Formler f¨ or cosinus- och sinusutveckling:

Formler f¨ or cosinus- och sinusutveckling:

f (x) =

∞

X

k=0

α

cos kπx

L resp. f (x) =

∞

X

k=1

β

sin kπx

L , 0 < x < L, d¨ ar α

= 1

L Z

0

f (x) dx, α

= 2 L

Z

f (x) cos kπx

L dx (k ≥ 1), β

= 2

L Z

0

f (x) sin kπx L dx.

1. L¨ os f¨ oljande v¨ armeledningsproblem: (6p) u

− u

= 0, 0 < x < 1, t > 0,

u

(0, t) = u

(1, t) = 1, t > 0, u(x, 0) = 0, 0 < x < 1.

2. Visa att

Au = −e

u

+ e

u

+ x

e

u med definitionsm¨ angd

D

= {u ∈ C

([0, 1]) : u(0) = 0 = u(1)}

¨

ar en Sturm-Liouville-operator. Ange p(x), q(x) och w(x). Ange ocks˚ a en skal¨ arprodukt med avseende p˚ a vilken egenfunktioner till A ¨ ar or-

togonala. (6p)

3. L¨ os f¨ oljande randv¨ ardesproblem:

u

+ u

= 0, 0 < x < 2, 0 < y < 1, u(0, y) = 0 = u(2, y), 0 < y < 1, u(x, 0) = 0, u(x, 1) = 1, 0 < x < 2,

dvs Laplaces ekvation i rektangeln 0 < x < 2, 0 < y < 1 med angivna

randvillkor. (6p)

1

4. En halvo¨ andlig metallst˚ ang ligger l¨ angs positiva x-axeln (dvs 0 ≤ x < ∞). St˚ angens mantelyta och ¨ ande ¨ ar isolerade. Vid tiden t = 0

¨

ar temperaturen 1 f¨ or 0 < x < 1 men 0 f¨ or 1 < x < ∞. Best¨ am temperaturen i st˚ angen som funktion av x och t f¨ or 0 < x < ∞ och t > 0. Fysikaliska konstanter kan s¨ attas till 1. Felfunktionen erf (error

function) f˚ ar ing˚ a i svaret. (6p)

5. En o¨ andligt l˚ ang (o¨ andlig i b˚ ada riktningarna) massiv cylinder med radien R har temperaturen 100

C efter att under en l¨ angre tid ha legat i kokande vatten. Cylindern doppas sedan vid tiden t = 0 i en blandning av is och vatten. Mantelytan antas d¨ arefter ha temperaturen 0

C. L¨ os

v¨ armeledningsproblemet. (6p)