , precis som ovan.

Anmärkning Kanske tyckte du att b) var onödigt krångligt, med tanke på hur lätt det var i a). Men det är inte poängen. Poängen är att det blev samma resultat! Vad som blir enklast kan variera från fall till fall.

Övning 8 Dessa övningar är övningar på kedjeregeln, och vi skriver noggrant ut uttrycken som en sammansättning av två funktioner, vil- ken vi sedan deriverar med hjälp av kedjeregeln. Med lite vana behö- ver man inte göra det!

a) Med f(x) = _1/√

x = x^−1/2 och g(x) = ₁−x²har vi att f(g(x)) = 1/√

1−x². Kedjeregeln ger nu att derivatan av funktionen är lika med

f⁰(g(x))g⁰(x) = −¹

2g(x)^−3/2(−_2x) = − ^x (1−x²)^3/2. b) Funktionen kan skrivas om som(x²+1)^3/2, så med f(x) =

x^3/2och g(x) =x²+1 får vi derivatan till

f⁰(g(x))g⁰(x) = ³

2g(x)^1/2(2x) =3xp x²+1.

c) Här räcker det inte med bara kedjeregeln. Vi skriver g(x) = 4x²+12x+10. Då är funktionen lika med

2x+3

p g(x) = (2x+3)g(x)^−1/2.

Deriverar vi detta, genom att använda produktregeln och kedjeregeln, får vi att derivatan är lika med

2g(x)^−1/2+ (2x+3)(−¹

2)g(x)^−3/2(8x+12)

=2g(x)^−1/2− (_2x+3)g(x)^−3/2(4x+6)

=g(x)^−3/2(2(4x²+12x+10) − (2x+3)(4x+6))

= ²

(4x²+12x+10)^3/2.

Övning 9 Kalla avståndet från väggen till stegens nederdel för x och till dess överdel (den som är lutad mot väggen) för y. Då gäller enligt Pytagoras’ sats att x²+y² =100. Om nu både x och y beror av t, så gäller att x(t)²+y(t)²=100, och vi kan derivera den ekvationen och får att

2x(t)x⁰(t) +2y(t)y⁰(t) =0.

Detta gäller för alla t, och då speciellt för den tidpunkt t0som upp- giften handlar om, där x(t₀) = 6 och x⁰(t₀) = 2. Enligt Pytagoras’

sats gäller då att y(t₀) =8 och vi får alltså att 6·₂+8y⁰(t₀) =0, dvs y⁰(t₀) = −12/8= −3/2. Men y⁰(t₀)mäter ökningshastigheten av y vid tidpunkten t0, så stegens ände faller med hastigheten 3/2 m/s vid den tidpunkten.

Övning 10 Vi börjar med att ställa upp sambandet mellan cylinderns basradie r, höjd h och volym V:

V=πr²h.

a) I det här fallet vet vi att h=3, medan radien beror av tiden t.

Då gör volymen det också, och vi får att V(t) =_3πr(t)²_. Derivera den ekvationen:

V⁰(t) =6πr(t)r⁰(t). Här gäller enligt förutsättningarna att

V⁰(t) =1000

(alltid), och vid den tidpunkt då r(t) =100 får vi alltså sam- bandet

1000=6π·₁₀₀·r⁰(t).

Det följer att vid denna speciella tidpunkt ökar radien med hastigheten

r⁰(t) = ¹⁰⁰⁰ 600π = ⁵

3π mm/min.

b) Nu varierar även h med tiden. Det vi vet är att vid en speciell tidpunkt, kalla den t0gäller att

V⁰(t₀) =1000, h(t₀) =3, r(t₀) =50, r⁰(t₀) =1.

Om vi deriverar sambandet

V(t) =πr(t)²h(t) så får vi

V⁰(t) =π2r(t)r⁰(t)h(t) +πr(t)²h⁰(t). Vid tidpunkten t₀ger detta

1000=π(2·₅₀·₃·₁+50²·h⁰(t₀)). Alltså gäller at

h⁰(t₀) = ¹⁰⁰⁰−_300π

π50² = ¹⁰−_3π 25π >0

eftersom 3π <3·_3.2=9.6<10. Alltså ökar tjockleken vid denna tidpunkt.

Övning 11 För att slippa en massa derivationer utnyttjar man här Maclaurinutvecklingens entydighet. Vi vet att

√

1+t=1+^t 2−^t2

8 + ¹

16(1+ξ)^−5/2t³,

där ξ ligger mellan 0 och t och beror på t. Sätter vi t=x³så får vi p1+x³=₁+^x

3

2 −^x

6

8 + ¹

16(₁+ξ)^−5/2x⁹,

där ξ ligger mellan 0 och x³(Det är samma ξ som tidigare, vi har bara skrivit om var den ligger uttryckt i x.). Polynomet

p(x) =1+^x

3

2 −^x6 8

är därför Maclaurinpolynomet av ordning 6. Men också Maclaurinpo- lynomen av 7 och 8, eftersom resttermen innehåller faktorn x⁹.