0
Kreativ matematik i årskurs 3
En laborative undervisningsmetod för att skapa ett inkluderande klassrum och en utvecklande lärsituation
Creative mathematic a laborative teaching method
Developing a constructive learningsituation and an inclusive classroom
Anna Rundqvist
Fakulteten för humaniora och samhällsvetenskap
Ämne/Utbildningsprogram:Examensarbete inom lärarprogrammet V0534 Nivå/Högskolepoäng: 15 hp
Handledare: Maria Kristina Börebäck Seminarieledare: Getahun Abraham Examinator: Ann-Britt Enochsson Datum: 2021.06.06
1
Abstract
This is a case study, where the working method, creative mathematics, was tried in purpose to test a hypothesis. The hypothesis is, if pupils were given an opportunity to concretize, elaborate and collaborate working with a mathematic problem they would develop their mathematic abstraction. The case focuses on pupils in grade three compulsory school. A lesson series, of three lessons, where the pupils worked with the mathematical problem, area, both concrete and abstract. The lessons were documented in a logbook, and the pupil experiences was documented by tests and surveys. The study has a constructivist approach based on Piaget’s and Vygotsky’s theories of learning. The result shows that all pupils
developed their understanding of mathematic both in an elaborative practice based way and as an abstract problem solving. Furthermore, the result indicates that when pupils make use and benefits by doing mathematical calculations, they also find abstract mathematical problems easier to understand. Finally, the result indicates that the creative mathematical teaching approach enables the pupils to do an appropriate self-assessment.
Keyword:
Creative mathematics, area, laboratory material, mathematics teaching, participation
2
Sammanfattning
Studien har en konstruktivistisk ansats baserad på Piagets och Vygotskijs teorier om lärande. Detta är en fallstudie där en laborativ arbetsmetod, kreativ matematik, provades i syfte att testa följande hypotes: Om elever ges möjlighet att konkretisera ett matematiskt problem genom att samarbeta och bearbeta problemet laborativt så utvecklas deras
matematiska abstraktionsförmåga. Fallet fokuserar på elever i grundskolans i årskurs 3, där en lektionsserie med tre lektioner utvecklades. Eleverna arbetade laborativt med det
matematiska problemet, area, både med konkret och abstrakt. Lektionerna
dokumenterades i en loggbok och elevernas erfarenheter samlades in genom tester och enkäter. Resultatet visar att alla elever fick en djupgående förståelse för hur area praktiskt kan beräknas i ett rutnät och de flesta fick en tydlig abstrakt för hur det matematiska problemet kunde lösas abstrakt. Vidare indikerar resultatet att när eleverna förstår vad de kan använda ”area” till så har de lättare att tillgodogöra sig matematiska formler. Resultatet pekar på att en kreativ matematisk undervisningsmetod skapar goda förutsättningar för att elever ska kunna göra en relevant egenvärdering av sina kunskaper.
Nyckelord:
Kreativ matematik, area, laborativt material, matematikundervisning, delaktighet
3
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 1
1.1 Syfte ... 2
1.1.1 Frågeställningar ... 2
2 Bakgrund ... 3
2.1 Läraren som pedagogisk ledare och våra styrdokument... 3
2.1 En laborativ undervisningspraktik - kreativ matematik ... 5
2.1.1 Vad händer när jag undervisar med kreativ undervisning. ... 8
2.1.2 Motivation till att lära sig ... 9
2.1.3 Kopplingen mellan lärande och undervisning utifrån Gibbons resonemang ... 10
3 Tidigare forskning ... 11
3.1 Svårigheter i matematik ... 11
3.2 Vikten av uppföljning och tydliggörande i undervisningen ... 14
3.2.1 Formativ och summativ bedömning ... 14
3.3 Lärandemiljöns betydelse för kommunikationen ...16
3.4 Möjligheten att motivera elever genom att koppla ihop teori och praktik i undervisningen ... 17
3.5 Strategier för inkludering ... 18
3.6 Kreativa resonemang kring matematikuppgifter ...19
4 Teoretiska utgångspunkter. ... 20
4.1 Jean Piagets teorier kring lärande och dess betydelse för undervisning ... 20
4.2 Vygotskijs teorier kring lärande och dess betydelse för undervisning ... 22
4.3 Möjligheter att förstå utbildning genom att kombinera Vygotskijs och Piagets teorier ... 23
5 Metod ... 26
4
5.1 Datainsamling tekniker ... 26
5.1.1 Loggbok ... 26
5.1.2 Diagnos och enkät ... 27
5.2 Urval ... 28
5.3 Förberedelse av ett fall – kreativ matematik ... 28
5.4 Tillvägagångssätt datainsamling ... 29
5.5 Analys ... 30
5.6 Validitet och reliabilitet ... 30
5.7 Etik ... 31
6 Resultat ... 33
6.1 Planering av fallet och genomförande av en lektionsserie i tre delar ... 33
6.1.1 Inledande lektion med diagnos och enkät ... 34
6.1.2 Lektion 1 ... 34
6.1.3 Lektion 2 ... 37
6.1.4 Lektion 3 ... 39
6.1.5 Avslutande lektion med en diagnos och enkät ... 40
6.2 Resultat av diagnoserna ... 40
6.3 Resultat av enkäterna... 44
7 Analys ... 49
7.1 Analys av inledande lektion ... 49
7.2 Analys av lektion 1 ... 49
7.3 Analys av lektion 2. ... 50
7.4 Analys av lektion 3 ... 51
7.5 Analys av avslutande lektion... 52
7.6 Analys diagnos och enkät ... 52
7.6.1 Analys av den första enkäten ... 53
5 7.6.2 En jämförelse mellan svaren från två olika diagnoser och enkättillfällen
53
7.7 Sammanfattning utifrån forskningsfrågorna ... 55
8 Diskussion ... 56
8.1 Metoddiskussion ... 58
9 Litteraturförteckning ... 60
Bilagor ... 63
Missivbrev ... 63
Samtycke ... 64
Samtycke till att delta i studien: ... 64
Diagnos ... 65
Enkät 67 Planering ... 71
1
1 Inledning
Matematik uppfattas ibland som abstrakt och därför som svårt att greppa vilket skapar problem för många elever. En studie visar att så många som 23 % av eleverna har matematikångest i högstadiet (Karlsson, 2019). Jag har alltid upplevt matematik som spännande, roligt och intressant och det är också den upplevelsen som jag som matematiklärare vill förmedla till mina elever. De elever jag möter när jag undervisar i årskurs 3, har olika förkunskaper och en stor variation i hur de förstår matematik.
Enligt läroplanen Lgr 11 (Skolverket, 2019) i Sverige ska alla elever få det stöd de behöver på deras kunskapsnivå. En stor variation i förståelse är en problematik som vi lärare behöver förhålla oss när vi planerar vår undervisning. Det är viktigt att hitta strategier för att utveckla undervisningen så att alla elever känner sig motiverade och inkluderade under lektionerna.
Det övergripande målet är skapa en lustfylld undervisning där fler elever upplever sig inkluderade och samtidigt utvecklar sin förståelse kring matematiken. I den
kvalitetsgranskande rapport, Löwing, Fredriksson och Färjsjö (2011) skrivit om en framgångsrik undervisning poängterar skolverket att lärare ska arbeta med särskilt stöd för de elever som behöver det och att inkludera alla elever genom att ha olika svårighetsgrad på de uppgifter som ges i klassen i möjligaste mån. Piaget delar upp den kognitiva utvecklingen i fyra stadier, där 8 – 12 åringar kan både resonera och tänka logiskt men tanken behöver först se det konkret (Wikare, Watsi, & Andersson, 1991; Halpenny & Pettersen, 2015) . Elever i åldern 8 - 9 år, det vill säga i årskurs 3, behöver enligt Piaget se det matematiska problemet konkret och praktiskt för att lösa det. För att utveckla sin matematiska förmåga så behöver eleverna också kunna förstå det om det matematiska problemet abstrakt. Vygotskij menar i sin teori att om eleven får samarbeta med någon som kan lösningen på problemet eller får vägledning i sitt lärande av en lärare kommer utvecklingen, den så kallade proximala utveckling zonen att gå snabbare än om eleven ska lära på egen hand (Selander, 2017). Därför är lärare i skolan viktiga genom att vara en goda lyssnare och som bidrar till ett gott
lärandeklimat runt eleverna där det råder en ömsesidig respekt (Selander, 2017).
Jag har länge arbetat utifrån Gibbons (2016) cirkelmodell som utgår från att alla elever oberoende förkunskaper och kognitiv förmåga ska kunna bli inkluderade i undervisningen. När jag studerade matematik på universitetet så blev jag
introducerad till arbetssätt som kallas för kreativ matematik. Arbetssättet, kreativ matematik, handlar om att konkretisera och att tillämpa matematik genom att eleverna får använda sina olika sinnen när de ska lösa ett matematiskt problem (Rystedt & Trygg, 2005). Ett sådant arbetssätt gynnar elevernas lust att lära menar Rystedt och Trygg (2005). Vikten av ett lustfyllt lärande knyter jag till resonemangen i Gibbons (2016) cirkelmodell.
2 Min hypotes är att om jag låter eleverna samarbeta och laborera och därmed tillämpa matematiken under lektionerna, så får de en inre bild av vad ett matematiskt problem innebär, och eleverna utvecklar sitt abstrakta tänkande inom matematik.
Delaktighet i denna studie innebär att alla elever ges förutsättningar att bidra till lösningarna när de arbetar tillsammans med matematiska problem. Detta skiljer delaktighet från inkludering, en elev är inkluderad enligt Lgr 11 (Skolverket, 2019) så länge eleven inte tas ut från klassen utan får undervisning tillsammans med de andra i klassen. Min förhoppning är att fler elever kommer att uppleva sig delaktiga i
undervisningen.
Jag har valt att belysa hur det matematiska problemet yta, area, kan behandlas utifrån ett kreativt matematiskt arbetssätt. Area är ett arbetsområde som elever jag mött tidigare från årskurs 3 har beskrivit som ett svårt område. Jag har därför valt att fokusera min studie på undervisning gällande detta moment.
1.1 Syfte
Syftet med studien är att beskriva vad som händer i ett klassrum där ett kreativt matematiskt arbetssätt prövas för att fler elever ska, bli engagerade i den
matematiska utbildningen och utveckla sin abstrakta matematiska förståelse.
1.1.1 Frågeställningar
Hur agerar och reagerar eleverna när ett kreativt matematiskt arbetssätt prövas?
Hur väl stämmer elevernas självbedömning med diagnosresultaten?
Hur förändras elevernas upplevelse eller självskattning av att arbeta interaktivt med andra elever under
matematiklektionerna?
3
2 Bakgrund
I den här delen av arbetet vill jag belysa vilka krav som vi lärare har att förhålla oss till, för att skapa en skola för alla och en inkluderande undervisning utifrån vårt uppdrag. Därefter kommer jag att presentera olika didaktiska aspekter som kan hjälpa mig, som lärare, att utveckla ett kreativt matematiskt arbetssätt där alla kan vara delaktiga och ett inkluderande klassrum.
2.1 Läraren som pedagogisk ledare och våra styrdokument
Det finns mycket vi kan göra i klassrummet som alla elever har nytta av, utan att individanpassa. Det är flera aspekter som påverkar vad som skapar god kvalité i undervisningen. Löwing, Fredriksson och Färjsjö (2011) framhåller vikten av att läraren ser varje elev i klassrummet det vill säga att alla elever får det som de behöver och att samt att lärare ska skapa förutsättningar för att utveckla en god relation med sina elever. Klimatet, det vill säga hur elever förhåller sig till varandra och läraren.
Klassrummet ska vara en trygg plats där eleverna kan utvecklas och lära av varandra.
Det är också viktigt att eleverna tillåts att göra fel utan att bli hånade, så eleverna vågar prova igen. Anpassningar i klassrummet bör ske så att eleven kan inkluderas på den kunskapsnivå den befinner sig och utifrån den aktuella läroplanen Lgr 11
(Skolverket, 2019). Om en elev har svårt för att nå målen så ska ansvaret aldrig läggas på eleven (Löwing, Fredriksson, & Färjsjö, 2011). Löwing, Fredriksson och Färjsjö (2011) förespråkar att eleverna skall vara delaktiga och reflektera kring sitt eget lärande, det vill säga att eleverna ska veta vad de ska lära sig under en lektion, hur de ska göra för att lära sig och varför de behöver lära sig just det momentet som är aktuellt. Detta kan bli möjligt genom att eleverna lär sig vilka strategier de kan använda för att utveckla sitt lärande och ta initiativ för att styra sin inlärning. Detta kallas att eleverna har ett självreglerande lärande (Löwing, Fredriksson, & Färjsjö, 2011).
Det finns en rad olika förmågor och kompetenser som enligt Löwing, Fredriksson och Färjsjö (2011) är väsentliga att behärska som samhällsmedborgare. Kompetenserna som Löwing, Fredriksson och Färjsjö (2011) nämner är kritisk tänkande,
problemlösning, egna resonemang, analys och tolkning av information är en del av de förmågor som eleverna behöver behärska. Lärare kan genom formativ undervisning ta stöd i forskningen och utveckla olika arbetssätt i undervisningen som kan göra skillnad för många elever. Summativ bedömning gör att lärare vet vad eleverna kan medan formativ bedömning gör att läraren kan utmana elevernas potentiella
utveckling som stöd kan läraren arbeta med diagnoser, samtal och observationer under tiden undervisningen bedrivs (Hirsh, 2018). På så sätt kan läraren utveckla en undervisning som blir meningsfull, effektiv och relevant för eleverna (Löwing,
4 Fredriksson, & Färjsjö, 2011). När läraren genom att studera elevernas arbete får en överblick vad eleverna kan, så finns det möjlighet att forma undervisningen så att alla elever kan inkluderas.
Undervisningen i skolan styrs av olika styrdokument som ska följas, exempel på detta är läroplanen Lgr 11 (Skolverket, 2019) och uppmaningar om att utvecklas genom ett forskningsbaserat arbetssätt framkommer i till exempel I Löwing, Fredriksson och Färjsjö (2011). I dessa dokument finns texter som stöttar läraren i undervisningen (Skolverket, 2019; Löwing, Fredriksson, & Färjsjö, 2011). Lgr 11 (Skolverket, 2019) lyfter i syftesdelen att undervisningen ska bidra till intresse för matematik och att eleverna ska känna tilltro till sin egen förmåga inom matematiken. Matematiken ska kopplas till en vardagsmiljö som eleverna känner igen sig i (Löwing, Fredriksson, &
Färjsjö, 2011). Lgr 11 pekar i syftesdelen på vilka förmågor eleverna ska utveckla under årskurserna 1 – 3, bland annat nämns att eleverna ska utveckla förmågor som att lösa problem genom att värdera strategier och metoder för att analysera, förstå begrepp och samband i matematiken. Eleverna ska kunna välja och använda olika matematiska metoder för att göra beräkningar och rutinuppgifter, föra och följa ett matematiskt resonemang och använda olika uttrycksformer inom matematiken för att samtala, argumentera och redogöra frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket, 2019). Skolan ska stimulera elevernas kreativitet, nyfikenhet och självförtroende, samt deras vilja att pröva och omsätta idéer i handlingar och lösa problem. Eleverna ska få möjlighet att ta initiativ och ansvar för sitt lärande samt utveckla sin förmåga att arbeta både självständigt och tillsammans med andra (Skolverket, 2019) Eleverna förväntas efter utbildning kunna:
[…] använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och vardagslivet, (Skolverket, 2019, s. 11)
[…] lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt och ansvarsfullt sätt (Skolverket, 2019, s. 12)
[…] svara för att eleverna får pröva olika arbetssätt och arbetsformer, utgå ifrån att eleverna kan och vill ta ett personligt ansvar för sin inlärning och för sitt arbete i skolan (Skolverket, 2019, s. 14) Citaten ovan pekar på att eleverna behöver delta i en undervisning där de måste prova på, utveckla sin sociala interaktion för att visa hur de förstår och vad de kan använda sina matematiska kunskaper (Skolverket, 2019). Detta stödjer ett behov för att som lärare utveckla en kreativ undervisning som fokuserar utbildningens
övergripande mål och värdegrund (Skolverket, 2019), vilket jag i denna studie kommer att pröva och testa.
5
2.1 En laborativ undervisningspraktik - kreativ matematik
I den ”vanliga undervisningen” förväntas jag som lärare ha en genomgång av momentet på tavlan och eleverna ska därefter jobba i matematikboken avseende momentet. Ibland finns diskussionsfrågor i boken där eleverna kan diskutera ämnet.
I utformningen av en kreativ matematikundervisning utgår jag från cirkelmodellen (Gibbons, 2016) när jag undervisar i området area. Skillnaden mellan den ”vanliga undervisningen” och cirkelmodellen är att eleverna blir mer delaktiga i sitt eget lärande. Den bygger på en undersökande process där jag som lärare handleder eleverna i deras lärande. I cirkelmodellen kan matematikboken också vara en del, men eleverna blir mer delaktiga. Det matematiska problemet modelleras och läraren och eleverna samarbetar i högre utsträckning. Cirkelmodellen går djupare in på momentet genom att laborera, begreppsuppfattning genom diskussioner, olika texter, filmer och andra kreativa moment. Läraren är den som leder undervisningen
tillsammans med eleverna för att lärandet ska ske. När eleverna är väl förberedda jobbar eleverna självständigt i matematikboken/diagnos och då de förväntas de ha skapat en konkret bild av det abstrakta momentet som är matematikboken/diagnos.
Den kreativa processen kopplas ofta till ämnen som slöjd och bild och i ett kreativt klassrum och lägger därmed inte så stor vikt på kunskaper i matematik. Alla ämnen kan ingå i en kreativ process där man begrundar lärandemålet och drar paralleller och omsätter kreativiteten i praktiken.
För att kunna vara kreativ, som handlar mycket om att gå sin egen väg, är det betydelsefullt att eleverna utvecklar självständighet i sitt lärande (Hoff, 2014). Den kreativa processen kräver självständighet. I en kreativ matematisk undervisning är det viktigt att eleverna inte blir tävlingsinriktade. Läraren behöver därför uppmuntra till samarbete i lärandet med hjälp av olika metoder. Detta blir möjligt genom att elever får möjlighet att konstruera uppgifter tillsammans, samarbeta och därmed förstå att vi har olika förmågor som kan komplettera varandra och bidra till ett lyckat resultat (Hoff, 2014). På så sätt skapas mindre konkurrens mellan eleverna menar Hoff (2014). Lekfullhet och humor kan vara en nyckel för att skapa ett tillåtande klassrum (Hoff, 2014) där var och en kan vara sig själv i klassrummet och uppleva en trygg atmosfär. Hoff (2014) pekar på att det är viktigt att eleverna vågar göra fel utan att bli utskrattade.
Ett argument för laborativa arbetssätt är att läraren kan locka fram ett ökat intresse för matematik, genom att skapa variation i undervisningen. Detta ger möjlighet till individualisering genom att läraren kan ge både extra stöd och utmaningar till genom att ge eleverna samma uppgift men med olika svårighetsgrad, menar Rystedt och Trygg (2005). Ett laborativt arbetssätt är enligt Rystedt och Trygg är enkelt att
6 tillämpa samt följer det läroplanen Lgr 11 (Skolverket, 2019). Det laborativa
arbetssättet förväntas skapa ökat intresse och kunnande för matematik samt en variation i undervisningen som vidgar synen på matematik. Avsikten är att eleverna ska upptäcka att matematik inte bara är siffror utan är både fascinerande och
spännande (Rystedt & Trygg, 2005). Det arbetssätt som utvecklar kreativiteten i ett klassrum, menar Hoff (2014), vilket bygger på en öppenhet mot varandra, ett samarbete i lärandet, uppmaningar och risker, uppmuntran till kreativitet från vuxna. Kreativ matematisk undervisning kräver flexibilitet i undervisningen och att läraren har kunskap om hur elevernas inflytande och självständighet i lärandet kan utvecklas (Hoff, 2014; Rystedt & Trygg, 2005). Det har betydelse att det finns en flexibilitet i undervisningsmetoden och strukturen i klassrummet för att på så sätt skapa möjlighet för läraren och med elever att stötta andra elever på deras nivå.
Läraren behöver uppmana eleverna att komma med nya idéer och samtidigt vara flexibel genom att vilja omförhandla regler om detta är nödvändigt. Detta för att eleverna ska kunna utföra deras idéer. För att minska på pressen för att prestera bland våra elever så kan vi behöva ”lära” dem att misslyckas med äran i behåll för att de ska våga prova igen (Hoff, 2014). De måste enligt Hoff (2014) våga ta risker och våga misslyckas. Självkänsla innebär att elever har en trygg plattform att stå på, och vet vad den kan och vad den ännu inte kan, menar Hattie (2014).
När elever klarar uppgifterna och blir framgångsrika i skolan har eleven ofta en hög självkänsla (Hattie & Yates, 2014). En stärkt självkänsla behöver däremot inte resultera i framgångar i skolan. Självförtroendet beror av elevens tro på sig själv och sin förmåga om den klarar av den uppgift den ställs inför.
Det finns sätt en lärare kan arbeta på som påverkar elevernas självförtroende (Hattie
& Yates, 2014). För att hjälpa elever som har kommit in i en ond cirkel behöver läraren visa att den tror på elevens förmåga. Genom att använda genomtänkta
formuleringar i kommunikationen med eleverna, som pekar på att eleven kommer att klara uppgiften, lyfter läraren att eleven har ett värde och att det är lönt för eleven att satsa, lyssna, söka, och ta emot hjälp menar Hattie (2014, s. 267). Avsikten är att få eleven att sakta men säkert inse att eleven kan lyckas. Hoff och Carlsson (2014) skriver att kreativa personer som har flyt och känner sig lyckliga är motiverade. De pekar på en studie gjord av Rasulzada och Dackert, 2009, vilken pekar på att man blir mer optimistisk, begeistrad och glad av kreativitet om man upplever ett flyt. Hoff och Carlsson (2014) menar att flyt innebär att eleverna arbetar på och inte upplever hindrande motstånd. Detta skapar glada känslor vilket i sin tur kan innebära att kreativiteten avtar eftersom vi blir för bekväma, det vill säga antar att det är
självklart enkelt. Negativa känslor kan däremot få provocerande effekt och om de inte är för betungande kan de få eleven att ta tag i problemet och hitta nya lösningar (Hoff
& Carlsson, 2014).
7 Läraren behöver förbereda undervisningen så att det finns uppgifter som är på rätt nivå för varje elev (Hattie & Yates, 2014). Detta innebär att vi, som lärare, måste förhålla oss till elevernas kognitiva stadium enligt Piaget i Wikström (2013). För att göra detta så behöver läraren veta vilka förkunskaper eleverna har i klassrummet (Hattie & Yates, 2014). Eleverna behöver också förstå vilka lärandemål en uppgift omfattar för att de ska kunna utvärdera om de uppnått kunskapsmålet (Hoff, 2014).
När eleverna får beröm är det viktigt att det är för deras ansträngningar och inte deras förmåga. Detta för att inte sänka elevens självkänsla (Hattie & Yates, 2014). Det är viktigt att läraren ofta ger återkoppling till eleverna och tid för dem att korrigera tidigare misstag. Läraren och eleverna behöver ha en god relation vilket ger läraren förutsättning att ge återkoppling utifrån olika infallsvinklar. En god relation innebär att läraren vet något om vad eleven gör också på sin fritid och därför kan ge
återkoppling som kan relateras till hemmet eller någon fritidsaktivitet (Hattie &
Yates, 2014).
Det laborativa materialet, i kreativ matematik, kan vara vardagliga föremål som finns i vardagen, arbetslivet eller i naturen menar Rystedt och Trygg (2005). Det är inte endast materialet, utan det måste finnas en tanke och plan från läraren genom att leda laborationen, aktiviteten och ställa ledande frågor till eleverna. För att skapa en diskussion som ger sambandet mellan det material och det läraren vill att eleverna ska lära sig, menar Rystedt och Trygg (2005). När eleven säger att den inte duger ska läraren fokusera på varför inte eleven lyckats, menar Hattie (2014), orsaken kan till exempel varit att eleven varit sjuk, inte lyssnat, tagit på sig en för svår uppgift för snabbt eller missat att ta emot återkoppling. Läraren måste därför alltid betona att eleverna inte ska jämföra sina uppgifter eller resultaten med varandra (Hattie &
Yates, 2014, ss. 267 - 269). Vi, som lärare, kan därmed hjälpa de elever som inte uppnått målen att komma rätt i sitt lärande. Sättet läraren ger återkoppling till sina elever är en viktig länk mellan lärandet och elevens självkänsla. Det är enligt Rystedt och Trygg (2005), viktigt att det förs en diskussion mellan lärare och eleverna där eleverna får utrymme att diskutera med varandra om det som eleverna ska lära sig, samt att ge eleverna tid för att få prova olika lösningar. Ett laborativt
undervisningsmaterial ger en innebörd som kan underlätta för lärandet genom att läraren relaterar syftet med uppgiften och material som används till lärandemålen (Rystedt & Trygg, 2005; Hoff, 2014; Hattie & Yates, 2014).
En kreativ matematisk undervisning innebär enligt Rystedt och Trygg (2005) samt Löwing, Fredriksson och Färjsjö (2011) att eleverna får se, höra, prova olika
lösningar, diskutera och samarbeta med ett material som ger ett sammanhang åt termer och begrepp åt matematiken. De material, hjälpmedel vi, som lärare, använder för att eleverna ska lösa matematiska problem vi ger dem, behöver materialet ha en klar koppling till elevernas vardag och vad de ska lära sig. Det är
8 viktigt att eleverna ska komma ihåg att när de räknar till exempel area på en
rektangel så ska de se hur area kan gestaltas konkret. Därmed kan de mäta, diskutera och räkna ut arean på till exempel det rektangulära bordet i klassrummet (Löwing, Fredriksson, & Färjsjö, 2011). Nyfikenhet och vilja att lära sig nya saker finns hos alla elever, lärarens uppdrag innebär att väcka eller bevara den glädje eleverna känner inför ett lärande (2014a). Ett laborativt undervisningsmaterial lockar fram nyfikenhet och kreativitet samt främjar språkutvecklingen då det uppmuntrar eleverna att
resonera kring deras arbete och sätta ord på det de lär sig (Rystedt & Trygg, 2005).
De laborativa aktiviteterna innebära att det konkreta och det abstrakta speglas i varandra och eleverna kan förstå det abstrakta när de relaterar till det konkreta (Rystedt & Trygg, 2005). Denna undervisningsstrategi innebär att kreativitet uttrycks som metoder eller lärandetekniker som godkänts av eleven (Rystedt & Trygg, 2005).
2.1.1 Vad händer när jag undervisar med kreativ undervisning.
I följande stycke kommer jag att beskriva kreativ undervisning genom att knyta samman Hoff (2014b) resonemang kring varför kreativitet är viktigt för att förstå lärande och kunskapsutveckling och Jerkebys (2020) resonemang kring motivation.
Människan använder sin kreativitet för att utvecklas och skapa förbättringar och kan beskrivas som förmågan att skapa en idé, eller produkt. Jerkeby (2020, s. 40) skriver att ”det vi gör i praktiken kan ses som uttryck för en teoretisk förståelse som vi inte ens är medvetna om – man talar då om en praxis.”1 Jerkeby menar är att genom ett kreativt arbete kan eleverna förstå det abstrakta. Men att eleverna inte reflekterar över att förståelsen kommer från det kreativa arbetet. Detta kallar han en praxis. I undervisningen behöver läraren börja lektionen med att bygga upp kunskap, fakta, intryck som bestämmer problemet (Hoff, 2014a). Vidare i undervisningen behöver eleverna enligt Hoff (2014b)en paus för att mentalt gå igenom uppgiften de fått.
Under den tiden ska lärare diskutera med eleverna om hur och vad de tänker, läraren kan också ge små korta återkopplingar till ämnet (Hoff, 2014b). Jerkeby (2020) tycker här att läraren ska modellera det vill säga läraren visar på tavlan eller på annat sätt hur de ska ta sig an uppgiften för att lösa den. Som lärare behöver vi då erbjuda mycket förberedande kunskap till eleverna som texter om aktuellt ämne, film och diskussioner och genomgång så de är väl förberedda för att ta nästa steg. Jerkeby (2020) tycker att läraren behöver väcka intresse och presentera det som eleverna ska förstå. Läraren behöver presentera ett intressant upplägg för att eleverna ska behålla fokus och koncentrationen. Eleverna får inblick, bygger strategier, drar slutsatser om problemet enligt Hoff (2014b) Läraren bekräftar och återkopplar till eleverna så att
1 I originaltexten är den kursiva texten satt innanför citationstecken, jag valde att kursivera den för att inga missförstånd skulle uppkomma kring vad som är citat.
9 de inte missuppfattar och för att leda dem på rätt spår (Hoff, 2014b). Eleverna får sedan själva utförandet av problemet till ett färdigt resultat. Här kan läraren vara ett bollplank och stötta (Hoff, 2014b). Samtalet som läraren har med eleverna menar Jerkeby (2020) är en lärandesituation. Lärandet är det som läraren gör tillgängligt för eleverna genom undervisningen och samtalet. Läraren använder läromedel och laborationer som underlag till kommunikationen (Hoff, 2014b) Jerkeby (2020) menar att elever tillsammans med läraren arbetar fram förståelsen hos eleverna.
I den planerade lektionsserien utgår jag från både Jerkeby och Hoff för att fånga elevernas intresse och motivera dem så att de ska få den kunskap som behövs för att förstå det matematiska problemet area.
2.1.2 Motivation till att lära sig
Gärdenfors (2010) skriver att hjärnforskningen visar att det som är viktigaste för att lära sig läsa och räkna är elevernas känslor och deras motivation. Detta vill säga att det är inte bara kunskap utan också förmågan att värdera kunskapens konsekvens som är viktig för vilket lärande som blir möjligt. En elev som får många fel och tillsägelser, skapar en minskad känsla av att kunna kontrollera sitt lärande och då minskar motivationen. När en lärare är engagerad och visar att den tycker att kunskapen är intressant och viktig, får det också eleverna att känna detta. Omvänt blir att eleverna inte blir intresserade och tycker att kunskapen inte är viktig om inte läraren förmedlar detta (Gärdenfors, 2010).
Hjärnforskarna har även visat en något ökad nivå av stresshormoner ökar också minnesförmågan. Detta gäller både negativ och positiv stress. Människor som är engagerade, får en ökad minnesförmåga. När människan är på ett glatt humör ökar uppmärksamhet och leder till att man kommer ihåg mer positiva och komplexa saker som i sin tur leder till att man kan se fler samband. På så sätt ökar kreativiteten (Gärdenfors, 2010).
Möjligheten att kontrollera sina handlingar är en av det viktigaste sociala förmågor ett barn behöver tillägna sig (Gärdenfors, 2010). I en skola som är traditionell är en sådan kontroll av beteende nödvändig för ett framgångsrikt lärande. Förmågan behövs till exempel för att kunna styra uppmärksamheten och inte bli distraherad.
Det skolan behöver göra är att höja den inre motivationen hos eleverna. Den inre motivationen kan också förstås som att vilja lära sig (Gärdenfors, 2010).
Den inre motivationen har enligt Gärdenfors (2010) tre drivkrafter. Den första är nyfikenheten som vi har redan från födseln. Elever undersöker nya föremål för att de är nyfikna. Undersökandet kombineras med imitation, när barnet ser vuxna använda det nya föremålet försöker de göra på samma sätt. Elevers nyfikenhet är lekfull.
Vidare så är kompetens en del i den inre motivationens drivkraft. Viljan av att klara
10 saker, barnet känner glädje när de presterar i skolan och på fritiden. När eleven får ta initiativ och får utveckla olika lösningar till uppgifter med stöd av de vuxna känner de sig självständiga. Det är viktigt att vuxna ger feedback när barnen presterar. Den sista drivkraften till inre motivation är ömsesidighet. Människor tycker om att jobba mot ett mål tillsammans. Eleven blir känner sig delaktig i en uppgift som de kan tillföra gruppen något som de inte kan vara utan. Det kan även vara tråkiga, jobbiga
uppgifter som blir lättare att utföra om barnet jobbar tillsammans med någon kamrat. Samarbete ger även positiva känslor för att barnet ingår i ett socialt sammanhang (Gärdenfors, 2010) .
2.1.3 Kopplingen mellan lärande och undervisning utifrån Gibbons resonemang
Gibbons (2016) skriver om ett sätt att undervisa som hon kallar för
språkförberedande arbetssätt. Detta utgår från elever som är flerspråkiga men hon skriver att modellen med fördel kan användas för undervisning av alla elever oberoende språkvariationer. Gibbons (2016) menar att det som gynnar de
flerspråkiga eleverna också gynnar de andra eleverna i klassrummet. Cirkelmodellen som är baserad utefter Vygotskij syn på lärande är en modell som vägleder eleverna till målet av undervisningen med hjälp av återkoppling av läraren och samarbete med både kamrater och lärare. Det är då läraren utmanar eleven i den proximala
utvecklingszonen (Strandberg, 2006). Den proximala utvecklingszonen är när eleven utmanas utifrån sina förutsättningar. Utmaningen får inte bli för svår utan måste följa den kunskap eller den praktik som eleven redan behärskar. Detta uttrycker Vygotskij som att läraren utmanar eleverna i deras proximala utvecklingszon (Strandberg, 2006). Modellen går ut på att läraren ska ge tillgång till undervisning samt olika sätt som till exempel kreativa aktiviteter som eleverna kan öva upp sin kunskap. Detta sker genom samarbete tillsammans med kamrater och med läraren som vägledare mot lärandet. Läraren visar därför eleverna hur de ska gå tillväga och hur de ska tänka när de löser problemet. Målet är att de ska klara av att arbeta abstrakt vid sista delen som de får visa vad de lärt sig (Gibbons, 2016).
Cirkelmodellen som Gibbons (2016) beskriver har fyra steg, i undervisningen, vilket jag kommer att använda mig av i min lektionsserie. Första steget är att läraren ska bygga upp fakta och kunskap. Det är också nu som läraren tar reda på vad eleverna kan genom formativ bedömning. Andra steget modellerar läraren det vill säga att läraren visar exempel på det lärandemål som ska läras in. Här kan läraren visa film, konkreta exempel, texter eller annat som passar. Läraren presenterar syftet till det momentet eleverna ska lära sig, sätter in begrepp i ett sammanhang och den språkliga strukturen de ska använda sig av. Steg 3 är en gemensam konstruktion.
Tillsammans konstrueras och processar läraren och elever fram en lösning genom att samtala om speciella särdrag och innehåll. Här förstärker vi elevens förståelse för det
11 abstrakta genom att visa det konkret. Läraren genomför arbetet i ämnet tillsammans med eleverna, använder begrepp som de lärt sig för att befästa dem. Läraren ger återkoppling till det de lärt sig för att påminna eleverna om vad de arbetar med. Steg 4 i cirkelmodellen ska eleverna konstruera själva och jobba abstrakt för att befästa sina kunskaper. Här stöttar läraren de elever som behöver hjälp och återkopplar till det de har lärt sig (Gibbons, 2016, ss. 128 - 139).
Gibbons (2016) menar att läraren kan använda sig av de fyra stegen i stort sett inom alla ämnen i skolan, för att nå alla elever och elever med annat modersmål, elever med olika funktionshinder eller läs och skrivproblematik specifikt (2016). Läraren måste vinkla och lägga upp undervisningen utifrån vad den aktuella elevgruppen behöver. I modellen betonas att läraren måste ge tid till eleverna och inte stressa igenom stegen. Gibbons (2016) ger flera övningar som gynnar eleverna i uppfattning om begrepp i matematiken och dess språkanvändning. Den här modellen passar alla ämnen i skolan (Gibbons, 2016).
3 Tidigare forskning
Den forskning som presenteras nedan är ofta inriktad på elever i högstadiet eller gymnasiet, trots detta är resonemangen relevanta för denna studie då de tar upp problematiken kring matematikens abstraktion och behovet av att konkretisera matematiska uppgifter så att eleverna skall lyckas. Det är också av de äldre elevernas problematik som vi lärare i lågstadiet och mellanstadiet ska försöka stävja så
problemen minskar för äldre elever.
Eleverna är visserligen äldre men problematiken som troligen växt över tid finns också bland eleverna i årskurs 3.
3.1 Svårigheter i matematik
Ingmar Karlsson (2019) har gjort en intervjustudie som fokuserar på hur utbrett det är med svårigheter i matematik bland elever på högstadiet. Karlsson (2019) skriver att matematikångest är en orsak till att många har svårigheter i matematik. Eleverna som Karlsson (2019) intervjuat är 32 stycken som fått betyg F i matematik. Av dessa elever har 23 % matematikångest och då är det främst vid prov de känner oro, men även under lektionstid. De känner sig stressade, oroliga, får panik, och får svårt att koncentrera sig. En elev uttrycker sig att hen får ”hjärnsläpp”. I Karlssons (2019) studie visar det att över 60 % av eleverna beskriver att det är stökiga klassrum, de hör inte vad läraren säger och har svårt att koncentrera sig i oväsendet. Det är 59 % av eleverna som beskriver att de haft täta lärarbyten, lärarna hinner inte få relationer
12 med eleverna, lärarna lär ut på olika sätt och det blir då ingen röd tråd i undervisning för eleverna. Eleverna blir osäkra när de inte vet vad som förväntas av dem, och hur den nya läraren vill ha det. I studien Karlsson (2019) har gjort är det flera elever som säger att de har haft stor frånvaro på grund av att de inte trivs eller tycker att de inte ser någon mening med att lära sig matematik. Brist på intresse och engagemang är något de också tar upp då eleverna tycker att matematiken är tråkig Det var 8 % tycker att matematik är svårt. Eleverna berättar att det är olika moment som är svårt, en del tycker det mesta är svårt, har kunskapsluckor, undervisningen går för fort fram och de hinner inte befästa kunskapen. Elev med annat modersmål uttrycker att de inte förstår lärarens språk i matematiken.
Karlsson (2019) har också intervjuat lärarna som undervisat eleverna som var med i intervjun. Deras svar på varför eleverna inte presterar bättre är matematikångest, dåliga förkunskaper, motivation, Neuropsykologiska diagnoser samt sjukdom och depressioner, socioekonomisk bakgrund, täta lärarbyten och relationsproblem, låg arbetsinsats, brister i språket och elever som inte har någon skolbakgrund från sitt hemland.
I analysen av intervjuerna har Karlsson (2019) använt sig av det teoretiska systemet och fokuserat på tre områden: eleven, omgivningen och matematiken. Dessa ingår i det lärande landskapet som ger innebörd till de tre områden Karlsson (2019) pratar om. Området står för elevens identitetsskapande och elevernas egna mål.
Omgivningen står för samspelet i klassrummet, metoder för lärande, lärandet som en social process, lärarens perspektiv, kamratrelationer och föräldramedverkan.
Matematiken står för undervisningens innehåll, metoder för lärandet och lärandet som en social process. När Karlsson (2019) delar in intervjusvaren från elevernas svar visar sig endast 7 % hamna i matematikens svårigheter, 50 % handlar om
omgivningen runt eleverna och 47 % handlar om eleven själv.
Intervjusvaren från lärarna visar att ingen av lärarna tycker problemet beror på matematiken eller undervisnings utformning, istället har lärarna utgått från
individernas prestationer där de lägger det största problemet på elevernas kognitiva förmågor och motivation för att lära (Karlsson, 2019). Karlsson menar att det finns en stor skillnad mellan elevernas och lärarnas förståelse av problemet att det inte går att peka ut en enskild orsak utan att dessa olika fält alltid samverkar med varandra.
Innebörden av Karlssons (2019) studie är att det är brister i matematik-
undervisningen som är den faktor som påverkar det stora antalet elever som inte blir godkända i matematiken.
Karlsson (2019) menar att hela undervisningen som helhet behöver förändras. Detta kan ske med att tillämpa former som muntliga arbetsformer och även alternativa former där färdighetsträningen står i fokus. Genom en formativ bedömning genom
13 muntlig och kreativa matematikproblem (2019). Enligt Hirsh (2018) är det viktigt att göra en formativ bedömning före ett moment så läraren vet på vilken nivå eleverna befinner sig och kan repetera de förkunskaper som eleverna eventuellt behöver kunna. Karlsson (2019) menar att detta kan påverka elevernas möjlighet att öka sitt matematiska självförtroende. Ett laborativt undervisningsmaterial ger en innebörd som kan underlätta för lärandet genom att läraren relaterar syftet med uppgiften och material som används till lärandemålen (Rystedt & Trygg, 2005; Hoff, 2014; Hattie &
Yates, 2014). Gärdenfors (2010) skriver att när en elev får många fel samt tillsägelser skapar detta en minskad känsla att kontrollera sitt lärande och då minskar
motivationen. Åtgärder som behöver göras, är enligt Karlsson (2019) är att
genomföra ett interventionsprogram där lågpresterande elever får möjlighet att sitta med i en liten grupp, men ska det bli effekt på undervisningen måste metodiken ändras. Detta kan bekräftas av hjärnforskningen som påvisat att det viktigaste för eleverna är deras känslor och deras motivation för att lyckas i sitt lärande. Den inre motivationen är att vara nyfiken, att ha en drivkraft att vilja lära sig, vilja lyckas och ta initiativ till olika lösningar samt ömsesidighet genom att arbeta mot ett mål tillsammans med andra (2010). Inom forskningen om matematikångest skriver Carey, Hill, Devine och Szücs (2016) att det pekar på att elever som har presterat sämre i matematik, har större chans att få matematikångest. Det finns också indikationer på att ångest försämrar chanserna att prestera bra i matematik, då ångesten gör så att arbetsminnet försämras då det finns många påtvingade tankat hos eleven. Forskning visar att positiva känslor ökar lärandet, genom att uthålligheten och den kognitiva förmågan ökar. De elever som upplever negativa känslor, inklusive ångest får då motsatt effekt (2016). Åtgärder mot matematikångest får eleverna genom att få uppmuntran och belöningar. Eleverna behöver få uppgifter som är utformade så de inte hamnar i att en fråga som handlar om rätt eller fel för att lyckas.
Matematiken, behöver undervisas med humor och entusiasm, välkomna elevernas frågor och uppmärksamma om eleverna behöver mer betänketid (Karlsson, 2019;
Hoff, 2014). Detta är några av de åtgärder som kan hjälpa eleven at ta sig ur sin matematikångest, men det tar tid och skolan behöver under lång tid ha uppsyn över elevernas tilltro till sig själv. En lektion ska vara väl planerad och strukturerad med omväxlande arbetsuppgifter, med hjälp av detta kan ett långt arbetspass öka
arbetsron i klassrummet (Karlsson, 2019). Genom att läraren utvärderar sin undervisning kontra elevernas engagemang kan läraren se vilket arbetssätt som fungerar i klassen och det blir en lugnare tillvaro i rummet. Karlsson (2019) skriver att matematik inte bara är tal och symboler utan även att hantera sitt liv och fälla goda omdöme. Det matematiska kunnandet ger också en möjlighet att förstå och förhålla sig till både samhälle och natur. Detta glöms ofta bort i praktiska
matematiska verkligheten. Enligt eleverna är det lärarens kompetens att öka
elevernas lust att lära som är den viktigaste faktorn (2019). Gärdenfors (2010) menar
14 att läraren behöver vara engagerade och visa att kunskap är viktig, då kan de få
eleverna att känna sig intresserade inför skolarbetet.
3.2 Vikten av uppföljning och tydliggörande i undervisningen
För att lyckas i matematik enligt Bentley och Bentley (2016) behövs en god
undervisning samt att läraren känner till fallgropar som eleverna ibland hamnar i.
Missuppfattning hos eleverna måste genast korrigeras, då det ligger som grund i nästa moment eleverna ska lära sig. Utan korrigering blir det då svårt att förstå nästa moment som bygger på det som eleven har missuppfattat. Uppföljningen av
missuppfattningar görs ofta av att eleverna genom extra träning på samma problemområde, då de befäster sin felaktiga kunskap istället för att korrigeras.
Författaren betonar att korrigeringen genast måste sättas till (Bentley & Bentley, 2016).
Om förståelsen inte faller på plats eller om eleven har missuppfattat ett moment finns det anledning, enligt Bentley och Bentley (2016), att dra i nödbromsen. I
matematiken är det viktigt att eleverna har med sig alla moment då
matematematiken bygger på det. Man kan likna momenten som tegelstenar som ska bli en mur, fattas tegelstenar i muren så rasar den till slut. Detta innebär att om en elev till exempel inte har förstått positionssystemet blir det svårt att senare ställa upp en algoritm. Då ental och tiotal behöver komma på rätt plats i algoritmen, alltså under varandra. Då matematiken bygger på de kunskaperna som du redan har lärt dig är det viktigt att vi som lärare hittar eventuella luckor som eleverna har för att korrigera dem och sedan gå vidare (Bentley & Bentley, 2016). Bentley och Bentleys (2016) åsikt förstärks av Löwing (2017) som beskriver syftesdelen i Lgr 11 som ett nav i matematiken, eleverna ska behärska förmågorna i ämnesinnehållet med hjälp av undervisningen. Hon menar att vi inte kan förvänta oss att eleverna ska kunna till exempel area om de inte förstår hur man räknar ut multiplikation (Löwing, 2017).
När en lärare ska genomföra undervisning i area kan läraren med fördel göra en formativ bedömning. Lärarens medvetenhet kan då ge kunskaper och forma undervisningen efter var eleverna befinner sig (Löwing, 2017). Läraren behöver arbeta på ett sådant sätt som gör det möjligt för eleverna att utvecklas från sin kunskapsnivå, genom formativ bedömning tydliggör läraren detta för eleven och eleven får uppfattning om sitt lärandemål (Hirsh, 2018).
3.2.1 Formativ och summativ bedömning
Summativ bedömning är en slutlig bedömning av elevernas kunskaper genom prov och diagnoser, vilket är en bedömning enligt givna kriterier, ett betyg (Hirsh, 2018;
Wikström, 2013). Formativ bedömning handlar om att undersöka vad eleverna kan/vad de just nu gör och hur det de gör kan utvecklas genom att jag som lärare
15 beskriver vad och varför det de gör är bra (Hattie & Yates, 2014; Hirsh, 2018). Vidare handlar formativ bedömning om att återkoppla till eleven för att leda dem framåt i deras utveckling (Hattie & Yates, 2014).
Formativ undervisning fokuserar på följder som uppkommer när olika
undervisningsmetoder används och hur lärandet i klassrummet kan synliggöras genom återkoppling, kamratrespons och självbedömning (Hirsh, 2018) samt att skapa ett tillåtande och elevaktiva klassrum (Hirsh, 2018). Genom att humor och lekfullhet kan vi skapa ett tillåtande klassrum, där eleverna kan känna sig trygga. Det är viktigt att eleverna känner att de vågar göra fel Hoff (2014).
Undervisningen analyseras så att den anpassas efter elevers olika kunskaper, vilket gör det möjligt att fokusera både på de elever som nått långt och de som ännu har en bit kvar för att nå kunskapsmålen (Hirsh, 2018). Justering av lektion genom
formativt arbete kan därför knytas till idén om kreativa processer och undervisning.
Enligt Hirsh (2018) behöver vi som lärare diskutera hur läraren kan forma undervisningen genom summativ bedömning, läraren får kunskap om elevernas lärande. Hirsh (2018) menar att vi måste sätta den formativ undervisning främst där läraren kan analysera, synliggöra och forma undervisningen. Det finns skäl att
utforska förhållningsätten, där konkreta synsätt av undervisningen och elevers resultat granskas för att eleverna ska utveckla sina möjligheter till lärandet. I
formativ undervisning finns det fyra pusselbitar, vilka enligt Hirsh (2018) är: lärarens kunskaper, lärarens erfarenheter, lärarens observationer och lärarens bedömningar.
Hirsch (2018) menar att dessa fyra pusselbitar alltid måste jämföras mot elevens upplevelser, erfarenheter och resultat. Den utforskande förhållningsätten är för att läraren ska kunna utveckla sin undervisning optimalt. Detta innebär att som lärare behöver tydliggöra och synliggöra teori, terminologi och metod samt kollaborativ analys och cykliska processer i planeringen av undervisningen (Hirsh, 2018).
Hodgen och Wiliam (2006) beskriver elevers inlärning och undervisning.
Undervisningen behöver planeras efter formativ bedömning som läraren gör för att veta på vilken kunskapsnivå eleverna befinner sig på. Det första läraren behöver tänka på är att eleven måste börja där eleven befinner sig. För att sedan fortsätta sin inlärning behöver eleven få bygga vidare på sina matematiska kunskaper. Läraren behöver lyssna noga och vara intresserad av vad eleverna har att säga, ställa frågor och uppmuntra dem. Prata igenom med eleven vad som behöver korrigeras. Då tillgodoser läraren inlärningsbehoven men visar också att eleven behöver vara aktiv i processen (Hodgen & Wiliam, 2006).
När eleverna diskuterar matematik i helklass eller i smågrupper är det viktigt att läraren är aktiv och ser till att alla blir delaktiga genom att ställa frågor. Eleverna
16 tränar då på matematikens språk och på matematiska begrepp (Hodgen & Wiliam, 2006).
Hodgen och Wiliams (2013) förespråkar att eleverna vet vilket mål de har och vilket syfte inlärningen de har. När de förstår syftet och målet så kan eleven styra över sitt eget lärande i rätt riktning. Självbedömningen är viktig i lärandeprocessen då den gynnar ett aktivt engagemang, övning att bedöma sitt och andra elevers arbete (Hodgen & Wiliam, 2006).
Återkoppling ger läraren till eleverna för de ska ta sig vidare i sin utveckling, både positivt och det som behöver korrigeras. Men läraren ska bara ge återkoppling på arbetet inte på personen. Ger läraren kritik mot eleven som person kan läraren sänka elevens självkänsla och eleven kommer då inte vidare i arbetet (Hodgen & Wiliam, 2006).
3.3 Lärandemiljöns betydelse för kommunikationen
Löwings (2004) studie som handlar om lärare kommunicerar med eleverna för att stödja dem i sitt lärande samt vilka villkor olika lärande sätter för denna
kommunikation. I deras undervisning som Löwing (2004) observerade fanns olika brister fast lärarna gjorde den undervisning som de trodde förväntades av dem. Ur ett socialt perspektiv lyckades de bra men mindre bra med att förmedla innehållet i matematiken. Löwing (2004) beskriver undervisningen i matematik som en mycket komplex aktivitet där teoretisk och praktisk kunskap ska sammanfogas. Detta sker ofta under stressiga förhållanden där många elever behöver hjälp, samtidigt som ordningen ska bevaras i klassrummet. Trender i den pedagogiska diskussionen som att till exempel att eleverna själva ska söka kunskapen som har bidragit till att det är
”dåligt att undervisa”. I läroplanen kan vi enligt Löwing (2004) läsa att ämnet ska avse att elevernas intresse för matematiskt språk och uttryck och att upptäcka estetisk värden samt uppleva tillfredställelse och glädje. Elevernas
matematikundervisning ska vara utmanande. Detta överensstämde inte vad Löwing (2004) observerade i klassrummet. De duktiga eleverna fick inte någon utmaning, de svaga och tysta eleverna fick ingen hjälp.
De laborativa inslag som gjordes i klasserna blev bra i planering och genomförande men läraren var inte nog skicklig med kommunikationen med eleverna för att dra paralleller mellan det konkreta och teoretiska i ämnet. Löwing (2004) kommer fram till i sin studie att läraren måste ha en struktur på innehållet i sin utbildning med tydliga mål, för att sedan kunna planera sina lektioner på ett tillfredställande sätt.
Läraren måste veta var eleverna befinner sig i sitt lärande för att sätta upp mål, samt ha en god didaktisk utbildning för att kunna anpassa sin planering till alla elevers
17 förmågor. Men även att kommunicera och presentera olika moment för elever med olika förmågor.
3.4 Möjligheten att motivera elever genom att koppla ihop teori och praktik i undervisningen
Muhrman (2016) lyfter i sitt resultat att undervisningen i matematik behöver
relateras till yrkeslivet, då arbetsgivarna på marknaden kräver detta. Detta visar hur viktigt det är att elever förstår nyttan med att lära sig matematik. Studien visar att det är viktigt att som lärare presentera relevansen och på vilka sätt matematik är
användbar i elevernas arbets- och vardagsliv (Muhrman, 2016). Muhrman (2016) studie baseras på intervjuer med yrkesverksamma lantbrukare, yrkeslärare inom naturbruksämnen, matematiklärare samt elever som läser lantbruks- eller djur- inriktning på naturbruksprogrammet.
Metoderna för undervisning i skolan, menar Muhrman (2016), är ensidig och variationen undermålig. Den vanligaste metoden är genomgång på tavlan och att eleverna lämnas att arbeta i sin lärobok. Problemet med detta är att eleverna inte får en djupare förståelse och att de tappar intresset för ämnet när de inte förstår vad det ska använda sin kunskap till (Muhrman, 2016). Muhrman (2016) skriver att
skolinspektionen påpekat att undervisningen är ”för” teoretisk och saknar koppling till praktiken, det vill säga arbetslivet. Matematiken behöver bli kopplad till det som den ska användas till för att eleverna ska förstå matematiken och se sambandet till verkligheten (Muhrman, 2016).
Muhrmans studie som pekar på brister i undervisningen Skolverkets satsning på matematik 2007 där olika skolor fick bidrag. Löwing, Fredriksson och Färjsjö (2011) skriver i sin rapport där de utvärderar de skolor som fick bidrag till att förbättra sin matematikundervisning. I rapporten som utvärderar utfall och effekter av projektet lyfts flera olika arbetsformer för laborativ matematik och konkretiserande
undervisning samt matematikverkstäder. Syftet var att studera om det skett kvalitetshöjning av undervisningen samt högre måluppfyllelse inom ramen för matematiksatsningen och de medel som beviljats grundskolan åk 1-9 (Löwing, Fredriksson, & Färjsjö, 2011).
Det Löwing, Fredriksson och Färjsjö (2011) bland annat kommer fram till är att det konkretiserande material lärarna använder inte leder till framsteg av sig själv.
Läraren måste påvisa sambandet mellan det konkretiserande materialet till det abstrakta och leda eleverna med en god didaktisk undervisning. Arbetet med materialet måste ge eleverna en didaktisk struktur så att den leder till önskad abstraktion (2011).
18 Löwings, Fredrikssons och Färjsjös (2011) resultat av den undervisning som
observerades samt intervjuerna var att lektioner med konkretiserande undervisning gjorde eleverna engagerande och intresserade av det de gjorde. Det var lektioner som var väl organiserade, men vid analysen var det ändå inte optimalt när eleverna inte fick reda på varför de gjorde det konkreta. Det som saknades var tydliga mål och didaktiska kunskaper som gör det möjligt att nå målen (2011).
De framgångsrika lektionerna hade följande med i undervisningen enligt Löwing, Fredriksson och Färjsjö (2011). Med hjälp av att eleverna fick göra en diagnos visste läraren vad elevernas hade för förkunskaper. Då kunde läraren lägga upp
undervisning så alla elever blev inkluderade i undervisningen. Lärarna hade
fördjupat sig i didaktiska ämneskunskaper samt att de då hade en klar vision av det som eleverna skulle lära sig (abstrahera). Läraren kunde då se matematikens roll i elevernas inlärning. De material som läraren introducerades gav sammanhang åt termer och begrepp samt att lektionen hade tydliga mål för lektionen och för en långsiktig planering. Med hjälp av detta vågade lärarna ha höga förväntningar på eleverna och utmanade dem (2011).
När lärarna undervisade utifrån ovanstående resonemang så konkretiseras
kunskapsinnehållet och lärarna kunde skapa tid och utrymme för eleverna att förstå.
Vidare kan lärarna följa upp nya idéer, upptäcka missuppfattningar samt återkoppla och korrigera det som eleverna ännu inte lärt sig (Löwing, Fredriksson, & Färjsjö, 2011).
3.5 Strategier för inkludering
Det finns strategier som kan stötta eleverna i samtalen kring matematik menar Hodgen och Wiliam (2013). I klassrummet ställs många frågor till eleverna, det kan då vara fördelaktigt att läraren stannar upp och låter eleven få tänka när den har fått en fråga. I vanliga fall så passerar endast en sekund från fråga till att vi förväntar oss att eleven ska svara. Där kan läraren hjälpa eleverna genom att ge en paus efter frågan så eleven hinner tänka. Hodgen och Wiliam (2013) menar att det då blir effekter på delaktighet i klassrumsdiskussionerna. Gibbons (2016) skriver också att detta är en framgångsfaktor, speciellt för andraspråkselever, att eleverna får längre betänketid så de kan få tid att formulera sig. Läraren behöver hjälpa elever med annat modersmål att förklara sina tankar med att ställa frågor till dem så de utvecklar sitt tänkande. Detta gynnar inte bara andraspråkselever utan alla elever (Gibbons, 2016).
Hodgen och Wiliam (2013) skriver att om läraren ger en paus efter frågan kan effekter som längre svar, fler medverkar, elever som gör fler inlägg på andra elevers uttalande och större variation av förklaringar. Andra strategier är att eleverna antecknar vid till exempel genomgång för att ha stöd vid samtalet, bestämma en tid till funderingar före en diskussion och att uppmana eleven hur de tänker genom att
19 ställa frågor som: Hur tänker du nu? Kan du utveckla mer? (Hodgen & Wiliam, 2013;
Gibbons, 2016). För att skapa ett bra klassrumsklimat förespråkar Hodgen och Wiliam (2013) att inte använda handuppräckning utan hitta andra sätt. En elev som får frågan och inte kan svara kan lyssna på andra elevers diskussioner och sedan få den berätta vilket svar den tyckte var bäst (Hodgen & Wiliam, 2013).
3.6 Kreativa resonemang kring matematikuppgifter
I Liljekvist (2014) doktorsavhandling ingår fyra artiklar, jag har valt att fokusera på hur hon i sammanfattningen beskriver en av dessa artiklar (Jonsson, Norqvist, Liljekvist & Lithner, 2014) Learning mathematics through imitative and creative reasoning.
I artikeln gör Liljekvist (2014) undersökningen för att jämföra grupper elever som gör matematiska uppgifter. Eleverna går i åk 4-9. Syftet med studien är hur olika typer av matematikuppgifter påverkar möjlighet till lärande och val av strategier. De får träna först och sedan göra ett test. Eleverna är uppdelade i två grupper. En grupp får uppgiften att lösa matematikuppgifter med hjälp av algoritmer, den andra gruppen ska arbeta med ett kreativt resonemang för att lösa uppgiften och komma på
lösningen.
De elever som konstruerade sin lösning hade sämre resultat under träningen men bättre resultat på testerna än de eleverna som använde sig av en färdig
lösningsmetod. Liljekvist (2014) skriver att den kreativa metoden hade fördelar som att eleverna begränsade sitt arbetsminne och hade då bättre förutsättningar att lära sig. De elever som arbetade med kreativa resonemang fick hjälp av att avlasta arbetsminnet då de konstruerade sina egna lösningar. Eleverna som skulle lösa uppgiften med hjälp av algoritmer behöver memorera dem. Vid träningstillfället har eleverna tillgång till algoritmerna och då belastas inte arbetsminnet lika mycket, senar vid provet måste de komma ihåg algoritmen för att lösa uppgifterna.
De elever som hade tillgång till lösningsmetoder och därför inte behöver utforma sin egen lösning var inte lika effektiv. Liljekvist (2014) menar att på lång sikt är det effektivare om eleverna får resonera sig fram till samband som till exempel triangelns formel med kreativa resonemang. Det betyder att eleven behöver skapa sin kunskap om triangelns höjd och bredd innan de använder formeln för fortsatt arbete.
Liljekvist (2014) menar att genom att eleverna får använda kreativa resonemang i sitt lärande gynnas elevernas lärande på sikt, särskilt de lågpresterande eleverna gynnas.
20
4 Teoretiska utgångspunkter.
I detta kapitel presenteras teorier som beskriver lärande och undervisning utifrån en konstruktivistisk ansats. Här har jag valt Piagets och Vygotskijs teorier för att kunna förklara vad läraren gör och hur elevernas kunskap utvecklas. Piagets fokuserar på barns intellektuella utveckling där teorin skapar en individkonstruktivistisk
tolkningstradition för att förstå individers begreppsliga lärande (Marton & Booth, 2000). Vygotskijs teorier fokuserar istället på interaktionens betydelse i lärandet där språket och den sociala miljön är avgörande i begrepps- och kunskapsbildande. Detta innebär att Vygotskijs teori skapar en socialkonstruktivistisk tolkningstradition (Marton & Booth, 2000). Genom att kombinera dessa två tolkningstraditioner så blir det möjligt att förstå både hur individen ändrar sin kognitiva förståelse, och hur individen socialiseras in i en sociokulturell miljö, där världen begreppsliggörs utifrån språkliga och kulturella konstruktioner (Marton & Booth, 2000).
4.1 Jean Piagets teorier kring lärande och dess betydelse för undervisning
Piaget menar att uppfatta och hantera det som sker kallar Piaget intelligens
(Halpenny & Pettersen, 2015). Förmågan att förstå omvärld och hur detta omvandlas till kunskap sker i hjärnan som kognitiva eller mentala scheman (Halpenny &
Pettersen, 2015). Enligt Piaget kan vi förstå lärande som adaption, vilket omfattar dels assimilation, dels ackommodation. Piaget menar att människan behöver ha förståelse för sin omvärld och vad som händer runt människorna för att överleva (Wikare, Watsi, & Andersson, 1991). Läraren måste enligt Hattie (2012) veta vad eleverna förstår för att kunna undervisa dem ett påstående Hattie hänvisar till Piaget.
Assimilationen är när eleven i sin utveckling förenar ny information med den som redan har etablerats och anpassar sin förståelse i det gamla kognitiva schemat. Ett exempel är när elever använder rutnät för att beräkna area, som de tidigare använt för att förstå multiplikation. I och med att eleven nu ser på rutnätet som en yta så lägger eleven till ny information om vad ett rutnät kan förstås som. Assimilation hjälper barnet att befästa den mentala uppbyggnad som tidigare etablerats (Halpenny & Pettersen, 2015). När barnet möter ett objekt som liknar något den tidigare mött, som multiplikation i matematik och förstår att multiplikation kan användas för att beräkna arean av en yta då sker ackommodation. Ackommodation leder till progression och förändring, ahaupplevelse, när eleven får ny information som de lägger till och förändrar de gamla kognitiva scheman.
Adaption är en aktiv form av jämnviktsbevarande utveckling. Det sker adaption när elevens upplevelser av omvärlden förändrar dennes förståelse och kognitiva scheman
21 så att eleven kan sortera informationen om omvärlden på ett nytt sätt. När de nya erfarenheterna ligger nära elevens förmåga till gensvar är villkoren som bäst för ökad progression (Halpenny & Pettersen, 2015). Adaptionen omfattar både assimilation och ackommodation och vid ekvilibrism finns det en balans mellan dessa vilket leder till att barnet får en naturlig motivation för att lära, menar Halpenny och Pettersen (2015).
Piaget delar in den kognitiva utvecklingen i fyra stadier. Det är viktigt att läraren vet vilket stadium eleverna befinner sig i för att kunna hjälpa eleverna på bästa sätt (Hattie, 2012). Det sensomotoriska stadiet handlar om barn mellan 0-2 år, det symboliska stadiet om barn mellan 2-4 år och det åskådliga tänkandets stadie om barn mellan 4-8 år ( (Wikare, Watsi, & Andersson, 1991; Halpenny & Pettersen, 2015). De stadier som är relevanta i denna studie är den tankeoperationernas stadium som handlar om barn mellan 8-12 år. Piaget anser att barnen i detta stadie börjar kunna tänka och resonera logiskt/abstrakt om de får ett konkret exempel att förhålla sig till. De kan nu också enligt Piaget förstå att andra människor kan ha en annan åsikt och ett annat synsätt än den de har själva (Wikare, Watsi, & Andersson, 1991; Halpenny & Pettersen, 2015). Det sista stadiet är den formella
tankeoperationernas stadium om barn från 12 år till vuxen. Det är på det här stadiet som barnet har ett eget tänkande. De kan förstå att det kan finnas flera svar på en fråga och kan reflektera över sitt eget tänkande. Barnet kan nu förstå mer abstrakta ord som kärlek och frihet (Wikare, Watsi, & Andersson, 1991; Halpenny & Pettersen, 2015).
För att förstå vad vi kan förvänta oss av en elev så behöver vi veta i viken stadie eleven befinner sig i. Eleverna i en klass kan befinna sig i flera av Piagets stadier eftersom alla barn utvecklas i olika takt. Piagets resonemang kan knytas till
Montessoripedagogiken inom vilken repetitionsbeteende, det vill säga en upprepad handling, kan utryckas som kognitiva färdigheter vilka barnet har behov av att förverkliga genom handling (Elkind, 1985). När eleven har automatiserat, alltså provat sin färdighet i olika sammanhang många gånger, så kan elevens handling bli till erfarenheter där den kognitiva inlärningen sker omedvetet. Automatisering innebär att eleven inte längre behöver tänka efter när den ska göra handlingen nästa gång (Elkind, 1985). Eleven kan vid upprepade tillfällen prova formeln höjden gånger basen för att beräkna arean av en rektangel. Detta skapar ett repetitionsmönster som eleven återanvänder varje gång. När eleven kan sin uppgift har den automatiserat sin handling. Det vill säga eleven använder formeln utan att fundera, varje gång den ställs inför problemet att beräkna ytan av en rektangel.
Piaget menar, enligt Hattie (2012), att en av de viktigaste drivkrafterna för kognitiv utveckling är att utmana eleverna på en lagom kunskapsnivå, baserad på elevens tidigare erfarenheter och kognitiva förmåga. När eleven får handledning av läraren i
22 sitt lärande, har elevens hjärna en förmåga att lära och lära om, samt att styra sina egna processer i den riktning som handledningen sker (Hattie, 2012). Detta innebär att läraren behöver uppmuntra eleven till att bli medveten om hur den tänker. Den kognitiva utvecklingen är en social process (Hattie, 2012). Processen gynnas av att läraren leder diskussioner av hög kvalitet mellan eleverna, vilket i sin tur leder till ett gott samarbete (Hattie, 2012).
4.2 Vygotskijs teorier kring lärande och dess betydelse för undervisning
Det växande barnet ingår i ett vägledande och socialt nätverk inom vilket barnet utvecklas socialt under hela sin uppväxt. De biologiska förutsättningarna för att utvecklas påverkas av den sociala utvecklingen under hela barnets uppväxt (Selander, 2017). Denna successiva syn på utveckling skiljer sig från Piagets, han delar upp utvecklingen genom olika stadier (se ovan). Vygotskij återkommer till att
utvecklingen sker på två olika sätt, först i det sociala samspelet och sedan i det individuella tankearbetet (Strandberg, 2006).
Vygotskij påstår att utveckling och lärande inte är bundna till stadier varken
biologiska, psykologiska eller samhälleliga, utan genom att pröva och öva det vi inte redan kan får vi ny kunskap. Utmaningen får inte bli för svår utan måste följa den kunskap eller den praktik som eleven redan behärskar. Detta uttrycker Vygotskij som att läraren utmanar eleverna i deras proximala utvecklingszon (Strandberg, 2006).
När läraren gör det använder den sig av olika tekniker för att eleverna successivt ska kunna bygga upp sin förståelse om något. Detta kallas ibland för ”scaffolding” eller instruktionsbyggställning (Strandberg, 2006). Ett exempel är när eleverna först lär sig multiplikation genom att använda ett rutnät och sedan får möjlighet att arbeta med rutnätet för att förstå begreppet yta. Slutligen ges möjlighet att beräkna ytan av en rektangel med hjälp av formeln basen gånger höjden.
Det individuella tankearbetet menar Vygotskij sker genom imitation och
internalisering, vilka är två begrepp som Vygotskij använder för att beskriva lärande (Strandberg, 2006). Genom att imitera vad och hur andra människor gör, så lär sig eleven något nytt. Imitation uppkommer genom att samarbeten med andra
människor sker. Denna utveckling vore inte möjlig om eleverna inte haft dessa samarbeten. Internalisering betyder att barnet imiterar sin kamrat, övar på det och till slut kan styra över den nya kunskapen och kan använda den relevant i olika situationer (Strandberg, 2006).
Kombinationen av lärande som socialt och individuellt tankearbete kan beskrivas på följande sätt: Ett barn och en vuxen lägger ett pussel. I samtalet leder de vuxna
barnets handlingar vilket gör att barnet lär sig inte bara vad den förväntas göra för att
