Vädrets inverkan på utvalda kriminella handlingar inom Stockholms län

INOM

EXAMENSARBETE TEKNIK, GRUNDNIVÅ, 15 HP

STOCKHOLM SVERIGE 2018,

Vädrets inverkan på utvalda kriminella handlingar inom Stockholms län

En studie baserad på linjär regression ROVAN DIARY ALI

ERIK SWARTLING

Weather’s impact on certain criminal acts in Stockholm County

Abstract

The aim of this bachelor thesis in applied mathematics is to determine if there is a linear relationship between weather and crime. To detect any relationship we gathered crime data from the Swedish National Council for Crime Prevention (BR˚A) and weather data from the Swedish Meteorological and Hydrological Institute (SMHI) within Stockholm county. After which we conducted a linear regression model with a few particular crimes as the response variables. The crime rates were only available as monthly based data. Therefore the analysis was restricted to only include monthly values of crime and weather.

From the results we got indications that there is a certain linear relationship between the two, although not that clear. The relationship was only present for the crimes committed strictly outdoors. Before analyzing the results it’s vital to understand that in addition to weather, there are many other factors at play.

Therefore the aim is not to predict crime rates based on weather forecasts, but merely to identify if there is a trending correlation based on statistics to gain deeper understanding of the subject.

V¨ adrets inverkan p˚ a utvalda kriminella handlingar inom Stockholms l¨ an Sammanfattning

Syftet med detta kandidatexamensarbete i till¨ampad matematik ¨ar att avg¨ora om det finns ett linj¨art f¨orh˚allande mellan v¨ader och brott. F¨or att identifiera ett f¨orh˚allande samlades brottsdata in fr˚an Brottsf¨orebyggande R˚adet (BR˚A) och v¨aderdata fr˚an Sveriges meteorologiska och hydrologiska institut (SMHI) inom Stockholms l¨an. Varefter vi genomf¨orde en linj¨ar regressionsmodell med ett par utvalda brott som responsvariabler. Brottsstatistiken fanns endast tillg¨anglig i form av anm¨alda brott per m˚anad. Detta kom att bli en begr¨ansning f¨or analysen.

Resultaten gav indikation om att endast de strikt utomhusbaserade responsvari- ablerna hade signifikanta f¨orklarande variabler. Innan resultaten analyseras ¨ar det avg¨orande att f¨orst˚a att det finns fler faktorer ¨an v¨ader som spelar in. Syftet

¨

ar d¨arf¨or inte att f¨orutse brottsstatistik baserat p˚a v¨aderleksrapporter, utan en- dast att identifiera om det finns r˚adande korrelation.

Contents

Abstract 4

Sammanfattning 6

1 Inledning 10

1.1 Bakgrund . . . 10

1.2 Problemformulering . . . 10

1.2.1 Fr˚agest¨allning . . . 10

1.3 Syfte . . . 10

2 Introduktion 11 2.1 Beskrivning av SMHI . . . 11

2.2 S¨akerhet av v¨aderf¨oreskrifter . . . 11

2.3 Beskrivning av brottsf¨orebyggande r˚adet . . . 11

2.4 Utvalda brott . . . 12

2.5 Definition av v¨ader . . . 12

2.6 S¨asongsvariationer . . . 12

2.7 Hypotes och f¨orv¨antade resultat . . . 13

3 Teoretisk bakgrund 14 3.1 Multipel linj¨ar regressionsanalys . . . 14

3.1.1 Homoskedasticitet . . . 14

3.1.2 Dummyvariabler . . . 15

3.1.3 Minstakvadratmetoden . . . 15

3.1.4 Determinationskoefficient R² . . . 15

3.1.5 Justerad R² . . . 16

3.2 Regressionsdiagnostik . . . 16

3.2.1 Multikollinearitet . . . 16

3.2.2 Variansinflationsfaktor VIF . . . 16

3.2.3 Root-mean-square error . . . 17

3.2.4 F-test . . . 17

3.2.5 Konfidensintervall . . . 18

4 Metod 19 4.1 Variabler . . . 19

4.2 Brottsdata . . . 19

4.2.1 Transformationer . . . 19

4.3 Prelimin¨ar modell . . . 21

4.3.1 Modell 1: F¨ors¨ok till mord . . . 22

4.3.2 Modell 2: Misshandel . . . 23

4.3.3 Modell 3: V˚aldt¨akt . . . 24

4.3.4 Modell 4: R˚an . . . 25

4.3.5 Modell 5: St¨old . . . 26

4.3.6 Modell 6: Narkotikabrott . . . 27

4.3.7 VIF . . . 28

4.3.8 Residualer . . . 28

4.3.9 Q-Q-plot . . . 29

4.4 Modelljusteringar . . . 30

4.4.1 Stegvis eliminering . . . 30

5 Resultat 31 5.1 Slutlig modell . . . 31

5.1.1 Modell 1: F¨ors¨ok till mord . . . 31

5.1.2 Modell 2: Misshandel . . . 31

5.1.3 Modell 3: V˚aldt¨akt . . . 32

5.1.4 Modell 4: R˚an . . . 32

5.1.5 Modell 5: St¨old . . . 33

5.1.6 Modell 6: Narkotikabrott . . . 33

5.1.7 Residualf¨ordelning . . . 34

5.1.8 QQ-plot . . . 35

5.1.9 VIF . . . 35

6 Diskussion 36 6.1 Tolkning av slutlig modell . . . 36

6.2 Hypotesanalys . . . 38

6.3 Noggrannhet . . . 38

6.3.1 Databegr¨ansningar . . . 38

6.3.2 Modellbegr¨ansningar . . . 39

6.4 Analays om modellens anv¨andbarhet . . . 39

7 Slutsats 41

8 Referenser 42

1 Inledning

1.1 Bakgrund

Orsakerna till varf¨or m¨anniskor beg˚ar kriminella handlingar ¨ar m˚anga och idag finns flertalet teorier om ¨amnet. En gemensam n¨amnaren f¨or alla teorier ¨ar att de inte ¨ar helt¨ackande eller tillr¨ackligt f¨orklarande. Kriminologprofessorer och psykologer g¨or idag m˚anga studier om orsaker, p˚af¨oljder och ˚atg¨arder till kriminiella handlingar. ¨Aven dess variation ¨over tid och rum ¨ar intressant f¨or att bek¨ampa brottsligheten och d¨armed skapa trygghet (Kriminologiska insti- tutionen, 2017).

N˚agot som ocks˚a varierar ¨over tid och rum ¨ar v¨adret, vilket st¨andigt p˚averkar m¨anniskan b˚ade fysiskt och psykiskt (Forskning & framsteg, 2002). Olika v¨aderf¨orh˚allanden kan medf¨ora att allt fler m¨anniskor kommer i kontakt med varandra och vice versa. Enligt en artikel fr˚an Sveriges Television (SVT) framkom- mer det att brotten ¨andrar karakt¨ar i v¨armen. Artikeln betonar bl.a. att mis- shandel ¨ar starkt kopplat till alkohol. P˚a sommaren g˚ar uteserveringarna runt om i landet p˚a h¨ogtryck och dryckesm¨onstren f¨or bl.a alkohol ¨andras vilket i sin tur ¨andrar brottsstatistiken i form av fler misshandel utomhus samt fler

¨

overfallsv˚aldt¨akter (SVT Nyheter, 2016). Med hj¨alp av tidigare brottsstatistik och v¨aderdata kan dessa samband identifieras.

1.2 Problemformulering

Genom att till¨ampa kunskaper inom matematisk statistik skall korrelationer mellan responsvariablerna f¨ors¨ok till mord, v˚aldt¨akt, misshandel, r˚an, st¨old och narkotikabrott samt f¨orklarande variablerna, solskenstimmar, medeltemperatur, nederb¨ordsdagar, vindhastighet och sn¨odjup identifieras. All data baseras p˚a

˚aren 2002-2014.

1.2.1 Fr˚agest¨allning Fr˚agest¨allningen lyder:

- Finns det statistika korrelationer mellan de utvalda brotten och de utvalda v¨adertyperna?

1.3 Syfte

Syftet med arbetet ¨ar att unders¨oka om det finns en korrelation mellan utvalda kriminella handlingar och v¨adertyper inom Stockholms l¨an. Mer exakt ¨ar syftet att testa nollhypotesen H₀ : β_i = 0 f¨or de f¨orklarande v¨aderparametrarna p˚a 5% riskniv˚a.

2 Introduktion

2.1 Beskrivning av SMHI

All v¨aderdata har inh¨amtas fr˚an Sveriges Meteorologiska och Hydrologiska insti- tut ¨aven kallat SMHI. SMHI ¨ar en svensk expertmydighet under milj¨odepartementet vars huvudsakliga uppgift ¨ar att ta fram prognoser f¨or vind, vatten, v¨ader, kli- mat och milj¨o.

2.2 S¨ akerhet av v¨ aderf¨ oreskrifter

Enligt SMHI’s hemsida framg˚ar det att tr¨affs¨akerheten av en prognos f¨or ett dygn fram˚at ¨ar 82 procent. Det framg˚ar ¨aven att tr¨affs¨akerheten sjunker med

¨

okad prognostid.Exempelvis ¨ar en tv˚a timmars v¨aderprognos s¨akrare ¨an en tio timmars prognos (Sveriges Meteorologiska och Hydrologiska institut, 2015).

2.3 Beskrivning av brottsf¨ orebyggande r˚ adet

Brottsf¨orebyggande r˚adet ¨aven kallat BR˚A, ¨ar en statlig f¨orvaltningsmyndighet som agerar brottsf¨orebyggande f¨or samh¨allet genom att sprida kunskap om brottslighet, brottsf¨orebyggande arbete och r¨attsv¨asendets reaktioner p˚a brott i allm¨anhet. N˚agra huvudsakliga ansvarsomr˚aden f¨or Br˚a ¨ar:

• Ansvara f¨or den officiella r¨attsstatistiken och analysera dess k¨allor

• Ta fram fakta om r¨attsstatistiken, brottsligheten och samh¨allets reaktioner p˚a brott

• Utveckla kunskapsk¨allor om brott, brottsoffer och g¨arningpersoner

• Genomf¨ora den ˚arliga nationella trygghetsunders¨okningen

• Ge underlag f¨or ˚atg¨arder och prioriteringar ˚at regeringen och myndigheter

• St¨odja och informera om lokala brottsf¨orebyggande insatser inom olika samh¨allssektorer

• Sprida kunskap om nationella och internationella forsknings- och utveck- lingsprojekt

(Brottsf¨orebyggande r˚adet, 2018).

2.4 Utvalda brott

De brott som valts att unders¨okas ¨ar:

• F¨ors¨ok till mord eller dr˚ap mot samtliga personer

• Misshandel inkl.grov mot samtliga personer (utomhus)

• V˚aldt¨akt inkl.grov mot samtliga personer (utomhus)

• R˚an inkl.grov mot samtliga personer utom funktionsnedsatta (utomhus)

• St¨old och snatteri

• Narkotikabrott

D˚a brottstyperna skall korreleras till v¨aderf¨orh˚allanden ¨ar det n¨odv¨andigt att endast ta med brott som skett utomhus. Det ¨ar endast m¨ojligt att f˚a utomhus- baserad brottsdata f¨or misshandel, v˚aldt¨akt och r˚an fr˚an brottsf¨orebyggande r˚adets hemsida. Resterande brott g¨aller f¨or alla typer av f¨orh˚allanden.

2.5 Definition av v¨ ader

V¨ader definieras utefter den data som tillhandah˚allits fr˚an SMHI’s databas. I modellen kommer fem olika variabler anv¨andas f¨or att beskriva v¨adret:

• Solskenstimmar [h/m˚anad]

• Medeltemperatur [C^◦]

• Nederb¨ordsdagar [dagar/m˚anad]

• Vindhastighet [m/s]

• Sn¨odjup [m]

Solskenstimmar definieras som det antal timmar per m˚anad, d˚a den direkta sol- str˚alningen, uppm¨att med pyrheliometer, ¨overstiger 120 W/m². Medeltempera- turen anges som den genomsnittliga temperaturen per m˚anad. Vindhastigheten ber¨aknas som ett m˚anadsmedelv¨arde utifr˚an 3 m¨atningar per dag. Kl 06:00, 12:00 samt 18:00. Sn¨odjupet ber¨aknas som ett m˚anadsmedelv¨arde utifr˚an den dagliga sn¨odjupsdatan som uppm¨ats kl 06:00. Datan f¨or sn¨odjup och vind- hastighet ¨ar uppm¨att p˚a en h¨ojd av 44m ¨over havet.

2.6 S¨ asongsvariationer

Att det sker fler fall av misshandel under ett visst v¨aderf¨orh˚allande i april beh¨over inte n¨odv¨andigtvis betyda att det beror p˚a v¨adret, det kan vara p˚a grund av att det ¨ar p˚asklov och att fler m¨anniskor d¨armed ¨ar i kontakt med varandra under en l¨angre utstr¨ackning. Faktorer som dessa kategoriseras inom s¨asongsvariationer. F¨or att utveckla en modell som visar v¨adrets inverkan p˚a

kriminella handlingar g¨aller det att ocks˚a skapa en modell som tar h¨ansyn till olika s¨asongsvariationer.

D˚a brottsstatistiken endast finns tillg¨anglig i ˚ars- respektive m˚anads format

¨

ar det sv˚art att detaljera s¨asongsvariationerna eftersom det inte st˚ar exakt da- tum f¨or de olika anm¨alda brotten. Genom att dela in ˚arets m˚anader i s¨asonger (h¨ost, vinter, v˚ar, sommar) med tre m˚anader vardera och ange dessa i form av dummy variabler (se 3.1.3) kan analysen f˚a med en del s¨asongsvariationerna.

Dummyvariablerna syftar att fungera som f¨orst¨arkare f¨or de beskrivande v¨ader- variablerna. Ett samband mellan s¨asong och brott ¨ar inte det som hoppas uppn˚as.

2.7 Hypotes och f¨ orv¨ antade resultat

Hypotesen ¨ar att det finns en korrelation f¨or de analyserade brotten M isshandel, V ˚aldt¨akt, R˚an, St¨old och N arkotikabrott men ej f¨or F ¨ors¨ok till mord. Det f¨orv¨antas finnas ett linj¨art samband mellan de aktiva v¨aderparametrarna och de utvalda brott, d˚a inte alla β_i = 0. F¨or F ¨ors¨ok till mord f¨orv¨antas inget linj¨art samband r˚ada, allts˚a β_i= 0 f¨or alla f¨orklarande variabler.

3 Teoretisk bakgrund

3.1 Multipel linj¨ ar regressionsanalys

Multipel linj¨ar regression ¨ar en metod inom matematisk statistik som anv¨ands f¨or att best¨amma ett statistiskt samband mellan en responsvariabel y och en eller flera f¨orklarande variabler x. Metoden formuleras matematiskt enligt f¨oljande

yi= β0+

k

X

j=1

xij· βj+ ei, i = 1, ...., n (1)

H¨ar ¨ar yien observation av den beroende responsvariabeln y, vars v¨arde best¨ams av kovariaterna xij samt den adderade termen ei som ¨aven kallas residualen.

n motsvarar antal datapunkter. Residualen beskriver skillnaden mellan de ob- serverade v¨ardena yi och de v¨arden p˚a y som f¨orv¨antas ges av x v¨ardena. Den matematiska formeln blir p˚a matris form

y = Xβ + e (2)

D¨ar komponenterna y, β, ε och X ges enligt

y =









 y₁ y2

... yn









 , β =









 β₀ β1

... βk









 , e =









 e₁ e2

... ek











, X =











1 x₁₂ x₁₃ · · · x_1k 1 x22 x23 · · · x2k

... ... ... . .. ... 1 xn2 xn3 · · · xnk









 . (3)

Till¨ampningen av multipel linj¨ar regresseion kr¨aver ett antal uppfyllda villkor, dessa beskrivs enligt

• Observationerna yi m˚aste vara oberoende

• Residualerna ei m˚aste vara normalf¨ordelade

• Variansen i residualerna m˚aste vara konstant (se 3.1.1 Homoskedasticitet) (Rawlings, Pantula, Dickey, 1998)

3.1.1 Homoskedasticitet

Ett av de krav som skall uppfyllas f¨or att kunna till¨ampa linj¨ar regression ¨ar att variansen i residualerna m˚aste vara konstant. Detta inneb¨ar att oavsett ur vilken population stickproven h¨amtats ifr˚an, skall avst˚andet fr˚an datapunkterna till den estimerade r¨ata linjen fr˚an regressionsanalysen vara densamma. Motsatsen till homoskedasticitet ¨ar heteroskedasticitet.

3.1.2 Dummyvariabler

Dummy variabler, ¨aven kallat indikatorvariabler, ¨ar vanligt f¨orekommande inom regressionsanalysen. Kategoriska variabler som saknar ett kvantifierbart f¨orh˚allande till varandra blir sv˚ara att ta i beaktande vid analyser som exempelvis regres- sionsanalys. Grunden bakom dummyvariabler ¨ar att de endast kan anta v¨ardet 0 eller 1. Ett klassiskt exempel d˚a dummyvariabler kan appliceras ¨ar vid anal- yser d¨ar k¨on anses vara en av de f¨orklarande variablerna. Om en kvinna skulle f¨orekomma vid ett slumpm¨assigt stickprov skulle dummyvariabeln anta v¨ardet 1 f¨orutsatt att en s˚adan ¨ar definierad f¨or representation av kvinnor. Om det d¨aremot inte antar v¨ardet 1 blir v¨ardet 0 vilket ger information om att en man ist¨allet har f¨orekommit. Dummyvariablerna i detta fall anv¨ands f¨or att beskriva evenutella s¨asongsvariationer som inte kan beskrivas endast med hj¨alp av v¨aderdata.

3.1.3 Minstakvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden anv¨ands f¨or att best¨amma de koefficienter βisom min- imera avst˚andet mellan observerad data y och estimerad data X ˆβ, ¨aven kallat redisualens euklidiska norm.

||ˆe||²= ||X ˆβ − y||². (4)

||ˆe||²=

n

X

i=1

ˆ ei2

. (5)

Kvadraten av residualens euklidiska norm inneh˚aller inte n˚agon information om felets riktning, medan felet uppenbarligen har en riktning. Systemet X ˆβ = y kan ist¨allet skrivas som

X⁰X ˆβ = X⁰y (6)

Detta felutj¨amnade system kan alltid l¨osas och ger en l¨osning ˆβ som minimerar residualen ˆe = X ˆβ − y (Fant, 2001). Minstakvadratl¨osningen f¨or ˆβ ges av

β = (Xˆ ⁰X)⁻¹X⁰y. (7)

3.1.4 Determinationskoefficient R²

F¨orutsatt att f¨orh˚allandet mellan den beroende och de oberoende variablerna ¨ar linj¨art anger determinationskoefficienten R² hur mycket av variationerna av y som kan f¨orklaras av variationerna av X. R²¨ar definierad som f¨orh˚allandet mel- lan summan av kvadrater f¨or regressionsmodellen och den beroende variabeln enligt

R²=

n

P

i=1

X_i²β_i²

n

P

i=1

y²

. (8)

Ett v¨arde R² = 1 beskriver ett identiskt f¨orh˚allande mellan y och X. Viktigt att notera ¨ar att R² inte kan minska vid addering av flera kovariat. ¨Aven om man l¨agger till en oberoende variabel X som inte beskriver y kan R² bara ¨oka eller f¨orbli densamma, (Rawlings, Pantula, Dickey, 1998). D¨arf¨or studeras man ocks˚a den justerade determinationskoefficienten R²_adj.

3.1.5 Justerad R²

Det justerade v¨ardet R²_adj tar h¨ansyn till antal kovariat genom att skala om R² gentemot antal frihetsgrader n och kovariat k i modellen

R²_adj= 1 − (1 − R²)(n − 1)

n − k . (9)

P˚a detta s¨att ¨okar R²_adj bara n¨ar v¨ardefulla kovariat l¨aggs till i modellen. Funk- tionen R²_adj(k) brukar d˚a stabiliseras kring en ¨ovre gr¨ans n¨ar de viktigaste ko- variaten lagts till, (Rawlings, Pantula, Dickey, 1998).

3.2 Regressionsdiagnostik

3.2.1 Multikollinearitet

Problem med multikollinearitet uppst˚ar n¨ar X, matrisen med oberoende vari- abler, ¨ar n¨ara singul¨ar. Om X ¨ar n¨ara singul¨ar existerar fortfarande en unik l¨osning till normalekvationen (X⁰X)⁻¹, men l¨osningen ¨ar v¨aldigt instabil. Re- gressionskoefficienternas varians blir d˚a v¨aldigt stora. P˚a detta s¨att kan v¨aldigt olika kombinationer av regressionskoefficienter ge ungef¨ar lika bra resultat (Rawl- ings, Pantula, Dickey, 1998). Om detta uppst˚ar finns risk f¨or att modellen ger or¨attvisa resultat g¨allande de oberoende variablernas relativa signifikans.

3.2.2 Variansinflationsfaktor VIF

F¨or att best¨amma om multikollinearitet existerar mellan de oberoende vari- ablerna anv¨ands variansinflationsfaktorn VIF. VIF f¨or varje kovariat ber¨aknas enligt

V IF_i= diag(P⁻¹), (10)

d¨ar P ¨ar correlationsmatrisen f¨or de oberoende variablerna. F¨orh˚allandet mellan multikollinearitet och VIF ges utav

V IF_i= 1

1 − R²_i, (11)

d¨ar R²¨ar determinationskoefficienten f¨or regressionen mellan variabeln X_i och de andra kovariaterna. Om matrisen med oberoende variabler ¨ar n¨ara singul¨ar kommer R² vara n¨ara 1, vilket ger en stor VIF faktor. Om de oberoende vari- ablerna ¨ar helt ortogonala blir V IF = 1 (Rawlings, Pantula, Dickey, 1998).

Kollineariteten kan f¨orv¨antas vara seri¨os f¨or V IF > 10 (Marquardt, 1970).

3.2.3 Root-mean-square error

Root − mean − square felet anv¨ands f¨or att ge ett m˚att p˚a spridningen f¨or den estimerade regressionslinjen ˆy = X ˆβ kring den exakta datan y. F¨or att konstruera RMS-felet anv¨ands residualerna, som kan vara b˚ade positiva och negativa. Felet ber¨aknas genom att ta roten ur kvadraternas medelv¨arde

RM Se= v u u t

n

P

i=1

( ˆyi− yi)²

n . (12)

RMS-felet har den viktiga egenskapen att den har samma enhet som responsvari- abeln y. (Holmes, 2000).

3.2.4 F-test

F¨or att f¨ors¨akra sig om att regressionskoefficienterna βi ¨ar nollskilda kan man med hj¨alp av F-test f¨orkasta eventuella nollhypoteser. Om nollhypotesen lyder att regressionskoefficienterna β1, . . . , βr ¨ar noll inneb¨ar det att dessa inte har n˚agon korrelation till responsvariabeln y. F-testet defineras d˚a enligt

F (r, n − k − 1) = R² 1 − R²

n − k − 1

r , (13)

d¨ar R²¨ar determinationskoefficienten, n ¨ar antalet observationer och k ¨ar antalet kovariater. F¨orkastning av nollhypotesen kan ske beroende p˚a P-v¨ardet som definieras enligt

P = (F_α(1, n − k − 1) > F ), (14) F_α ¨ar en kvantil med signifikansniv˚a α (alpha-kvantil). Om Alpha-kvantilen ¨ar st¨orre ¨an F-testet b¨or nollhypotesen f¨orkastas.

(Lang, 2016)

3.2.5 Konfidensintervall

Konfidensintervall ¨ar ett s¨att att m¨ata os¨akerheten i de esitmerade regression- skoefficienterna β_i. Konfidensgraden best¨ams p˚a f¨orhand och brukar vanligtvis vara 95%. Konfidensgraden anger med hur stor s¨akerhet konfidensintervallet t¨acker populationernas sanna v¨arden. Tv˚a viktiga egenskaper f¨or kondidensin- tervall ¨ar

• Ju h¨ogre konfidensgrad ju bredare intervall

• Ju st¨orre m¨angd stickprov ju smalare intervall (Link¨opings universitet, u.˚a)

F¨or regressionskoefficienten βi¨ar konfidensintervallet med konfidensgrad 1-α definierad enligt

βˆi= ±p

Fα(1, n − k − 1)σ( ˆβi) (15) F_α(1, n − k − 1) ¨ar alpha-kvantilen och σ( ˆβ_i) ¨ar den skattade standardavvikelsen f¨or regressionskoefficienten i fr˚aga.

(Lang, 2016)

4 Metod

4.1 Variabler

Tekniken med multipel linj¨ar regression anv¨ands f¨or att best¨amma ett statis- tikt samband mellan responsvariabler och minst tv˚a f¨orklarande variabler. Re- sponsvariabler (y) samt f¨orklarande variabler (x) definieras enligt tabell (1) nedan.

Table 1: Variabler

Responsvaribler (y) F ¨orklarande variabler (x) F ¨ors¨ok till M ord T emperatur

M isshandel N ederb¨ord

V ˚aldt¨akt V indhastighet

R˚an Sn¨odjup

St¨old V inter

N arkotikabrott Sommar

T raf ikbrott h¨ost

− V ˚ar

Dummyvariablerna kommer att definieras utefter m˚anadernas s¨asongsindelning.

Sommarm˚anaderna inkluderar juni, juli och augusti. H¨ostm˚anaderna inkluderar september, oktober och november. Vinter definieras som december, januari och februari. Kvarvarande m˚anader, mars, april och maj motsvarar dummyvari- abeln h¨ost.

4.2 Brottsdata

4.2.1 Transformationer

Brottsdatan inneh˚aller periodiska fluktuationer och b˚ade linj¨ara och kvadratiska egenskaper. Eftersom inga av modellens kovariat beskriver den linj¨art/kvadratiskt

¨

okande/avtagande statistiken av ˚arligen anm¨alda brott kommer brottsdatan att justeras f¨or att bli av med dessa trender som f¨orekommer. Det som efters¨oks

¨

ar m˚anadsvisa fluktuationer kring ett medelv¨arde varje ˚ar, d¨arf¨or kommer ett

˚arsmedelv¨arde subtraheras ur varje ˚ars data,

y_a,b^∗ = ya,b− 1 12

12

X

a=1

ya,b a = 1, 2, ..., 12 (m˚anad) b = 1, 2, ..., 13 (˚ar). (16)

D¨ar a motsvarar m˚anad och b motsvarar ˚ar. P˚a detta s¨att minimeras de linj¨ara och kvadratiska trenderna och datan representeras som fluktuationer kring medelv¨ardet 0 med periodtid 1 m˚anad.

Figure 1: Brott med tidstrend

Figure 2: Brott utan tidstrend

En viss skillnad kan noteras mellan graferna, i figur 1 visas de olika brotten med en r˚adande tidstrend som kan bero p˚a m˚anga olika faktorer som inte tas h¨ansyn till. Brottsdatan med en minimerad trend visas i figur 2. H¨ar kan man identifiera en periodisk graf med minimerad lutning.

4.3 Prelimin¨ ar modell

Den prelimin¨ara modellen grundades p˚a att utf¨ora regressionsanalys mellan re- sponsvariablerna yioch samtliga kovariater xij. P˚a detta s¨att kunde man identi- fiera de kovariater som hade st¨orst inverkan p˚a brottstyperna i fr˚aga. Ekvationen f¨or de prelimin¨ara modellerna st¨alldes upp enligt

yi= β0+

8

X

j=1

xij· βj+ i, i = 1, ..., 156 (17)

D¨ar kovariaterna xij motsvaras av:

Table 2: Kovariat

Kovariat(x_ij) (y) M otsvarande v¨arde (x)

xi1 Sol

x_i2 T emperatur

xi3 N ederb¨ord

x_i4 V indhastighet

x_i5

(1, om i ∈ v˚ar 0, annars xi6

(1, om i ∈ sommar 0, annars

x_i7

(1, om i ∈ h¨ost 0, annars

xi8

n

0, om i ∈ vinter

4.3.1 Modell 1: F¨ors¨ok till mord

Figure 3: Modell 1: F¨ors¨ok till mord

Det l˚aga R²v¨ardet samt h¨oga p v¨ardet tyder p˚a att det inte finns ett linj¨art samband mellan kovariaten och den beroende variabeln F ¨ors¨ok till mord.

4.3.2 Modell 2: Misshandel

Figure 4: Modell 2: Misshandel

Utifr˚an det justerade R² v¨ardet beskriver modellen 68.6% av variansen f¨or y p˚a en signifikansniv˚a α < 0.05. Ett v¨arde p < 0.05 tyder p˚a ett signifikant f¨orh˚allande mellan T emperatur, Sn¨odjup och M isshandel.

4.3.3 Modell 3: V˚aldt¨akt

Figure 5: Modell 3: V˚aldt¨akt

Utifr˚an det justerade R² v¨ardet beskriver modellen 34.2% av variansen f¨or y p˚a en signifikansniv˚a α < 0.05. Ett v¨arde p < 0.05 tyder p˚a ett signifikant f¨orh˚allande mellan Solskenstimmar och V ˚aldt¨akt. T emperatur ligger strax utanf¨or konfidensintervallet.

4.3.4 Modell 4: R˚an

Figure 6: Modell 4: R˚an

Utifr˚an det justerade R² v¨ardet beskriver modellen 19.2% av variansen f¨or y p˚a en signifikansniv˚a α < 0.05. Ett v¨arde p < 0.05 tyder p˚a ett signifikant f¨orh˚allande mellan Sn¨odjup och R˚an. Solskenstimmar ligger strax utanf¨or konfidensintervallet.

4.3.5 Modell 5: St¨old

Figure 7: Modell 5: St¨old

Utifr˚an det justerade R² v¨ardet beskriver modellen 33.1% av variansen f¨or y p˚a en signifikansniv˚a α < 0.05. Dock ¨ar inga av de f¨orklarande variablerna signifikanta inom det 95% konfidensintervallet.

4.3.6 Modell 6: Narkotikabrott

Figure 8: Modell 6: Narkotikabrott

Utifr˚an det justerade R² v¨ardet beskriver modellen 32.6% av variansen f¨or y p˚a en signifikansniv˚a α < 0.05, men inga av de f¨orklarande variablerna ¨ar signifikanta inom konfidensintervallet.

4.3.7 VIF

Variansinflationsfaktorn ber¨aknas enligt diagonalmetoden (3.2.2). Referensniv˚an V IF > 10 kommer att anv¨andes f¨or att filtrera bort de kovariat med r˚adande kolinnearitet.

Table 3: Variansinflationsfaktorer Kovariat (X) V IF Solskenstimmar 10.37

T emperatur 11.73 N ederb¨ordsdagar 2.16

V indhastighet 1.42 Sn¨odjup 2.25

V ˚ar 4.05

Sommar 7.96

H ¨ost 2.92

Ett v¨arde V IF > 10 existerade f¨or de oberoende variablerna T emperatur och Solskenstimmar. Att viss kollinearitet existerar mellan Temperatur och Solskenstimmer ¨ar inte s˚a f¨orv˚anande. F¨or att undvika kolinearitetsproblem kommer d¨arf¨or Solskenstimmar att exkluderas fr˚an kommande modellering.

4.3.8 Residualer

Ett av kraven f¨or till¨ampning av linj¨ar regression ¨ar att residualerna skall vara normalf¨ordelade. Figur (9) visar residualernas f¨ordelning f¨or respektive brott tillsammans med en ideellt normalf¨ordelad kurva. Det kan konstateras att resid- ualerna f¨oljer den normalf¨ordelade kurvan f¨or alla brott utom N arkotikabrott, bra vilket tyder p˚a att kravet ¨ar uppfyllt. Histogrammet f¨or N arkotikabrott har ett par markanta avvikelser fr˚an den ideella normal-kurvan som tyder p˚a att vi inte kan anta residualernas normalf¨ordelning.

Figure 9: Residualernas f¨ordelning

4.3.9 Q-Q-plot

Ytterligare ett s¨att att f¨ortydliga det uppfyllda kravet om residualernas nor- malf¨ordelning ¨ar m.h.a Q-Q-plot (Quantile-Quantile-plot). Genom att plotta tv˚a kvantiler mot varandra kan f¨ordelningstypen identifieras f¨orutsatt att ena kvantilen har en k¨and f¨ordelningstyp. I detta fall plottades modellv¨ardena f¨or alla responsvariablerna mot en standardiserad och normalf¨ordelad kvantil. Om punkterna sedan uppvisar en r¨at linje anses kvantilerna h¨arstamma fr˚an samma f¨ordelningstyp.

Figure 10: Q-Q-plot

Q-Q-plotten i figur (10) visar att kvantilerna ¨ar normalf¨ordelade f¨or alla responsvariabler f¨orutom N arkotikabrott d¨ar en viss avvikelse kan noteras. Den positiva svansen tyder p˚a att residualerna f¨or N arkotikabrott inte n¨odv¨andigtvis kommer fr˚an en normalf¨ordelning. Den positiva svansen inneh˚aller dock endast ett f˚atal punkter, dessa kan vara fr˚an ett par avvikelser i datan.

4.4 Modelljusteringar

De kvarvarande kovariaten kommer endast att vara de kovariat som visar sig- nifikans i modellerna. Detta kommer att ˚astadkommas med hj¨alp utav stegvis eliminering utav variabler.

4.4.1 Stegvis eliminering

Stegvis eliminering ¨ar en kombination utav F orwardselection och Backwardelimination.

Metoden fungerar genom att l¨agga till en kovariat i taget och unders¨oka om signifikansen f¨or tidigare tillagda kovariat reducerats under ett f¨orbest¨amt ref- erensv¨arde. Metoden kr¨aver tv˚a signifikansniv˚aer: en f¨or addering av kovariat och en f¨or exkludering. Metoden till¨ampas med hj¨alp utav Matlabs inbygga funktion stepwiselm.

5 Resultat

5.1 Slutlig modell

5.1.1 Modell 1: F¨ors¨ok till mord

Figure 11: Modell 1: F¨ors¨ok till mord

5.1.2 Modell 2: Misshandel

Figure 12: Modell 2: Misshandel

5.1.3 Modell 3: V˚aldt¨akt

Figure 13: Modell 3: V˚aldt¨akt

5.1.4 Modell 4: R˚an

Figure 14: Modell 4: R˚an

5.1.5 Modell 5: St¨old

Figure 15: Modell 5: F¨ors¨ok till mord

5.1.6 Modell 6: Narkotikabrott

Figure 16: Modell 6: Narkotikabrott

5.1.7 Residualf¨ordelning

Figure 17: Residualernas f¨ordelning

5.1.8 QQ-plot

Figure 18: QQ-plot 5.1.9 VIF

Efter att solskenstimmar exkluderats fr˚an modellerna f¨orv¨antas kollineariteten med temperatur att f¨orminskas.

Table 4: Variansinflationsfaktorer Kovariat (X) V IF

T emperatur 7.55 N ederb¨ordsdagar 1.49 V indhastighet 1.42 Sn¨odjup 2.15

V ˚ar 2.56

Sommar 7.44

H ¨ost 2.88

Efter exkluderingen uppfyller v¨ardena det tidigare fastst¨allda kravet V IF <

10.

6 Diskussion

6.1 Tolkning av slutlig modell

F¨ors¨ok till mord

Varken modellen eller kovariaterna visade sig vara signifikanta f¨or responsvari- abeln F¨ors¨ok till mord. Detta kan tydas ur de h¨oga p-v¨ardena och l˚aga v¨ardena p˚a justerade R² (se 5.1.1 modell 1). Vi kan d¨arf¨or inte p˚ast˚a n˚agonting om f¨orh˚allandet mellan brottet och v¨adertyperna inom den konfidensgrad som ¨ar aktuell. B˚ade i QQ-plotten och histogramet tycks residualerna f¨olja en nor- malf¨ordelning, likt den prelimin¨ara modellen. Till synes existerar ett par utelig- gande v¨arden vid svansarna som inte f¨oljer f¨ordelningen lika bra. Dessa beror troligtvis p˚a tempor¨ara avvikelser i datan som kan komma fr˚an en m¨angd olika faktorer.

Misshandel

Misshandel har korrelationer med temperatur och sn¨odjup inom en konfi- densgrad p˚a 5%. Modellens signifikans kan tydas ur de l˚aga p-v¨ardena (p < 0.05) samt det h¨oga v¨ardet p˚a justerade R² ≈ 0.7. F¨orh˚allandet ≈ 0.7 mellan vari- ationerna tyder p˚a att den estimerade modellen beskriver n¨astan 70% av vari- ansen f¨or responsvariabeln. Den positivt estimerade koefficienten f¨or temperatur

≈ 15 talar om att antalet misshandel ¨okar med ¨okad temperatur. D˚a koefficien- ten ¨ar negativt estimerad f¨or sn¨odjup ≈ −210 anger det att antalet misshandel minskar med ¨okad sn¨odjup. (se 5.1.2 modell 2). Ur histogrammet tycks en viss f¨orb¨attring ha skett. Residualerna ser ut att f¨olja en normalf¨ordelning tydligare.

Detta kan noteras tydligt i registret 50-100 p˚a b˚ade den negativa och positiva sidan, d¨ar en b¨attre passform kan observeras.

V˚aldt¨akt

Kovariaten temperatur var signifikant f¨or v˚aldt¨akt med p-v¨ardet ≈ 1.6 · 10⁻¹⁴. Den positivt estimerade koefficienten f¨or temperatur tyder p˚a att an- talet v˚aldt¨akter ¨okar med ¨okad temperatur (se 5.1.3 modell 3). Det justerade R² v¨ardet ¨ar inte s¨arskilt stort, detta tyder p˚a att en del av variansen f¨or re- sponsvariabeln y inte f¨orklaras av modellen. Ett par avvikelser i residualens f¨ordelning tycks ha skett relativt den prelimin¨ara modellen. I QQ-plotten tycks den positiva svansen rubbats en bit fr˚an den ideella normalf¨ordelningen. I his- togrammet har en avvikelse skett kring x=0. Det kan ha att g¨ora med att en kovariaten n¨ara signifikans exkluderades. Detta gjordes d˚a ett v¨arde V IF > 10 existerade mellan dem.

R˚an

Sn¨odjup ¨ar signifikant f¨or responsvariabeln r˚an med p-v¨ardet ≈ 1.3 · 10⁻5.

Koefficenten ¨ar negativt estimerad f¨or kovariaten vilket inneb¨ar en minskning av antalet r˚an med ¨okat sn¨odjup (se 5.1.4 modell 4). F¨orklaringsgraden ¨ar dock relativt l˚ag (18.1%) vilket tyder p˚a att det skulle kr¨avas en b¨attre modell eller fler kovariat f¨or att f˚a en b¨attre f¨orklarande modell. F¨or modellen har

normalf¨ordelningen klart f¨orb¨attrats. Detta observeras ur histogrammet d¨ar de enskilda avvikelserna har tonats ner. Ur QQ-plotten ser man en tydlig likhet med den ideella kvantilens f¨ordelning.

St¨old

Den f¨orklarande variabeln temperatur visade signifikans inom konfidens- graden f¨or responsvariabeln st¨old. Den positiva koefficienten tyder p˚a att antalet st¨older ¨okar med ¨okad temperatur (se 5.1.5 modell 5). Det justerade R²v¨ardet

¨

ar ¨aven h¨ar inte s¨arskilt h¨ogt (32%), vilket tyder p˚a att modellen inte f¨orklarar hela beteendet hos responsvariabeln. Residualernas f¨ordelning f¨or den slutliga modellen ¨ar n¨ast intill identisk med den prelimin¨ara modellen. Residualerna i den slutliga modellen antas likt den prelimin¨ara f¨olja en normalf¨ordelning.

Narkotikabrott

F¨or responsvariabeln narkotikabrott visade temperatur signifikans inom kon- fidensintervallet. Den positivt estimerade koefficienten ≈ 16 tyder p˚a ett positivt f¨orh˚allande mellan temperatur och narkotikabrott (se 5.1.6 modell 6). Mod- ellen verkar dock bara f¨orklara ≈ 32% av responsvariabelns variationer. Ur histogrammet kan en viss ¨okning av densitet kring x=0 tydas. Medan ingen markant skillnad kan tydas ur qq-plotten. Detta kan bero p˚a att de exkuderade kovariaten inte hade n˚agon markant inverkan p˚a modellen.

6.2 Hypotesanalys

D˚a m˚alet ¨ar att hitta v¨adrets inverkan p˚a de utvalda kriminella handlingarna,

¨

ar det s¨arskilt viktigt att handlingarna har beg˚atts utomhus. P˚a SMHI’s hem- sida kunde utomhusbaserad statistik endast h¨amtas f¨or 3 av de utvalda brot- ten. R˚an, Misshandel och v˚aldt¨akt har signifikanta korrelationer med olika v¨aderf¨orh˚allanden, vilket ¨ar f¨orv¨antat d˚a dessa var utomhusbaserade. F¨ors¨ok till mord, st¨old och narkotikabrott har inte tillr¨ackligt signifikanta f¨orklarande variabler. Detta kan bero p˚a en rad olika faktorer. En viktig skillnad mel- lan brottsliga handlingar som skett inomhus respektive utomhus kan ¨aven vara

¨

overvakningen av polis, ordningsvakter, v¨aktare och allm¨anheten d¨ar dessa har insyn under patrullering. Detta kan hindra m˚anga m¨anniskor fr˚an att beg˚a kriminella handlingar. ¨Aven brotten i sig kan vara specifika.

F¨ors¨ok till mord inneb¨ar att man upps˚atligen f¨ors¨oker ber¨ova en annan m¨anniskas liv. Detta anses som ett mycket grovt brott i Sverige varav l¨agsta straffet ¨ar f¨angelse i 10 ˚ar och kan under vissa omst¨andigheter ¨aven leda till livsstids f¨angelse (BrB 3 kap.2§). F¨ormodligen ligger det djupa motiv bakom ett eventuellt mordf¨ors¨ok och denna typ av brott f¨oljer inte n˚agot s¨arskilt m¨onster.

Det skall ¨aven n¨amnas att uppklaringen av d¨odligt v˚ald samt f¨ors¨ok till d¨odligt v˚ald generellt ¨ar h¨og i Sverige (Polisen, u.˚a)

Sammanfattningsvis kan det n¨amnas att endast de brott vars statistik var utomhusbaserad hade f¨orklarande variabler som var signifikanta inom konfi- densintervall.

6.3 Noggrannhet

6.3.1 Databegr¨ansningar

Ett problem r¨orande modellens os¨akerhet ¨ar datans m˚anadsindelning. En nog- grannare modell hade kunnat konstruerats om all den anv¨anda datan f¨or brott och v¨ader fanns som daglig statistik. I den nuvarande modellen med m˚anadsstatistik missar man information om dag respektive tidpunkt f¨or n¨ar brotten skett. Om man kan l¨anka brottets tidpunkt till v¨aderdata f¨or samma tidpunkt slutar man med en modell som f¨ormodligen har markant b¨attre s¨akerhet.

V¨aderprognoser formuleras matematiskt som ett system av partiella differ- entialekvationer vilka l¨oses numeriskt. (Sveriges Meteorologiska och Hydrolo- giska institut, 2017). Regressionsmodellen baseras p˚a uppm¨att v¨aderdata och p˚averkas s˚aledes inte av detta, d¨aremot kan det vara till f¨ordel att ha detta i

˚atanke om modellen eventuellt skulle anv¨andas i framtiden.

En viss os¨akerhet existerar ocks˚a m.a.p v¨aderdifferenser inom l¨anet. Efter- som m¨atningarna f¨or v¨aderdatan skett p˚a en och samma plats inom stock- holms l¨an, men ej brotten, kan vi inte med s¨akerhet s¨aga att differensen f¨or v¨aderparametrarna ¨ar f¨orsummbar. Den h¨ar differensen kan visa stor betydelse.

F¨or t.ex. Solskenstimmar och N ederb¨ordsdagar kan stor differens existera, d˚a de beror p˚a molnigheten, som kan variera markant p˚a en yta av denna storlek.

Ett extremt exempel f¨or illustration ¨ar t.ex. om vi under en hel m˚anad endast observerar sn¨o i den v¨astra delen av l¨anet, men alla brott sker i den

¨

ostra. I v˚ar modell f˚ar vi d˚a en m¨ojlig felrapportering av signifikans mellan sn¨odjup och brott, ¨aven d˚a de inte skett i samma omr˚ade.

6.3.2 Modellbegr¨ansningar

F¨orutom begr¨ansningar i datan ligger modellens fr¨amsta begr¨ansning i valet av kovariat. ¨Aven d˚a det ¨ar intressant ¨ar det inte s˚a l¨attrelaterat. En klarare korre- lation skulle nog ses f¨or mer direkta faktorer, t.ex. population eller ekonomiska f¨orh˚allanden. Om man bortser fr˚an den ¨okade interaktion mellan personer utomhus vid goda v¨aderf¨orh˚allande, skulle v¨adret till viss del kunna ses som en psykologisk faktor. Psykologiska samband ¨ar s¨allan lika f¨oruts¨agbara som direkta samband och kan d¨arf¨or ofta ge tvetydiga resultat i en regression. Yt- terligare en begr¨ansning ligger i fr˚agan om det ¨ar v¨adret som p˚averkar brotten, eller om v¨adret p˚averkar andra faktorer som i sin tur p˚averkar brott. F¨or att f˚a svar p˚a den fr˚agan m˚aste interna f¨orh˚allanden mellan v¨ader och andra faktorer som p˚averkar brott fastst¨allas.

Ist¨allet f¨or linj¨ar regression hade tidsserieanalys kunnat anv¨andas som metod.

Denna typ av analys anv¨ands f¨or tidskorrelerad data och kan bl.a. extrahera s¨asongsvariationer och trender (Kempthorne, 2013).

6.4 Analays om modellens anv¨ andbarhet

Verkligheten ¨ar f¨or komplex och begr¨ansningarna ¨ar f¨or m˚anga f¨or att mod- ellen skall anses vara tillf¨orlitlig nog att till¨ampas av olika myndigheter i hopp om att bek¨ampa brottsligheten. Som det n¨amnts tidigare hade en markant f¨orb¨attring av modellen f¨orv¨antats om v¨aderdatan hade funnits tillg¨anglig i form av dagsstatistik med m¨ojlighet till v¨aderf¨orh˚allande f¨or olika tidpunkter p˚a dygnet, samt om ¨aven brottsstatistiken fanns i form av dagssatistik med information om tidpunkt f¨or de anm¨alda brotten. Om alla begr¨ansningar tas i beaktande skulle nya dummy variabler f¨or t.ex ˚arets r¨oda dagar, helger, ˚arstider, h¨og specifika tidpunkter och allm¨anna ledigheter kunna introduceras. Analysen hade varit betydligt mer resurskr¨avande men hade i geng¨ald resulterat i en mer tillf¨orlitlig modell som d˚a m¨ojligtvis hade kunnat till¨ampas.

En tillf¨orlitlig modell som korrelerar diverse brott med v¨aderf¨orh˚allanden ¨ar inte ett avg¨orande hj¨alpmedel f¨or att bek¨ampa brottslighet i samh¨allet. Det kan dock anv¨andas som ett hj¨alpmedel f¨or polismyndigheten i fr˚agan om resur- shantering. Ett exempel skulle kunna vara om modellen inom ett visst kon- fidensintervall anger att antalet v˚aldt¨akter ¨okar med ¨okad temperatur, varav polismyndigheten d¨armed beslutar om att s¨atta fler radiobilar i r¨orelse inom l¨anet. Som f¨oljd kan ¨aven beslut om att anlita polisvolont¨arer tas vars uppgift

¨

ar att g˚a runt i olika omr˚aden och vara synliga samt alstra trygghet. Det r˚ader i dagsl¨aget en kraftig polisbrist i samh¨allet (Riksdagen, 2018). Alla modeller

och teorier som kopplas till brottslighet kan d¨armed vara n¨odv¨andiga f¨or att uppdatera synen p˚a det hela.

7 Slutsats

Den utf¨orda regressionen tyder p˚a att det finns ett f¨orh˚allande mellan misshan- del, v˚aldt¨akt, r˚an och ett par v¨adertyper. Som kan f¨oklaras med linj¨aritet om man tittar p˚a m˚anadsvis data. F¨orhoppningen ¨ar att denna linj¨aritet ˚aterfinnns

¨

aven f¨or en modell baserad p˚a daglig data. Men det ¨ar inget som med denna modell kan konstateras. F¨or dessa brott ¨ar regressionskoefficienter nollskilda vilket inneb¨ar f¨orkastning av nollhypotesen som presenterats i syftet. F¨or att vidareutveckla modellen till ett stadie som med st¨orre s¨akerhet kan beskriva f¨orh˚allandet mellan brott och v¨ader beh¨ovs mer informellt omfattande data med precisa tidpunkter.

Det ¨ar viktigt att po¨angtera att de resterande brottstyperna kan ha korrela- tioner med dessa v¨adertyper, dock kan det vara modellen samt brottsstatistiken i sig som brister vilket kan leda till icke nollskilda koefficienter.

8 Referenser

Pennstate Eberly college of science. (u.˚a). Detecting Multicollinearity Using Variance Inflation Factors. [Online] Tillg¨anglig vid:

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat501/node/347

Fant, Carl-Henrik. (2001). Minstakvadratmetoden. [Online] Tillg¨anglig vid:

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tma021/0102/minstakvadratmetoden.

pdf

Marquardt, Donald W. (1970). Technometrics. Vol. 12, No. 3. American Statistical Association. E-bok.

Rawlings, John O., Pantura, Sastry G. och Dickey, David A. (1998). Applied Regression Analysis: A Research Tool. 2. uppl. New York: Springer-verlag.

E-bok

Stephanie. (2015). Homoscedasticity / Homogeneity of Variance/ Assump- tion of Equal Variance. [Online] Tillg¨anglig vid:

http://www.statisticshowto.com/homoscedasticity/

Lang, Harald. (2016). Elements of Regression Analysis. Stockholm: KTH Mathematics. Tillg¨anglig vid:

https://people.kth.se/~lang/regression_analysis.pdf Holmes, Susan. (2000). RMS error. [Online] Tillg¨anglig vid:

http://statweb.stanford.edu/~susan/courses/s60/split/node60.html Brottsbalk (1962:700)

Polisen. (u.˚a). D¨odligt v˚ald-lagar och fakta. [Online] Tillg¨anglig vid:

https://polisen.se/lagar-och-regler/lagar-och-fakta-om-brott/dodligt-vald/

Fredholm, Lotta. (2002). V¨adrets inverkan p˚a kroppen. Forskning Fram- steg. July.

https://fof.se/tidning/2002/5/vadrets-inverkan-pa-kroppen Link¨opings universitet. (u.˚a). F¨orel¨asning 5: Statistiska metoder.

https://www.ida.liu.se/~732G60/Forelasning%205.pdf

Kriminologiska Institutionen. (2017). Studiet av brottslighet i samh¨allet.

[Online] Tillg¨anglig vid:

https://www.criminology.su.se/utbildning/studiet-av-brottslighet-i-samh%

C3%A4llet-1.24525

Kempthorne, Peter. (2013). Lecture 8: Time Series Analysis. [Online lecture] Tillg¨anglig vid:

https://www.youtube.com/watch?v=uBeM1FUk4Ps