Lägesmått i problemlösning, finns det?: En empirisk studie vilken granskar några utvalda läromedel och dess innehåll utifrån lägesmått och problemlösning

Lägesmått i problemlösning,

finns det?

En empirisk studie vilken granskar några utvalda

läromedel och dess innehåll utifrån lägesmått och

problemlösning

Författare: Marcus Bergenheim &

Daniel Carlsson

Självständigt arbete II

Abstrakt

Syftet med studien är att redovisa hur läromedlen Matte Direkt Borgen 5A, Mera favorit matematik 5b och Gleerups matematik 5 presenterade lägesmått i olika elevuppgifter. Studien har även en avsikt att granska hur lägesmått framhävs i olika problemlösningsuppgifter

.

Inom resultatanalysen har variationsteorin används vid analys. Begrepp som har varit centrala inom teorin är lärandeobjekt, kritiska aspekter, variationsmönster, kontrast, generalisering, separation och fusion. Utöver har egenkomponerade frågor används för att besvara frågeställningarna.

Resultatanalysen är uppdelat utifrån frågeställningarna. Där underrubrikerna namngavs efter läromedlets titlar. Anledningen till det var att bistå med en tydlighet i resultatet. För att se hur läromedlet framhäver de olika matematiska områdena. I varje underrubrik berörs de ingående begrepp inom variationsteorin, med hjälp av framtagna uppgifter som blivit analyserade.

Avslutningsvis kan studiens resultat bidra till lärarens undervisning om lägesmått eftersom ett vanligt förekommande är att undervisningen är baserad på läromedlet. Den kan även vara behjälplig med hur problemlösningsuppgifter med lägesmått kan presenteras för att få en vetskap om vad som saknas.

Nyckelord

Fusion, Generalisering, Kritiska aspekter, Kontrast, Lägesmått, Lärandeobjekt, Läromedel, Medelvärde, Median, Problemlösningsuppgifter, Separation, Typvärde, Variationsteori

Tack

Vi vill tacka vår handledare Berit Roos Johansson för hennes stöd och vägledning i skrivandet.

Innehållsförteckning

1 Inledning 1

1.1 Syfte 2

1.2 Frågeställningar 2

2 Litteraturbakgrund 3

2.1 Sammanfattning av tidigare studiens resultat 3

2.1.1 Problemlösning 4 2.2 Läromedel 4 2.3 Lägesmått 5 2.3.1 Medelvärde 5 2.3.2 Median 6 2.3.3 Typvärde 6

2.4 Svårigheter inom lägesmått 7

2.5 Problemlösningsuppgifter 7 2.6 Sammanfattning 8 3 Teoretisk utgångspunkt 8 3.1 Variationsteorin 8 3.2 Lärandeobjekt 9 3.3 Kritiska aspekter 9 3.4 Variationsmönster 9 3.4.1 Kontrast 10 3.4.2 Separation 10 3.4.3 Generalisering 11 3.4.4 Fusion 11 4 Metod 12

4.1 Urval av litteratur och teori 12

4.2 Urval av läromedel och problemlösningsuppgifter 13 4.3 Resultatskrivning och databearbetning 13

4.4 Etiska riktlinjer 14

5 Resultat och analys 14

5.1 Hur lägesmått presenteras och framgår i elevuppgifter inom de olika

läromedlen? 14

5.1.1 Matte Direkt Borgen 5A 14

5.1.2 Mera favorit matematik 5B 16

5.1.3 Gleerups matematik 5 18

5.1.4 Sammanfattning 20

5.2 Hur framstår lägesmått tillsammans med problemlösningsuppgifter? 21

5.2.1 Matte direkt Borgen 5A 21

5.2.2 Mera favorit matte 5B 21

5.2.3 Gleerups matematik 5 22

5.2.4 Sammanfattning 23

6 Diskussion 24

6.1 Metoddiskussion 24

6.2.1 Läromedel och innehåll 25

6.2.2 Läromedel och lärare 26

6.2.3 Läromedel och elever 26

6.3 Slutsats och Framtida forskning 27

6.3.1 Förslag på framtida forskning. 28

7 Referenser 29

1 Inledning

Under praktik har vi fått ta del av hur vissa lärare arbetar för elevernas möjligheter till att utveckla sina kunskaper inom arbetsområdet lägesmått. Det som har observerats är att lärarna belyst lägesmått på olika sätt, beroende på vilket läromedel som används på respektive skola. När eleverna arbetar med lägesmått skall eleverna få en djupare begreppsförståelse samt förståelse för hur begreppen kan användas matematiskt i olika moment (Juter, 2013). En svårighet för vissa elever är de olika lägesmåttens betydelse samt deras funktioner (Landtblom, 2014). Det författaren syftar till är att lägesmått kan innebära ett genomsnittsvärde i olika undersökningar, samt att vissa elever kan ha svårt att urskilja de olika begreppen medelvärde, typvärde och median (ibid). En ytterligare problematik som påvisats är att läromedlet inte ger stöd åt eleverna för att kunna tyda och utveckla sin kunskap om de olika lägesmåtten (ibid). Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och

fritidshemmet 2011 (Lgr 11) betonar att eleverna skall ges möjlighet att utveckla

sina matematiska kunskaper och förmågor (Skolverket, 2019). En del av det centrala innehållet i matematikens kursplan beskriver att eleverna skall ges möjlighet att utveckla en förståelse av lägesmått, som tillhör statistik, samt hur dessa används i olika undersökningar (ibid). Lägesmåtten som benämns i Lgr 11 för årskurs 4-6 är medelvärde, typvärde och median. I kunskapskraven för matematik finns ett krav som är att eleven ska kunna förklara olika matematiska begrepp med hjälp av matematiska exempel (ibid).

I en tidigare studie av Bergenheim och Carlsson (2019) undersöktes problematiken för elever med diagnosen ADHD och deras arbete med problemlösning. Ett annat perspektiv som undersöktes var också hur lärare kan bistå med stöd som motiverar eleverna till delaktighet och vidare kunskapsutveckling. På grund av rådande situation med covid-19 fick en utveckling av föregående arbete ske genom en läromedelsanalys. Utifrån det föll valet i den här studien på att granska hur läromedel presenterar lägesmått i årskurs fem samt hur begreppet förekommer och används i problemlösningsuppgifter.

Problemlösningsförmågan, som berörs i den här studien, är en förmåga som eleverna ska få möjlighet att utveckla under skoltiden (Skolverket, 2019). I syftet för matematikens kursplan formuleras problemlösningsförmågan på det här viset:

Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska även ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer.

(Skolverket, 2019:54)

En upptäckt som gjorts i läromedlen ute på skolorna är att det kan vara svårt att hitta ett kapitel med enbart problemlösningsuppgifter. Det brukar ingå tillsammans med andra matematiska områden som till exempel lägesmått eller bråk. För att lösa en

problemlösningsuppgift bör elever kunna följa uppgiften stegvis och vara noggranna (Polya, 1948). Lester och Lambdin (2007) belyser att eleverna behöver ha en djupare begreppsförståelse, vilket är ett av kriterierna som krävs för att bli bra på att lösa problemlösningsuppgifter. En av lärarens uppgifter är att skapa förutsättningar som kan hjälpa eleven att utveckla sin begreppsförmåga (ibid).

I kommande profession kan den här empiriska studien bistå som ett redskap, genom att värdesätta lämpligt material för eleverna. En del problemlösningsuppgifter som förekommer i läromedel kräver en liten ansträngning för att lösa uppgiften. Det kan leda till att vissa elever enbart använder sig av inlärda lösningsstrategier utan vidare förståelse av uppgiftens innehåll (Lester & Lambdin, 2007). Hagland, Hedrén och Taflin (2005) syftar att en uppgift inom problemlösning behöver uppfylla vissa kriterier för att klassificeras som en problemlösningsuppgift. Vilka är att den skall vara lösningsbar, att det inte finns någon given lösningsstrategi samt att det krävs en ansträngning för att lösa uppgiften (ibid). Det är en av anledningarna till att granska problemlösningsuppgifter.

För att kunna ge eleverna rätt förutsättningar att förstå innehållet i det matematiska klassrummet behöver läraren strategier som är varierande. Thoren (2009) menar att en varierad undervisning är där läraren bör konkretisera det matematiska innehållet i läromedlet samt att de ska varieras med andra uppgifter. En varierad undervisning kan motivera eleverna till att utvecklas (Johansson, 2006). Rønhovde (2006) hävdar att om läraren lyckas bistå med motivation kan det leda till att eleverna är delaktiga i undervisningen.

Genom att bedriva en tydlig matematikundervisning kan det leda till att eleverna utvecklar sina förmågor och kunskaper inom ämnesområdet. En lärare behöver vara noggrann i sin planering och bör bistå med en undervisning som är begriplig för alla elever. Det är därför viktigt att läraren strukturerar upp undervisningen och väljer lämpligt material efter de förutsättningar som råder i klassrummet. Lester och Lambdin (2007) menar att ett matematiskt område måste finnas i de utvalda problemlösningsuppgifterna för att ge möjlighet till utveckling. Uppgifterna behöver vara utmanande samt att det krävs en förståelse om vad som efterfrågas. Studiens syfte och frågeställningar vill redovisa hur olika läromedel presenterar lägesmått samt hur dessa begrepp lyfts tillsammans med problemlösningsuppgifter.

1.1 Syfte

Syftet är att redovisa hur lägesmått presenteras i tre olika läromedel för årskurs fem. Ett ytterligare perspektiv är att redogöra hur lägesmått och problemlösningsförmågan förenas i läromedlens olika problemlösningsuppgifter.

1.2 Frågeställningar

• Hur presenteras och framgår lägesmått i elevuppgifter inom de olika

läromedlen?

2 Litteraturbakgrund

Det här kapitlet kommer först att redovisa en kort sammanfattning av den tidigare studiens resultat, vars fokus var på elever med diagnosen ADHD och deras svårigheter med problemlösning (Bergenheim & Carlsson, 2019). Efter det kommer ett avsnitt om läromedlets roll i undervisningen. Nästa avsnitt berör det matematiska området som är lägesmått. Här kommer de förekommande begreppen inom lägesmått att förklaras, för att ge en tydlig innebörd om deras funktion inom området statistik. Vidare beskrivs problem som kan förekomma hos eleven med lägesmått. Till sist presenteras begreppet problemlösningsuppgifter och dess innebörd.

2.1 Sammanfattning av tidigare studiens resultat

Den här empiriska studien grundar sig i Bergenheim och Carlssons (2019) tidigare studie som analyserade vad resultatet i forskningen visade om elever med diagnosen ADHD och deras problematik med problemlösning. Ett perspektiv var hur läraren med hjälp av olika strategier kan bistå till motivation och utveckling av elevers problemlösningsförmåga. I föreliggande studie kommer dessa begrepp att fördjupas från tidigare studie problemlösningsförmåga, motivation och strategier. Dessa begrepp framhävs i diskussionen eftersom vid en analys av läromedel kan det vara svårt att koppla dessa begrepp med variationsteorin. De går dock att användas i en diskussion. Begreppen kommer att kopplas ihop med lärare, elev, innehåll och läromedel. Problemlösningsuppgifter syns i resultatet och där krävs det en problemlösningsförmåga för att lösa dem. Nedan kommer en kort sammanfattning av resultatet.

För att bistå med rätt stöd behöver lärarna kunskaper om olika strategier, som presenteras nedan. en av anledningarna kan vara att elever har olika inlärningskurvor, vilket kan leda till att de inte är mottagliga för samma strategi (Bergenheim & Carlsson, 2019). Thoren (2009) nämner några framgångsstrategier som kan leda till ett lärande. En strategi är att skapa engagemang och intresse för matematikundervisningen. En annan framgångsstrategi är en varierad undervisning som når ut till alla elever (ibid). Även Olsson och Olsson (2017) lyfter vikten av lärarens förmåga att förmedla olika strategier till eleverna för att öka förståelsen för innehållet. Vidare behöver eleverna ramar att följa, likt ett strukturschema som författarna belyser. För att det ska bli struktur behöver schemat vara uppdelat och tydligt. Det kan hjälpa eleven att behålla fokus under lektionen (ibid). Ett förekommande schema är Polyas schema (1948) som består av fyra faser inom problemlösning vilka är Att förstå problemet, Göra upp en plan, Genomföra planen och Se tillbaka. Det ömsesidiga var att elever likaså lärare är i behov av strategier på olika sätt för att lösa svårigheter i undervisningen (Bergenheim & Carlsson, 2019). En annan viktig faktor är motivation. Edebol-Carlsson och Norlander (2013) förklarar att elever med diagnosen ADHD har svårt att bibehålla fokus när nya uppgifter presenteras för dem, vilket kan leda till att koncentrationen och motivationen minskar (ibid). Enligt Skaalvik och Skaalvik (2016) är eleverna i behov av motivation för att påbörja och slutföra en uppgift. En central del av lärarens uppgift är att motivera eleverna till att utveckla sina kunskaper (Rønhovde,

2006). Ett stöd kan vara att använda sig av strategier likt den didaktiska triangeln som fokuserar på relationerna mellan lärare, elever och innehåll (Kansanen, 2000). Den strategin kan leda till att lärare uppmärksammar vikten av en social relation till eleverna eftersom hen förmedlar undervisningens innehåll till dem (ibid). Det kan även gynna lärarnas två olika uppdrag i sin yrkesroll som är kunskaps- och fostrandeuppdraget. För att välja vilka strategier läraren använder för att förmedla ut kunskap behöver hen ledarskap för att motivera eleverna. För att lära ut kunskap behöver läraren motivera eleverna till lärande (Granström, 2007). De motivationsfaktorer författaren syftar på är att läraren har lärarskap och ledarskap i klassrummet. Lärarskap handlar om att besitta kunskap om ämnet och förmedla den till eleverna. Ledarskap behandlar hur läraren strukturerar upp undervisningen och olika elevkonstellationer som kan vara individuella, i par eller grupparbete. Att läraren använder sig av de här kan leda till att eleverna behåller motivationen i undervisningen (ibid).

2.1.1 Problemlösning

I början av kapitlet belyses det matematiska området problemlösning. Enligt Karlsson och Kilborn (2015) handlar problemlösning om att eleven skall kunna värdera vilka strategier de behöver använda för att komma fram till rätt lösning. Taflin (2007) beskriver problemlösning på ett liknande sätt som är att eleven skall förstå problemet i uppgiften sedan med hjälp av olika strategier lösa den.

Ärlebäck (2009) förklarar att en del av elevernas problematik med problemlösning kan grunda sig i att eleverna inte vet vilka strategier de skall använda sig av när de arbetar med problemlösning. Det finns många olika faktorer till problematiken inom problemlösning men det etablerar sig oftast i elevernas tidigare erfarenheter och kunskaper (ibid).

2.2 Läromedel

I skolan kan läromedlet ofta ta stor plats vid planering av matematikundervisningen eftersom läraren utgår ifrån läromedlets matematiska innehåll (Johansson, 2006). Även Cobb och Moore (1997) menar att lärarna gör avgränsningar utifrån det läromedel som finns på skolan. Det kan medföra att läraren prioriterar läromedlets innehåll framför styrdokumenten eftersom hen utgår från läromedlet. Lärare ska vara delaktiga vid val av läromedel men enligt Johansson (2006) anser vissa lärare att de inte har tid att välja ett läromedel eller att de inte upplever att de har tillräckliga kunskaper för att välja ett läromedel. Andra faktorer som påverkar är kollegialt majoritetsbeslut och ekonomiska förutsättningar. Elevernas kunskapsutveckling blir också berörd på grund av att det är matematikbokens innehåll som avgör vad eleverna får möjlighet att utveckla (Johansson, 2006). Vissa lärare kan till och med förlita sig enbart på att skolans läromedel hjälper eleven att nå kunskapskraven (ibid).

En anledning till att läromedlet används flitigt kan vara ändringarna som gjordes till

Lpo 94 och Lgr 11, att skolan är mer målinriktad samt begreppen centralt innehåll

och kunskapskrav infördes (Säfström, 2013). Det kan utgå från en avsaknad beskrivning av tillvägagångssätt i styrdokumenten vilket kan bidra till att undervisningen blir läromedelsstyrd. Att eleverna arbetar individuellt i läromedlet

kan underlätta mer för läraren än eleverna (ibid). Lektioner där eleverna enbart arbetar med uppgifter i läromedlet kan minska elevernas motivation till att utveckla sina kunskaper (Johansson, 2006). Räkna kan eleverna göra på flera olika sätt men eftersom läromedlet är en stor del av undervisningen används det mer frekvent. En varierad undervisning med olika uppgifter som är kopplade till vardagliga situationer samt att eleverna ska kunna arbeta i olika konstellationer inspirerar eleverna till en positiv inverkan på matematiken (Waege, 2007). Det kan även finnas en nackdel med att inte använda läromedlet i undervisningen för eleverna har inget att utgå ifrån. Johansson (2006) observerade tre olika lärare där en lärare använde läromedlet mindre än de andra. I ett försök att använda matematik i ett vardagligt sammanhang skulle eleverna räkna ut vattenkostnad i en bostad och jämföra olika familjekonstellationers förbrukning. Eleverna kunde enbart utgå ifrån läraren och hen skrev kvadratmeter istället för kubikmeter (ibid). Som exemplet visat kan det bli rörigt för eleverna om de inte har något material framför sig.

2.3 Lägesmått

Britton och Garmo (2002) förklarar att lägesmått är som en komprimering av datamaterial, de menar även att lägesmått är ett värde som datamaterialet varierar kring. Lägesmåtten medelvärde, median och typvärde benämner Emanuelsson och Johansson (1996) som de elementära lägesmåtten. Författarna definierar de olika lägesmåtten på liknande sätt som Britton och Garmo (2002) beskriver dem. Emanuelsson och Johansson (1996) belyser även en anledning till varför de olika lägesmåtten inte alltid benämns i dagens läromedel och det kan bero på att det inte används frekvent i vardagliga sammanhang.

2.3.1 Medelvärde

Ett exempel som inspirerats från Britton och Garmo (2002) kan förklara hur eleven kan beräkna medelvärdet i en uppgift. Genom att beräkna summan av observationer som sedan divideras med antalet observationstillfällen för att få fram medelvärde. I figur 1 blir det tydligt hur medelvärdet kan räknas ut. Kajsa kastar fyra tärningar. Första tärningen visar fem, den andra fyra, tredje visar fem och den sista sex. För att räkna ut medelvärdet adderas summan för att sedan divideras med antal kast. I det här fallet är medelvärdet fem.

Figur 1. Beräkning av medelvärde. Illustrerad av Marcus Bergenheim & Daniel Carlsson ur

2.3.2 Median

Median är lägesmåtten som finns i mitten av sammanlagda antalet observationer (Britton & Garmo, 2002). Median kan även användas likt medelvärde i intervall- och kvotskala, men även vid data som är mätt i ordinalskala. Landtblom (2014) definierar de olika skalorna på följande sätt. Intervallskala är typiska vid mätning av celsius- och tidsskalan, det kan storleksordnas, differensen kan beräknas samt har den ingen nollpunkt. Kvotskalan används ofta vid mätningar i kelvinskalan och längd, även här kan det storleksordnas samt kan kvoter och differenser beräknas. Ordinalskalan kan användas vid sammanställningar av betyg eller placeringar (ibid). I figur 2 som är en ordinalskala där siffran 3 är median, eftersom den är i mitten.

Figur 2. Beräkning av median. Illustrerad av Marcus Bergenheim & Daniel Carlsson ur

Sannolikhetslära och statistik för lärare (Britton & Garmo, 2002)

2.3.3 Typvärde

Britton och Garmo (2002) definierar det sista lägesmåttet, typvärdet, som det mest använda värdet i en undersökning. Typvärdet har en väldigt kort och tydlig beskrivning till skillnad från de andra två lägesmåtten. Emanuelsson och Johansson (1996) ger en liknande förklaring, att typvärdet är det mest förekommande värdet i en ordnad observation.

Figur 3 är ett exempel för att finna typvärdet. Det är nio barn som går på en förskola. För att få reda på vilken ålder som är mest förekommande på öppna förskolan, behöver eleverna undersöka stapeldiagrammet och se vilken stapel som är högst. I den här uppgiften är det flest barn som är fem år gamla därav är typvärdet fem år.

Figur 3. Beräkning av typvärde. Illustrerad av Marcus Bergenheim & Daniel Carlsson ur

2.4 Svårigheter inom lägesmått

Emanuelsson och Johansson (1996) förklarar att lägesmått är en del av statistik, då den ger information hur ett statistiskt material disponeras. För att lära ut statistik behöver undervisningen inte enbart handla om det som traditionellt anses vara matematik (Cobb & Moore, 1997). De syftar till att statistiskt tänkande skiljer sig från matematiskt tänkande. Enligt författarna har talen inom ett statistiskt tänkande alltid ett sammanhang medan i det matematiska tänkandet kan det enbart vara tal (ibid).

En av svårigheterna inom lägesmått är att koppla de matematiska begreppen medelvärde, median och typvärde med ett korrekt matematiskt innehåll (Juter, 2013). Det här belyser även Watson och Morritz (2000) kan vara en svårighet för eleverna att ha en förståelse om de matematiska begreppen inom lägesmått. Det bör läggas stor vikt att koppla det matematiska innehållet till vardagliga situationer. Undervisningen ska även vara varierad, för det kan leda till en djupare förståelse om viktiga begrepp inom statistik (Juter, 2013). Vid undervisningstillfällen kan det var lätt för eleven att kopiera lärarens strategi (Cai & Moyer, 1995). Om eleven enbart använder sig av en strategi utan förståelse av innebörden kan kunskapen fallera (ibid).

2.5 Problemlösningsuppgifter

Ett genomgående krav på problemlösningsuppgifter brukar vara att eleven inte har en given strategi för att lösa problemet utan att det krävs ett hårt arbete för att lösa uppgiften (Häggblom, 2000). Det som kan försvåra definitionen av begreppet är att det finns olika uppfattningar om problemlösningsuppgifter. En problemlösningsuppgift kan uppfattas på ett sätt av en elev medan en annan elev kan uppfatta det som en rutinuppgift (Hagland, Hedrén, Taflin, 2005). Även om det kan uppfattas på olika sätt finns det ändå vissa kriterier som behöver uppfyllas för att det ska kunna vara en problemlösningsuppgift (ibid). Enligt författarna krävs tre kriterier för att det ska bli en problemlösningsuppgift:

• Uppgiften skall gå att lösa (och eleven skall veta hur den blir löst) • Det finns ingen given lösningsstrategi för att lösa uppgiften • Det behövs en ansträngning för att lösa uppgiften (ibid).

Enligt Hiebert och Grouws (2007) är det en problemlösningsuppgift om eleven får anstränga sig för att lösa uppgiften precis som Hagland, Hedrén och Taflins (2005) sista kriterium. Att eleven anstränger sig innebär att hen kan ha förstått uppgiftens innebörd men att det inte finns någon given lösning på problemet (Hiebert och Grouws, 2007).

För att kunna veta om det är en problemlösningsuppgift kan uppgifter även uteslutas. Det finns två begrepp som kan vara behjälplig vid en uteslutning och det är rutinuppgifter och vissa textuppgifter. Taflin (2007) tydliggör att rutinuppgifter handlar om färdighetsträning där lösningen är bekant för eleverna samt att det sällan leder till något hinder. Textuppgifter innebär att förutom det matematiska språket finns det även en skrift som tillhör uppgiften (ibid). Skriften används för att eleven ska kunna urskilja det matematiska innehållet samt vilken lösningsstrategi som bör

användas (ibid). Det som skiljer dem ifrån problemlösningsuppgifter är att dessa uppgifter inte uppfyller de tre kriterierna av Hagland, Hedrén och Taflin (2005) som presenterades i det inledande stycket i avsnittet.

2.6 Sammanfattning

Vid både planering av undervisning samt vid undervisningstillfällen är en central del att lärare använder sig av olika strategier för elevernas möjlighet att utvecklas. Alla elever är unika vilket kan medföra att det är svårt att hitta en gynnsam strategi utan att det kan krävas flera olika perspektiv inom strategin för att kunna motivera fler elever (Thoren, 2009).

Relationen mellan läromedel (innehåll), lärare och elev är en punkt som bör belysas eftersom läromedlet inom matematik tar upp en stor plats i undervisningen (Johansson, 2006). Lärarens uppgift är att förmedla kunskap, där hen även behöver vara kritisk till innehållet. Dels granska vad eleverna kan få för svårigheter med läromedlet samt vilket lärande som är i fokus.

Vid presentationen av lägesmått behöver lärare vara uppmärksamma på vilken problematik som kan finnas i läromedlet. Inom lägesmått är det framförallt begreppsförståelsen till det matematiska innehållet som är en svårighet (Juter, 2013). Presentation av dessa är väsentlig för elevernas förståelse. I läromedlet finns det olika uppgifter som har olika avsikter för att fördjupa elevernas förståelse. Det är rutinuppgifter, textuppgifter och problemlösningsuppgifter.

3 Teoretisk utgångspunkt

Under det här kapitlet kommer variationsteorin och centrala begrepp att presenteras samt dess innebörd eftersom resultatet i den här studien kommer att tolkas och analyseras utefter teorin.

3.1 Variationsteorin

Variation i ett ämne handlar om att få vetskap om vad som är konstant och vad som förändras. Det handlar också om att lära sig vilka utmaningar som kan uppfattas av eleverna (Leung, 2012). En förlängning inom fenomenografin är variationsteorin (Lo, 2012). Fenomenografin används ofta inom undersökningar och det handlar om att upptäcka människors varierande uppfattningar. Det kan vara om olika fenomen samt vilka variationer som finns (Allwood & Eriksson, 2017). Ett exempel kan vara hur elever tolkar olika matematiska uppgifter i ett läromedel. Även Wernberg (2005) beskriver att den fenomenografiska teorin handlar om att undersöka människors olika uppfattningar men även vilken variation som kan finnas. Skillnaden mellan en fenomenografisk undersökning och en variationsteoretisk undersökning är att inom den första undersökningen finns intresset om olika uppfattningar inom ett specifikt lärandeobjekt. Inom variationsteorin uppmärksammas även vilken information som eleverna kan urskilja från lärandeobjektet (ibid).

Variationsteorin kan definieras som att det finns ett lärandeobjekt som ska belysas både från ett lärarperspektiv och ett elevperspektiv. För att eleven ska få en möjlighet till förståelse kan det krävas att det finns flera olika perspektiv av lärande (Lo, 2012). Det kan vara svårt för eleverna att veta hur de ska kunna urskilja de olika fragmenten från lärandeobjektet eftersom alla elever är på olika kunskapsnivåer. En annan problematik kan vara hur olika lärare har bedrivit undervisningen förut (Wernberg, 2005). För att läraren ska kunna nyttja variationsteorin i sin undervisning behöver hen se vilka kritiska aspekter som kan finnas för lärandeobjektet (Lo, 2012).

3.2 Lärandeobjekt

Frågan som ska besvaras vid lärandeobjektet är den didaktiska frågan vad? vilket innebär vilken kunskap eleverna ska få möjlighet att utveckla (Kullberg, Runesson Kempe & Marton, 2017). Enligt författarna går det att dela in lärandet i tre kategorier. Den första kategorin handlar om innehållet medan den andra handlar om lärandets mål och den sista tar upp vilka kritiska aspekter som finns. Läraren bör även ha vetskap om att alla elever är unika vilket kan innebära att lärandeobjektet kan uppfattas på olika sätt av eleverna (ibid). Lärandeobjektet är den förmågan i förhållande till det centrala innehållet som läraren anser att eleverna ska utveckla och skapa en förståelse om (Wernberg, 2009). I den här studien handlar lärandeobjektet om lägesmått. Lo (2012) nämner också vikten av elevernas förståelse för lärandeobjektet och den bör utgå från samma synsätt som lärarens men då behöver läraren förstå och upptäcka elevernas syn på lärandeobjektet.

3.3 Kritiska aspekter

Kritiska aspekter handlar om att förstå och urskilja vad som är viktigt samt avgörande hos lärandeobjektet. För att elevernas förståelse inom lärandet ska kunna fördjupas bör de inse vad som är relevant och vad som inte är relevant i lärandeobjektet (Lo, 2012). Det kan till exempel handla om typvärdet, som kan vara lärandeobjektet, i ett diagram. En av de kritiska aspekterna inom det här området är begreppsförståelse. Eleverna behöver ha en begreppsförståelse om både typvärde och diagram, vilket i sin tur medför att eleverna bör skapa en förståelse om vad det kan vara samt vad det inte kan vara.

Läraren ska kunna visa de kritiska aspekterna som eleverna upplever svåra. Det innebär att läraren ska ge eleverna möjlighet att se de kritiska aspekterna med hjälp av olika variationsmönster. Att nyttja den här strategin kan medföra att eleverna får större möjlighet att utveckla sina kunskaper om lärandeobjektet (Wernberg, 2009).

3.4 Variationsmönster

För att eleverna ska kunna utveckla sitt lärande bör de inom variationsteorin se skillnader. De ska kunna förstå vad som är lärandeobjektet men också vad som inte är lärandeobjektet för att kunna urskilja vad som skiljer dem åt (Lo, 2012). Det anses mer effektivt att se skillnader än att se likheter vilket är en del av variationsmönster (ibid). Inom variationsmönster förekommer fyra olika kategorier

som är kontrast, separation, generalisering och fusion. Dessa begrepp beskrivs nedan.

3.4.1 Kontrast

För att kunna se ett mönster behöver eleven förstå vad det är och vad det inte är, vilket gör att det finns en kontrast (Wernberg, 2005). För att lära sig vad median är kan läraren sätta det i kontrast med typvärde och förklara samt visa skillnaden. Det blir lättare att urskilja vad som är lärandeobjekt om det går att sätta det i kontrast med något annat (Lo, 2012). För eleverna krävs det att kunna urskilja om objektet uppfyller kriterierna eller inte (Mhlolo, 2013).

I figur 4 sker det en kontrast, då eleverna måste urskilja vilken information hen behöver för att kunna beräkna medianen. Det innebär att eleverna behöver veta vad som ingår i medianens matematiska funktion. Kontrasten sker mellan siffror i poäng och favoritfärger.

Figur 4. Kontrast. Illustrerad av Maisa Rajamäki ur Mera favorit matematik 5B(Asikainen,

Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2018:105)

3.4.2 Separation

Separation handlar om att ha en medvetenhet om kritiska aspekter samt kunna urskilja mönster som är avvikande (Leung, 2012). Wernberg (2009) utvecklar separation med att om två perspektiv växlas tillsammans kan det vara svårt att urskilja perspektivet. Ett exempel kan vara mellan matematiska begrepp där läraren låter en vara konstant och den andra växlas för att kunna urskilja dessa begrepp (ibid). Det kan till exempel vara begrepp inom lägesmått som median och medelvärde där median kommer att vara konstant för att kunna urskilja det medan medelvärde växlas. Lo (2012) förklarar att separation är när eleven blir medveten om att urskilja objektet med ett annat objekt.

I uppgiften, figur 5, behöver eleverna separera antalet pojkar och vad som är typvärde i uppgiften. Skillnaden är att beräkna summan av ett antal (antal pojkar) och att kunna redovisa vilken stapel som har flest skor (typvärde). Vilket är en separation

.

Figur 5. Separation ur Gleerups matematik portal 5 (Sjöström & Sjöström, 2015: a437) 3.4.3 Generalisering

När samma eller liknande mönster uppstår på olika sätt men ändå uppfyller kraven av mönstret blir det en generalisering (Wernberg, 2009). Inom lägesmått kan det till exempel vara att flera uppgifter behandlar medelvärde men med varierad information, det som eleverna ska räkna ut medelvärde på. Det kan ses som att urskilja aspekter målmedvetet om mönstret fortfarande är konstant även fast andra aspekter varierar (Leung, 2012).

I figur 6 sker en generalisering, då syftet är att beräkna medelvärdet. Första delen handlar om den enskilde elevens datoranvändning medan den andra handlar om klassrummets dator. De båda delarna söker efter samma lägesmått men förutsättningar ändras.

Figur 6. Generalisering. Illustrerad av Maisa Rajamäki ur Mera favorit matematik

5B(Asikainen, Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2018:99)

3.4.4 Fusion

Fusion kan ske om det är flera olika aspekter inom lärandeobjektet som samspelar eller för att belysa relationen mellan hel och del i ett sammanhang (Lo, 2012). Inom det här området integreras flera olika variationer och mönster som kan skapa ett nytt begrepp (Leung, 2012). Ett exempel kan vara att eleven ska beräkna olika lägesmått i samma uppgift. Det medför att eleverna behöver nyttja flera perspektiv samtidigt.

I figur 7 blir en fusion synlig. Först skall antal elever sammanställas. Nästa steg är att bestämma typvärdet med hjälp av stapeldiagrammet. I nästa moment sker en fusion då eleven använder den insamlade informationen för att räkna ut typvärde och median. Avslutningsvis sker ytterligare en fusion då uppgiften skiftar fokus till att beräkna procent.

Figur 7. Fusion ur Gleerups matematik 5 (Sjöström & Sjöström, 2015:a344)

4 Metod

I metodkapitlet beskrivs arbetets tillvägagångssätt. Först redogörs urvalet av litteratur och teori. De två nästkommande delarna i kapitlet kommer att belysa urvalet av läromedel och problemlösningsuppgifter samt hur databearbetningen har gått till. Kapitlet avslutas med att redovisa vilka etiska överväganden som har gjorts.

4.1 Urval av litteratur och teori

Den här empiriska studien har ett deduktivt förhållningssätt. Det innebär att en studie ska följa en bestämd plan som vilar på en teoretisk grund (Allwood och Eriksson, 2017). Innehållet av artiklar och litteratur har blivit värderade utifrån att finna information som berikar den här studien och svarar upp till syfte och frågeställningar (Denscombe, 2009). I den här studien har det gjorts litteratursökningar för att hitta vetenskapliga artiklar, avhandlingar och annan litteratur. Sökorden som använts har både varit på engelska och svenska. Övrig litteratur har hittats via artiklar och annan litteraturs referenslista.

Studiens syfte är att kartlägga hur lägesmått presenteras i olika läromedel samt hur problemlösningsuppgifter med lägesmått är utformade. En teori som ansågs vara passande är variationsteorin eftersom den handlar om människans uppfattning och

vad hen kan urskilja (Wernberg, 2005). När uppgifter ska granskas är variationsmönster ett lämpligt stöd för att kunna upptäcka likheter och skillnader.

4.2 Urval av läromedel och problemlösningsuppgifter

I många forskningsstudier kan bekvämlighetsurvalet vara behjälpligt (Denscombe, 2009). Det innebär att urvalet sker med hänsyn till att det ska vara lättillgängligt. I den här studien valdes läromedel efter bekvämlighetsurvalet genom att läromedlen fanns tillgängliga och användes vid de skolor där vi har genomfört VFU (Verksamhetsförlagd utbildning) och VI-dagar (Verksamhetsintegrerade). Ett av villkoren för att läromedlen skulle vara lämpliga för den här studien är att de ska vara aktuella. Det vill betecknas som att läromedlet används dagligen i undervisningen. De andra villkoren var att de ska vara ämnade för årskurs fem och att lägesmått ska vara en del av läromedlen.

De läromedel som kommer att granskas är Matteborgen 5A (Falck & Picetti), Mera favorit matematik 5B (Asikainen, Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2018) och Gleerups matematik 5 (Sjöström & Sjöström, 2015). Både Matteborgen och Mera favorit

matematik har två delar. Vi har valt de delar av böckerna där lägesmått är

representerat i innehållet. I Matteborgen 5A finns det fem kapitel och lägesmått finns i kapitlet temperatur och diagram, vilket är det sista kapitlet. I läromedlet Mera favorit matematik finns det också fem kapitel men där finns lägesmått i kapitel två. Det digitala läromedlet Gleerups matematik 5 har 6 kapitel varav lägesmått finns i kapitel fem.

De matematiska uppgifter som har granskats i denna studie är uppgifter som rutinuppgifter, textuppgifter och problemlösningsuppgifter. Urval av uppgifter har gjorts efter Taflins (2007) beskrivning av rutinuppgifter och textuppgifter samt vad som varit lärandeobjekt. Vad angår problemlösningsuppgifter har de valts efter läromedlets beteckning av en sådan uppgift. Dessa problemlösningsuppgifter är åtta stycken till antalet och utgör en del i att besvara studiens andra frågeställning.

4.3 Resultatskrivning och databearbetning

Resultatanalysen kommer att presenteras utifrån två huvudrubriker vilka är samma som studiens frågeställningar. Studiens frågeställningar presenterar resultatet och vid analysen kommer variationsteorin och egenkomponerade frågor att vara ett stöd. Vid analysen kommer även dessa begrepp från variationsteorin att belysas: lärandeobjekt, kritiska aspekter, variationsmönster, kontrast, separation, generalisering och fusion. I frågeställningarna kommer läromedlets innehåll att presenteras. Under resultat och analys kommer bilder från berörda läromedel att användas för att stärka innehållet i studien. Nedan kommer en redogörelse för vad som ska presenteras i frågeställningarna.

Den första frågeställningen syftar till att upptäcka vilka lägesmått som finns i de olika läromedlen samt vilka uppgifter som finns. Lägesmåttsuppgifter som kommer att granskas är rutinuppgifter och textuppgifter. Det kommer att presenteras i resultatets första rubrik vilken är: Hur presenteras och framgår lägesmått i

att ha tre underrubriker efter de olika läromedlens titlar. Underrubriker bidrar till att innehållet struktureras och blir mer begripligt.

Den andra frågeställningens intention är att upptäcka hur problemlösningsuppgifter är konstruerade tillsammans med lägesmått. Det resultatet kommer att presenteras under rubriken: Hur framstår lägesmått tillsammans med problemlösningsuppgifter? I det här avsnittet finns det tre underrubriker vars

rubriker heter likadant som berörda läromedels titlar.

Frågeställningarna kommer att analysera med hjälp av de här frågorna:

• Vilka lärandeobjekt syns i uppgifterna? • Vilka kritiska aspekter förekommer?

• Vilka variationsmönster kan urskiljas vid uppgifterna?

4.4 Etiska riktlinjer

Vid den här studien har en av vetenskapsrådet principer följts vilken är att inte missleda andras tidigare forskning (Vetenskapsrådet, 2017). Fler har inte behövts beakta eftersom den här studien inriktar sig på läromedel. Det innebär att ta tillvara på den informationen samt referera på ett korrekt sätt. Citera från verk som är offentliga får göras om det försiggår med hänsyn till det ursprungliga verket (SFS 1960:729). Det innefattar både text och bild. Läromedlen som valdes kommer från stora förlag som används i hela Sverige. Det medför att en granskning av dessa anses som lämplig eftersom de används av flera skolor. En kontakt har upprättats med förlagen. Det är för att få ett godkännande till att kunna använda läromedlens innehåll i den här empiriska studien. Vi fick ett godkännande från alla tre förlagen att granska och använda deras uppgifter och bilder i vår studie.

5 Resultat och analys

I följande kapitel redovisas och analyseras resultatet av studiens frågeställningar. Syftets frågeställningar kommer att skapa varsin huvudrubrik. När resultatet analyseras används variationsteorins (Lo, 2012) ingående begrepp och egenkomponerade frågor som ett stöd.

5.1 Hur lägesmått presenteras och framgår i elevuppgifter inom de

olika läromedlen?

Det här avsnittet uppmärksammar vilka lägesmått som är representerade samt hur de framställs i olika uppgifter inom de olika läromedlen. Efter varje underrubrik sker en analys av resultatet. Till sist kommer en sammanfattning där en jämförelse sker mellan läromedlen.

5.1.1 Matte Direkt Borgen 5A

Det står inget om lägesmått i läromedlets innehållsförteckning. I det femte kapitlet “Temperatur och Diagram” (Falck & Picetti, 201:5), finns begreppet medelvärde. Det är ett begrepp som eleverna har som matteord under kapitlet, vilket är ett ord som eleverna ska lära sig och använda under kapitlet. En målsättning för kapitlet är

formulerat: “När du arbetat med det här kapitlet ska du kunna räkna ut medelvärde” (Falck & Picetti, 2012:28)

I läromedlet beskrivs medelvärde på det här viset:

Figur 8. Medelvärde beskrivning ur Matte Direkt Borgen 5A (Falck & Picetti, 2012:134) Uppgifter om medelvärde finns på fyra sidor men två av dessa är efter diagnosen. Efter diagnosen är boken uppdelad i blå och röd kurs. Den blåa kursen är för de elever som upplever diagnosen som svår medan den röda kursen är för de elever som upplever diagnosen lättare. En annan skillnad mellan dem är att det finns en faktaruta om medelvärde på de blå sidorna. Sammanlagt finns det tjugo uppgifter som berör medelvärde och det är rutinuppgifter, textuppgifter och problemlösningsuppgifter.

Exempel på rutinuppgift:

Figur 9. Rutinuppgift ur Matte Direkt Borgen 5A (Falck & Picetti, 2012:135) Exempel på en textuppgift:

Figur 10. Textuppgift ur Mattedirekt Borgen ur Matte Direkt Borgen 5A (Falck & Picetti,

2012:135)

I läromedlet vars kapitel handlar om diagram och temperatur finns det ett lägesmått som eleverna får möjlighet att lära sig. Vilket innebär att lärandeobjektet (Kullberg, Runesson Kempe & Marton, 2017) är medelvärde. De kritiska aspekterna (Lo, 2012) handlar om begreppsförståelse, utöver medelvärde används begrepp som genomsnitt och medelålder. Eleverna behöver ha en förståelse att dessa begrepp uppfyller samma kriterier som medelvärde. Läromedlet belyser dock inte att dessa begrepp innefattar samma innehåll utan eleverna förväntas ha en tidigare förståelse för dessa begrepp.

Exempel på en textuppgift som kan förklara generalisering:

Figur 11. Generaliseringsexempel ur Matte Direkt Borgen 5A (Falck & Picetti, 2012:135) Variationsmönster som har upptäckts är generalisering, exempel i figur 10 och figur 11, och fusion, i figur 12. Ett mönster som är generaliserande (Leung, 2012) innebär till exempel att medelvärdet och begrepp som associerar med det är konsekventa medan informationen ändras. Medelvärdet är bestående i figur 11 och figur 12 det som skiljer dem åt är övrig information som flickornas ålder samt ett förstoringsglas.

Det finns ett fåtal uppgifter där fusion anträffas. För att det ska bli en fusion är det flera perspektiv som ska samverka (Leung, 2012). I figur 12 får eleverna information om medelvärdet samt tre tal utav de sammanlagt fyra tal som bildar medelvärdet. Eleverna behöver ha kännedom om medelvärdets matematiska beräkning samt relationen mellan talen för att kunna lösa uppgiften.

Exempel på en textuppgift som kan förklara fusion:

Figur 12 Fusion ur Matte Direkt Borgen 5A (Falck & Picetti, 2012:135) 5.1.2 Mera favorit matematik 5B

Det finns två avsnitt i kapitel två där lägesmått syns i innehållsförteckningen. Vilka är avsnitt 24 “Medelvärde och statistiska undersökningar” och avsnitt 25 ”Typvärde, median och statistiska undersökningar” (Asikainen, Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2018. s. 4.). Efter innehållsförteckning på nästkommande sida står det att eleverna får lära sig om medelvärde, median och typvärde (ibid).

I inledningen av avsnitt 24 finns den här förklaringen om medelvärde och dess beräkning.

Figur 13. Förklaring för att räkna ut medelvärde ur Mera Favorit matematik 5B (Asikainen, Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2018:98)

Avsnitt 25 inleds med en förklaring av typvärde och median samt dess matematiska funktion.

Figur 14. Förklaring på typvärde och median ur Mera Favorit matematik 5B (Asikainen, Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2018:102)

I avsnitten finns det 18 uppgifter och i 16 av dem representeras något av lägesmåtten. Det finns både rutinuppgifter, textbaserade uppgifter samt problemlösningsuppgifter med lägesmått.

Exempel på en rutinuppgift:

Figur 15. Exempel på en rutinuppgift ur Mera Favorit matematik 5B (Asikainen, Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2018:100)

Exempel på en textbaserad uppgift:

Figur 16. Exempel på Textbaserad uppgift. Illustrerad av Maisa Rajamäki ur Mera

Favorit matematik 5B (Asikainen, Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2018:99)

Eleverna får möjlighet att utveckla sina kunskaper om tre olika lägesmått i läromedlet. Det betyder att lärandeobjektet (Kullberg, Runesson Kempe & Marton,

2017) är lägesmått. Inom lägesmått finns medelvärde, median och typvärde. De kritiska aspekterna (Lo, 2012) är att kunna koppla rätt matematiskt innehåll till de olika lägesmåttsbegreppen. Det första avsnittet tar enbart upp medelvärde, vilket kan upplevas lättare, men i nästa avsnitt används alla berörda begrepp inom lägesmått.

Fusion, separation och generalisering var de variationsmönster som påträffades i läromedlet. I figur 16 blir det både en separation och en fusion då eleverna ska använda tre olika lägesmått. Begreppen ska urskiljas vilket leder till en separation (Wernberg, 2009). Eleverna behöver veta begreppens olika innebörd för att bemästra separationen. Det blir en fusion eftersom det är flera perspektiv som sammanstrålar (Lo, 2012). I figur 14 ska eleverna räkna ut tre lägesmått, det innebär att det blir en fusion.

Figur 17. Uppgift med generalisering ur Mera Favorit matematik 5B (Asikainen, Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2018:102).

Generaliseringen sker då vid att övrig information ändras frånsett lärandeobjektet (Wernberg, 2009), vilka är lägesmåtten. Exempel i figur 16 och figur 17 är att lägesmått ska användas utifrån poäng på musik och födelsemånad, det som är konstant är lägesmåttet.

5.1.3 Gleerups matematik 5

Likt ett traditionellt läromedel följer det digitala läromedlet en liknande struktur. Den innehåller en innehållsförteckning där kapitlen berör olika matematiska områden. Kapitel fem diagnos och lägesmått (Sjöström & Sjöström, 2015), berör de matematiska begreppen inom lägesmått. Vidare är kapitlet uppdelat i sju avsnitt där det finns 125 uppgifter som berör lägesmått, de följer en tydlig progression. Uppgifterna inleds med kortfattad information och ett fåtal steg som eleverna behöver arbeta med för att lösa uppgiften. Desto längre in i kapitlet blir uppgifterna mer krävande och det är mer information som skall sorteras än vad det är i början av kapitlet? Det är för att eleverna ska få möjlighet att utveckla kunskaperna.

Figur 18. Presentation av lägesmått ur Gleerups matematik 5 (Sjöström & Sjöström,

2015:a313)

Första informationen eleverna får om lägesmått är tydlig och kortfattad. Den beskriver innebörden av de olika lägesmåtten. Vidare kommer en sammanställning av de uppgifter som förekommer i läromedlet.

Figur 19. Rutinuppgift Exempel ur Gleerups matematik 5 (Sjöström & Sjöström, 2015:a437)

.

I avsnitt två ges eleverna möjlighet att arbeta med rutinuppgifter där berörs typvärde och median. Lärandeobjektet (Kullberg, Runesson Kempe & Marton, 2017) för eleverna är typvärde och median. Senare i kapitlet förekommer det sista lärandeobjektet medelvärde. I figur 19 visas en väderprognos. Kritiska aspekten (Lo, 2012) i uppgiften är att välja rätt matematiskt innehåll kopplat till rätt begrepp. Det är viktigt att eleverna har tagit del av kunskapen om att kunna särskilja begreppens innebörd.

I läromedlet finns det få uppgifter som är textbaserade. Figur 20 är en textuppgift där det förekommer en fusion. Likt det Lo (2012) belyser om fusion, behöver eleverna kunskap om att tyda ett stapeldiagram samt ha kunskap om de ingående begreppen som medelvärde. Vidare behöver eleverna ha kunskap om att beräkna medelvärde för att finna det fel som har uppkommit.

I sista avsnittet av kapitlet berörs alla lägesmått.

Figur 21. Uppgift med separation och fusion ur Gleerups matematik 5 (Sjöström &

Sjöström, 2015:a487)

Alla tre lägesmått medelvärde, median och typvärde berörs i figur 21. Eleverna behöver kunna separera lägesmåtten från varandra, för att kunna lösa uppgiften. När flera perspektiv möts blir det en fusion (Lo, 2012). I det här fallet är det tre olika lägesmått där eleverna behöver förstå deras olika matematiska funktioner. Det sista variationsmönstret är generalisering där lägesmåtten är det som är konsekvent medan övrig information varierar som betyg, avprickning, frekvens och summa. 5.1.4 Sammanfattning

I de läromedel som har granskats och analyserats finns det både likheter och skillnader. Det finns flera likheter mellan Gleerups matematik 5 och Mera favorit matematik 5B eftersom de uppmärksammar tre olika lägesmått medan Matte Direkt Borgen 5A enbart fokuserar på medelvärde. Två likheter mellan alla läromedel är att de förklarar och visar den matematiska lösningen av lägesmåttsbegreppen samt att det är många rutinuppgifter där eleven utför färdighetsträning. Vad gäller variationsmönster finns det flera likheter, där generalisering är mest frekvent eftersom lägesmåtten är konstanta medan annan information ändrats. Fusion är även en likhet som förekommer i läromedlen fast i en mindre utsträckning än generalisering.

En av skillnaderna är att Gleerups matematik 5 har betydligt fler uppgifter än vad de andra två läromedlen har. En annan är hur Matte Direkt Borgen lyfter begrepp som genomsnitt och att det tillhör medelvärde medan andra läromedel är mer konsekventa med att enbart använda medelvärde, typsnitt och median. Mera favorit

matematik 5B varierar sina uppgifter på olika sätt medan de andra två läromedlen har liknande uppgifter.

5.2 Hur framstår lägesmått tillsammans med

problemlösningsuppgifter?

I kommande avsnitt introduceras problemlösningsuppgifter med lägesmått. Avsnittet inriktas mot vilket lägesmått som är representerat. Presentationen av resultatanalysen sker via respektive läromedel med en. Avslutningsvis sammanfattas avsnittet.

5.2.1 Matte direkt Borgen 5A

Två uppgifter upptäcktes i läromedlet som anses vara problemlösningsuppgifter, vilka liknar varandra. I figur 19 får eleven veta att genomsnittet är sex minuter och att Sarah har skrivit sex brev. De får även reda på hur lång tid det tog att skriva varje brev förutom det sista. Uppgiften är att lösa hur lång tid det tog att skriva det sista brevet.

Figur 22. Problemlösningsuppgift ur Matte Direkt Borgen 5A (Falck & Picetti, 2012:148) I läromedlet presenteras enbart medelvärde. Vilket innebär att det är lärandeobjektet (Kullberg, Runesson Kempe & Marton, 2017). Som näst intill alla uppgifter i den här boken handlar den kritiska aspekten om begrepp. Den kritiska aspekten är vilka svårigheter som kan förekomma för eleverna (Leung, 2012). I uppgiften nämner de inte medelvärde utan genomsnitt och den avslutande frågan som ska besvaras handlar om hur lång tid det tog att skriva det sjätte brevet.

I figur 22 finns det flera olika perspektiv som eleven bör ta hänsyn till. Det innebär att det blir fusion (Lo, 2012). Eleverna behöver ha kännedom om medelvärdets matematiska funktion tillsammans med talens relation till medelvärdet.

5.2.2 Mera favorit matte 5B

I de olika delarna fanns det två uppgifter som räknas som problemlösningsuppgifter. Det var en i varje del. I den första uppgiften, figur 23, ska eleven först räkna ut hur mycket varje korg kostar sammanlagt för att sedan beräkna ett medelvärde. Svaret ska sedan avrundas

.

Figur 23. Problemlösningsuppgift medelvärde. Illustrerad av Maisa Rajamäki ur Mera

Favorit matematik 5B (Asikainen, Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2018:101)

I figur 24 ska eleven formulera ord där vissa bokstäver ska vara typvärdet.

Figur 24. Problemlösningsuppgift typvärde. Illustrerad av Maisa Rajamäki ur Mera Favorit

matematik 5B (Asikainen, Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2018:105)

Lärandeobjekten som eleverna får möjlighet att utveckla är medelvärde och typvärde. I figur 24 ska eleven själv komma på ett ord vilket gör att det inte finns någon given lösningsstrategi. Det är en av de tre kriterierna för en problemlösningsuppgift (Hagland, Hedrén & Taflins 2005) men uppgiften uppfyller alla tre.

Dessa kritiska aspekter handlar om begrepp som ska urskiljas och kopplas till rätt matematiskt innehåll. Begreppen är medelvärde och typvärde. I figur 23 krävs ett förarbete innan eleven kan räkna ut medelvärdet. Stämmer inte förarbetet kommer inte svaret om medelvärdet att stämma. Den sista kritiska aspekten som finns i figur 24 är att eleverna ska komma på egna ord där en bokstav ska vara typvärde.

En generalisering kunde ses mellan dessa uppgifter eftersom det är information, vilka är varor och bokstäver, som byts ut medan lägesmåtten är konstanta. I figur 23 är det även en kontrast eftersom den första delen handlar om att räkna ihop summan av korgarna medan den sista delen är att räkna ut medelvärdet. Det blir en kontrast för att veta vad som är medelvärde och vad som inte är det (Wernberg, 2005). 5.2.3 Gleerups matematik 5

I Gleerups matematik 5 fanns det fyra uppgifter som benämndes som problemlösningsuppgifter. I de här uppgifterna finns enbart lägesmåttet medelvärde.

I figur 25 skall eleverna hitta rätt medelvärde.

Figur 25. Problemlösningsuppgift “medelvärde” ur Gleerups matematik 5 (Sjöström &

Sjöström, 2015:a803)

I Figur 25 ska eleverna finna medelvärdet och se vilka strategier som går att applicera.

Figur 26. Problemlösningsuppgift 2 ur Gleerups matematik 5 (Sjöström & Sjöström,

2015:a803)

Lärandeobjektet i de förekommande uppgifterna är medelvärde. De svårigheter som kan förekomma, det vill säga de kritiska aspekterna är begreppsförståelse och lösningsstrategi. I figur 25 är den kritiska aspekten medellängd som är synonymt med lägesmåttet medelvärde. Medan i figur 26 är den kritiska aspekten att välja rätt strategi för att lösa uppgiften. Den kritiska aspekten i föregående uppgift medför att den tydligt uppfyller en av kriterierna för att vara en problemlösningen, även fast den är tydlig uppfylls alla tre. (Hagland, Hedrén & Taflin 2005).

De variationsmönster som blir synliga i uppgifterna är separation, fusion, generalisering och kontrast. En generalisering sker i figur 25. I uppgiften sker det när medelvärdet byts ut till medellängd, lägesmåttet är fortfarande konsekvent. I figur 26 sker det när eleverna skall se mönstret samt värdesätta vad som är konsekvent i uppgiften. Vidare sker det en kontrast när eleven skall urskilja vilket som är lärandeobjektet i uppgifterna (Wernberg, 2005). I figur 26 sker även separation och fusion. När eleverna upptäckt lärandeobjektet sker en separation (Leung, 2012) då eleverna behöver välja rätt strategi för att lösa uppgiften. Fusion sker i slutskedet av uppgiften då genom att separera uppgiften och samtidigt ha en förståelse om att det bildar ett tal.

5.2.4 Sammanfattning

När läromedlen granskades och analyserades synliggjordes likheter, likt den första frågeställningen. Likheten är att läromedlen övergripande använder sig av medelvärde där lägesmått berörs i problemlösningsuppgifter. Övergripande fanns det åtta problemlösningsuppgifter i läromedlen som berörde lägesmått. Likheten

mellan läromedlen var att uppgifterna återfanns de i sista delen av kapitlet och att nästan alla berörde medelvärde. Skillnaden var antalet, i Gleerups matematik 5 fanns det totalt fyra stycken uppgifter medan i Mera favorit matte 5B och Matte direkt Borgen 5A har vardera två stycken problemlösningsuppgifter med lägesmått. Lärandeobjekten som blir synliga i de här uppgifterna är medelvärde och typvärde, det sista lägesmåttet median förekommer inte i problemlösnings uppgifterna. Av de förekommande problemlösningsuppgifterna berörde sju av dem lägesmåttet medelvärde och den sista uppgiften typvärde.

De kritiska aspekterna är många, en av dem handlar om att eleverna skall värdesätta vilka strategier de behöver använda för att lösa uppgiften. Även begreppsförståelsen blir synlig, då de vanliga benämningarna har ersatts av liknande begrepp. Det för att se om eleven har en djupare förståelse om lägesmåtten. I alla uppgifterna synliggörs variationsmönster på något sätt.

6 Diskussion

Följande kapitel fokuseras på diskussion rörande metod och resultat. I metoddiskussionen framkommer val om studiens metod. Vidare kommer det även belysas hur den föreliggande metoden har varit givande för studien samt de uppkomna hindren. Resultatdiskussionen är uppdelad i tre avsnitt som utgår från läromedlens relation till innehåll, lärare och elever. Avslutningsvis presenteras slutsats och förslag till framtida forskning.

6.1 Metoddiskussion

Inledningsvis var tanken att enbart fokusera på problemlösningsuppgifter i olika läromedel men det medgav en svårighet att sålla utifrån ett matematiskt perspektiv. För det kan tendera att ha olika matematiska innehåll vilket kan medföra svårigheter att hitta ett tydligt mönster. I det skedet, efter en genomgång av olika läromedel, blev lägesmått en del av studien tillsammans med problemlösningsuppgifter. De granskade uppgifterna var sådana som de valda läromedlen belyste som problemlösningsuppgifter. Uppgifter som kunde klassas som problemlösningsuppgifter blev därför inte granskade. Detta medförde att antalet problemlösningsuppgifter var få till antalet. Övriga uppgifter som granskades var rutinuppgifter och textuppgifter. Urvalet av dessa uppgifter gjordes utifrån lärandeobjektet. Det medförde att uppgifterna valdes beroende på vilket variationsmönster som kunde tolkas utifrån uppgiften. Lägesmått är en liten del utav statistik vilket gjorde det svårt att hitta vetenskapliga artiklar, avhandlingar och övrig litteratur då utbudet var begränsat. Den litteratur som hittades var både från Sverige samt andra länder i världen vilket berikar hur lägesmått uppfattas både inom och utanför Sveriges gränser.

Läromedlen som valdes var tre till antalet och dessa böcker syntes frekvent på skolorna. Det var också aktuellt att använda de mest populära läromedlen i Kalmar län, men den insamlingsprocessen skulle ta alltför lång tid. Utbudet av lägesmått i läromedlen var varierande. För att få ett större underlag till resultatet borde urvalet

av läromedlet skett efter antal uppgifter med lägesmått. Valet att använda tre läromedel gjordes eftersom kapitlen om lägesmått var korta med få uppgifter med undantag från Gleerups matematik 5. Resultatet påvisar hur dessa läromedel presenterar lägesmått samt problemlösningsuppgifter med lägesmått vilket gör att det inte kan anses generaliserbart. För att det skulle bli generellt krävs det att fler läromedel granskas som medför att studien skulle varit mer omfattande.

Variationsteorin valdes utifrån att den påvisats i många liknande studier när läromedel ska analyseras. Teorin har gynnsamma begrepp till studien. En nackdel är att den ofta används i verksamheten vid learning studies eftersom det sker vid ett undervisningstillfälle. Det är lärarens undervisning som blir granskad och inte läromedlet. I studien har den använts vid läromedelsanalys medan många artiklar utgår ifrån learning studies.

6.2 Resultatdiskussion

Studiens syfte var att kartlägga hur tre olika läromedel presenterar lägesmått samt hur de redovisar problemlösningsuppgifter med lägesmått. Under kommande avsnitt kommer resultatet att diskuteras utifrån tre underrubriker vilka är Läromedel och

innehåll, Läromedel och lärare och Läromedel och elever. 6.2.1 Läromedel och innehåll

Vad eleverna får möta i det matematiska läromedlet, det vill säga innehållet, är en faktor som påverkar deras kunskapsutveckling. Lärare utgår oftast från läromedlets matematiska innehåll vid planering av undervisning (Cobb och Moore, 1997). Det medför att läromedlet som används blir en central del för elevernas lärande inom matematik. I de läromedlen som har granskats presenterades lägesmått på olika sätt. Enligt Emanuelsson och Johansson (1996) är typvärdet det vanligaste lägesmåttet som används inom statistik. I Mattedirekt Borgen 5A fanns inte typvärde och median utan det var enbart medelvärde som behandlades. För eleverna som endast arbetar med medelvärde kan det vara svårt att skapa en förståelse om att medelvärde är en del av lägesmått, då de endast har mött ett begrepp inom lägesmått.

I två av läromedlen var det få uppgifter som berörde lägesmått medan i Gleerups matematik 5 var det 125 uppgifter. En likhet mellan läromedlen var att det var mest rutinuppgifter. Många tal som liknar varandra förmår att bli enformiga och kan möjligen upplevas som en arbetsbörda. Läromedlet är en stor del av undervisningen och det kan även förväntas att den ska hjälpa eleven till kunskapsutveckling (Johansson, 2006). Oftast räcker inte enbart läromedlet för att eleverna ska utvecklas utan de behöver få mer information om det matematiska området (Landtblom, 2014). Det kan läraren göra med stöd av till exempel bilder, texter och genomgångar. Inom lägesmått anses begreppens betydelse vara en svårighet (Watson & Moritz, 2000). Med hjälp av att belysa de kritiska aspekterna kan variationsmönster vara ett stöd i elevernas utveckling.

Problemlösningsuppgifter med lägesmått var åtta stycken sammanlagt i tre olika läromedel. Det är väldigt få uppgifter av det sammanlagda antalet uppgifter. Eleven ska under sin skolgång få möjlighet att utveckla sin problemlösningsförmåga (Skolverket, 2019). Det innebär att när eleverna arbetar i dessa kapitel kan

utvecklingen av den nämnda förmågan utvecklas sparsamt på grund av för få uppgifter. De få problemlösningsuppgifter som fanns var det en klar majoritet som presenterade medelvärde, vilket kan ses som en nackdel att alla lägesmått inte berörs.

6.2.2 Läromedel och lärare

För att eleverna ska få möjlighet att utveckla sina kunskaper bör undervisningen vara varierad (Juter, 2013). Det är lärarens ansvar, utifrån läromedlet att planera upp en undervisning som blir varierad. Lärare har oftast strukturerat upp undervisningen utifrån läromedlet. När vi har granskat läromedlen så blev det tydligt att problemlösningsförmågan inom lägesmått inte berörs på ett utvecklande sätt. Då uppgifterna inte berör alla lägesmått på ett konstruktivt sätt och att antalet problemlösningsuppgifter var få.

I styrdokumenten (Skolverket, 2019) beskrivs en av förmågorna att eleverna skall ges möjlighet att utveckla problemlösningsförmågan. För läraren kan tolkningen av att utveckla den här förmågan bli svår eftersom läroplanen inriktar sig från förskoleklass upp till årskurs nio. Det skiljer sig markant i ålder, erfarenhet och kunskapsinlärning. Eleverna ska få möjlighet att kunna reflektera över uppgifter inom problemlösning (ibid), vilket kan upplevas som svårt innan högstadiet på grund av att de krävs en förförståelse samt att träna på att reflektera. En åtgärd som går att göra är att frångå läromedlet för att ge eleverna möjlighet till vidare kunskapsutveckling. Under de lektioner där läraren frångår läromedlet kan det matematiska området beröras i problemlösningsuppgifter. Likt det Landtblom (2014) belyser att läromedlet inte ger det stöd eleverna behöver för att vidareutveckla sina kunskaper, då undervisningen kan bli enformig genom att enbart beräkna uppgifter från läromedel som Johansson (2006) framhäver. Författaren förklarar om eleverna enbart arbetar med uppgifter i läromedlet kan det leda till att elevernas motivation minskar till vidare kunskapsutveckling (ibid). Därför kan det vara viktigt att läraren använder sig av olika strategier som kan leda till att undervisningen bryter mönstret. En strategi kan vara att bistå med en undervisning som är varierad (Thoren, 2009). Utifrån den här aspekten kan läraren välja uppgifter som inte förekommer i läromedlet för en vidare kunskapsutveckling hos eleverna. Olsson & Olsson (2017) förklarar att det är upp till läraren att använda sig av strategier som kan bistå till ökad förståelse av innehållet hos eleverna. Det ingår i lärarens profession att planera en undervisning som kan hjälpa alla elever att utvecklas.

6.2.3 Läromedel och elever

Ett av skolans uppdrag är att utveckla eleverna kunskapsmässigt (Skolverket, 2019). Det eleven får möta blir avgörande för hens kommande lärtillfällen. En problematik inom lägesmåtten är att koppla begreppen till rätt matematiskt innehåll (Juter, 2013). Det är en komplex situation för det finns flera begrepp som är kopplade till medelvärde, typvärde och median som eleverna behöver ha kännedom om. Läromedlen beskriver lägesmått men det förekommer synonymer till medelvärde som genomsnitt och medellängd. Att skapa en förståelse om olika begrepps innebörd samt relationerna sinsemellan begreppen bidrar till utveckling. Om eleverna inte förstår begreppen blir de beroende av lärare eller sina klasskamrater