Något om Komplexa tal och Mathematica

(1)

Något om Komplexa tal och Mathematica

Bertil Nilsson 2021-08-15

z

⁴

16  r 

⁴

16 r

⁴ ⁴

16 r

⁴

16 2

Π

4

k

²₄^Π

, k 0, , 3

z

₀

2

^⁴ ⁰²⁴^Π^

2  cos 

₄

 sin 

^Π₄

 2 1 z

₁

2

^⁴ ¹²⁴^Π^

2  cos 

³₄

 sin 

³₄^Π

 2 1 z

₂

2

^⁴ ²²⁴^Π^

2  cos 

⁵₄

 sin 

⁵₄^Π

 2 1 z

₃

2

^⁴ ³²⁴^Π^

2  cos 

⁷₄

 sin 

⁷₄^Π

 2 1

Re Im

z0

z1

z₂ z₃

-2 2

6 4 2 0 2 4 6 Rez

5 10 15

Imz

Granen ur roten

1 2 Re z

1 2 3 4 Im z

Roten ur granen

z ɲ z

(2)

ť Förord

På följande sidor presenteras en elementär “streetwise guide” till komplexa tal med flitig användning av Mathematica. Framställnin- gen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges.

ť Bakgrund

Införandet av komplexa tal motiveras av att vissa algebraiska ekvationer, t.ex. ekvationen x² 1, saknar reella rötter. Vi vill därför konstruera ett talsystem, bestående av så kallade komplexa tal på formen a ͦb, där a och b är reella tal medan ͦ, kallad imaginära enheten, är ett imaginärt tal sådant att ²: 1.

Ett komplext tal har formen a ͦb, där a och b är reella tal och ͦ kallas imaginära enheten som definieras av ͦ²: 1.

Vi vill att de komplexa talen ska vara en utvidgning av de reella talen , det vill säga . Våra “vanliga” räknelagar bör ju gälla då b 0 varför det är rimligt att begära att de grundläggande begreppen likhet, addition och multiplikation av komplexa tal har följande egenskaper:

Likhet : a b c d a c och b d 1

Addition : a b c d a c b d 2

Multiplikation : a b c d ac a d bc ²bd ac bd ad bc 3

ť Definition

Emellertid vet vi att talet inte finns, åtminstone inte tills vidare, och när vi nu vill definiera de komplexa talen så måste vi undvika symbolen . Detta är lätt gjort: Vi skriver helt enkelt a, b istället för a b och därmed försvinner allt som är mystiskt. Ett komplext tal består helt enkelt av två reella tal tagna i en bestämd ordningsföljd. Lämpliga definitioner av likhet, addition och multiplikation får vi sedan genom att snegla på 1 , 2 och 3 ovan. För att få reda på hur detta går till i detalj hänvisar vi till en mera rigorös framställning. Vi nöjer oss med att konstatera att skrivsättet a b är sunt och att 1 , 2 och 3 gäller! Alltså:

Addition, subtraktion och multiplikation av komplexa tal sker med samma räknelagar som för reella tal med tillägget att ²: 1.

Observera att man aldrig får byta mot 1 . För det första är ju inte funktionen kvadratrot definierad för negativa tal. Dessutom får vi problem med de “vanliga” räknereglerna vilket följande lilla kalkyl exemplifierar

1 ²  1² 1 1 1 1 1 1!!

I det komplexa talet z a b kallas a realdelen och talet b kallas imaginärdelen. De betecknas aRez och bImz. Man brukar kalla a b för den rektangulära eller kanoniska formen av ett komplext tal. Det är brukligt att använda symboler i slutet av alfabetet z, w, för namnsättning.

Om z a b kallas talet aRez för realdelen och talet bImz för imaginärdelen av z. Man brukar kalla a b för den rektangulära eller kanoniska formen av ett komplext tal.

Exempelvis är Re 3 2 3 och Im 3 2 2. Ett komplext tal kallas reellt om dess imaginärdel är 0 och det kallas rent imag- inärt om dess realdel är 0. Sålunda är t.ex. talet 3 rent imaginärt.

Det spelar ingen roll i vilken ordning vi skriver termerna a b a b b a

Exempel: 3 4 3 4 3 3 4 3 4 3 4 8 ,

3 4 2 6 3 8 4² ² 1 6 3 8 4 10 5 ,

3 2 1 ,

12 ²⁶ 1⁶  1²³ 1³ 1,

(3)

11 10 ²⁵ 1⁵ 1⁴ 1  1²² 1 ,

5 6 ² ³ 1 ³ ₁₂ ₁

Mathematica klarar naturligtvis av att räkna med komplexa tal, hämtas från palette eller direkt på tangentbordet som ii . Notera att det ska vara två i, eftersom i blir den grekiska bokstaven Ι (iota). Även I (vanliga stora i, dvs I) betraktas historiskt som av Mathematica. Nu är det dax att räkna lite!

z 3 4 3 4 3

4 8

w 3 4 2

10 5

Re z , Im z 2 w 4, 18

12

1

5

Vid division av komplexa tal har vi användning av något som kallas komplexkonjugering. Komplexkonjugatet till ett komplext tal z a b betecknas z och definieras av z a b, det vill säga byte av tecken på imaginärdelen.

Om z a b kallas z a b för komplexkonjugatet till z.

Exempel: 3 4 3 4 , 1 2 1 2 , , 7 7 Conjugate 3 4 , 1 2 , , 7

3 4 , 1 2 , , 7

Komplexkonjugat skrivs vanligtvis i litteraturen antingen som z eller som z . Som alternativ till Conjugate i Mathematica kan man välja det sistnämnda skrivsättet, där den speciella “konjugatstjärnan” genereras av co . Observera att det inte är “upphöjt till” stjärna, utan direkt z co .

z, z , , 3 4 , 3 4 4 8 , 4 8 , , 3 4 , 3 4

Division av komplexa tal sker enklast så att man multiplicerar bråkets täljare och nämnare med nämnarens komplexkonjugat, ty då blir nämnaren reell eftersom a b a b a² b² a² ²b² ² 1 a² b² enligt välkänd konjugatregel.

Exempel: ^{3 5}_{4 3} ^{3 5}_{4 3} ^{4 3}_{4 3} ^{12 9 20 15}_{16 9} ^{27 11}₂₅ ²⁷₂₅ ¹¹₂₅

3 5 4 3 27 25

11 25

Exempel: Lös ekvationen z 2 3z.

Lösningsförslag: Ansätt z a b i ekvationen. Identifiera sedan real- och imaginärdelar. Likhet för komplexa tal ger sedan ett ekvationssystem som bestämmer a och b.

a b 2 3 a b a ²b 2 3a 3b ² 1 Re : b 2 3a

Im : a 3b

a ³₅ b ¹₅

(4)

det vill säga ekvationen har lösningen z ³₅ ¹₅ . Detta klarar även Mathematicas inbyggda ekvationslösare Solve.

Solve z 2 3 z

z 3 5 5^

Exempel: Lös ekvationen 2z 3 4 z.

Lösningsförslag: Ansätt z a b i ekvationen. Identifiera sedan real- och imaginärdelar. Likhet för komplexa tal ger sedan ett ekvationssystem som bestämmer a och b.

2 a b 3 4 a b ² 1 Re : 2a 3 b

Im : 2b 4 a

a ²₃ b ⁵₃

det vill säga ekvationen har lösningen z ²₃ ⁵₃ . Även detta klarar Mathematicas inbyggda ekvationslösare Solve.

Solve 2 z 3 4 z

z 2 3

5 3^

Exempel: Lös ekvationen 2z² z 5.

Lösningsförslag: Polynomekvationer, i detta fall en andragradsekvation, med komplexa koefficienter är ofta arbetsamma att lösa och lämnas därför med varm hand över till Mathematica. Som väntat får vi i detta fall två rötter. Se vidare i “Polynomekvationer”

och “Lite historik” lite längre fram i häftet.

Solve2 z² z 5

z 43

4 4^,z 43 4 4^

Om det är mer komplicerade ekvationer får man kanske nöja sig med en numerisk lösning. Detta är oftast den enklaste och kanske enda framkomliga vägen.

FindRoot2 z² 3 4 Sin z , z, 0  z 1.31442 0.548438

ť Geometrisk representation

Eftersom ett komplext tal är ett ordnat par av reella tal a, b , kan de representeras av punkterna i ett plan. I planet inlägges ett ortonormerat koordinatsystem och talet z a b får motsvaras av den punkt i planet som har koordinaterna a, b , se figur. Planet kallas då för detkomplexa talplanet. Motsvarigheten mellan de komplexa talen och planets punkter är omvändbart entydig och kallar därför talet z även för punkten z. De reella talen motsvaras av punkterna på koordinatsystemets ena axel och de rent imaginära talen motsvaras av punkterna på den andra axeln. Koordinat–

systemets axlar kallas därförreella axeln Re–axeln respektive imaginära axeln Im–axeln.

2 3 3

1 1 2

3 2 1 1 2 3 Reaxeln

3 2 1 1 2 3 Imaxeln

Reaxeln Imaxeln

z1

z2

z1 z2

z1z2

z2

z1z2

Om de komplexa talen z1och z2motsvaras av punkterna a1, b1 respektive a2, b2, så motsvaras summan z1 z2av punkten a1 a2, b1 b2. Addition och subtraktion av de båda sker alltså i analogi med krafter i fysik och talen motsvaras geometriskt av vektorer, ofta med en pil från origo till punkten eller med en med denna parallell och lika lång pil. I figuren åskådliggörs z1 z2och z1 z2och deras släktskap genom kraftpolygonen.

(5)

Absolutbeloppet av z a b skrivs och definieras av z a² b² och betyder alltså geometriskt avståndet från origo till punkten z. Skrivs ofta Abs z .

Om z a b kallas z Abs z a² b² för absolutbeloppet av z.

Komplexa tal brukar ofta representeras i det komplexa talplanet, där x-axeln kallas för reella axeln “Re-axeln” och y-axeln för imaginära axeln “Im-axeln”. Talet z a b motsvaras då av den punkt i planet som har koordinaterna a, b .

ť Polär form

Låt z a b vara ett komplext tal, r dess absolutbelopp, det vill säga r z a² b² och en riktningsvinkel för vektorn z. Observera att

räknas från positiva reella axeln och att moturs är positiv riktning. Då är a r cos och b r sin och följaktligen

za ͦbrcosw ͦsinw.

za ͦb

a b

r

Reaxeln Imaxeln

Eftersom r och är polära koordinater för punkten z, kallar man högra ledet för den polära formen av talet z. Vidare kallas för argumentet till z vilket skrivs Arg z och anges i enheten radianer. Var och en av de oändligt många vinklar som löser ekvationerna

a r cos b r sin

kan göra anspråk på att kallas för argumentet till z. På grund av periodiciteten hos cosinus och sinus skiljer de sig åt med en multipel av 2Π så alla ger avtryck i samma punkt a, b i det komplexa talplanet. Exempelvis är ⁵₄^Π och ³₄^Π likvärdiga argument till talet

1 . Ofta nöjer man sig med den så kallade principalvinkeln i “första varvet”, det vill säga i intervallet 0, 2Π eller Π,Π. När man räknar för hand gäller det att se till så man hamnar i rätt kvadrant!! Om a 0 eller b 0 är det ju enkelt annars går det bra att beräkna argumentet som Arg z arctan^b_aΠ

om a 0

. Den avslutande korrektionen kommer sig naturligtvis av att arctan() endast levererar vinklar i första och fjärde kvadranten, och att vi kan ha dividerat bort “negativ” information, ty ^b_a ^b_a och _a^b ^b_a. I Mathematica är det inga problem. Vinklar levereras i intervallet Π,Π och givetvis i radianer.

Abs 1 , Arg 1

 2 ,^Π 4^

Abs 1 , Arg 1

 2 , 3Π 4 ^

Om

z a b

r z a² b²

a r cos b r sin

kallas Arg z för argumentet till z och r cos sin för polära formen av z.

(6)

ť Exponentiell form

För uttrycket cos sin , som förekommer vid den polära formen, användes beteckningen ^defcos sin vilket brukar kallas för Eulers identitet. Vi definierar alltså den exponentiella formen

r r cos sin

Erfarenheten, det vill säga den fortsatta teorin, visar att denna definition av är den enda som duger om man vill att räknelagarna för t.ex. potenser, derivation och integration ska vara giltiga. Speciellt ser vi att cos² sin² 1.

Vid multiplikation av två komplexa tal multipliceras absolutbeloppen och adderas argumenten. Ty om z1 r1 ¹ och z2 r2 ² så är enligt potenslagarna

z1z2 r1 ¹r2 ² r1r2 ¹ ²

Vid division av två komplexa tal divideras absolutbeloppen och subtraheras argumenten. Ty om z1 r1 ¹ och z2 r2 ² så är enligt potenslagarna

z₁ z₂

r₁ ¹ r₂ ²

r₁ r₂ ¹ ²

Vi ser att rektangulär form är enkel att använda vid addition och subtraktion medan exponentiell form är enkel att använda vid multiplikation och division.

Exempel: Skriv talet z 3 3 på exponentiell form r .

Lösningsförslag: Vi ser att r z a² b² 9 9 3 2 och Arg z ⁵₄^Π eller “andra hållet” Arg z ³₄^Π går lika bra. Alltså är z 3 2 ³^Π⁴. Mathematica har ingen funktion som direkt skriver om rektangulär form till exponentiell. Man får skriva lite själv.

z 3 3 ; w Abs z ^{Arg z} 3 2 ³⁴^Π

Omvändningen går däremot. Antingen använder man ComplexExpand om man vill behålla symboliskt eller N om man är intresserad av att få alla tal decimalt.

ComplexExpand w , N w 3 3 , 3. 3.

Exempel: Skriv talet 2 ^Π³ på rektangulär form a b.

Lösningsförslag: Vi får 2 ^Π³ 2cos₃^Π sin^Π₃ 2¹₂ ₂³  1 3 . w 2 ^{Π 3}; w, ComplexExpand w , N w

2 ³^Π, 1 3 , 1. 1.73205 

Exempel: Beräkna  3 3¹⁸.

Lösningsförslag: Här är det lämpligt att gå över till exponentiell form eftersom en direkt utveckling blir väldigt arbetsam.

Låt z 3 3 med z Abs z a² b² 3 9 2 3 och Arg z ^Π₃. Så z¹⁸  12 ^Π³¹⁸  12¹⁸ ¹⁸^Π³

 12¹⁸ ¹⁸^Π³ 12⁹ ^{3 2}^Π 12⁹ med hjälp av potenslagar och Euler. Eller direkt i Mathematica z 3 3 ; z, Abs z , Arg z , ComplexExpandz¹⁸, 12⁹

3 3 , 2 3 ,^Π

3, 5 159 780 352, 5 159 780 352

(7)

Exempel: Multiplikation av ett komplext tal med betyder geometriskt en vridning moturs med radianer. Man har därför definierat moturs som positiv riktning. På motsvarande sätt ger en medurs vridning, det vill säga i negativ riktning. Detta är en direkt konsekvens av ovannämnda vad gäller multiplikation av två komplexa tal, absolutbeloppen multipliceras och argumenten adderas. Ty om z r ^Θoch w så har vi att z behåller sin längd men vrids moturs radianer, ty zw r ^Θ r ^Θ .

z zͥ^{ͦ w}

Reaxeln Imaxeln

defcos sin kallas för Eulers identitet.

Om z a b

r z kallas r rcos  sin för denexponentiella formenav z.

Vid multiplikation multipliceras absolutbeloppen och adderas argumenten, det vill säga z1z2 r1 ¹r2 ² r1r2 ¹ ²

Vid division divideras absolutbeloppen och subtraheras argumenten, det vill säga ^z_z¹

2

r₁ ¹ r₂ ²

r₁ r₂ ¹ ²

ť de Moivres formel

Genom att kombinera Eulers identitet med potenslagarna får vi

cos sin ⁿ  ⁿ ⁿ cos n sin n

där första och sista ledet kallas de Moivres formel.

Exempel: Enligt de Moivre är

cos sin ² cos 2 sin 2

Utvecklas kvadraten i vänsterledet fås

cos² 2cos sin sin² cos 2 sin 2

Likhet för komplexa tal ger nu de välkända formlerna för dubbla vinkeln

cos 2 cos² sin² respektive sin 2 2cos sin

ť Polynomekvationer

Den enklaste typen av polynomekvation av grad n man kan tänka sig är den så kallade binomiska ekvationen zⁿ w

där z, w . Denna löses genom att skriva både z och w på polär form och utnyttja likhet för komplexa tal zⁿ w r ⁿ R ^Θ rⁿ ⁿ R ^Θ

rⁿ R

n Θ k2Π, k

r ⁿR

Θ

n k²_n^Π, k 0, 1, , n 1

där vi i sista ledet tillfredsställt det faktum att en polynomekvation av grad n har exakt n rötter genom att välja de n “första”. Alla de andra med k ger inga nya avtryck i det komplexa talplanet.

Geometriskt bildar lösningarna hörnen i en regelbunden n-hörning inskriven i en cirkel med centrum i origo och radien r.

(8)

Exempel: Lös ekvationen z⁴ 16.

Lösningsförslag: Vi har en binomisk ekvation av grad fyra, så vi följer arbetsgången ovan. Här får vi ännu en gång nytta av att vi lärt oss skriva om från rektangulär till exponentiell form.

z⁴ 16 r ⁴ 16 r⁴ ⁴ 16 r ⁴16 2

Π

4 k²₄^Π, k 0, , 3 Utvecklat har vi de fyra rötterna och deras geometriska släktskap.

z0 2 ^⁴ ⁰^{2 Π}⁴^ 2cos₄ sin^Π₄ 2 1 z1 2 ^⁴ ¹^{2 Π}⁴^ 2cos³₄  sin³₄^Π 2 1 z2 2 ^⁴ ²^{2 Π}⁴^ 2cos⁵₄  sin⁵₄^Π 2 1 z3 2 ^⁴ ³^{2 Π}⁴^ 2cos⁷₄  sin⁷₄^Π 2 1

Re Im

z0

z1

z2 z3

-2 2

Givetvis är Mathematica behjälplig rötter Solvez⁴ 16

z 2 ⁴ 1,z 2 ⁴ 1,z 2 1^{3 4},z 2 1^{3 4}

Eller på vanlig rektangulär form som vi känner igen från beräkningarna ovan vid figuren.

ComplexExpand rötter

z 1 2,z 1 2,z 1 2,z 1 2

När det gäller mer allmänna polynomekvationer överlämnar vi dessa med varm hand till Mathematica. Alltid lika många rötter som gradtal på ekvationen.

Solvez² 1 2 z 2 0

z 1

2^ 1 2 5,z 1

2^ 1 2 5

NSolvez³ 1 2 z 2 0

z 0.832871 1.6352 , z 1.11365 0.786858 , z 0.280779 0.848346

ť Komplexa funktioner av en reell variabel

Med en komplexvärd funktion av en reell variabel menar vi en funktion f , för vilken Df och Vf . Som vanligt betecknar mängden av alla reella tal och mängden av alla komplexa tal.

Exempel: För funktionen f x ^x cos x sin x är Df . Eftersom f x är ett komplext tal med beloppet 1 och argumentet x, är Vf enhetscirkeln i det komplexa talplanet. Då x genomlöper den reella talaxeln från vänster till höger, kommer funktionsvärdena

f x att genomlöpa enhetscirkeln moturs, oändligt många varv.

Definitionerna av gränsvärde, kontinuitet, derivation och integration för komplexa funktioner av en reell variabel är analoga med motsvarande definitioner vi känner i det helt reella fallet. Vi nöjer oss med två exempel som upprepar det vi fastslog redan på sidan ett, nämligen att “alla” kalkyler i det komplexa fallet fungerar som i det reella fallet om betraktas som vilken variabel som helst och förenklar med tillägget ²: 1. Dessutom kommer mycket att vila tungt på Eulers identitet.

Exempel: Visa att derivatan _x ^zx z ^zx, där z .

(9)

Lösningsförslag: Vi får med hjälp av Eulers identitet

x zx

x ^{a b x} _x âxcos bx sin bx Produktregeln a âxcos bx sin bx âx bsin bx bcos bx

ax a b cos bx asin bx bsin bx

axa b cos bx asin bx ²bsin bx

ax a b cos bx a b sin bx a b ^axcos bx sin bx

a b ^ax ^bx ^{a b x} z ^zx

Exempel: Beräkna integralerna ^axcos bx x och ^axsin bx x.

Lösningsförslag: Vi kämpar på med Eulers identitet

axcos bx x ^axsin bx x ^axcos bx sin bx x ^{a b x} x

1

a b a b x C1 C2

Integrationskonstant

a b

a b a b ax cos bx sin bx C1 C2 ²: 1

axacos bx bsin bx

a² b² C1

axasin bx bcos bx

a² b² C2

så likhet för komplexa tal ger slutligen

axcos bx x ^ax^{acos bx}_a₂ _b₂^{bsin bx} C1 axsin bx x ^ax^{asin bx} ^{bcos bx}

a² b² C₂

Eller direkt i Mathematica

 ^{a x}Cos b x , ^{a x}Sin b x x



a x a cos b x b sin b x

a² b² ,

a x a sin b x b cos b x

a² b² ^

ť Komplexa funktioner av en komplex variabel

Med en komplexvärd funktion av en komplex variabel menar vi en funktion f , för vilken Df och Vf .

Även här fungerar definitionerna av gränsvärde, kontinuitet, derivation och integration och övriga räknelagar som man har anledning att förmoda

Ett exempel är exponentialfunktionen f z ^z. Vi får f z ^z ^{a b} â ^b, det vill säga ^z har absolutbeloppet â och, enligt Euler, argumentet b. Vi inser därmed att definitionsmängden är hela medan värdemängden är hela exkluderat 0 eftersom â 0.

Logaritmen w ln z , där z, w , definieras av

w ln z z ^w

Om vi skriver z r ^Θ och w a b så är

lnr ^Θ ln r ln ^Θ ln r_

a

Θ n2

b

w

där imaginära delen av w formellt måste korrigeras med en multipel av 2Π eftersom sinΘ och cosΘ är periodiska med just 2Π. Symbolen ln z är med andra ord oändligt mångtydig. I många sammanhang nöjer man sig med principfallet n 0 i analogi med principalvinkeln Arg z .

Exempel: ln 3 ln3  ln 3 Π n2 . Abs 3 , Arg 3 , Log 3 3,Π, Π log 3

(10)

Exempel: ln 1 ln 2 ⁴ ln 2  ₄^Π n2  ¹₂ln 2 ^Π₄ n2 . Log 1 ComplexExpand

Π 4

log 2 2

Potensen z^w, där z, w , definieras nu som

z^w ^{wln z}

och är i allmänhet mångtydig, eftersom ln z är mångtydig. Endast då w är ett reellt heltal är den entydig.

Exempel: Beteckningen 3 skall tolkas som 3^{1 2}. Beräkna denna.

Lösningsförslag: Utnyttja nyvunnen kunskap

3^{1 2} ¹²^{ln 3} ¹² ^{ln 3} ^Π ⁿ² ¹²^{ln 3} ^Π² ⁿ 3 1ⁿ 3 3^{1 2} är alltså tvåtydig. Inte sällan nöjer man sig med den positiva.

3 3

Exempel: Beräkna z utan att gå via logaritmen.

Lösningsförslag: Vi utnyttjar att för alla komplexa tal z gäller

2 z z z 2 z 2Re z och att detta uttryck är reellt och positivt. Efter en liten kalkyl

z z_{2 z 2 Re z}^{2 z z z} ^{2z z z}_{2 z 2 Re z}² ^{z z} ^z_{2 z 2Re z}² ^{2z z z}² ^{z z}

2 z 2Re z 2

får vi så till slut

z ^{z z}

2 z 2 Re z

Till exempel om z 3 4 har vi z 3² 4² 5 och Re z 3 så

3 4 ⁵ ^{3 4}

2 5 2 3

2 4

10 6 1 2

3 4 1 2

Slutligen får vi genom att snegla på Eulers identitet för argumenten och att

cos sin

cos sin cos sin

cos ¹₂ 

sin ₂¹ 

varav det högra sambanden brukar kallas Eulers formler. Med dessa och vår nu så utvecklade bekantskap med ^z kan det verka rimligt att definiera sinz och cosz enligt

cos z ¹₂ ^z ^z sin z ₂¹ ^z ^z

Om vi t.ex. väljer z Π 2 har vi efter lite räknande, gör det gärna eller se nedan, att ^z ² och ^z ² så

cos z ¹₂ ² ² och sin z ₂ ² ². Mathematica använder gärna hyperboliska funktioner för att hålla nere utskriftsvoly- men, men vi kan forcera fram svar på olika former om så önskas.

(11)

, TrigToExp , ComplexExpand TrigToExp , N & Cos Π 2 , Sin Π 2 cosh 2 ₂¹2

2

2 1 2 ²

2

2 3.7622

sinh 2 ₂ 2 2

2  ₂¹2 2

2 0. 3.62686

, TrigToExp , ComplexExpand TrigToExp , N & Cos 3 2 , Sin 3 2 cosh 2 3 ¹₂ ^{2 3} ¹₂ ^{2 3} ^{cos 3}₂ 2

1

2 2cos 3  ^{sin 3}₂ 2

1

2 2sin 3 3.72455 0.511823 sinh 2 3 ¹₂ ^{2 3} ¹₂ ^{2 3} ^{cos 3}₂ 2

1

2 2cos 3 ^{sin 3}₂ 2

1

2 2sin 3 0.530921 3.59056

ť Lite historik

På 1500-talet dök kvadratrötter ur negativa tal upp i de lösningsformler till tredje- och fjärdegradsekvationer som tagits fram av de italienska matematikerna Niccolo Fontana Tartaglia (1500-1557) och Gerolamo Cardano (1501-1576). Exempelvis visste man med hjälp av grafisk metod att samtliga rötter till tredjegradsekvationen x³ 4x² 1 0 var reella. Ändå ledde dessa formler till sådana kvadratrötter som mellanresultat. Eftersom Mathematica är bestyckad med formlerna kan vi åskådliggöra problematiken

y x³ 4 x² 1;

Plot y, x, 1, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel "x", "y"

1 1 2 3 4 5 x

5 5 10 y

Solve y 0

x 1

3 4 16

1

2101 3 687

3

1

2^101 3 687

3 ,

x 4 3

81 3

3 ³ ¹₂101 3 687 1

6^1 3 1

2^101 3 687

3 ,

x 4 3

81 3

3 ³ ¹₂101 3 687 1

6^1 3 1

2^101 3 687

3 

NSolve y 0

x 0.472834 , x 0.537402 , x 3.93543

Namnet imaginära för sådana “inbillade” tal myntades av René Descartes (1596-1650) och man betraktade dem länge med stor misstänksamhet. Leonhard Euler (1707-1783) införde beteckningen men de komplexa talen accepterades egentligen först efter att deras geometriska tolkning hade beskrivits och publicerats 1799 av Caspar Wessel (1745-1818). Flera år senare 1806 återupptäcktes denna beskrivning av Jean Robert Argand (1768-1822) men populariserades slutligen av Carl Friedrich Gauss (1777-1885) som också introducerade formen a b. Den moderna definitionen som ett ordnat par av reella tal presenterades av William Rowan Hamilton (1805-1865).