TNA001
Kontrollskrivning 1 – Svar med kommentarer/Lösningsskisser.
2015-08-28 Sixten Nilsson Version A
1. A är inte ekvivalent med given olikhet, ty den fås genom att vi multiplicerar den givna olikheten med
− 1, vilket innebär att olikheterna är ekvivalenta under förutsättning att − 1 > 0, d.v.s. att > 1.
B är ekvivalent med given olikhet, ty den är en korrekt omskrivning av den givna.
C är inte ekvivalent med given olikhet, ty den fås genom att vi multiplicerar den givna olikheten med
− 1 och , vilket innebär att olikheterna är ekvivalenta under förutsättning att − 1 > 0 och > 0 d.v.s. att > 1.
D är inte ekvivalent med given olikhet, ty den fås genom att vi multiplicerar den givna olikheten med , vilket innebär att olikheterna är ekvivalenta under förutsättning att > 0.
Svar: B
2. A är falskt, ty sambandet gäller inte om > . Anm: Vi har att √ − 2 + = ( − ) = | − |.
B är falskt, ty låt t.ex. = 4 och = 3 så får vi √ + = √16 + 9 = 5 ≠ 4 + 3 = + .
C är sant, ty polynomet har ett nollställe = 1, och då är ( − 1) faktor i polynomet enligt faktorsatsen.
D är falskt, ty låt t.ex. = 5 och = 9 så får vi
√ = = ≠ = . E är sant, ty betrakta olika fall med positiva eller negativa reella tal och .
Svar: C, E
3. a) För ≥ 3 har vi | − 3| + 3 = 2 ⇔ − 3 + 3 = 2 ⇔ = , som inte duger.
För ≤ 3 har vi | − 3| + 3 = 2 ⇔ 3 − + 3 = 2 ⇔ = − , som duger.
Svar: = −
b) √ + 6 = − ⟹ + 6 = ⟺ = −2 eller = 3. Här duger (pröva) enbart = −2.
Svar: = −2
4. Vi har ∑ (4 − 3) = [aritmetisk summa] = (1 + 797) = 79 800
Svar: 79 800
5. Ekvationen har en lösning = −1, ty vi har (−1) + 4 ∙ (−1) − 7 ∙ (−1) − 10 = 0. Enligt faktorsatsen är alltså ( + 1) faktor i ekvationens vänstra led, d.v.s. den givna ekvationen är ( + 1) ( ) = 0, där
) (x
k fås via polynomdivisionen = ( ) (polynomdivisionen utförs inte här).
Vi får att ( ) = + 3 − 10, och alltså är vår ekvation ekvivalent med
( + 1)( + 3 − 10) = 0 ⇔ + 1 = 0 eller + 3 − 10 = 0 ⇔ = −1 eller = 2 eller = −5 (Anm: Lösningen av andragradsekvationen + 3 − 10 = 0 redovisas inte här.)
Svar: = −1, = 2 eller = −5
Version B
1. A är falskt, ty sambandet gäller inte om > . Anm: Vi har att √ − 2 + = ( − ) = | − |.
B är sant, ty polynomet har ett nollställe = 1, och då är ( − 1) faktor i polynomet enligt faktorsatsen.
C är falskt, ty låt t.ex. = 4 och = 3 så får vi √ + = √16 + 9 = 5 ≠ 4 + 3 = + . D är sant, ty betrakta olika fall med positiva eller negativa reella tal och .
E är falskt, ty låt t.ex. = 5 och = 9 så får vi
√ = = ≠ = .
Svar: B, D
2. A är inte ekvivalent med given olikhet, ty den fås genom att vi multiplicerar den givna olikheten med
− 1, vilket innebär att olikheterna är ekvivalenta under förutsättning att − 1 > 0, d.v.s. att > 1.
B är inte ekvivalent med given olikhet, ty den fås genom att vi multiplicerar den givna olikheten med
− 1 och , vilket innebär att olikheterna är ekvivalenta under förutsättning att − 1 > 0 och > 0 d.v.s. att > 1.
C är ekvivalent med given olikhet, ty den är en korrekt omskrivning av den givna.
D är inte ekvivalent med given olikhet, ty den fås genom att vi multiplicerar den givna olikheten med , vilket innebär att olikheterna är ekvivalenta under förutsättning att > 0.
Svar: C
3. Vi har ∑ (3 − 2) = [aritmetisk summa] = (1 + 598) = 59 900
Svar: 59 900
4. a) För ≥ 3 har vi | − 3| + 3 = 2 ⇔ − 3 + 3 = 2 ⇔ = , som inte duger.
För ≤ 3 har vi | − 3| + 3 = 2 ⇔ 3 − + 3 = 2 ⇔ = − , som duger.
Svar: = −
b) √ + 6 = − ⟹ + 6 = ⟺ = −2 eller = 3. Här duger (pröva) enbart = −2.
Svar: = −2
5. Ekvationen har en lösning = −1, ty vi har (−1) + 2 ∙ (−1) − 11 ∙ (−1) − 12 = 0. Enligt faktorsatsen är alltså ( + 1) faktor i ekvationens vänstra led, d.v.s. den givna ekvationen är ( + 1) ( ) = 0, där
) (x
k fås via polynomdivisionen = ( ) (polynomdivisionen utförs inte här).
Vi får att ( ) = + − 12, och alltså är vår ekvation ekvivalent med
( + 1)( + − 12) = 0 ⇔ + 1 = 0 eller + − 12 = 0 ⇔ = −1 eller = 3 eller = −4 (Anm: Lösningen av andragradsekvationen + − 12 = 0 redovisas inte här.)
Svar: = −1, = 3 eller = −4
