Formler f¨ or cosinus- och sinusutveckling:

Formler f¨ or cosinus- och sinusutveckling:

f (x) =

∞

X

k=0

α

cos kπx

L resp. f (x) =

∞

X

k=1

β

sin kπx

L , 0 < x < L, d¨ ar α

= 1

L Z

0

f (x) dx, α

= 2 L

Z

f (x) cos kπx

L dx (k ≥ 1), β

= 2

L Z

0

f (x) sin kπx L dx.

1. Ena ¨ anden (x = 0) av en tunn isolerad stav av l¨ angd L har upp- hettats till temperaturen T

, medan den andra (x = L) har h˚ allits vid temperaturen T

. Denna situation har varat s˚ a l¨ ange att tempera- turj¨ amvikt intr¨ att. D¨ arefter, vid tiden t = 0, avbryts upphettningen, varefter b˚ ada ¨ andarna h˚ alls vid temperaturen T

.

a) Teckna en matematisk modell f¨ or f¨ orloppet. (2p) b) Ber¨ akna temperaturen i staven som funktion av 0 < x < L och

t > 0. (4p)

2. L˚ at Ω vara enhetscirkeskivan x

+y

< 1. L¨ os f¨ oljande randv¨ ardesproblem:

∆u = 0, 0 < r < 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, u(1, θ) = θ, 0 < θ < 2π,

i pol¨ ara koordinater r, θ. (6p)

3. L¨ os begynnelsevrdesproblemet (v¨ armeledning i en o¨ andlig stav) u

− u

= 0, −∞ < x < ∞, t > 0,

u(x, 0) = e

+ δ

(x), −∞ < x < ∞

till exempel genom att Fourier- eller Laplace-transformera ekvationen

i x-led. (6p)

1

4. a) L˚ at Ω vara cirkelskivan x

+ y

< R

. Best¨ am egenv¨ ardena och egenfunktionerna f¨ or −∆ med homogena Dirichlet-villkor p˚ a Ω:

−∆u = λu i Ω, u = 0 p˚ a ∂Ω.

Ledning: Anv¨ and pol¨ ara koordinater och ans¨ att u(r, θ) = F (r)G(θ).

I vinkelled erh˚ alls G(θ) = G

(θ) = cos nθ eller sin nθ, vilket f˚ ar anv¨ andas

utan bevis. (6p)

5. H¨ arled d’Alemberts formel f¨ or l¨ osningen till v˚ agekvationen u

− c

u

= 0, −∞ < x < ∞, t > 0,

med begynnelsevillkoren u(x, 0) = g(x), u

(x, 0) = h(x) genom att byta

till variablerna ξ = x + ct, η = x − ct. (6p)